Physique TD 1 : Unités et dimensions - Université de Cergy

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Université de Cergy Pontoise PCSTI– S1
Physique TD 1 : Unités et dimensions
Compétences à acquérir :
-donner les 7 grandeurs de base du système international d’unîtes et leurs unités
- donner les noms et symboles des multiples et sous-multiples décimaux
- donner les noms et symboles des unités SI des principales grandeurs de la physique ainsi que les unités
courantes hors système les plus utilisées.
- faire la distinction entre dimension d’une grandeur et unité d’une grandeur (par ex. [m] et kg)
- donner les symboles dimensionnels des 7 grandeurs de base du système international d’unites
- établir l’équation aux dimensions d’une grandeur à partir des relations déduites des définitions, Lois,
principes et théorèmes de la physique.
- citer les règles de calculs sur les dimensions ; à savoir :
- la dimension d’une grandeur sans dimension est 1
- les coefficients numériques, les valeurs des fonctions trigonométriques, exponentielles, logarithmique
et leurs arguments sont sans dimension.
- vérifier l’homogénéité vectorielle et dimensionnelle d’une relation.
- faire une analyse dimensionnelle pour établir la relation régissant un phénomène.
- trouver sur les sites de références (BIPM et Standards US) des valeurs et informations.
- écrire le résultat d’un calcul numérique avec le nombre correct de chiffres significatifs.
Exercice 1: Dimensions
1) Etablir les dimensions et les unités des grandeurs suivantes :
Vitesse, accélération, force, vitesse angulaire, accélération angulaire, travail, Energie cinétique
puissance, constante de pesanteur g.
2) Vérifier la validité des relations suivantes :
=qE ; v = 
l = v f (f, fréquence); T3/a2 = 42GMS .
3) Lorsqu’on laisse tomber un objet de masse m d’une hauteur h au-dessus du sol a la latitude
λ (angle), l’objet est dévie vers l’est d’une distance d.
Parmi les deux expressions proposées ci-dessous, quelle est celle qui est acceptable du point de
vue des dimensions ? Justifier la réponse. a)
)cos(
3
2/3
gm
h
d
,
g
h
db 3
2
3
)
.
Exercice 2: Equation aux dimensions
La valeur de la force de frottement fluide exercée par un fluide sur une sphère de rayon R se
déplaçant à faible vitesse v par rapport au fluide est donnée par la relation de Stokes :
F = 6Rv ou  (êta) est la viscosité du fluide.
- Etablir l’équation aux dimensions de la viscosité .

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Exercice 3 : Analyse dimensionnelle
1) Un pendule simple est un fil sans masse, de longueur l au bout duquel est attache un objet
ponctuelle de masse m. Soit T la période d’oscillation d’un tel pendule.
T peut dépendre, a priori, de paramètres g (la constante de pesanteur), l, m et θ, l’angle maximum de
déviation par rapport a la verticale. Galilée est le premier à s’être rendu compte que T ne dépend,
en fait, que très faiblement de θ quand θ est petit.
- Par une analyse dimensionnelle, établir l’expression de T quand θ est petit.
2) (extrait du CC1 de 2010)
La période T d’un satellite terrestre circulaire peut dépendre, a priori, de m la masse de la Terre, du
rayon R du cercle décrit et de la constante de la gravitation universelle G. On peut faire l’hypothèse
que la période T a pour expression : T = K ma Rb Gc ou K est une constante sans dimension.
- Déterminer, par une analyse dimensionnelle, les valeurs de a, b et c sachant que la dimension
d'une force est [F] = M.L.T-2. En déduire l’expression de la formule de la période T.
3) (extrait du CC1 de 2013)
La fréquence  de vibration d’une goutte d’eau peut s’écrire sous la forme :
  ,
où  est une constante sans dimension.  est le rayon de la goutte,  sa masse volumique.  est la
tension superficielle définie par une force par unité de longueur.
Déterminer par une analyse dimensionnelle les valeurs des paramètres  et .
(A rendre à l’enseignant)
Exercice 4 : Rédiger une solution
Nous souhaitons établir l’équation aux dimensions de la constante de gravitation universelle G.
La solution non rédigée est la suivante :
F = G m1 m2 / d2
G = F d2 / (m1 m2)
[G] = [F] [d2] / ([m1] [m2])
[F] = M.L.T-2
[d2] = [d]2 = L2
[m1] = [m2] = M
[G] = M.L.T-2 L2/M2 = M-1.L3.T-2
Compléter la rédaction de chaque étape de la solution de l’exercice.
Exercice 5:
Déterminer la dimension des deux paramètres α et β qui apparaissent dans la loi : F= α m v + β v2
où F est une force qui s’exprime en (N), m en (kg), v en (m/s).
Exercice 6 : Calcul et chiffres significatifs
1) Ecrire la constante molaire des gaz parfaits R = 8,314 472 J.K-1.mol-1 avec deux, puis trois,
puis quatre, puis cinq chiffres significatifs.
2) Ecrire la vitesse de la lumière dans le vide c = 299 792 458 m/s avec trois chiffres significatifs.
3) Exprimer, avec le nombre correct de chiffres significatifs, les résultats des opérations suivantes:
A= 300, 0 s + 44, 75 s + 500, 0 ms
B= 0,575 m +2, 0 m
C= cos (60, 0°)
D= 4, 64 cm15, 47 cm