UNITES ET GRANDEURS

UNITES
ET GRANDEURS
1-Introduction
Les scientifiques utilisent des unités pour
évaluer leurs mesures. Au cours du temps, divers
systèmes d’unités ont été inventés et utilisés.
Aujourd’hui, le « système international » est le
seul valide, mais d’autres sont encore en usage,
pour des raisons pratiques ou historiques.
2-Définitions :
• Une grandeur est une dimension qui peut être
estimée ou mesurée.
• Une unité est une grandeur prise comme base
de comparaison avec des grandeurs de même
espèce.
• L’unité (le mètre, le kilogramme, la seconde)
est un étalon de grandeur (longueur, masse,
temps).
3-Définitions des unités
fondamentale du SI
• Définition du mètre adoptée en 1983 :
• Le mètre est la longueur du trajet parcouru
dans le vide par la lumière pendant une
durée de 1/299 792 458 de seconde.
• Il en résulte que la vitesse de la lumière dans
le vide est égale a 299 792 458 mètres par
seconde
• exactement, c0 = 299 792 458 m/s.
Définition du kilogramme :
• Le kilogramme est actuellement defini comme
la masse d’un cylindre en platine iridié (90 %
de platine et 10% d’iridium) de 39 mm de
diamètre et 39 mm de haut déclare unité SI de
masse
• depuis 1889 par le Bureau international des
poids et mesures (BIPM).
Définition de la seconde adoptée en
1967
• La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de
la radiation correspondant à la
• transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état
fondamental de l'atome de césium 133.
• Il en résulte que la fréquence de la transition hyperfine
de l'etat fondamental de l'atome de césium est égale a
9 192 631 770 hertz exactement, (hfs Cs) = 9 192 631
770 Hz.
• Lors de sa session de 1997, le Comite international a
confirme que :
• Cette définition se réfère a un atome de césium au
repos, a une température de 0 K.
Définition de l’ampère adoptée en
1948
• L'ampère est l'intensité d'un courant constant
qui, maintenu dans deux conducteurs
parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de
section circulaire négligeable et placés à une
distance de 1 mètre l'un de l'autre dans le vide,
produirait entre ces conducteurs une force
égale à 2 . 10–7 newton par mètre de longueur.
Définition du kelvin adoptée en 1967
• Le kelvin, unité de température
thermodynamique, est la fraction 1/273,16
de la température thermodynamique du
point triple de l'eau.
• Il en résulte que la température
thermodynamique du point triple de l'eau est
égale a 273,16 kelvins exactement, Ttpw =
273,16 K.
Définition de la mole
• La mole est la quantité de matière d'un
système contenant autant d'entités
élémentaires qu'il y a d'atomes dans 0,012
kilogramme de carbone 12 ; son symbole est
« mol ».
• Il en resulte que la masse molaire du carbone
12 est egale a 0,012 kilogramme par mole
• exactement, M(12C) = 12 g/mol.
Définition de la candela adoptée en
1979
• La candela est l'intensité lumineuse, dans une
direction donnée, d'une source qui émet un
• rayonnement monochromatique de fréquence
540 x 1012 hertz et dont l'intensité énergétique
• dans cette direction est 1/683 watt par
stéradian.
• Il en résulte que l'efficacite lumineuse spectrale
d'un rayonnement monochromatique de
frequence 540 x 1012 hertz est egale a 683
lumens par watt soit K = 683 lm/W = 683 cd sr/W.
Angle plan
radian rad
• C’est quoi le radian?
• On ajoute à ce système l’unité d’angle, qui est
le « radian »
• Sur un cercle, un angle de 1 radian est l’angle
soutenu par une portion de circonférence
égale au rayon du cercle
L’analyse dimensionnelle
I/ Principe :Effectuer une analyse dimensionnelle permet de
trouver la dimension d’une grandeur c’est-à-dire de savoir si
cette grandeur est une longueur (donc si elle s’exprimera en mètre
dans le SI), un temps (donc si elle s’exprimera en seconde dans le SI)
etc. En pratique, l’analyse dimensionnelle d’une grandeur va
permettre de trouver son unité.
Le choix des sept grandeurs de base n'est pas unique, et les physiciens
ont adopté sept grandeurs de base du système international :
la masse, la longueur, le temps, l'intensité électrique, la température
thermodynamique, l'intensité lumineuse et la quantité de matière
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Equations aux dimensions
• Dans une relation entre grandeurs, on remplace chaque
terme par la grandeur fondamentale correspondante L
pour une longueur, M pour une masse, T pour un temps, I
pour une intensité électrique…
• On obtient ainsi l’équation aux dimensions.
• Cette équation permet :
• · De déterminer l’unité composée d’une grandeur en
fonction des grandeurs fondamentales.
• · De tester si une formule est homogène.
• · De faire des conversions d’unités.
• L’équation aux dimensions permet de contrôler la validité
d’une formule. Par exemple, une vitesse est exprimée
• en km par heure. C’est une longueur divisée par un temps
2-sept grandeurs de base du système
international
Grandeur
Symbole dimensionnel
masse
M
longueur
L
temps
intensité électrique
T
température
θ
intensité lumineuse
J
quantité de matière
N
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I
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Deux règles principales sont à respecter
• Dans les expressions littérales, on peut remplacer les
grandeurs par leurs unités. L’unité de la grandeur sera
notée : [grandeur]. Ex : [tension] = V ou [distance] = m
etc.
• Remarque : en toute rigueur, la notation [grandeur]
désigne la dimension de la grandeur (pas exactement
son unité...).
• Lors d’analyses dimensionnelles, le chiffre 1 est
synonyme de « sans unité ».
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Ecriture d'une équation aux
dimensions
• Soit G une grandeur physique. Sa dimension
est notée [G]. Par exemple, si G est une
longueur, on écrira :
G 
L
• L'équation aux dimensions d'une vitesse v
est :
v  LT
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1
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• On en déduit l'écriture générale de l'équation
aux dimensions de la grandeur G:
G  M
1  2
3 4
5
6
L T I  J N
7
• L'équation aux dimensions d'une grandeur G
sans dimension se recuit à :
•
G 1
 
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Définition
• Lorsque les dimensions à droite et à gauche
de l’équation sont identiques, on dit que cette
équation est homogène.
Théorème
• Toute équation non homogène est
nécessairement Fausse.
• Toute équation homogène est juste, sinon
pertinente.
Exemple
• Retrouver dans quelles unités SI
s’exprime une force ?
• La physique nous dit qu’une force est
le produit d’une masse par une
accélération, soit F = mγ
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Solution
• D’autre part, une accélération est une vitesse par unité
de temps : m/s2 sa dimension est [γ ] =L.T -2
• En combinant avec la masse, on obtient, pour la force :
[F] = M. L.T -2.
• La force s’exprime donc en kilogramme .mètre par
seconde et par seconde ( kg. m. s-2).
• On retrouve cette valeur dans le tableau des unités
dérivées.
• Cette unité compliquée, le kilogramme mètre par
seconde et par seconde s’appelle le Newton(N), en
l’honneur de ce grand homme
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Exemple 2
• Quelle est l’unité de Pi (π)?
• Solution
• On sait que la circonférence d’un cercle est
donné par C = 2π .r ; r étant le rayon du cercle.
• On en déduit aisément que la dimension de Pi
est L/L, soit 1. Pi est un nombre sans
dimension
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Exercice d’application
• Ecrire l'équation aux dimensions des
grandeurs suivantes.
• 1. Le champ de pesanteur g.
• 2. Une pulsation ω.
• 3. Une masse volumique ρ.
• 4. Une charge électrique Q.
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