INTÉGRABILITÉ ET ALG`EBRES QUANTIQUES 1. Syst`emes

INT´ EGRABILIT´ E ET ALG` EBRES QUANTIQUES
DAMIEN CALAQUE
1. Syst` emes locaux et ´ equations de Knizhnik-Zamolodchikov
1.1. Faisceaux.
1.1.1. D´efinition et exemples.
Soit Xun espace topologique, qu’on supposera localement connexe et localement connexe
par arcs.
D´efinition 1.1. Un faisceau Fsur Xest la donn´ee
•d’un ensemble de sections F(U)pour tout ouvert Ude X,
•d’applications de restrictions rU,V :F(U)→ F(V)pour tout inclusion V⊂U,
satisfaisant les conditions suivantes :
(associativit´e) rV,W ◦rU,V =rU,W si W⊂V⊂U,
(recollement) soit Uun ouvert de X,(Ui)i∈Iun recouvrement de Upar des ouverts, et si∈ F(Ui),
i∈I, des sections tels que pour tout (i, j)∈I2,
rUi,Uij (si) = rUj,Uij (sj).
Alors il existe une unique section s∈ F(U)telle que rU,Ui(s) = siquel que soit i∈I.
On parle de faisceau en groupes (resp. en espace vectoriels, en alg`ebres, etc...) si les
ensembles des section sont des groupes (resp. des espace vectoriels, des alg`ebres, etc...) et si
les applications de restriction sont des homomorphismes de groupes (resp. des applications
lin´eaires, des morphismes d’alg`ebres, etc...).
En l’absence d’ambigu¨ıt´e, on note s|V:= rU,V (s) la restriction d’une section s∈ F(U) `a
un plus petit ouvert V⊂U.
Exemples 1.2. (i) X⊃U7→ C0(U) = {fonctions continues sur U}d´efinit un faisceau (en
alg`ebres).
(ii) X⊃U7→ C∞(U), avec Xune vari´et´e diff´erentiable (par exemple un ouvert de Rn),
d´efinit un faisceau (en alg`ebres).
(iii) X⊃U7→ Hol(U), avec Xune vari´et´e analytique complexe (par exemple un ouvert
de Cn), d´efinit un faisceau (en alg`ebres).
(iv) R⊃U7→ {fonctions continues et int´egrables sur U}n’est PAS un faisceau sur R.
(v) soit p:Y→Xun hom´eomorphisme local, c.-a.-d. une application continue telle que
pour tout y∈Yil existe un voisinage ouvert Wde ytel que p|West un hom´eomorphisme
sur son image. On note F(U) l’ensemble des applications continues s:U→p−1(U) telle
que p◦s= idU, qu’on appelle les sections de p. Montrer que la restriction de s`a un plus
petit ouvert V⊂Uest `a valeurs dans p−1(V). En d´eduire que Fest un faisceau sur X.
(vi) soit Eun ensemble fix´e. X⊃U7→ E, avec rU,V = idE, est un faisceau. On note ce
faisceau E, qu’on qualifie de faisceau constant.
(vii) soit Fun faisceau sur Xet Uun ouvert de X. Alors F|U:U⊃V7→ F|U(V) = F(V)
d´efinit un faisceau sur U, qu’on appelle la restriction de F`a U.
1

2 DAMIEN CALAQUE
Un morphisme de faisceaux f:F → G est la donn´ee d’applications f(U) : F(U)→ G(U),
pour tout les ouverts U⊂X, qui commute aux restrictions :
F(U)
rU,V
f(U)//G(U)
rU,V
F(V)f(V)//G(V)
On dit que fest un isomorphisme si f(U) est un isomorphisme quel que soit U.
1.1.2. Recoller des faisceaux.
Soit (Ui)i∈Iun recouvrement de Xpar des ouverts. ´ Etant donn´e un faisceau Fisur
chaque Uitel que pour tout couple (i, j) tel que1Uij 6=∅on ait un isomorphisme de faisceaux
ϕij :Fi|Uij ˜−→ Fi|Uij , nous donnons maintenant une condition suffisante pour “recoller” les
faisceaux Fien un faisceau Fsur X:
(1.1) ϕii = id et (ϕjk ◦ϕij )|Uijk =ϕik|Uijk
Pour tout ouvert Ude X, on d´efinit F(U) comme l’ensemble des (si)i∈Itels que si∈
Fi(Ui∩U) et ϕij (si|Uij ) = sj|Uij .
Exercice 1.3. Montrer que Fd´efini comme pr´ec´edemment est un faisceau sur X.
Deux tels faisceaux Fet Grecoll´e `a l’aide de donn´ees locales (Fi, ϕij ) et (Gi, ψij ) pour un
mˆeme recouvrement (Ui)i∈Isont isomorphes si il existe des isomorphismes fi:F|Ui˜−→ G|Ui
satisfaisant la suivante :
(1.2) ψij ◦fi|Uij =ϕij
1.1.3. Tiges et tir´es-en-arri`ere.
Soit x∈Xet Fun faisceau sur X. La tige Fxde Fen xest le quotient de la r´eunion
disjointe des F(U) pour U∋xpar la relations d’´equivalence suivante : deux sections si∈
F(Ui), i= 1,2, sont ´equivalentes si il existe un ouvert V⊃U1∩U2∋xsur lesquels leurs
restrictions coincident : s1|V=s2|V.
Les ´el´ements de la tige Fxsont appel´es les germes de sections de Fen x.
´
Etant donn´e une application continue f:Y→Xentre deux espaces topologiques et un
faisceau Fsur X, on peut construire un faisceau f∗Fsur Y, appel´e tir´e-en-arri`ere de Fle
long de f, qui est tel que (f∗F)y=Ff(y). On n’explicite pas cette construction pour les
faisceaux (qui est un peu compliqu´ee) dans la mesure o`u nous verrons une construction ad
hoc plus simple dans le cas des syst`emes locaux.
1.2. Syst`emes locaux et groupe fondamental.
1.2.1. D´efinition et exemple principal.
D´efinition 1.4. Un syst`eme local sur Xest un faisceau Lde C-espaces vectoriels localement
isomorphe `a un faisceau constant du type Cn. Plus pr´ecis´ement, quel que soit x∈Xil existe
un voisinage ouvert Ude xtel que L|U∼
=Cn(n∈Nn’est pas n´ecessairement fix´e).
Par cons´equent, ´etant donn´e un syst`eme local Lsur Xil existe un recouvrement (Ui)i
de Xpar des ouverts tels que L|Ui∼
=Cni. Pour tout couple (i, j) tel que Uij 6=∅, notons
ϕij :Cni˜−→ Cnjl’isomorphisme suivant:
Cni˜−→ L|Ui
id
−→ L|Uij
id
−→ L|Uj˜−→ Cnj.
1Pour un suite d’indices i1,...,ik, on note Ui1···ik:= Ui1∩ · · · Uik.

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De plus la condition d’associativit´e impose que
(1.3) ϕii = id et ϕjk ◦ϕij =ϕik
pour tout triplet (i, j, k) tel que Uijk 6=∅. Dans ce contexte une section s∈ L(U) correspond
`a la donn´ee d’un vecteur vi∈Cnipour chaque itel que Ui∩U6=∅satisfaisant la condition
de recollement suivante : ϕij (vi) = vjpour tout couple (i, j) tel que Uij ∩U6=∅.
R´eciproquement, la donn´ee d’un recouvrement (Ui)i∈Ide Xpar des ouverts et d’isomorphismes
de transition ϕij :Cni→Cnjsatisfaisant (1.3) suffit `a d´efinir un sys`eme local sur X.
Remarque 1.5. Si Xest connexe alors ni=njquels que soient iet j.
Exercice 1.6. Supposons que Xest un ouvert de Cnet consid´erons un syst`eme complet
d’´equations aux d´eriv´ees partielles lin´eaires du premier ordre `a coefficients holomorphes:
∂f
∂zi
=Ki(f)∀i∈ {1,...,n}, Ki∈Hol(X, End(V),
o`u Vest un C-espace vectoriel. Pour tout ouvert U∈Xon note S(U) l’ensemble des
solutions de ce syst`eme d’EDP. Sd´efinit un faisceau en C-espaces vectoriels sur X(avec les
applications de restrictions ´evidentes).
Montrer que Sest un syst`eme local si et seulement si le syst`eme d’EDP est int´egrable (on
dit aussi compatible) :
∂Ki
∂zj
−∂Kj
∂zi
= [Ki, Kj] (quels que soient iet j).
1.2.2. Tir´e-en-arri`ere et repr´esentation de monodromie.
Soit f:Y→Xune application continue et Lun syst`eme local sur X. Donnons-nous un
recouvrement (Ui)i∈Ide Xpar des ouvertes tels que L|Ui∼
=Cni, et notons ϕij :Cni˜−→ Cnj
les isomorphismes de transition.
Le tir´e-en-arri`ere f∗Lde Lpar fpeut ˆetre d´ecrit de la mani`ere suivante (on peut prendre
cette description comme une d´efinition de f∗L) : on consid`ere le recouvrement de Ydonn´e
par les ouverts Vi:= f−1(Ui), et on exige que (f∗L)|Vi=Cniavec les mˆeme isomorphismes
de transition ϕij :Cni˜−→ Cnjque pour L.
On consid`ere maintenant le cas particulier o`u Y= [0,1]. Pour tout chemin γ: [0,1] →X,
on a alors un syst`eme local V:= γ∗Lsur [0,1].
Lemme 1.7. Tout syst`eme local Vsur [0,1] est isomorphe au faisceau constant V0.
D´emonstration. On recouvre [0,1] par des intervalles ouverts Uk⊂[0,1], k= 1,...,l, tels
que 0 ∈U1, 1 ∈Ul,Uk∩Uk+1 6=∅, et V|Uk∼
=Cnk. Montrons maintenant que Vest isomorphe
au faisceau constant Cn1.
Quel que soit k∈ {1,...,l}, on d´efinit par l’isomorphisme
fk:Cn1˜−→ Cnk˜−→ V|Uk,
o`u le premier isomorphisme est donn´e par ϕ(k−1)k◦ · · · ◦ ϕ23 ◦ϕ12 :Cn1˜−→ Cnk. Il est
assez facile de v´erifier que la condition (1.2) est satisfaite, et que l’on peut ainsi recoller ces
donn´ees locales pour obtenir un isomorphisme de faisceaux f:V0∼
=Cn1˜−→ V.
On obtient ainsi, en consid´erant les tiges en 1 des faisceaux, un isomorphisme
g:= f1:V0= (V0)1˜−→ V1.
Exercice 1.8. Montrer que cet isomorphisme ne d´epend que de la classe d’homotopie `a
extr´emit´es fixes du chemin.

4 DAMIEN CALAQUE
En particulier, si γest un lacet bas´e en x∈X(i.e. γ(0) = γ(1) = x) alors on r´ecup`ere un
automorphisme de V0=Lx, qui reste ne d´epend que de la classe d’homotopie `a point base
fixe du lacet. On obtient ainsi une application
ρL:π1(X, x) ˜−→ GL(Lx).
Exercice 1.9. Montrer que cette application est un morphisme de groupes (le produit [γ1][γ2]
des classes de deux lacets dans le groupe fondamental est donn´e par la classe [γ1γ2]de leur
concat´enation, o`u on parcours γ1en premier).
ρd´efinit donc une repr´esentation du groupe fondamental π1(X, x), qu’on appelle repr´esentation
de monodromie.
Exemple 1.10. Revenons `a l’exemple de l’exercice 1.6. Soit γ= (γ1,...,γn) : [0,1] →X
un chemin diff´erentiable. Dans ce cas γ∗Lest le syst`eme local dont les sections sont les
solutions de l’´equation diff´erentielle ordinaire lin´eaire du premier ordre suivante :
(1.4) f′=K(f)K=
n
X
i=1
γ′
iKi∈C∞([0,1], V ).
Ainsi l’isomorphisme V0˜−→ V1est l’application qui, `a un vecteur “condition initiale” donn´e
v0associe la valeur v1au temps 1 de l’unique solution fde (1.4) telle que f(0) = v0.
1.3. ´ Equations de Knizhnik-Zamolodchikov et groupes de tresses.
On pose Y={(z1, . . . , zn)∈Cn|zi6=zjsi i6=j}et X=Y/Sn, o`u l’action du groupe
sym´etrique Snsur Yest la suivante :
σ·(z1,...,zn) := (zσ(1),...,zσ(n)).
1.3.1. Les ´equations de Knizhnik-Zamolodchikov.
Soit gune C-alg`ebre de Lie, h∈Cet t∈S2(g)g. Plus pr´ecis´ement, t=Pixi⊗yi∈g⊗g
satisfait les deux conditions suivantes :
(sym´etrie) t2,1:= Pνyν⊗xν=Pνxν⊗yν=t;
(invariance) pour tout a∈g, [a⊗1 + 1 ⊗a, t] = Pν([a, xν]⊗yν+xν⊗[a, yν]) = 0.
Remarque 1.11. Pour la seconde condition, le crochet de Lie consid´er´e dans le membre le
plus`a gauche gauche est le commutateur dans l’alg`ebre U(g)⊗U(g).
Soit V1,...,Vndes repr´esentations de g. On consid`ere le syst`eme complet d’´equations aux
d´eriv´ees partielles suivant, dites ´equations de Knizhnik-Zamolodchikov :
(1.5) ∂f
∂zi
=hX
j|j6=i
ti,j
zi−zj
|{z }
=:Ki
f∀i∈ {1,...,n}.
Ici les ´equations sont `a valeurs dans le C-espace vectoriel W:= V1⊗ · · · ⊗ Vnet on utilise
les notations suivantes :
•ti,j =Pνx(i)
ν◦y(j) ν;
•plus g´en´eralement si f=f1⊗ · · · ⊗ fm∈U(g)⊗m, avec m≤n, alors pour toute
combinaison (i1,...,im) de m´el´ements dans {1,...,n}on d´efinit
fi1,...,im=f(i1)
1◦ · · · ◦ f(im)
m∈End(W) ;
•pour tout a∈U(g) et tout i∈ {1,...,n}
a(i):= idV1⊗ · · · ⊗ idVi−1⊗a⊗idVi+1 ⊗ · · · ⊗ idVn∈End(W),
et il est ais´e de constater que a(i)et b(j)commutent si i6=j.

INT´ EGRABILIT´ E ET ALG` EBRES QUANTIQUES 5
Proposition 1.12. Le syst`eme (1.5) est int´egrable :
h∂Ki
∂zj
−h∂Kj
∂zi
=h2[Ki, Kj].
D´emonstration. Nous allons montrer que ∂Ki
∂zj−∂Kj ∂zi= 0 = [Ki, Kj].
On commence par le plus facile :
∂Ki
∂zj
−∂Kj
∂zi
=ti,j −tj,i
(zi−zj)2= 0 .
La derni`ere ´egalit´e est une cons´equence de la sym´etrie de t.
Continuons :
[Ki, Kj] = hX
k|k6=i
ti,k
zi−zk
,X
l|l6=j
tj,l
zj−zli
=hX
(k,l)|{k,l}6={i,j}
ti,k
zi−zk
,X
l|l6=j
tj,l
zj−zli+hX
k|k6=i
ti,k
zi−zk
,tj,i
zj−zii
+hti,j
zi−zj
,X
k|k6=j
tj,k
zj−zki
=X
(i,j,k)|#{i,j,k}=3 hti,k
zi−zk
,tj,k
zj−zki+hti,k zi−zk
,ti,j
zj−zii+hti,j zi−zj
,tj,k
zj−zki
Dans la derni`ere ´egalit´e nous avons utilis´e le fait que ti,k et tj,l commutent si i, j, k, l sont
tous distincts deux `a deux. Nous allons maintenant utiliser le lemme suivant pour montrer
que chaque terme de la somme principale est nulle.
Lemme 1.13. Si i, j, k sont tous distincts deux `a deux alors [ti,j , ti,k +tj,k] = 0.
D´emonstration du lemme. Il suffit de faire la d´emonstration pour (i, j, k) = (1,2,3), et ce
dans U(g)⊗3. On calcule :
[t1,2, t1,3+t2,3] = [t⊗1,X
ν
(xν⊗1⊗yν+ 1 ⊗xν⊗yν)]
=X
ν
[t, xν⊗1 + 1 ⊗xν]⊗yν= 0 .
La toute derni`ere ´egalit´e est une cons´equence de l’invariance de t.
Fin de la d´emonstration de la proposition. En appliquant deux fois le lemme pr´ec´edent on
trouve que
hti,k
zi−zk
,tj,k
zj−zki+hti,k zi−zk
,ti,j
zj−zii+hti,j zi−zj
,tj,k
zj−zki
=hti,k
zi−zk
,tj,k
zj−zki+hti,k zi−zk
,tj,k
zi−zji−hti,k zi−zj
,tj,k
zj−zki
= [ti,k, tj,k]1
(zi−zk)(zj−zk)+1 (zi−zk)(zi−zj)−1 (zi−zj)(zj−zk)
Or la fraction rationelle `a l’int´erieur de la parenth`ese est identiquement nulle. La d´emonstration
de la proposition est donc termin´ee. 