Nombres, opérations, ordre 1 Ordre et opérations 2 Intervalles 3

Nombres, opérations, ordre
1
Ordre et opérations
3
Valeurs approchées
1◦ Si x ∈ [a; a + d], on dit que a est une valeur approchée par défaut de x à d près.
a, b et c désignent des nombres réels.
1◦ a ≤ b équivaut à dire que a − b ≤ 0.
2◦ Si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c.
2◦ Si x ∈ [a − d; a], on dit que a est une valeur approchée par excès de x à d près.
3◦ Supposons de plus c > 0.
Si a ≤ b, alors a · c ≤ b · c.
3◦ Si x ∈ [a − d; a + d], on dit que a est une valeur
approchée de x à d près.
4◦ Supposons de plus c < 0.
Si a ≤ b, alors a · c ≥ b · c.
4◦ Une troncature à 10−p près d’un nombre positif
est la valeur approchée à 10−p par défaut ayant
p décimales.
Exercice 1
1◦ Encadrer les nombres x + y, xy et x − y
1
1
1
1
sachant que : < x < et < y <
8
7
7
6
1
2◦ Encadrer le nombre − 2x2
2
1
1
sachant que : < x <
5
4
3◦ – A partir des encadrements suivants :
3, 16 <
√
10 < 3, 17
et
1, 41 <
√
2 < 1, 42
√
2 + 10
encadrer
.
4 √
2
– On donne B = √
;
1
√ 5 −√
2 + 10
montrer : B =
.
4
En déduire un encadrement de B par 2 décimaux a et b tels que
√
a<B<b
et 0 < b − a < 0, 01
Exercice 2
Démontrez :
1◦ Si a est un nombre réel tel que 0 ≤ a ≤ 1,
alors a3 ≤ a2 ≤ a.
2◦ Si a est un nombre réel tel que a ≥ 1,
alors a ≤ a2 ≤ a3 .
2
Intervalles
a et b sont deux nombres réels tels que a < b.
1◦ [a; b] = {x|a ≤ x ≤ b} :
intervalle fermé d’extrémités a et b.
◦
2 ]a; b[= {x|a < x < b} :
intervalle ouvert d’extrémités a et b.
On définit de même des intervalles mixtes, des intervalles admettant une borne infinie.
Fiche 1
5◦ Un arrondi à 10−p près d’un nombre est la valeur
approchée à 10−p la plus proche ayant p décimales.
Exercice 3
Indiquer√la troncature, puis la valeur approchée à 10−2
près de 5.
Exercice 4
On sait que x ∈ [5, 283; 5, 303].
1◦ Est-ce que 5,289 est une valeur approchée de x à
10−2 près ? à 10−1 près ? à 2 · 10−2 près ? Pourquoi ?
2◦ Est-ce que 5,31 est une valeur approchée de x par
excès à 10−2 près ? à 10−1 près ? à 2 · 10−2 près ?
Pourquoi ?
4
Nombres premiers entre eux
1◦ Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul
diviseur commun est 1.
2◦ Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre
eux.
5
Ensembles de nombres
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
N : ensemble des entiers naturels
Z : ensemble des entiers relatifs
p
Q : ensemble des nombres rationnels (forme , où p
q
est un entier relatif et q un entier naturel non nul)
p
D : ensemble des nombres décimaux (forme n , où p
10
est un entier relatif et n un entier naturel)
R − Q : nombres irrationnels.
Exercice 5
√
Démontrez que 2 est irrationnel.
√
On supposera pour cela que 2 peut s’écrire sous
p
forme d’une fraction irréductible , et on montrera
q
que cette supposition conduit à une contradiction.
Nombres, opérations, ordre
6
Valeur absolue et distance
1◦ Soit une droite munie d’un repère (O; I). Pour
tout nombre réel x, la valeur absolue de x, notée
|x|, est la distance du point M d’abscisse x à l’origine O.
◦
2 Pour deux nombres réels x et y, la distance entre
les nombres x et y est le nombre réel |x − y|.
Exercice 6
Résolvez les équations suivantes :
1◦ |x − 2, 5| = 4, 2
2◦ |x + 4| = 7, 2
3◦ 2 + |x + 1| = 3
4◦ |x − 2| = 5
5◦ |x − 0| = 3, 2
6◦ |x − (−4)| = 4
Exercice 7
Résolvez les équations suivantes :
1◦ |x| = 6
2◦ |x| = −7
3◦ | − x| = 2
1
1
5◦ 7|x| + = 2|x| +
2
4
4◦ 2|x| + 1 = 5|x| − 9, 5
◦
6
|x| = x
Exercice 8
Déterminez et représentez les ensembles suivants.
n
o
1◦ A = x ∈ R | 0, 7 < |x| ≤ 1, 2
n
o
2◦ B = x ∈ R | 1, 5 < |x − 3| < 4, 2
n
o
3◦ C = x ∈ R | |x − 1, 8| < 4, 5 et |x − 1| ≥ 2, 3
n
o
4◦ D = x ∈ R | |x − 4, 5| ≤ 11, 7 et |x| ≥ 7, 2
7
Exercices divers
Exercice 9
Écrivez les encadrements d’un réel non décimal x fournis par chacun des renseignements suivants :
1◦ Les premiers chiffres du développement décimal
illimité de x sont 2, 718.
2◦ En arrondissant x au 3e chiffre décimal, on a :
x ≈ 2, 718.
◦
3 Le plus petit décimal d’ordre 3 supérieur ou égal
à x est 2, 719.
◦
4 2, 718 6 est une valeur approchée à 8 · 10−4 près
par excès de x.
5◦ Quelles sont les amplitudes de ces différents encadrements ? Y en a-t-il un qui est plus précis que
les autres ? Lequel ?
◦
6 En tenant compte de ces quatre encadrements,
donnez une valeur approchée de x avec l’incertitude la plus petite possible.
Fiche 1
Exercice 10
Vous faites mesurer la longueur l d’un mur par trois
de vos camarades : Agathe, Bérénice et Chloé. Elles
trouvent (en mètres) : 17, 2 < l < 17, 5.
1◦ Complétez au moyen de réels positifs les plus petits possibles les phrases suivantes :
◦
2 17 est une valeur approchée de l à . . . près par
défaut.
3◦ 17, 2 est une valeur approchée de l à . . . près par
défaut.
◦
4 17, 3 est une valeur approchée de l à . . . près.
5◦ Agathe vous téléphone la phrase a, Bérénice la
phrase b, Chloé la phrase c. Quelle est celle qui
vous fournit l’encadrement le plus précis de l ?
Exercice 11
Pour déterminer le poids x d’un grain de riz, on met
500 grains dans un bol de 330 g ; le poids total est compris entre 335 g et 345 g. Déterminez un encadrement
ainsi qu’une valeur approchée de x.
Exercice 12
Soient x et y deux réels tels que : −1, 5 ≤ x ≤ −1, 2
et −3 ≤ y ≤ −2.
1◦ Encadrez la somme s = x + y.
2◦ Encadrez la différence d = y − x.
Exercice 13
Soient x et y deux réels tels que 1, 5 < x < 2 et
2 < y < 3.
1◦ Encadrez le produit p = x · y.
x
2◦ Encadrez le quotient q = .
y
Exercice 14
Soient x et y deux réels quelconques de l’intervalle
x
2; 5 . Encadrez les réels x + y, x − y, x · y et .
y
Exercice 15
L’aire en cm2 d’un trapèze est donnée par la formule
a+b
S = h·
, où a et b sont les longueurs des côtés
2
parallèles et h leur distance exprimées en cm. On sait
que
3, 4 < a < 3, 5
6, 2 < b < 6, 3
2 < h < 2, 1 .
Encadrez S.
Exercice 16
On donne l’encadrement suivant du nombre π :
3, 141 < π < 3, 142.
1◦ Le périmètre L d’un cercle de rayon r est donné
par la formule : L = 2πR. Déterminez un encadrement de L si r = 4.
2◦ L’aire A d’un disque de rayon r est donnée par :
A = πr2 . Encadrez A si r = 4.