Nombres, opérations, ordre 1 Ordre et opérations 2 Intervalles 3

Nombres, opérations, ordre
1 Ordre et opérations
a,bet cdésignent des nombres réels.
1abéquivaut à dire que ab0.
2Si ab, alors a+cb+c.
3Supposons de plus c > 0.
Si ab, alors a·cb·c.
4Supposons de plus c < 0.
Si ab, alors a·cb·c.
Exercice 1
1Encadrer les nombres x+y,xy et xy
sachant que : 1
8< x < 1
7et 1
7< y < 1
6
2Encadrer le nombre 1
22x2
sachant que : 1
5< x < 1
4
3 A partir des encadrements suivants :
3,16 <10 <3,17 et 1,41 <2<1,42
encadrer 2 + 10
4.
On donne B=2
51;
montrer : B=2 + 10
4.
En déduire un encadrement de Bpar 2 déci-
maux aet btels que
a < B < b et 0< b a < 0,01
Exercice 2
Démontrez :
1Si aest un nombre réel tel que 0a1,
alors a3a2a.
2Si aest un nombre réel tel que a1,
alors aa2a3.
2 Intervalles
aet bsont deux nombres réels tels que a < b.
1[a;b] = {x|axb}:
intervalle fermé d’extrémités aet b.
2]a;b[= {x|a < x < b}:
intervalle ouvert d’extrémités aet b.
On définit de même des intervalles mixtes, des inter-
valles admettant une borne infinie.
3 Valeurs approchées
1Si x[a;a+d], on dit que aest une valeur ap-
prochée par défaut de xàdprès.
2Si x[ad;a], on dit que aest une valeur ap-
prochée par excès de xàdprès.
3Si x[ad;a+d], on dit que aest une valeur
approchée de xàdprès.
4Une troncature à10pprès d’un nombre positif
est la valeur approchée à 10ppar défaut ayant
pdécimales.
5Un arrondi à10pprès d’un nombre est la valeur
approchée à 10pla plus proche ayant pdéci-
males.
Exercice 3
Indiquer la troncature, puis la valeur approchée à 102
près de 5.
Exercice 4
On sait que x[5,283; 5,303].
1Est-ce que 5,289 est une valeur approchée de xà
102près ? à 101près ? à 2·102près ? Pour-
quoi ?
2Est-ce que 5,31 est une valeur approchée de xpar
excès à 102près ? à 101près ? à 2·102près ?
Pourquoi ?
4 Nombres premiers entre eux
1Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul
diviseur commun est 1.
2Une fraction est irréductible lorsque son numé-
rateur et son dénominateur sont premiers entre
eux.
5 Ensembles de nombres
NZDQR
N: ensemble des entiers naturels
Z: ensemble des entiers relatifs
Q: ensemble des nombres rationnels (forme p
q, où p
est un entier relatif et qun entier naturel non nul)
D: ensemble des nombres cimaux (forme p
10n, où p
est un entier relatif et nun entier naturel)
RQ: nombres irrationnels.
Exercice 5
Démontrez que 2est irrationnel.
On supposera pour cela que 2peut s’écrire sous
forme d’une fraction irréductible p
q, et on montrera
que cette supposition conduit à une contradiction.
Fiche 1
Nombres, opérations, ordre
6 Valeur absolue et distance
1Soit une droite munie d’un repère (O;I). Pour
tout nombre réel x, la valeur absolue de x, notée
|x|, est la distance du point Md’abscisse xà l’ori-
gine O.
2Pour deux nombres réels xet y, la distance entre
les nombres xet yest le nombre réel |xy|.
Exercice 6
Résolvez les équations suivantes :
1|x2,5|= 4,22|x+ 4|= 7,2
32 + |x+ 1|= 3 4|x2|= 5
5|x0|= 3,26|x(4)|= 4
Exercice 7
Résolvez les équations suivantes :
1|x|= 6 2|x|=7
3| − x|= 2 42|x|+ 1 = 5|x| − 9,5
57|x|+1
2= 2|x|+1
46|x|=x
Exercice 8
Déterminez et représentez les ensembles suivants.
1A=nxR|0,7<|x| ≤ 1,2o
2B=nxR|1,5<|x3|<4,2o
3C=nxR| |x1,8|<4,5et |x1| ≥ 2,3o
4D=nxR| |x4,5| ≤ 11,7et |x| ≥ 7,2o
7 Exercices divers
Exercice 9
Écrivez les encadrements d’un réel non décimal xfour-
nis par chacun des renseignements suivants :
1Les premiers chiffres du développement décimal
illimité de xsont 2,718.
2En arrondissant xau 3echiffre décimal, on a :
x2,718.
3Le plus petit décimal d’ordre 3supérieur ou égal
àxest 2,719.
42,718 6 est une valeur approchée à 8·104près
par excès de x.
5Quelles sont les amplitudes de ces différents enca-
drements ? Y en a-t-il un qui est plus précis que
les autres ? Lequel ?
6En tenant compte de ces quatre encadrements,
donnez une valeur approchée de xavec l’incerti-
tude la plus petite possible.
Exercice 10
Vous faites mesurer la longueur ld’un mur par trois
de vos camarades : Agathe, Bérénice et Chloé. Elles
trouvent (en mètres) : 17,2< l < 17,5.
1Complétez au moyen de réels positifs les plus pe-
tits possibles les phrases suivantes :
217 est une valeur approchée de là. . . près par
défaut.
317,2est une valeur approchée de là. . . près par
défaut.
417,3est une valeur approchée de là. . . près.
5Agathe vous téléphone la phrase a, Bérénice la
phrase b, Chloé la phrase c. Quelle est celle qui
vous fournit l’encadrement le plus précis de l?
Exercice 11
Pour déterminer le poids xd’un grain de riz, on met
500 grains dans un bol de 330 g ; le poids total est com-
pris entre 335 g et 345 g. Déterminez un encadrement
ainsi qu’une valeur approchée de x.
Exercice 12
Soient xet ydeux réels tels que : 1,5x≤ −1,2
et 3y≤ −2.
1Encadrez la somme s=x+y.
2Encadrez la différence d=yx.
Exercice 13
Soient xet ydeux réels tels que 1,5< x < 2et
2< y < 3.
1Encadrez le produit p=x·y.
2Encadrez le quotient q=x
y.
Exercice 14
Soient xet ydeux réels quelconques de l’intervalle
2; 5. Encadrez les réels x+y,xy,x·yet x
y.
Exercice 15
L’aire en cm2d’un trapèze est donnée par la formule
S=h·a+b
2, où aet bsont les longueurs des côtés
parallèles et hleur distance exprimées en cm. On sait
que
3,4< a < 3,5 6,2< b < 6,3 2 < h < 2,1.
Encadrez S.
Exercice 16
On donne l’encadrement suivant du nombre π:
3,141 < π < 3,142.
1Le périmètre Ld’un cercle de rayon rest donné
par la formule : L= 2πR. Déterminez un enca-
drement de Lsi r= 4.
2L’aire Ad’un disque de rayon rest donnée par :
A=πr2. Encadrez Asi r= 4.
Fiche 1
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