Nombres, opérations, ordre 1 Ordre et opérations 2 Intervalles 3

Nombres, opérations, ordre
1 Ordre et opérations
a,bet cdésignent des nombres réels.
1◦a≤béquivaut à dire que a−b≤0.
2◦Si a≤b, alors a+c≤b+c.
3◦Supposons de plus c > 0.
Si a≤b, alors a·c≤b·c.
4◦Supposons de plus c < 0.
Si a≤b, alors a·c≥b·c.
Exercice 1
1◦Encadrer les nombres x+y,xy et x−y
sachant que : 1
8< x < 1 7et 1 7< y < 1 6
2◦Encadrer le nombre 1
2−2x2
sachant que : 1
5< x < 1 4
3◦– A partir des encadrements suivants :
3,16 <√10 <3,17 et 1,41 <√2<1,42
encadrer √2 + √10
4.
– On donne B=√2
√5−1;
montrer : B=√2 + √10
4.
En déduire un encadrement de Bpar 2 déci-
maux aet btels que
a < B < b et 0< b −a < 0,01
Exercice 2
Démontrez :
1◦Si aest un nombre réel tel que 0≤a≤1,
alors a3≤a2≤a.
2◦Si aest un nombre réel tel que a≥1,
alors a≤a2≤a3.
2 Intervalles
aet bsont deux nombres réels tels que a < b.
1◦[a;b] = {x|a≤x≤b}:
intervalle fermé d’extrémités aet b.
2◦]a;b[= {x|a < x < b}:
intervalle ouvert d’extrémités aet b.
On définit de même des intervalles mixtes, des inter-
valles admettant une borne infinie.
3 Valeurs approchées
1◦Si x∈[a;a+d], on dit que aest une valeur ap-
prochée par défaut de xàdprès.
2◦Si x∈[a−d;a], on dit que aest une valeur ap-
prochée par excès de xàdprès.
3◦Si x∈[a−d;a+d], on dit que aest une valeur
approchée de xàdprès.
4◦Une troncature à10−pprès d’un nombre positif
est la valeur approchée à 10−ppar défaut ayant
pdécimales.
5◦Un arrondi à10−pprès d’un nombre est la valeur
approchée à 10−pla plus proche ayant pdéci-
males.
Exercice 3
Indiquer la troncature, puis la valeur approchée à 10−2
près de √5.
Exercice 4
On sait que x∈[5,283; 5,303].
1◦Est-ce que 5,289 est une valeur approchée de xà
10−2près ? à 10−1près ? à 2·10−2près ? Pour-
quoi ?
2◦Est-ce que 5,31 est une valeur approchée de xpar
excès à 10−2près ? à 10−1près ? à 2·10−2près ?
Pourquoi ?
4 Nombres premiers entre eux
1◦Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul
diviseur commun est 1.
2◦Une fraction est irréductible lorsque son numé-
rateur et son dénominateur sont premiers entre
eux.
5 Ensembles de nombres
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
N: ensemble des entiers naturels
Z: ensemble des entiers relatifs
Q: ensemble des nombres rationnels (forme p
q, où p
est un entier relatif et qun entier naturel non nul)
D: ensemble des nombres décimaux (forme p
10n, où p
est un entier relatif et nun entier naturel)
R−Q: nombres irrationnels.
Exercice 5
Démontrez que √2est irrationnel.
On supposera pour cela que √2peut s’écrire sous
forme d’une fraction irréductible p
q, et on montrera
que cette supposition conduit à une contradiction.
Fiche 1

Nombres, opérations, ordre
6 Valeur absolue et distance
1◦Soit une droite munie d’un repère (O;I). Pour
tout nombre réel x, la valeur absolue de x, notée
|x|, est la distance du point Md’abscisse xà l’ori-
gine O.
2◦Pour deux nombres réels xet y, la distance entre
les nombres xet yest le nombre réel |x−y|.
Exercice 6
Résolvez les équations suivantes :
1◦|x−2,5|= 4,22◦|x+ 4|= 7,2
3◦2 + |x+ 1|= 3 4◦|x−2|= 5
5◦|x−0|= 3,26◦|x−(−4)|= 4
Exercice 7
Résolvez les équations suivantes :
1◦|x|= 6 2◦|x|=−7
3◦| − x|= 2 4◦2|x|+ 1 = 5|x| − 9,5
5◦7|x|+1
2= 2|x|+1 46◦|x|=x
Exercice 8
Déterminez et représentez les ensembles suivants.
1◦A=nx∈R|0,7<|x| ≤ 1,2o
2◦B=nx∈R|1,5<|x−3|<4,2o
3◦C=nx∈R| |x−1,8|<4,5et |x−1| ≥ 2,3o
4◦D=nx∈R| |x−4,5| ≤ 11,7et |x| ≥ 7,2o
7 Exercices divers
Exercice 9
Écrivez les encadrements d’un réel non décimal xfour-
nis par chacun des renseignements suivants :
1◦Les premiers chiffres du développement décimal
illimité de xsont 2,718.
2◦En arrondissant xau 3echiffre décimal, on a :
x≈2,718.
3◦Le plus petit décimal d’ordre 3supérieur ou égal
àxest 2,719.
4◦2,718 6 est une valeur approchée à 8·10−4près
par excès de x.
5◦Quelles sont les amplitudes de ces différents enca-
drements ? Y en a-t-il un qui est plus précis que
les autres ? Lequel ?
6◦En tenant compte de ces quatre encadrements,
donnez une valeur approchée de xavec l’incerti-
tude la plus petite possible.
Exercice 10
Vous faites mesurer la longueur ld’un mur par trois
de vos camarades : Agathe, Bérénice et Chloé. Elles
trouvent (en mètres) : 17,2< l < 17,5.
1◦Complétez au moyen de réels positifs les plus pe-
tits possibles les phrases suivantes :
2◦17 est une valeur approchée de là. . . près par
défaut.
3◦17,2est une valeur approchée de là. . . près par
défaut.
4◦17,3est une valeur approchée de là. . . près.
5◦Agathe vous téléphone la phrase a, Bérénice la
phrase b, Chloé la phrase c. Quelle est celle qui
vous fournit l’encadrement le plus précis de l?
Exercice 11
Pour déterminer le poids xd’un grain de riz, on met
500 grains dans un bol de 330 g ; le poids total est com-
pris entre 335 g et 345 g. Déterminez un encadrement
ainsi qu’une valeur approchée de x.
Exercice 12
Soient xet ydeux réels tels que : −1,5≤x≤ −1,2
et −3≤y≤ −2.
1◦Encadrez la somme s=x+y.
2◦Encadrez la différence d=y−x.
Exercice 13
Soient xet ydeux réels tels que 1,5< x < 2et
2< y < 3.
1◦Encadrez le produit p=x·y.
2◦Encadrez le quotient q=x
y.
Exercice 14
Soient xet ydeux réels quelconques de l’intervalle
2; 5. Encadrez les réels x+y,x−y,x·yet x
y.
Exercice 15
L’aire en cm2d’un trapèze est donnée par la formule
S=h·a+b
2, où aet bsont les longueurs des côtés
parallèles et hleur distance exprimées en cm. On sait
que
3,4< a < 3,5 6,2< b < 6,3 2 < h < 2,1.
Encadrez S.
Exercice 16
On donne l’encadrement suivant du nombre π:
3,141 < π < 3,142.
1◦Le périmètre Ld’un cercle de rayon rest donné
par la formule : L= 2πR. Déterminez un enca-
drement de Lsi r= 4.
2◦L’aire Ad’un disque de rayon rest donnée par :
A=πr2. Encadrez Asi r= 4.
Fiche 1