Les distances - Editions Pelckmans

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Sommaire
G1 Découverte de lieux géométriques p. 8
G2 À égale distance d’un point, de deux points p. 10
G3 À égale distance d’une droite, de deux droites parallèles p. 16
G4 À égale distance de deux droites sécantes p. 20
G5 Positions relatives d’une droite par rapport à un cercle p. 24
G6 Positions relatives de deux cercles et inégalités triangulaires p. 28
De quoi as-tu besoin?
• livre de géométrie p. 7–34
• livre d’exercices p. 209–248
• feuilles de brouillon
• latte graduée
• compas
• équerre à parallèles
• crayons et feutres de couleur
Tu as déjà appris à
1 tracer la médiatrice d’un segment à l’aide de l’équerre à parallèles
2 tracer un cercle
3 déterminer le milieu d’un segment
4 déterminer les coordonnées d’un point
5 déterminer la distance d’un point à une droite ou entre deux points
6 tracer des droites parallèles
7 tracer la bissectrice d’un angle à l’aide du rapporteur
Les distances
1
1 Sur quel dessin, la droite m est-elle
la médiatrice d’un côtédu triangle
ABC?
A
C
B
m
A
C
B
m
Ex. 692
2 Sur quel dessin, les points A et B
sont-ils à égale distance du
point O?
A
OB
A
O B
A
OBEx. 693
3 Si M est le milieu du segment [AB],
quelle proposition est correcte ?
|
AB
|
=
|
BM
|
A, B, M sont alignés
|
AM
|
=
|
MB
|
A, B, M sont alignés
|
AM
|
=
|
BA
|
A, B, M sont alignés Ex. 694
4 Quelles sont les
coordonnées
du point A? (2;2) (−2;2) Ex. 695
5 Quel dessin permet de
déterminer la distance entre le
point S et la droite k?
k
S
k
S
Ex. 696
6 Quelles droites sont parallèles?
a
b
e
f
Ex. 697
7 Sur quel dessin, la droite d est-elle
labissectrice de l’angle A?
A
d
A
dEx. 698
1
10
y
x
A
Teste-toi
Il n’y a qu’une réponse correcte à chaque question. Vérifie tes
réponses dans le solutionnaire. Après chaque question, tu trouveras
une référence à des exercices supplémentaires dans ton livre
d’exercices.
(2 ; −2)
A
C
B
m
k
S
c
d
A
d
NM2 Livre de geometrie.indb 7 25/07/14 12:48

G1
8 1 –  
Exploration
Découverte de lieux géométriques
Une unité de scouts organise un rassemblement pour les troupes de la région.
Un grand jeu de nuit est préparé sur le thème de Harry Potter.
Celui-ci se déroule dans le bois de Favence (en référence à la forêt interdite dans les
livres de Harry Potter).
Pour gagner des points, les scouts doivent apporter de la nourriture aux créatures
magiques, qui sont jouées par des animateurs déguisés et cachés dans le bois.
Aide-les à localiser les diérentes zones sur le plan ci-dessous en fonction des
consignes données à la page suivante, afin d’acheminer la nourriture à bon port.
(1 cm sur le plan représente 100 m dans la réalité.)
«La forêt? On ne va quand même pas y aller en pleine
nuit! Il y a des tas de bestioles là-dedans, même des
loups-garous.» Drago Malefoy
P
S
H
A
BC
Rivière
Allée
des bouleaux
Toile d’araignée
broussailles
Limite des
Château
Cabane d’Hagrid
Saule cogneur
Trolls, à gauche
de la droite bleue
Les hiboux
sont sur le
contour
mauve.
Mygales,
à gauche de la
droite jaune
NM2 Livre de geometrie.indb 8 25/07/14 12:48

9
Tu es capable de
τcomprendre la notion de lieu géométrique
Application
Consignes:
1 Les licornes se trouvent à moins de 200 mètres du saule cogneur (S).
Place 4 points rouges (L1, L2, L3, L4) représentant les licornes sur le plan.
2 Un groupe de trolls se trouve plus près de la porte d’entrée de la cabane d’Hagrid (H) que
de la porte d’entrée du château (P).
Place 4 points verts (T1, T2, T3, T4) représentant les trolls sur le plan.
3 Les centaures, afin de s’abreuver, se promènent à moins de 200 mètres de la rivière.
Place 4 points noirs (E1, E2, E3, E4) représentant les centaures sur le plan.
4 Les pythons se trouvent dans l’allée formée par les bouleaux et les broussailles, plus près des
bouleaux que des broussailles.
Place 4 points bleus (Y1, Y2, Y3, Y4) représentant les pythons sur le plan.
5 Une colonie de mygales se trouve sur l’immense toile d’araignée, plus près du fil [BA que
du fil [BC.
Place 4 points jaunes (M1, M2, M3, M4) représentant les mygales sur le plan.
6 Les hiboux se trouvent dans le bois, à 100 mètres autour des murs de la cabane d’Hagrid.
Place 4 points orange (I1, I2, I3, I4) représentant les hiboux sur le plan.
Tu viens de placer des objets à des endroits répondant à des conditions bien précises.
Il s’agit de lieux.
Dans les leçons qui vont suivre, tu vas apprendre à construire avec précision ces diérents lieux. Ces objets deviendront
des éléments de la géométrie: des points, des cercles, des droites et des parties du plan.
1 Retourne un vélo et pose-le sur la selle et le guidon.
699
700
Marque un trait rouge vif sur le pneu arrière du vélo.
Tourne la pédale et observe le déplacement du trait.
Augmente la cadence et essaie de faire tourner la roue arrière le plus vite possible.
Quel lieu géométrique vois-tu se dessiner?
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................
Notion – lieu géométrique
Enmathématiques, unlieu géométriqueest un ensemble de
points qui possèdent tous une même caractéristique ou
une même propriété.
La frontière franco-belge est l’ensemble des points
séparant la France et la Belgique.
En cartographie, une courbe de niveau est un lieu
géométrique.
La caractéristique des points de cet ensemble est d’être
tous situés à la même altitude.
Le cercle dont le centre est l’axe de la roue et le rayon est égal
à celui de la roue (distance du centre au trait rouge)
NM2 Livre de geometrie.indb 9 25/07/14 12:48

G2
10  1 –  
Exploration
À égale distance d’un point, de deux points
a À égale distance d’un point
Dans chaque cas, tu as utilisé une même «frontière» pour déterminer les zones. Quelle est-elle?
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
b À égale distance de deux points
Un animateur se trouve sur le chemin ci-dessous, à égale distance de la porte d’entrée du château (P) et de la porte
de la cabane d’Hagrid (H). Représente sa position par un point T.
Dans les carrés ci-dessous,
–colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve à moins de 2 cm
du point S.
–colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve à plus de 2 cm
du point S.
–colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve exactement à 2 cm
du point S.
.............................................................................................................. ............................................................................................................ ..............................................................................................................
Propriété – lieu des points situés à égale distance (équidistants) d’un point donné
Le lieu géométriquedes points du plan
situés à égale distance d’un point
donné est le cercle dont le centre est
ce point et le rayon est égal à la distance
donnée.
L’ensemble des points situés à 1 cm
du point X est le cercle de centre X
et de 1 cm de rayon.
1 cm
X
La distance à vol d'oiseau
est la distance la plus
courte entre deux points.
Le savais-tu?
H
P
SSS
d(S,L) < 2cm
Un cercle de centre S et de rayon 2 cm.
d(S,L) > 2cm d(S,L) = 2cm
m
X
C
B
D
A
T
Y
SSS
S
S S
L1L2
L5
L3
L4
L
1
L2
L5
L3
L4
L1L2
L5
L3
L4
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11
• Dessine le segment représentant la distance à vol d’oiseau entre la porte du château (P) et la porte de la cabane (H).
• Le chemin coupe-t-il ce segment en son milieu? ...........................................................................
• Dans la partie supérieure, construis un point X à 3 cm de H et de Pet dans la partie inférieure, un point Y à 4 cm
de H et de P.
–Dessine la droite m passant par les points X et Y.
–m est ........................................................................................................ du segment [HP].
• Place deux autres points A et B sur la droite m.
Ces points se trouvent-ils à égale distance de H et P? .........................................................................
• Place deux points diérents C et D qui ne sont pas sur la droite m.
Ces points se trouvent-ils à égale distance de H et P? .........................................................................
• À ton avis, où doivent se trouver tous les points qui sont à égale distance des points H et P?
.............................................................................................................................................................................................
• Place le point T à l'endroit où se trouve le troll.
• Dans les carrés ci-dessous:
–colorie en vert la zone où l’ensemble des
points se trouve plus près du point H
que du point P.
–colorie en vert la zone où l’ensemble des points se
trouve plus près du point P que du point H.
P
H
P
H
• Dans chaque cas, tu as utilisé une même «frontière» pour déterminer les zones. Quelle est-elle?
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Propriété – lieu des points situés à égale distance (équidistants) de deux points donnés
Le lieu géométriquedes points du plan
situés à égale distance de deux points
donnés est la médiatrice du segment
dont les extrémités sont ces deux
points.
Si un point se trouve sur la médiatrice
d’un segment, alors il est à égale
distance des extrémités de ce segment.
Si un point est situé à égale distance
des extrémités d’un segment, alors il se
trouve sur la médiatrice de ce segment.
L’ensemble des points situés à égale
distance des points X et Y est la
médiatrice de [XY].
Z est un point qui se trouve sur la
médiatrice m de [XY].
|
ZX
|
=
|
ZY
|
XY
m
Z
X m Y
La médiatrice du segment dont les extrémités sont les points H et P donnés.
la médiatrice
Sur la médiatrice du segment [HP]
non
non
oui
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