intégration des fonctions d`une variable complexe

INT´ EGRATION DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE
Chapitre # 3
MATH´ EMATIQUES DE L’ING´ ENIEUR
AERO3 – ING 1
Karim L. TRABELSI (IPSA) Institut Polytechnique des Sciences Avanc´ees Ivry, le 6-13.10.09 1 / 11

Int´egrale de Riemann sur R
Soit f: [a, b]⊂R→Rune fonction continue (la g´en´eralisation `a une fonction continue
par morceaux est imm´ediate), et soit une grille d’abscisses xn∈[a, b] d’extr´emit´es
x0=aet xN=b. On consid`ere les sommes de Darboux
SN=
N−1
X
n=0
f(ξn+1)(xn+1 −xn) o`u ξn+1 ∈[xn, xn+1].
Si la limite de SNexiste lorsque N→ ∞ et supn|xn+1 −xn| → 0:
lim
N→∞ lim
supn|xn+1−xn|→0SN=Zb
a
f(x) dx.
G´en´eralisation `a C
IChemin suivi Cdans le plan pour aller d’une borne A(zA) `a l’autre B(zB): chemins
orient´ees constitu´es d’arcs de courbes C1.
IOn le tran¸conne en petits arcs d´elimit´es par zn, 0 ≤n≤Navec z0=zAet zN=zB.
I
lim
N→∞ lim
supn|zn+1−zn|→0SN=ZC
f(z) dzo`u SN=
N−1
X
n=0
f(ξn+1)(zn+1 −zn).
Cette limite existe si fest born´ee et continue.
Karim L. TRABELSI (IPSA) Institut Polytechnique des Sciences Avanc´ees Ivry, le 6-13.10.09 2 / 11

Int´egrale de Riemann sur R
Soit f: [a, b]⊂R→Rune fonction continue (la g´en´eralisation `a une fonction continue
par morceaux est imm´ediate), et soit une grille d’abscisses xn∈[a, b] d’extr´emit´es
x0=aet xN=b. On consid`ere les sommes de Darboux
SN=
N−1
X
n=0
f(ξn+1)(xn+1 −xn) o`u ξn+1 ∈[xn, xn+1].
Si la limite de SNexiste lorsque N→ ∞ et supn|xn+1 −xn| → 0:
lim
N→∞ lim
supn|xn+1−xn|→0SN=Zb
a
f(x) dx.
G´en´eralisation `a C
IChemin suivi Cdans le plan pour aller d’une borne A(zA) `a l’autre B(zB): chemins
orient´ees constitu´es d’arcs de courbes C1.
IOn le tran¸conne en petits arcs d´elimit´es par zn, 0 ≤n≤Navec z0=zAet zN=zB.
I
lim
N→∞ lim
supn|zn+1−zn|→0SN=ZC
f(z) dzo`u SN=
N−1
X
n=0
f(ξn+1)(zn+1 −zn).
Cette limite existe si fest born´ee et continue.
Karim L. TRABELSI (IPSA) Institut Polytechnique des Sciences Avanc´ees Ivry, le 6-13.10.09 2 / 11

Int´egrale de Riemann sur R
Soit f: [a, b]⊂R→Rune fonction continue (la g´en´eralisation `a une fonction continue
par morceaux est imm´ediate), et soit une grille d’abscisses xn∈[a, b] d’extr´emit´es
x0=aet xN=b. On consid`ere les sommes de Darboux
SN=
N−1
X
n=0
f(ξn+1)(xn+1 −xn) o`u ξn+1 ∈[xn, xn+1].
Si la limite de SNexiste lorsque N→ ∞ et supn|xn+1 −xn| → 0:
lim
N→∞ lim
supn|xn+1−xn|→0SN=Zb
a
f(x) dx.
G´en´eralisation `a C
IChemin suivi Cdans le plan pour aller d’une borne A(zA) `a l’autre B(zB): chemins
orient´ees constitu´es d’arcs de courbes C1.
IOn le tran¸conne en petits arcs d´elimit´es par zn, 0 ≤n≤Navec z0=zAet zN=zB.
I
lim
N→∞ lim
supn|zn+1−zn|→0SN=ZC
f(z) dzo`u SN=
N−1
X
n=0
f(ξn+1)(zn+1 −zn).
Cette limite existe si fest born´ee et continue.
Karim L. TRABELSI (IPSA) Institut Polytechnique des Sciences Avanc´ees Ivry, le 6-13.10.09 2 / 11

Int´egrale de Riemann sur R
Soit f: [a, b]⊂R→Rune fonction continue (la g´en´eralisation `a une fonction continue
par morceaux est imm´ediate), et soit une grille d’abscisses xn∈[a, b] d’extr´emit´es
x0=aet xN=b. On consid`ere les sommes de Darboux
SN=
N−1
X
n=0
f(ξn+1)(xn+1 −xn) o`u ξn+1 ∈[xn, xn+1].
Si la limite de SNexiste lorsque N→ ∞ et supn|xn+1 −xn| → 0:
lim
N→∞ lim
supn|xn+1−xn|→0SN=Zb
a
f(x) dx.
G´en´eralisation `a C
IChemin suivi Cdans le plan pour aller d’une borne A(zA) `a l’autre B(zB): chemins
orient´ees constitu´es d’arcs de courbes C1.
IOn le tran¸conne en petits arcs d´elimit´es par zn, 0 ≤n≤Navec z0=zAet zN=zB.
I
lim
N→∞ lim
supn|zn+1−zn|→0SN=ZC
f(z) dzo`u SN=
N−1
X
n=0
f(ξn+1)(zn+1 −zn).
Cette limite existe si fest born´ee et continue.
Karim L. TRABELSI (IPSA) Institut Polytechnique des Sciences Avanc´ees Ivry, le 6-13.10.09 2 / 11