intégration des fonctions d`une variable complexe

INTÉGRATION DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE
Chapitre # 3
MATHÉMATIQUES DE L’INGÉNIEUR
AERO3 – ING 1
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
1 / 11
Intégrale de Riemann sur R
Soit f : [a, b] ⊂ R → R une fonction continue (la généralisation à une fonction continue
par morceaux est immédiate), et soit une grille d’abscisses xn ∈ [a, b] d’extrémités
x0 = a et xN = b. On considère les sommes de Darboux
N−1
X
SN =
f (ξn+1 )(xn+1 − xn ) où ξn+1 ∈ [xn , xn+1 ].
n=0
Si la limite de SN existe lorsque N → ∞ et supn |xn+1 − xn | → 0:
Z b
f (x) dx.
lim
lim
SN =
N→∞ supn |xn+1 −xn |→0
a
Généralisation à C
I
Chemin suivi C dans le plan pour aller d’une borne A(zA ) à l’autre B(zB ): chemins
orientées constitués d’arcs de courbes C 1 .
I
On le trançonne en petits arcs délimités par zn , 0 ≤ n ≤ N avec z0 = zA et zN = zB .
I
Z
lim
lim
N→∞ supn |zn+1 −zn |→0
f (z) dz
SN =
où
SN =
C
N−1
X
f (ξn+1 )(zn+1 − zn ).
n=0
Cette limite existe si f est bornée et continue.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
2 / 11
Intégrale de Riemann sur R
Soit f : [a, b] ⊂ R → R une fonction continue (la généralisation à une fonction continue
par morceaux est immédiate), et soit une grille d’abscisses xn ∈ [a, b] d’extrémités
x0 = a et xN = b. On considère les sommes de Darboux
N−1
X
SN =
f (ξn+1 )(xn+1 − xn ) où ξn+1 ∈ [xn , xn+1 ].
n=0
Si la limite de SN existe lorsque N → ∞ et supn |xn+1 − xn | → 0:
Z b
f (x) dx.
lim
lim
SN =
N→∞ supn |xn+1 −xn |→0
a
Généralisation à C
I
Chemin suivi C dans le plan pour aller d’une borne A(zA ) à l’autre B(zB ): chemins
orientées constitués d’arcs de courbes C 1 .
I
On le trançonne en petits arcs délimités par zn , 0 ≤ n ≤ N avec z0 = zA et zN = zB .
I
Z
lim
lim
N→∞ supn |zn+1 −zn |→0
f (z) dz
SN =
où
SN =
C
N−1
X
f (ξn+1 )(zn+1 − zn ).
n=0
Cette limite existe si f est bornée et continue.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
2 / 11
Intégrale de Riemann sur R
Soit f : [a, b] ⊂ R → R une fonction continue (la généralisation à une fonction continue
par morceaux est immédiate), et soit une grille d’abscisses xn ∈ [a, b] d’extrémités
x0 = a et xN = b. On considère les sommes de Darboux
N−1
X
SN =
f (ξn+1 )(xn+1 − xn ) où ξn+1 ∈ [xn , xn+1 ].
n=0
Si la limite de SN existe lorsque N → ∞ et supn |xn+1 − xn | → 0:
Z b
f (x) dx.
lim
lim
SN =
N→∞ supn |xn+1 −xn |→0
a
Généralisation à C
I
Chemin suivi C dans le plan pour aller d’une borne A(zA ) à l’autre B(zB ): chemins
orientées constitués d’arcs de courbes C 1 .
I
On le trançonne en petits arcs délimités par zn , 0 ≤ n ≤ N avec z0 = zA et zN = zB .
I
Z
lim
lim
N→∞ supn |zn+1 −zn |→0
f (z) dz
SN =
où
SN =
C
N−1
X
f (ξn+1 )(zn+1 − zn ).
n=0
Cette limite existe si f est bornée et continue.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
2 / 11
Intégrale de Riemann sur R
Soit f : [a, b] ⊂ R → R une fonction continue (la généralisation à une fonction continue
par morceaux est immédiate), et soit une grille d’abscisses xn ∈ [a, b] d’extrémités
x0 = a et xN = b. On considère les sommes de Darboux
N−1
X
SN =
f (ξn+1 )(xn+1 − xn ) où ξn+1 ∈ [xn , xn+1 ].
n=0
Si la limite de SN existe lorsque N → ∞ et supn |xn+1 − xn | → 0:
Z b
f (x) dx.
lim
lim
SN =
N→∞ supn |xn+1 −xn |→0
a
Généralisation à C
I
Chemin suivi C dans le plan pour aller d’une borne A(zA ) à l’autre B(zB ): chemins
orientées constitués d’arcs de courbes C 1 .
I
On le trançonne en petits arcs délimités par zn , 0 ≤ n ≤ N avec z0 = zA et zN = zB .
I
Z
lim
lim
N→∞ supn |zn+1 −zn |→0
f (z) dz
SN =
où
SN =
C
N−1
X
f (ξn+1 )(zn+1 − zn ).
n=0
Cette limite existe si f est bornée et continue.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
2 / 11
Intégrale de Riemann sur R
Soit f : [a, b] ⊂ R → R une fonction continue (la généralisation à une fonction continue
par morceaux est immédiate), et soit une grille d’abscisses xn ∈ [a, b] d’extrémités
x0 = a et xN = b. On considère les sommes de Darboux
N−1
X
SN =
f (ξn+1 )(xn+1 − xn ) où ξn+1 ∈ [xn , xn+1 ].
n=0
Si la limite de SN existe lorsque N → ∞ et supn |xn+1 − xn | → 0:
Z b
f (x) dx.
lim
lim
SN =
N→∞ supn |xn+1 −xn |→0
a
Généralisation à C
I
Chemin suivi C dans le plan pour aller d’une borne A(zA ) à l’autre B(zB ): chemins
orientées constitués d’arcs de courbes C 1 .
I
On le trançonne en petits arcs délimités par zn , 0 ≤ n ≤ N avec z0 = zA et zN = zB .
I
Z
lim
lim
N→∞ supn |zn+1 −zn |→0
f (z) dz
SN =
où
SN =
C
N−1
X
f (ξn+1 )(zn+1 − zn ).
n=0
Cette limite existe si f est bornée et continue.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
2 / 11
Une intégrale curviligne
En posant f = u + ι̇v et z = x + ι̇y (⇒ dz = dx + ι̇ dy ), on a
Z
Z
Z
Z
ˆ
˜
f (z) dz =
u(x, y ) + ι̇v (x, y ) ( dx + ι̇ dy ) = (u dx − v dy ) + ι̇ (u dy + v dx).
C
C
I
I
C
C
L’intégrale d’une fonction complexe s’exprime comme la somme de deux intégrales
réelles.
Ces intégrales sont dites curvilignes car les variables x et y peuvent être
interprétées comme les coordonnées d’un point M se déplaçant sur le courbe C.
Conséquence
nˆ
o
˜
Une représentation paramétrique de C = x(t), y (t) ∈ R2 : t ∈ [tA , tB ] permet
d’expliciter l’intégrale curviligne:
Z
Z zB n
Z tB
o
ˆ
˜
ˆ
˜
u x(t), y (t) x 0 (t) − v x(t), y (t) y 0 (t) dt ≡
γ(t) dt,
(u dx − v dy ) =
C
zA
tA
où γ(t) est une fonction de t. En résumé, l’intégrale s’écrit
Z
Z
Z
ˆ
˜
f (z) dz =
u(x, y ) + ι̇v (x, y ) ( dx + ι̇ dy ) =
C
C
tB
ˆ
˜
f z(t) z 0 (t) dt.
tA
La courbe C étant choisie, l’intégrale est définie sans ambiguı̈té et le calcul est possible
en principe.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
3 / 11
Une intégrale curviligne
En posant f = u + ι̇v et z = x + ι̇y (⇒ dz = dx + ι̇ dy ), on a
Z
Z
Z
Z
ˆ
˜
f (z) dz =
u(x, y ) + ι̇v (x, y ) ( dx + ι̇ dy ) = (u dx − v dy ) + ι̇ (u dy + v dx).
C
C
I
I
C
C
L’intégrale d’une fonction complexe s’exprime comme la somme de deux intégrales
réelles.
Ces intégrales sont dites curvilignes car les variables x et y peuvent être
interprétées comme les coordonnées d’un point M se déplaçant sur le courbe C.
Conséquence
nˆ
o
˜
Une représentation paramétrique de C = x(t), y (t) ∈ R2 : t ∈ [tA , tB ] permet
d’expliciter l’intégrale curviligne:
Z
Z zB n
Z tB
o
ˆ
˜
ˆ
˜
u x(t), y (t) x 0 (t) − v x(t), y (t) y 0 (t) dt ≡
γ(t) dt,
(u dx − v dy ) =
C
zA
tA
où γ(t) est une fonction de t. En résumé, l’intégrale s’écrit
Z
Z
Z
ˆ
˜
f (z) dz =
u(x, y ) + ι̇v (x, y ) ( dx + ι̇ dy ) =
C
C
tB
ˆ
˜
f z(t) z 0 (t) dt.
tA
La courbe C étant choisie, l’intégrale est définie sans ambiguı̈té et le calcul est possible
en principe.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
3 / 11
Une intégrale curviligne
En posant f = u + ι̇v et z = x + ι̇y (⇒ dz = dx + ι̇ dy ), on a
Z
Z
Z
Z
ˆ
˜
f (z) dz =
u(x, y ) + ι̇v (x, y ) ( dx + ι̇ dy ) = (u dx − v dy ) + ι̇ (u dy + v dx).
C
C
I
I
C
C
L’intégrale d’une fonction complexe s’exprime comme la somme de deux intégrales
réelles.
Ces intégrales sont dites curvilignes car les variables x et y peuvent être
interprétées comme les coordonnées d’un point M se déplaçant sur le courbe C.
Conséquence
nˆ
o
˜
Une représentation paramétrique de C = x(t), y (t) ∈ R2 : t ∈ [tA , tB ] permet
d’expliciter l’intégrale curviligne:
Z
Z zB n
Z tB
o
ˆ
˜
ˆ
˜
u x(t), y (t) x 0 (t) − v x(t), y (t) y 0 (t) dt ≡
γ(t) dt,
(u dx − v dy ) =
C
zA
tA
où γ(t) est une fonction de t. En résumé, l’intégrale s’écrit
Z
Z
Z
ˆ
˜
f (z) dz =
u(x, y ) + ι̇v (x, y ) ( dx + ι̇ dy ) =
C
C
tB
ˆ
˜
f z(t) z 0 (t) dt.
tA
La courbe C étant choisie, l’intégrale est définie sans ambiguı̈té et le calcul est possible
en principe.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
3 / 11
Une intégrale curviligne
En posant f = u + ι̇v et z = x + ι̇y (⇒ dz = dx + ι̇ dy ), on a
Z
Z
Z
Z
ˆ
˜
f (z) dz =
u(x, y ) + ι̇v (x, y ) ( dx + ι̇ dy ) = (u dx − v dy ) + ι̇ (u dy + v dx).
C
C
I
I
C
C
L’intégrale d’une fonction complexe s’exprime comme la somme de deux intégrales
réelles.
Ces intégrales sont dites curvilignes car les variables x et y peuvent être
interprétées comme les coordonnées d’un point M se déplaçant sur le courbe C.
Conséquence
nˆ
o
˜
Une représentation paramétrique de C = x(t), y (t) ∈ R2 : t ∈ [tA , tB ] permet
d’expliciter l’intégrale curviligne:
Z
Z zB n
Z tB
o
ˆ
˜
ˆ
˜
u x(t), y (t) x 0 (t) − v x(t), y (t) y 0 (t) dt ≡
γ(t) dt,
(u dx − v dy ) =
C
zA
tA
où γ(t) est une fonction de t. En résumé, l’intégrale s’écrit
Z
Z
Z
ˆ
˜
f (z) dz =
u(x, y ) + ι̇v (x, y ) ( dx + ι̇ dy ) =
C
C
tB
ˆ
˜
f z(t) z 0 (t) dt.
tA
La courbe C étant choisie, l’intégrale est définie sans ambiguı̈té et le calcul est possible
en principe.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
3 / 11
Une intégrale curviligne
En posant f = u + ι̇v et z = x + ι̇y (⇒ dz = dx + ι̇ dy ), on a
Z
Z
Z
Z
ˆ
˜
f (z) dz =
u(x, y ) + ι̇v (x, y ) ( dx + ι̇ dy ) = (u dx − v dy ) + ι̇ (u dy + v dx).
C
C
I
I
C
C
L’intégrale d’une fonction complexe s’exprime comme la somme de deux intégrales
réelles.
Ces intégrales sont dites curvilignes car les variables x et y peuvent être
interprétées comme les coordonnées d’un point M se déplaçant sur le courbe C.
Conséquence
nˆ
o
˜
Une représentation paramétrique de C = x(t), y (t) ∈ R2 : t ∈ [tA , tB ] permet
d’expliciter l’intégrale curviligne:
Z
Z zB n
Z tB
o
ˆ
˜
ˆ
˜
u x(t), y (t) x 0 (t) − v x(t), y (t) y 0 (t) dt ≡
γ(t) dt,
(u dx − v dy ) =
C
zA
tA
où γ(t) est une fonction de t. En résumé, l’intégrale s’écrit
Z
Z
Z
ˆ
˜
f (z) dz =
u(x, y ) + ι̇v (x, y ) ( dx + ι̇ dy ) =
C
C
tB
ˆ
˜
f z(t) z 0 (t) dt.
tA
La courbe C étant choisie, l’intégrale est définie sans ambiguı̈té et le calcul est possible
en principe.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
3 / 11
Arc de Jourdan
C’est un contour qui ne se recoupe pas lui-même (pas de boucle).
Cela assure que la fonction z(t) est biunivoque càd. t1 =
6 t2 ⇔ z(t1 ) 6= z(t2 ).
p
˛
˛
I La longueur d’un arc élémentaire:
dL = | dz| = x 0 2 + y 0 2 | dt| = ˛z 0 (t) dt ˛ .
Z
Z β
˛
˛ 0
˛z (t) dt ˛ ,
I Longueur d’un arc:
L=
| dz| =
C
où α, β ∈ R définissent les extrémités.
α
Existence de l’intégrale
Si f est bornée, alors
˛Z
˛ Z
Z
Z
˛
˛
˛ f (z) dz ˛ ≤
|f
(z)
dz|
=
|f
(z)|
|
dz|
≤
sup
|f
(z)|
| dz| = ML.
˛
˛
z∈D
C
C
C
C
Propriétés
Z
I
Linéarité de l’intégrand:
ZC
I
Additivité des chemins:
ˆ
Z
C1
Z
f dz + b
a.f (z) + b.g(z) = a
Z
Z
f dz =
f dz +
C1 ∪C2
I
˜
C
C2
f dz.
Z
Si −C est le chemin C parcouru dans le sens inverse:
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Z
f dz = −
−C
Karim L. TRABELSI (IPSA)
g dz.
C
f dz.
C
Ivry, le 6-13.10.09
4 / 11
Arc de Jourdan
C’est un contour qui ne se recoupe pas lui-même (pas de boucle).
Cela assure que la fonction z(t) est biunivoque càd. t1 =
6 t2 ⇔ z(t1 ) 6= z(t2 ).
p
˛
˛
I La longueur d’un arc élémentaire:
dL = | dz| = x 0 2 + y 0 2 | dt| = ˛z 0 (t) dt ˛ .
Z
Z β
˛
˛ 0
˛z (t) dt ˛ ,
I Longueur d’un arc:
L=
| dz| =
C
où α, β ∈ R définissent les extrémités.
α
Existence de l’intégrale
Si f est bornée, alors
˛Z
˛ Z
Z
Z
˛
˛
˛ f (z) dz ˛ ≤
|f
(z)
dz|
=
|f
(z)|
|
dz|
≤
sup
|f
(z)|
| dz| = ML.
˛
˛
z∈D
C
C
C
C
Propriétés
Z
I
Linéarité de l’intégrand:
ZC
I
Additivité des chemins:
ˆ
Z
C1
Z
f dz + b
a.f (z) + b.g(z) = a
Z
Z
f dz =
f dz +
C1 ∪C2
I
˜
C
C2
f dz.
Z
Si −C est le chemin C parcouru dans le sens inverse:
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Z
f dz = −
−C
Karim L. TRABELSI (IPSA)
g dz.
C
f dz.
C
Ivry, le 6-13.10.09
4 / 11
Arc de Jourdan
C’est un contour qui ne se recoupe pas lui-même (pas de boucle).
Cela assure que la fonction z(t) est biunivoque càd. t1 =
6 t2 ⇔ z(t1 ) 6= z(t2 ).
p
˛
˛
I La longueur d’un arc élémentaire:
dL = | dz| = x 0 2 + y 0 2 | dt| = ˛z 0 (t) dt ˛ .
Z
Z β
˛
˛ 0
˛z (t) dt ˛ ,
I Longueur d’un arc:
L=
| dz| =
C
où α, β ∈ R définissent les extrémités.
α
Existence de l’intégrale
Si f est bornée, alors
˛Z
˛ Z
Z
Z
˛
˛
˛ f (z) dz ˛ ≤
|f
(z)
dz|
=
|f
(z)|
|
dz|
≤
sup
|f
(z)|
| dz| = ML.
˛
˛
z∈D
C
C
C
C
Propriétés
Z
I
Linéarité de l’intégrand:
ZC
I
Additivité des chemins:
ˆ
Z
C1
Z
f dz + b
a.f (z) + b.g(z) = a
Z
Z
f dz =
f dz +
C1 ∪C2
I
˜
C
C2
f dz.
Z
Si −C est le chemin C parcouru dans le sens inverse:
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Z
f dz = −
−C
Karim L. TRABELSI (IPSA)
g dz.
C
f dz.
C
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4 / 11
Arc de Jourdan
C’est un contour qui ne se recoupe pas lui-même (pas de boucle).
Cela assure que la fonction z(t) est biunivoque càd. t1 =
6 t2 ⇔ z(t1 ) 6= z(t2 ).
p
˛
˛
I La longueur d’un arc élémentaire:
dL = | dz| = x 0 2 + y 0 2 | dt| = ˛z 0 (t) dt ˛ .
Z
Z β
˛
˛ 0
˛z (t) dt ˛ ,
I Longueur d’un arc:
L=
| dz| =
C
où α, β ∈ R définissent les extrémités.
α
Existence de l’intégrale
Si f est bornée, alors
˛Z
˛ Z
Z
Z
˛
˛
˛ f (z) dz ˛ ≤
|f
(z)
dz|
=
|f
(z)|
|
dz|
≤
sup
|f
(z)|
| dz| = ML.
˛
˛
z∈D
C
C
C
C
Propriétés
Z
I
Linéarité de l’intégrand:
ZC
I
Additivité des chemins:
ˆ
Z
C1
Z
f dz + b
a.f (z) + b.g(z) = a
Z
Z
f dz =
f dz +
C1 ∪C2
I
˜
C
C2
f dz.
Z
Si −C est le chemin C parcouru dans le sens inverse:
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Z
f dz = −
−C
Karim L. TRABELSI (IPSA)
g dz.
C
f dz.
C
Ivry, le 6-13.10.09
4 / 11
Arc de Jourdan
C’est un contour qui ne se recoupe pas lui-même (pas de boucle).
Cela assure que la fonction z(t) est biunivoque càd. t1 =
6 t2 ⇔ z(t1 ) 6= z(t2 ).
p
˛
˛
I La longueur d’un arc élémentaire:
dL = | dz| = x 0 2 + y 0 2 | dt| = ˛z 0 (t) dt ˛ .
Z
Z β
˛
˛ 0
˛z (t) dt ˛ ,
I Longueur d’un arc:
L=
| dz| =
C
où α, β ∈ R définissent les extrémités.
α
Existence de l’intégrale
Si f est bornée, alors
˛Z
˛ Z
Z
Z
˛
˛
˛ f (z) dz ˛ ≤
|f
(z)
dz|
=
|f
(z)|
|
dz|
≤
sup
|f
(z)|
| dz| = ML.
˛
˛
z∈D
C
C
C
C
Propriétés
Z
I
Linéarité de l’intégrand:
ZC
I
Additivité des chemins:
ˆ
Z
C1
Z
f dz + b
a.f (z) + b.g(z) = a
Z
Z
f dz =
f dz +
C1 ∪C2
I
˜
C
C2
f dz.
Z
Si −C est le chemin C parcouru dans le sens inverse:
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Z
f dz = −
−C
Karim L. TRABELSI (IPSA)
g dz.
C
f dz.
C
Ivry, le 6-13.10.09
4 / 11
Arc de Jourdan
C’est un contour qui ne se recoupe pas lui-même (pas de boucle).
Cela assure que la fonction z(t) est biunivoque càd. t1 =
6 t2 ⇔ z(t1 ) 6= z(t2 ).
p
˛
˛
I La longueur d’un arc élémentaire:
dL = | dz| = x 0 2 + y 0 2 | dt| = ˛z 0 (t) dt ˛ .
Z
Z β
˛
˛ 0
˛z (t) dt ˛ ,
I Longueur d’un arc:
L=
| dz| =
C
où α, β ∈ R définissent les extrémités.
α
Existence de l’intégrale
Si f est bornée, alors
˛Z
˛ Z
Z
Z
˛
˛
˛ f (z) dz ˛ ≤
|f
(z)
dz|
=
|f
(z)|
|
dz|
≤
sup
|f
(z)|
| dz| = ML.
˛
˛
z∈D
C
C
C
C
Propriétés
Z
I
Linéarité de l’intégrand:
ZC
I
Additivité des chemins:
ˆ
Z
C1
Z
f dz + b
a.f (z) + b.g(z) = a
Z
Z
f dz =
f dz +
C1 ∪C2
I
˜
C
C2
f dz.
Z
Si −C est le chemin C parcouru dans le sens inverse:
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Z
f dz = −
−C
Karim L. TRABELSI (IPSA)
g dz.
C
f dz.
C
Ivry, le 6-13.10.09
4 / 11
Arc de Jourdan
C’est un contour qui ne se recoupe pas lui-même (pas de boucle).
Cela assure que la fonction z(t) est biunivoque càd. t1 =
6 t2 ⇔ z(t1 ) 6= z(t2 ).
p
˛
˛
I La longueur d’un arc élémentaire:
dL = | dz| = x 0 2 + y 0 2 | dt| = ˛z 0 (t) dt ˛ .
Z
Z β
˛
˛ 0
˛z (t) dt ˛ ,
I Longueur d’un arc:
L=
| dz| =
C
où α, β ∈ R définissent les extrémités.
α
Existence de l’intégrale
Si f est bornée, alors
˛Z
˛ Z
Z
Z
˛
˛
˛ f (z) dz ˛ ≤
|f
(z)
dz|
=
|f
(z)|
|
dz|
≤
sup
|f
(z)|
| dz| = ML.
˛
˛
z∈D
C
C
C
C
Propriétés
Z
I
Linéarité de l’intégrand:
ZC
I
Additivité des chemins:
ˆ
Z
C1
Z
f dz + b
a.f (z) + b.g(z) = a
Z
Z
f dz =
f dz +
C1 ∪C2
I
˜
C
C2
f dz.
Z
Si −C est le chemin C parcouru dans le sens inverse:
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Z
f dz = −
−C
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g dz.
C
f dz.
C
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4 / 11
Un peu de topologie
Domaine
En langage élémentaire, un domaine est un ensemble de points tels que:
I
autour de tout point, on peut tracer un cercle contenu dans le domaine;
I
deux points du domaine peuvent être reliés par un chemin qui n’en sort pas.
Connexité
C’est la propriété exprimant la possibilité de rejoindre deux points quelconques d’un
domaine en suivant un chemin n’en sortant pas càd. que ”l’ensemble est fait d’un seul
morceau”.
Il existe deux sortes de connexité:
I
simplement connexe: toute courbe fermée peut être contractée en un point en
restant dans le domaine (on dit que: toute boucle est homotope à zéro);
I
multiplement connexe: soient deux domaines D1 et D2 simplement connexes tels
que D1 ⊂ D2 . Le domaine CD2 D1 est tel que certains chemins ne se contractent
pas en un point sans passer par D1 .
Géométriquement un domaine simplement connexe est un domaine qui ne contient pas
de trous.
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5 / 11
Un peu de topologie
Domaine
En langage élémentaire, un domaine est un ensemble de points tels que:
I
autour de tout point, on peut tracer un cercle contenu dans le domaine;
I
deux points du domaine peuvent être reliés par un chemin qui n’en sort pas.
Connexité
C’est la propriété exprimant la possibilité de rejoindre deux points quelconques d’un
domaine en suivant un chemin n’en sortant pas càd. que ”l’ensemble est fait d’un seul
morceau”.
Il existe deux sortes de connexité:
I
simplement connexe: toute courbe fermée peut être contractée en un point en
restant dans le domaine (on dit que: toute boucle est homotope à zéro);
I
multiplement connexe: soient deux domaines D1 et D2 simplement connexes tels
que D1 ⊂ D2 . Le domaine CD2 D1 est tel que certains chemins ne se contractent
pas en un point sans passer par D1 .
Géométriquement un domaine simplement connexe est un domaine qui ne contient pas
de trous.
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Un peu de topologie
Domaine
En langage élémentaire, un domaine est un ensemble de points tels que:
I
autour de tout point, on peut tracer un cercle contenu dans le domaine;
I
deux points du domaine peuvent être reliés par un chemin qui n’en sort pas.
Connexité
C’est la propriété exprimant la possibilité de rejoindre deux points quelconques d’un
domaine en suivant un chemin n’en sortant pas càd. que ”l’ensemble est fait d’un seul
morceau”.
Il existe deux sortes de connexité:
I
simplement connexe: toute courbe fermée peut être contractée en un point en
restant dans le domaine (on dit que: toute boucle est homotope à zéro);
I
multiplement connexe: soient deux domaines D1 et D2 simplement connexes tels
que D1 ⊂ D2 . Le domaine CD2 D1 est tel que certains chemins ne se contractent
pas en un point sans passer par D1 .
Géométriquement un domaine simplement connexe est un domaine qui ne contient pas
de trous.
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Un peu de topologie
Domaine
En langage élémentaire, un domaine est un ensemble de points tels que:
I
autour de tout point, on peut tracer un cercle contenu dans le domaine;
I
deux points du domaine peuvent être reliés par un chemin qui n’en sort pas.
Connexité
C’est la propriété exprimant la possibilité de rejoindre deux points quelconques d’un
domaine en suivant un chemin n’en sortant pas càd. que ”l’ensemble est fait d’un seul
morceau”.
Il existe deux sortes de connexité:
I
simplement connexe: toute courbe fermée peut être contractée en un point en
restant dans le domaine (on dit que: toute boucle est homotope à zéro);
I
multiplement connexe: soient deux domaines D1 et D2 simplement connexes tels
que D1 ⊂ D2 . Le domaine CD2 D1 est tel que certains chemins ne se contractent
pas en un point sans passer par D1 .
Géométriquement un domaine simplement connexe est un domaine qui ne contient pas
de trous.
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Un peu de topologie
Domaine
En langage élémentaire, un domaine est un ensemble de points tels que:
I
autour de tout point, on peut tracer un cercle contenu dans le domaine;
I
deux points du domaine peuvent être reliés par un chemin qui n’en sort pas.
Connexité
C’est la propriété exprimant la possibilité de rejoindre deux points quelconques d’un
domaine en suivant un chemin n’en sortant pas càd. que ”l’ensemble est fait d’un seul
morceau”.
Il existe deux sortes de connexité:
I
simplement connexe: toute courbe fermée peut être contractée en un point en
restant dans le domaine (on dit que: toute boucle est homotope à zéro);
I
multiplement connexe: soient deux domaines D1 et D2 simplement connexes tels
que D1 ⊂ D2 . Le domaine CD2 D1 est tel que certains chemins ne se contractent
pas en un point sans passer par D1 .
Géométriquement un domaine simplement connexe est un domaine qui ne contient pas
de trous.
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Un peu de topologie
Domaine
En langage élémentaire, un domaine est un ensemble de points tels que:
I
autour de tout point, on peut tracer un cercle contenu dans le domaine;
I
deux points du domaine peuvent être reliés par un chemin qui n’en sort pas.
Connexité
C’est la propriété exprimant la possibilité de rejoindre deux points quelconques d’un
domaine en suivant un chemin n’en sortant pas càd. que ”l’ensemble est fait d’un seul
morceau”.
Il existe deux sortes de connexité:
I
simplement connexe: toute courbe fermée peut être contractée en un point en
restant dans le domaine (on dit que: toute boucle est homotope à zéro);
I
multiplement connexe: soient deux domaines D1 et D2 simplement connexes tels
que D1 ⊂ D2 . Le domaine CD2 D1 est tel que certains chemins ne se contractent
pas en un point sans passer par D1 .
Géométriquement un domaine simplement connexe est un domaine qui ne contient pas
de trous.
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Théorème de Cauchy
R
La valeur C f dz dépend a priori du chemin reliant les deux extrémités A et B. La
question qui se pose est:
Existe-t-il une classe de fonctions pour lesquels la valeur de cette intégrale ne dépend
que des valeurs de A et B?
Théorème (Cauchy 1825)
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine simplement connexe D, l’intégrale
prend la même valeur pour tous les chemins C, inclus dans D, ayant les mêmes
extrémités.
R
C
f dz
Remarque
zB
Z
Il en résulte que l’on peut noter ce type d’intégrale par
f (z) dz.
zA
Exemple
f (z) = z 2 .
Corollaire
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine
simplement connexe D, alors pour tout
Z
cycle C (courbe fermée) situé dans D:
f (z) dz = 0.
C
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Théorème de Cauchy
R
La valeur C f dz dépend a priori du chemin reliant les deux extrémités A et B. La
question qui se pose est:
Existe-t-il une classe de fonctions pour lesquels la valeur de cette intégrale ne dépend
que des valeurs de A et B?
Théorème (Cauchy 1825)
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine simplement connexe D, l’intégrale
prend la même valeur pour tous les chemins C, inclus dans D, ayant les mêmes
extrémités.
R
C
f dz
Remarque
zB
Z
Il en résulte que l’on peut noter ce type d’intégrale par
f (z) dz.
zA
Exemple
f (z) = z 2 .
Corollaire
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine
simplement connexe D, alors pour tout
Z
cycle C (courbe fermée) situé dans D:
f (z) dz = 0.
C
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Théorème de Cauchy
R
La valeur C f dz dépend a priori du chemin reliant les deux extrémités A et B. La
question qui se pose est:
Existe-t-il une classe de fonctions pour lesquels la valeur de cette intégrale ne dépend
que des valeurs de A et B?
Théorème (Cauchy 1825)
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine simplement connexe D, l’intégrale
prend la même valeur pour tous les chemins C, inclus dans D, ayant les mêmes
extrémités.
R
C
f dz
Remarque
zB
Z
Il en résulte que l’on peut noter ce type d’intégrale par
f (z) dz.
zA
Exemple
f (z) = z 2 .
Corollaire
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine
simplement connexe D, alors pour tout
Z
cycle C (courbe fermée) situé dans D:
f (z) dz = 0.
C
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Théorème de Cauchy
R
La valeur C f dz dépend a priori du chemin reliant les deux extrémités A et B. La
question qui se pose est:
Existe-t-il une classe de fonctions pour lesquels la valeur de cette intégrale ne dépend
que des valeurs de A et B?
Théorème (Cauchy 1825)
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine simplement connexe D, l’intégrale
prend la même valeur pour tous les chemins C, inclus dans D, ayant les mêmes
extrémités.
R
C
f dz
Remarque
zB
Z
Il en résulte que l’on peut noter ce type d’intégrale par
f (z) dz.
zA
Exemple
f (z) = z 2 .
Corollaire
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine
simplement connexe D, alors pour tout
Z
cycle C (courbe fermée) situé dans D:
f (z) dz = 0.
C
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Théorème de Cauchy
R
La valeur C f dz dépend a priori du chemin reliant les deux extrémités A et B. La
question qui se pose est:
Existe-t-il une classe de fonctions pour lesquels la valeur de cette intégrale ne dépend
que des valeurs de A et B?
Théorème (Cauchy 1825)
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine simplement connexe D, l’intégrale
prend la même valeur pour tous les chemins C, inclus dans D, ayant les mêmes
extrémités.
R
C
f dz
Remarque
zB
Z
Il en résulte que l’on peut noter ce type d’intégrale par
f (z) dz.
zA
Exemple
f (z) = z 2 .
Corollaire
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine
simplement connexe D, alors pour tout
Z
cycle C (courbe fermée) situé dans D:
f (z) dz = 0.
C
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Primitive
Une autre conséquence du théorème de Cauchy
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine simplement connexe D, alors l’intégrale
Z z
f (s) ds = F (z)
z0
considérée comme fonction de sa borne supérieure est une fonction holomorphe dans D,
Z z
et de plus
d
F 0 (z) =
f (s) ds = f (z).
dz z0
Propriétés
I
Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
I
Si F est la primitive d’une fonction holomorphe z 7→ f (z), alors
Z z
f (s) ds = F (z) − F (z0 ).
z0
Théorème de Morera (réciproque du Théorème de Cauchy)
Z
Si z 7→ f (z) est continue dans un domaine simplement connexe D et si
f dz = 0
pour tout cycle C situé dans D, alors f est holomorphe dans ce domaine.
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C
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Primitive
Une autre conséquence du théorème de Cauchy
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine simplement connexe D, alors l’intégrale
Z z
f (s) ds = F (z)
z0
considérée comme fonction de sa borne supérieure est une fonction holomorphe dans D,
Z z
et de plus
d
F 0 (z) =
f (s) ds = f (z).
dz z0
Propriétés
I
Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
I
Si F est la primitive d’une fonction holomorphe z 7→ f (z), alors
Z z
f (s) ds = F (z) − F (z0 ).
z0
Théorème de Morera (réciproque du Théorème de Cauchy)
Z
Si z 7→ f (z) est continue dans un domaine simplement connexe D et si
f dz = 0
pour tout cycle C situé dans D, alors f est holomorphe dans ce domaine.
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C
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Primitive
Une autre conséquence du théorème de Cauchy
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine simplement connexe D, alors l’intégrale
Z z
f (s) ds = F (z)
z0
considérée comme fonction de sa borne supérieure est une fonction holomorphe dans D,
Z z
et de plus
d
F 0 (z) =
f (s) ds = f (z).
dz z0
Propriétés
I
Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
I
Si F est la primitive d’une fonction holomorphe z 7→ f (z), alors
Z z
f (s) ds = F (z) − F (z0 ).
z0
Théorème de Morera (réciproque du Théorème de Cauchy)
Z
Si z 7→ f (z) est continue dans un domaine simplement connexe D et si
f dz = 0
pour tout cycle C situé dans D, alors f est holomorphe dans ce domaine.
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Primitive
Une autre conséquence du théorème de Cauchy
Si z 7→ f (z) est holomorphe dans un domaine simplement connexe D, alors l’intégrale
Z z
f (s) ds = F (z)
z0
considérée comme fonction de sa borne supérieure est une fonction holomorphe dans D,
Z z
et de plus
d
F 0 (z) =
f (s) ds = f (z).
dz z0
Propriétés
I
Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
I
Si F est la primitive d’une fonction holomorphe z 7→ f (z), alors
Z z
f (s) ds = F (z) − F (z0 ).
z0
Théorème de Morera (réciproque du Théorème de Cauchy)
Z
Si z 7→ f (z) est continue dans un domaine simplement connexe D et si
f dz = 0
pour tout cycle C situé dans D, alors f est holomorphe dans ce domaine.
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C
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Généralisation au cas multiplement connexe
Exemple
Z
Γz0
1
dz = 2ι̇π,
z − z0
où Γz0 est n’importe quel contour fermé entourant une fois, et une seule, z0 et décrit
dans le sens trigonométrique.
A retenir
Le domaine d’holomorphie D étant précisé et les extrémités du chemin étant
fixes (et situées dans D), ce dernier peut être déformé continûment ad libitum à
condition de rester tout entier dans D sans que la valeur de l’intégrale le long de
ce chemin ne change.
Autrement dit, toutes les déformations d’un élastique, accroché aux deux
extrémités du chemin, le laissant en contact avec le plan (les frontières du
domaine étant des ”murs infranchissables”), laissent invariante la valeur de
l’intégrale.
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Généralisation au cas multiplement connexe
Exemple
Z
Γz0
1
dz = 2ι̇π,
z − z0
où Γz0 est n’importe quel contour fermé entourant une fois, et une seule, z0 et décrit
dans le sens trigonométrique.
A retenir
Le domaine d’holomorphie D étant précisé et les extrémités du chemin étant
fixes (et situées dans D), ce dernier peut être déformé continûment ad libitum à
condition de rester tout entier dans D sans que la valeur de l’intégrale le long de
ce chemin ne change.
Autrement dit, toutes les déformations d’un élastique, accroché aux deux
extrémités du chemin, le laissant en contact avec le plan (les frontières du
domaine étant des ”murs infranchissables”), laissent invariante la valeur de
l’intégrale.
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Formule de Cauchy
Proposition
Soit f une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe D. Alors
Z
1
f (ξ)
∀z ∈ D, f (z) =
dξ,
2ι̇π C ξ − z
où C est un chemin contenu dans D, et tournant une fois autour de z dans le sens
trigonométrique.
Remarque
Ce résultat montre que les valeurs de la fonction f dans son domaine d’holomorphie ne
dépendent que de ses valeurs sur le contour C, qui peut par ailleurs être ∂D lorsque f y
est continue.
Corollaire - La formule de la moyenne
∀θ0 ∈ R,
f (z) =
1
2π
Z
θ0 +2π
f (z + r eι̇θ ) dθ.
θ0
Application - Principe du maximum
Toute fonction ayant un maximum local à l’intérieur de son domaine de holomorphie est
constante dans tout le domaine.
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Formule de Cauchy
Proposition
Soit f une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe D. Alors
Z
1
f (ξ)
∀z ∈ D, f (z) =
dξ,
2ι̇π C ξ − z
où C est un chemin contenu dans D, et tournant une fois autour de z dans le sens
trigonométrique.
Remarque
Ce résultat montre que les valeurs de la fonction f dans son domaine d’holomorphie ne
dépendent que de ses valeurs sur le contour C, qui peut par ailleurs être ∂D lorsque f y
est continue.
Corollaire - La formule de la moyenne
∀θ0 ∈ R,
f (z) =
1
2π
Z
θ0 +2π
f (z + r eι̇θ ) dθ.
θ0
Application - Principe du maximum
Toute fonction ayant un maximum local à l’intérieur de son domaine de holomorphie est
constante dans tout le domaine.
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Formule de Cauchy
Proposition
Soit f une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe D. Alors
Z
1
f (ξ)
∀z ∈ D, f (z) =
dξ,
2ι̇π C ξ − z
où C est un chemin contenu dans D, et tournant une fois autour de z dans le sens
trigonométrique.
Remarque
Ce résultat montre que les valeurs de la fonction f dans son domaine d’holomorphie ne
dépendent que de ses valeurs sur le contour C, qui peut par ailleurs être ∂D lorsque f y
est continue.
Corollaire - La formule de la moyenne
∀θ0 ∈ R,
f (z) =
1
2π
Z
θ0 +2π
f (z + r eι̇θ ) dθ.
θ0
Application - Principe du maximum
Toute fonction ayant un maximum local à l’intérieur de son domaine de holomorphie est
constante dans tout le domaine.
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Formule de Cauchy
Proposition
Soit f une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe D. Alors
Z
1
f (ξ)
∀z ∈ D, f (z) =
dξ,
2ι̇π C ξ − z
où C est un chemin contenu dans D, et tournant une fois autour de z dans le sens
trigonométrique.
Remarque
Ce résultat montre que les valeurs de la fonction f dans son domaine d’holomorphie ne
dépendent que de ses valeurs sur le contour C, qui peut par ailleurs être ∂D lorsque f y
est continue.
Corollaire - La formule de la moyenne
∀θ0 ∈ R,
f (z) =
1
2π
Z
θ0 +2π
f (z + r eι̇θ ) dθ.
θ0
Application - Principe du maximum
Toute fonction ayant un maximum local à l’intérieur de son domaine de holomorphie est
constante dans tout le domaine.
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Dérivées d’ordre supérieur
Proposition
Soit f une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe D et continue
sur D̄, elle possède en chaque point de D des dérivées de tous les ordres; la dérivée
d’ordre n est donnée par la formule:
Z
n!
f (ξ)
dξ.
f (n) (z) =
2ι̇π ∂D (ξ − z)n+1
Remarque
Ce résultat reste valable pour tout contour fermé C entourant z une fois dans le sens
positif. La formulation ci-dessus montre le résultat pour le domaine le plus vaste
possible.
Corollaire - Inégalités de Cauchy
˛ (n) ˛
˛f (z)˛ ≤ n! ML ,
2π d n+1
où M = max |f (z)|, d = min |ξ − z|, et L = |∂D|.
z∈D
ξ∈∂D
Corollaire - Théorème de Cauchy-Liouville
Si f est holomorphe et bornée dans le plan entier, alors elle est constante.
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Dérivées d’ordre supérieur
Proposition
Soit f une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe D et continue
sur D̄, elle possède en chaque point de D des dérivées de tous les ordres; la dérivée
d’ordre n est donnée par la formule:
Z
n!
f (ξ)
dξ.
f (n) (z) =
2ι̇π ∂D (ξ − z)n+1
Remarque
Ce résultat reste valable pour tout contour fermé C entourant z une fois dans le sens
positif. La formulation ci-dessus montre le résultat pour le domaine le plus vaste
possible.
Corollaire - Inégalités de Cauchy
˛ (n) ˛
˛f (z)˛ ≤ n! ML ,
2π d n+1
où M = max |f (z)|, d = min |ξ − z|, et L = |∂D|.
z∈D
ξ∈∂D
Corollaire - Théorème de Cauchy-Liouville
Si f est holomorphe et bornée dans le plan entier, alors elle est constante.
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Dérivées d’ordre supérieur
Proposition
Soit f une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe D et continue
sur D̄, elle possède en chaque point de D des dérivées de tous les ordres; la dérivée
d’ordre n est donnée par la formule:
Z
n!
f (ξ)
dξ.
f (n) (z) =
2ι̇π ∂D (ξ − z)n+1
Remarque
Ce résultat reste valable pour tout contour fermé C entourant z une fois dans le sens
positif. La formulation ci-dessus montre le résultat pour le domaine le plus vaste
possible.
Corollaire - Inégalités de Cauchy
˛ (n) ˛
˛f (z)˛ ≤ n! ML ,
2π d n+1
où M = max |f (z)|, d = min |ξ − z|, et L = |∂D|.
z∈D
ξ∈∂D
Corollaire - Théorème de Cauchy-Liouville
Si f est holomorphe et bornée dans le plan entier, alors elle est constante.
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Dérivées d’ordre supérieur
Proposition
Soit f une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe D et continue
sur D̄, elle possède en chaque point de D des dérivées de tous les ordres; la dérivée
d’ordre n est donnée par la formule:
Z
n!
f (ξ)
dξ.
f (n) (z) =
2ι̇π ∂D (ξ − z)n+1
Remarque
Ce résultat reste valable pour tout contour fermé C entourant z une fois dans le sens
positif. La formulation ci-dessus montre le résultat pour le domaine le plus vaste
possible.
Corollaire - Inégalités de Cauchy
˛ (n) ˛
˛f (z)˛ ≤ n! ML ,
2π d n+1
où M = max |f (z)|, d = min |ξ − z|, et L = |∂D|.
z∈D
ξ∈∂D
Corollaire - Théorème de Cauchy-Liouville
Si f est holomorphe et bornée dans le plan entier, alors elle est constante.
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Illustrations
Il s’agit d’illustrer les résultats de ce chapitre à propos de la fonction
fn : C → C, z 7→ z n ,
n ∈ Z.
Motivation
La représentation d’une fonction quelconque par une série de de puissances entières
(positives ou négatives); c’est l’objet du prochain chapitre.
Visiblement, selon que n soit positif ou négatif, fn est bornée ou ne l’est pas. Nous
allons donc distinguer 4 cas:
1
n ∈ N;
2
n = −1;
3
n ∈ Z\N ∪ {−1}.
4
Remarque sur le cas fα , α ∈ R\Z.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
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Illustrations
Il s’agit d’illustrer les résultats de ce chapitre à propos de la fonction
fn : C → C, z 7→ z n ,
n ∈ Z.
Motivation
La représentation d’une fonction quelconque par une série de de puissances entières
(positives ou négatives); c’est l’objet du prochain chapitre.
Visiblement, selon que n soit positif ou négatif, fn est bornée ou ne l’est pas. Nous
allons donc distinguer 4 cas:
1
n ∈ N;
2
n = −1;
3
n ∈ Z\N ∪ {−1}.
4
Remarque sur le cas fα , α ∈ R\Z.
Karim L. TRABELSI (IPSA)
Institut Polytechnique des Sciences Avancées
Ivry, le 6-13.10.09
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