Ch.2 - Rorthais

Tle ES - programme 2012 –mathématiques – ch.1 – cahier élève Page 1 sur 20
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr
Ch.2 : Continuité sur un intervalle
Rappels 1 : Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur I, et a un élément de I.
Supposons que pour les valeurs de h de plus en plus proches de zéro, avec h  0, les nombres f (a + h) – f (a)
h
deviennent de plus en plus proches d'un nombre fixé l.
Nous dirons alors que f est dérivable en a et que f est le nombre dérivé de f en a. Ce nombre dérivé est noté f ' (a).
f ' (a) = lim
h  0 f (a + h) – f (a)
h .
Questions-tests n°1 page 51
On pose f (x) = x2.
Vérifiez que le taux d'accroissement de f entre a et a + h est égal à 2a + h. Déduisez-en que le nombre dérivé de f en a
est égal à 2a.
Construisez la courbe représentant la fonction f, puis la tangente à cette courbe au point d'abscisse 1.
f (a + h) – f (a)
h = (a + h)2 – a2 h = 2ah + h2 h = 2a + h.
Lorsque h devient de plus en plus proche de 0, 2a + h devient de plus en plus proche de 2a. Donc le nombre dérivé de f
en a est égal à 2a. En particulier, f ' (1) = 2. D'où le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est égal à 2.
Rappels 2 : Dérivées des fonctions usuelles
Fonction
x  k
(k constante réelle)
x  xn
(n  ZZ – {0})
x  1
x
(x  0)
x  x
(x > 0)
Dérivée
x  0
x  nxn – 1
x  –1
x2
x  1
2x
Questions-tests n°2 page 51
Calculez f ' (x) dans chacun des cas suivants :
a) f (x) = x ;
b) f (x) = x2 ;
c) f (x) = x–3.
a) f ' (x) = 1.
b) f ' (x) = 2x.
c) f ' (x) = –3x–4 = –3
x4.
Rappels 3 : Dérivée et sens de variation
f est une fonction dérivable sur [a ; b].
Si f ' est strictement positive (respectivement strictement négative) sur l'intervalle ]a ; b[, alors f est strictement
croissante (respectivement strictement décroissante) sur l'intervalle [a ; b].
Exemple : on pose, pour tout réel x, f (x) = x2.
Alors f ' (x) = 2x, donc f ' (x) > 0 si x > 0 et f ' (x) < 0 si x < 0.
Donc la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +[ et strictement décroissante sur ]– ; 0].
Questions-tests n°3 page 51
Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée :
a) f : x  x3+ 1.
b) f : x  x2 + x.
a) f est définie sur IR .
Pour tout x IR, f ' (x) = 3x2.
x
–
0
+

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f ' (x)
+
0
+
f (x)
b) f est définie sur IR .
Pour tout x IR, f ' (x) = 3x2 + 1.
x
–
+
f ' (x)
+
f (x)
Questions-tests n°4 page 51
Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée :
a) f : x  x2 + 2x.
b) f : x  –x2 + x.
a) f est définie sur IR .
Pour tout x IR, f ' (x)= 2x + 2 = 2(x + 1).
x
–
–1
+
f ' (x)
–
0
+
f (x)
–1
b) f est définie sur IR .
Pour tout x IR, f ' (x) = –2x + 1.
x
–
1
2
+
f ' (x)
–
0
+
f (x)
1
4
Questions-tests n°5 page 51
Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée :
a) f : x  x3 – 3x.
b) f : x  x3 + 3x.
a) f est définie sur IR .
Pour tout x IR, f ' (x) = 3x2 – 3 = 3(x – 1)(x + 1).
x
–
–1
1
+
3
+
+
+
x – 1
–
–
0
+
x + 1
–
0
+
+
f ' (x)
+
0
–
0
+
f (x)
2
–2
b) f est définie sur IR .
f ' (x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1).
x
–
+
f ' (x)
+
f (x)
Questions-tests n°6 page 51
Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée :
a) f : x  –2
x .
b) f : x  1
2x .
a) f est définie sur IR – {0} = IR*.
Pour tout x IR*, f (x) = –2  1
x , d’où f ' (x) = –2  –1
x2 = 2 x2 .

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x
–
0
+
f ' (x)
+
+
f (x)
b) f est définie sur IR – {0} = IR*.
Pour tout x IR*, f (x) = 1
2  1 x , d’où f ' (x) = 1 2  –1
x2 = –1 2x2 .
x
–
0
+
f ' (x)
–
–
f (x)
Questions-tests n°7 page 51
Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée :
a) f : x  x + 1
x – 1 .
b) f : x  x – 1
x + 1 .
a) f est définie sur IR – {1} .
Pour tout x de IR – {1}, f = u
v avec 
 u(x) = x + 1
v(x) = x – 1 .
D’où, pour tout x de IR – {1}, f ' = u' v – v' u
v2 avec 
 u' (x) = 1
v' (x) = 1 .
Soit, pour tout x de IR – {1} : f ' (x) = 1(x – 1) – 1(x + 1)
(x – 1)2 = –2 (x – 1)2 .
x
–
1
+
f ' (x)
–
–
f (x)
b) f est définie sur IR – {–1}
Cette fonction est l'inverse de la précédente, d'où son tableau de variation :
x
–
1
+
f (x)
Questions-tests n°8 page 51
Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée :
a) f : x  x – 1
x2 + 1 .
b) f : x  x2 + 1
x – 1 .
a) f est définie sur IR .
Pour tout x de IR, f = u
v avec 
 u(x) = x – 1
v(x) = x2 + 1 .
D’où, pour tout x de IR, f ' = u' v – v' u
v2 avec 
 u' (x) = 1
v' (x) = 2x .
Soit, pour tout x de IR : f ' (x) = 1(x2 + 1) – 2x(x – 1)
(x + 1)2 =–x2 + 2x + 1 (x2 + 1)2 .
Pour –x2 + 2x + 1, on a :  = 22 – 4(–1)  1 = 8 ;
ce polynôme a deux racines : –2 – 8
2(–1) = –2 – 2 2 –2 = 1 + 2 et 1 – 2.
x
–
1 – 2
1 + 2
+
f ' (x)
–
0
+
0
–
f (x)
1 + 2
2
1 – 2
2

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f ( )1 – 2 = 1 – 2 – 1
( )1 – 2 2 + 1 = –2
1 – 2 2 + 2 + 1 = –2 4 – 2 2 = –2( )4 + 2 2
( )4 – 2 2 ( )4 + 2 2 = –4 2 – 4
16 – 8 = –4 – 4 2 8 = –1 – 2 2 .
f ( )1 + 2 = 1 + 2 – 1
( )1 + 2 2 + 1 = 2
1 + 2 2 + 2 + 1 = 2 4 + 2 2 = 2( )4 – 2 2
( )4 + 2 2 ( )4 – 2 2 = 4 2 – 4
16 – 8 = 4 – 4 2 8 = 1 – 2 2 .
b) f est définie sur IR – {1} .
Cette fonction est l'inverse de la précédente, d'où son tableau de variation :
x
–
1 – 2
1
1 + 2
+
f (x)
2 – 2 2
2 + 2 2
f ( )1 – 2 = 4 – 2 2
–2 = –2 2 + 2 = 2 – 2 2 ; et f ( )1 + 2 = 4 + 2 2 2 = 2 2 + 2 = 2 + 2 2.
Questions-tests n°9 page 51
Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée :
a) f : x  x + 2x
b) f : x  –x
2 – x3.
a) f est définie sur [0 , + [.
Pour tout x de ]0 ; + [, f ' (x) = 1
2x + 2.
x
0
+
f ' (x)
+
f (x)
0
b) f est définie sur [0 , + [.
Pour tout x de ]0 ; + [, f ' (x) = –1
2 x – x3, et donc f ' (x) = –1 2  1
2x – 3x2 = –1 4x – 3x2.
x
0
+
f ' (x)
–
f (x)
0
Activité page 52 SANS LEVER LE CRAYON ?
Considérons les trois fonctions f, g et h définies sur [0 ; 2] par :
f (x) = x2 g(x) = 
 x
2 si x
[0 , 1[
1 si x [1 , 2] h(x) = 
 x si x [0 , 1]
2 – x si x [0 , 1] .
A. Propriété des courbes représentatives
1) Précisez laquelle de ces courbes C1 , C2 , C3 représente la fonction f, la fonction g, la fonction h.
2) On constate que deux de ces courbes peuvent être tracées « sans lever le crayon » et qu'il n'en est pas de même
pour la troisième.
Précisez de quelles courbes et de quelles fonctions il s'agit.
Les courbes représentatives de certaines fonctions peuvent être tracées sans lever le crayon. Il n'en est pas de même
pour toutes les fonctions.
A. Propriété des courbes représentatives

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1) f (2) = 4 ; g(2) = 1 et h(2) = 0.
Donc C1 est la courbe représentant la fonction f, C2 celle représentant g et C3 celle représentant h.
2) C1 et C3 peuvent être tracées « sans lever le crayon », courbes de f et h.
B. Vers la propriété des valeurs intermédiaires
Rappel
f étant une fonction, « a est un antécédent de b » signifie que l'image de a par f est égale à b, c'est-à-dire f (a) = b.
1) Vérifiez graphiquement que :
a) pour la fonction f, tout nombre de l'intervalle [0 ; 4] admet un antécédent unique.
b) pour la fonction h, tout nombre de l'intervalle [0 ; 1[ admet deux antécédents.
2) Pour la fonction g, expliquez pourquoi le nombre 3
4 n'admet aucun antécédent.
Pour certaines fonctions f définies sur [a ; b], il existe des nombres de l'intervalle ]f (a) ; f (b)[ n'admettant aucun
antécédent.
B. Vers la propriété des valeurs intermédiaires
1)
a) Toute parallèle à (Ox) d’équation y = k avec k ∈ [0 ; 4] coupe Cf en un point et un seul. Donc tout nombre
k de [0 ; 4] admet, par f, un antécédent unique.
b) Toute parallèle à (Ox) d’équation y = k avec k ∈ [0 ; 1[ coupe Ch en deux points ; d’où le résultat.
2) La droite d’équation y = 3
4 ne coupe pas la courbe Cg ; donc 3 4 n’admet pas d’antécédent par g.
1 NOTION DE CONTINUITÉ : APPROCHE GRAPHIQUE
f est une fonction définie sur un intervalle I.
Lorsque la courbe de la fonction f se trace d'un trait continu, c'est-à-dire « sans lever le crayon », « sans sauts », on
traduit cette idée intuitive en disant que la fonction f est continue sur l'intervalle I.
Exemples :
x  x
La fonction x  x est continue sur [0 ; +[.
x  1
x
La fonction x  1
x est continue
sur ]– ; 0[ et sur ]0 ; +[.
Considérons la fonction f définie sur l'intervalle [–1 ; 1] par :
f (x) =
x + 1 si x  [–1 , 0[
x si x  [0 , 1] .
Sa courbe représentative est tracée ci-contre.
Cette fonction n'est pas continue sur [–1 ; 1].
Exercice n°12 page 62
Voici les courbes représentatives de deux fonctions f et g.
Pour chacune de ces fonctions, dites si elle est continue sur
l'intervalle [1 ; 4].
f : non ; g : oui .
Exercice n°13 page 62
La fonction x x2 est-elle continue sur IR ?
Oui .
Exercice n°14 page 62
Sur quels intervalles la fonction x 1
x est-elle continue ?
Sur tout intervalle inclus dans ]–∞ , 0[ ∪ ]0 , +∞[ .