01Formulation locale des lois de l`électrostatique 10-11

FORMULATION LOCALE DES LOIS DE
L'ELECTROSTATIQUE
On appelle électromagnétisme, l'étude de l'ensemble des phénomènes liés aux interactions entre particules chargées.
Soit un ensemble D de particules chargées, mobiles ou non: D s'appelle "distribution de charges et de courants".
Une telle distribution modifie les propriétés de l'espace: on dit qu'elle créé un champ électromagnétique. L'action complète
r r
r r
r
de D à un instant t, en un point M, caractérisé par un vecteur position r , est décrite par deux vecteurs E ( r ,t) et B ( r ,t)
r r
appelés composantes du champ électromagnétique [ E , B ] en M à t.
r r
r r
D [ E ( r ,t), B ( r ,t)]]
r r
cas général : [ E , B ] solutions de 4 équations couplées, appelées équations de Maxwell (faisant intervenir à la fois des
r
r
composantes de E et de B et leurs dérivées par rapport au temps ou aux coordonnées d'espace) : phénomènes de
propagation chapitres 4 à 8.
cas particulier : répartition des charges et des courants indépendante du temps : régime permanent : les équations vérifiées
r
r
r
r
par E et B sont découplées, E et B peuvent être calculés séparément.
r r
cas plus particulier : charges immobiles (pas de courants) B = 0 : électrostatique sup + chapitres 1 et 2
sinon : le champ électrique est permanent, le champ magnétique aussi : magnétostatique sup et chapitre 3
r
r
cas moins particulier : la répartition des charges et des courants varie « lentement » dans le temps, E et B aussi : régime
quasi-permanent ARQP (ou ARQS) : propagation négligée, phénomènes d’induction TP d’élec, chapitres 3 et 9.
Chapitre 1 : Formulation locale des lois de l'électrostatique (lien entre sup et spé)
Chapitre 2 : Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs
Chapitre 3 : Compléments de magnétostatique. Equations locales
Chapitre 4 : Equations de Maxwell
Chapitre 5 : Propagation dans le vide. Structure de l'OEMPPV. Cas des ondes monochromatiques
Chapitre 6 : Energie électromagnétique
Chapitre 7 : Réflexion d'ondes; propagation guidée
Chapitre 8 : Rayonnement dipolaire
Chapitre 9 : Induction électromagnétique
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
1
I.
Rappels d'électrostatique
1.
Loi Coulomb
r
Une charge q placée en S, exerce sur une charge Q située en P, la force f =
qQ
4πε 0 SP
2.
2
.
SP
SP
Principe de superposition
Soit q1 une charge ponctuelle en S1, q2 une charge ponctuelle en S2, Q une charge ponctuelle en P.
r
r
Soit f 1 la force qu'exercerait q1 sur Q en l'absence de q2, f 2 la force qu'exercerait q2 sur Q en l'absence de q1.
r
Soit f la force exercée par la distribution {q1,q2} sur la charge Q.
r r r
Principe de superposition f = f 1 + f 2
3.
Champ électrostatique
D'après la loi de Coulomb et le principe de superposition, la force exercée par une distribution de charges D, sur une
charge "test" Q placée en un point P, est le produit de Q, par un vecteur ne dépendant pas de Q mais uniquement du lieu P
et de la distribution source D . Ce vecteur est appelé champ électrostatique au point M de (créé par) la distribution D.
a)
Champ en P d'une charge ponctuelle q placée en S
r
f =
qQ
4πε 0 SP
b)
2
.
SP
r
= QE(P)
q
4πε 0 SP
SP
2
.
SP
SP
Champ en P d'une distribution de charges ponctuelles qi placées en des
points Si
n
r
E( P) = ∑
i =1
c)
r
E (P ) =
:
qi
4πε 0 S i P
2
.
Si P
Si P
Champ en P d'une distribution continue de charges
r
E ( P) =
∫
S∈D
dq(S)
4πε 0 SP
2
.
SP
SP
avec dq=ρdτ pour une distribution volumique, σdS pour une distribution surfacique, λdl pour une distribution linéique.
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
2
4.
Propriété du champ électrostatique
a)
•
Propriétés de symétrie
Définition : Une distribution D possède un plan de symétrie Π si la distribution image D' obtenue par une symétrie de
D par rapport à Π, coïncide avec D. (même géométrie et mêmes charges).
Propriétés :
En un point M d'un plan de symétrie Π d’une distribution source D, le champ créé par D appartient à ce plan :
r
M ∈ Π ⇒ E(M ) ∈ Π . exemple : D ensemble de deux charges ponctuelles identiques.
En M’, symétrique de M par rapport à un plan de symétrie Π, le champ est le symétrique par rapport à Π du
champ en M.
•
Définition : Une distribution D possède un plan d'anti symétrie Π∗ si l'opération de symétrie de D par rapport à
Π, laisse la géométrie inchangée mais change le signe des charges.
Propriétés :
En un point M d'un plan d’anti symétrie Π∗ d’une distribution source D, le champ créé par D est normal à ce
r
plan : M ∈ Π* ⇒ E(M )⊥Π * . exemple : D ensemble de deux charges ponctuelles opposées.
En M’, symétrique de M par rapport à un plan d’anti symétrie Π∗, le champ est l’opposé du symétrique par
rapport à Π∗ du champ en M.
•
Le champ d’une distribution source D possède les mêmes propriétés d’invariance que D.
exemple : D cylindre « infini », uniformément chargé, d’axe Oz : D est invariante par rotation autour de Oz; les
r
composantes de E sont donc indépendantes de θ (deuxième coordonnée cylindrique d’axe Oz). En outre D est
r
invariante par translation le long de Oz; les composantes de E sont donc indépendantes de z.
b)
Existence du potentiel électrostatique
On montre (en partant du cas d'une charge ponctuelle et en utilisant le principe de superposition), que le champ
r
électrostatique est un champ de gradient, c’est-à-dire qu'il existe un champ scalaire V(P) tel que : E = −gradV
n
Distribution de charges ponctuelles qi placées en des points Si
V ( P) =
∑ 4πε
i =1
V (P) =
Distribution continue de charges :
c)
qi
0
Si P
dq
avec dq=ρdτ, σdS ou λdl
4πε 0SP
S∈D
∫
Théorème de Gauss
Le flux à travers une surface fermée imaginaire Σ, du champ créé par une distribution source D, est égal au quotient par ε0
de la somme des charges de D situées à l'intérieur de Σ.
r
r
∫∫ E(P).dS(P) =
P∈Σ
Q int
ε0
Ce théorème se démontre en partant d'une charge ponctuelle et en utilisant le principe de superposition.
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
3
d)
Energie potentielle électrostatique
Soit Q une charge "test" se déplaçant dans le champ électrostatique d'une distribution source D. La force de Coulomb
qu’elle subit peut se mettre sous la forme :
r
r
f = QE = −QgradV = −gradE p
avec E p = QV
Ep est l'énergie potentielle de la charge Q en P, c’est le produit de la charge Q par le potentiel électrostatique en P.
r
r r
Rappel : f = −gradE p ⇔ f .d l = −dE p ⇔
r r
∫ f .d l = −∆E
p
r
⇔ WAB (f ) = E p (A) − E p (B)
AB
5.
Dipôle électrostatique
a)
Définition
Un dipôle électrostatique est une distribution formée de 2 charges opposées, q (positive, placée en P) et -q (placée en N),
dont la distance mutuelle NP est très faible devant la distance r à laquelle on étudie les effets du dipôle.
Remarque : la distribution source est invariante par rotation autour de la droite NP. On choisit donc cette droite comme axe
Oz pour définir les coordonnées sphériques de centre O, O étant le milieu de NP. Le plan contenant un point M
quelconque et les deux points N et P est plan de symétrie de la distribution : le champ en M appartient à ce plan : sa
composante Eϕ est nulle. La distribution étant invariante par rotation autour de NP, le potentiel et les composantes non
nulles du champ en un point M(r,θ,ϕ) sont indépendantes de la coordonnée ϕ (cf figures ci-dessous).
b)
Moment dipolaire
c)
Potentiel créé
r
p = q NP
En M(r,θ,ϕ) , on calcule V =
d)
rr
p.r
4πε0 r
3
=
p cos θ
4πε0 r 2
Champ créé
2p cos θ

E r = 4πε r 3
0

r

p sin θ
E = −gradV E θ =
4πε0 r 3

E = 0
 ϕ

e)
Action d'un champ extérieur sur le dipôle rigide
(
)
•
r r
r
Résultante f = p.grad E ext
•
Dans le cas d'un champ extérieur uniforme, cette résultante est nulle : l'action du champ extérieur se réduit à un
r r
r
couple : si E ext est uniforme, f = 0 .
r r r
Moment des forces Γ = p ∧ E ext
rr
Energie potentielle du dipôle : E p = −p.E ext . En effet :
•
P
P
P
r
r
r
r P r
r
rr
E p = −qVN + qVP = q(VP − VN ) = q dV = q gradV.d l = −q E ext .d l = −qE ext . d l = −qE ext .NP = −p.E ext
∫
∫
∫
∫
N
N
N
N
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
4
II.
Les équations locales de l'électrostatique
Les méthodes utilisées en sup pour calculer le champ électrostatique (lois intégrales de Coulomb, théorème de Gauss) sont
des méthodes intégrales : pour connaître le champ en un point M de l’espace, il est nécessaire d’avoir des informations sur
l’ensemble de la distribution.
Nous allons présenter ici une méthode utilisant des équations locales : nous allons (entre autre) relier le champ électrique
r
en un point M, E (M), aux charges qui existent en ce point, ρ(M).
Définition : une loi locale entre deux grandeurs physiques définies au point M, est une loi qui relie ces deux grandeurs au
même point M.
La résolution d’un problème d’électrostatique n’est ni plus simple ni plus compliquée par les équations locales : les
équations locales ne sont pas nécessaires en électrostatique. Elle présente cependant l’intérêt de nous familiariser avec
cette notion et d’introduire en douceur les équations de Maxwell qui sont incontournables dans le cas général (cas d’un
régime non permanent).
1.
Premier exemple de loi locale : lien entre champ et potentiel
a)
Loi locale
On a vu en 1ère année que le champ électrostatique dérive d’une fonction scalaire V appelé potentiel électrostatique. Il
s’agit d’une loi locale :
r
E = −gradV
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
(1)
5
b)
i)
Rappel sur le gradient et conséquences sur les cartes de champ électrique
Définition intrinsèque du gradient
Type : Le gradient est un champ de vecteurs attaché à un champ scalaire f(M), que l'on note grad M f ou plus
simplement gradf .
Exemples : à partir du champ scalaire de température θ(M), on définit le champ de vecteurs « gradient de température »
grad M θ; à partir du champ scalaire de pression P(M), on définit le champ de vecteurs « gradient de pression » grad M P.
Définition : Le gradient de f en M est tel que son produit scalaire par un vecteur déplacement élémentaire d’origine M,
( MM ' = dOM )
soit
égal
à
la
petite
variation
de
la
fonction
f
quand
on
passe
de
M
à
M’ :
df= f (M ' ) − f (M) = grad M f . MM '
grad M f est défini par :
f (M ' ) − f (M) = grad M f . MM ' quand M’ tend vers M
(i.e. df = (grad M f ).dOM )
Application à l’électrostatique : à partir du champ scalaire de potentiel électrique V(M), on définit le champ de vecteurs
r r
« gradient de potentiel » grad M V qui est l’opposé du vecteur champ électrique en M : dV = −E.d l
De cette définition, on déduit que le déplacement élémentaire à partir d'un point M, qui occasionne la plus forte variation
de la fonction f, est un déplacement colinéaire au gradient de f en M, et de même sens. On en tire la signification pratique
du gradient d'une fonction en un point M:
Le gradient en M de la fonction f est un vecteur qui pointe vers la zone de plus forte valeur de f au voisinage immédiat
de M. Il a pour direction celle le long de laquelle f varie le plus fort autour de M. Sa norme traduit la rapidité de la
variation de f le long de cette direction, au voisinage de M. Le gradient caractérise la non uniformité du champ scalaire
f(M) (il est identiquement nul si et seulement si df=0, ie si et seulement si f est uniforme).
r r
Application à l’électrostatique : dV = −E.d l : le champ électrostatique en M est un vecteur qui pointe vers la zone de
plus faible valeur du potentiel au voisinage immédiat de M (signe -). Le champ électrostatique est orienté dans le sens des
potentiels décroissants. Le champ électrostatique caractérise la non uniformité du potentiel V(M). Il est identiquement nul
si et seulement si le potentiel est uniforme.
ii) Composantes du vecteur gradient. Opérateur nabla
Le vecteur gradient d’une fonction f(M) a pour composantes cartésiennes : gradf =
En cylindrique, le gradient s’écrit : gradf =
∂f r
∂f r
∂f r
ux + u y + uz .
∂x
∂y
∂z
∂f r
1 ∂f r
∂f r
uρ +
uθ + uz .
∂ρ
ρ ∂θ
∂z
∂f r 1 ∂f r
1 ∂f r
ur +
uθ +
u ϕ , mais seul est à connaître le cas où f est
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
∂f r
invariante par rotation selon θ et ϕ : gradf =
ur .
∂r
En sphérique, le gradient s’écrit : gradf =
∂ / ∂x
r
On appelle nabla l’opérateur vectoriel dont les composantes cartésiennes sont : ∇ ∂ / ∂y
∂ / ∂z
r
Le gradient d’un champ scalaire f s’exprime donc au moyen de ce vecteur par : gradf = ∇f
iii) Surfaces « iso f » (ou « équi f ») et gradient : surfaces équipotentielles et champ électrostatique
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
6
Définition : L'équation f(M)=λ définit la surface "iso f" (ou "équi f"), ensemble des points M ayant même valeur λ de la
fonction f.
(Ex : "P(M)=1013hPa" définit la surface isobare 1013hPa, ensemble des points où, à l'instant considéré, la pression vaut
1013hPa.)
Propriété : Le vecteur gradient de f en un point M est normal à la surface "iso f" passant par M.
En effet, pour tout déplacement dOM s'effectuant au voisinage de M sur la surface "iso f" passant par M, on a df=0.
D'après sa définition df = (grad M f ).dOM , le gradient de f en M est donc normal à tout déplacement dOM s'effectuant sur
la surface "iso f", il est donc normal à la surface "iso f" passant par M.
Application à l’électrostatique : Une surface équipotentielle est une surface où tous les points ont même valeur de
r
potentiel électrostatique. Les lignes de champ électrostatique E (M) sont orthogonales aux surfaces équipotentielles en
r
tout point M de l’espace (puisque E est au signe près le gradient de potentiel).
Exemples : Champ et potentiel d’une charge ponctuelle. Doublet électrostatique.
2.
Caractère divergent du champ électrique : formulation locale du théorème
de Gauss
a)
Caractère divergent du champ à partir des sources
Sur les deux exemples précédents, on constate que :
Les lignes de champ électrostatique divergent à partir des charges positives et convergent vers les charges négatives.
b)
Définition intrinsèque de l’opérateur divergence
r
r
C'est un champ scalaire attaché à un champ de vecteurs a (M), il est noté div M a (exemples : divergence du champ
r
r
électrique divM E ; divergence du champ de pesanteur divM g ).
r
La divergence d'un champ vectoriel a (M) en un point M est le flux sortant localement par unité de volume autour de ce
point.
r r
a.dS
r
r
flux de a à travers une petite sphère de centre M, de volume dτ
Σ enveloppant dτ
div M a = lim
= lim
dτ→0
d
τ
→
0
volume dτ
dτ
∫∫
C'est une grandeur locale. Pour voir sa signification, imaginons une petite sphère de centre M, dont on fera tendre le rayon
r
vers zéro. La définition montre que la divergence en M du champ de vecteurs a (M) est d'autant plus importante que le
r
flux de a à travers cette petite sphère est grand, i.e. que "le champ diverge" à partir de M, c’est-à-dire que ses lignes de
champ sont en pelote d'épingle autour de M (ou encore que le champ est colinéaire aux vecteurs surfaces élémentaires de
la petite sphère).


r r
r

On peut également écrire : lim 
a.dS  = div M a.dτ
dτ→0

 Σ enveloppant dτ 
∫∫

r r 
r

Soit, en l’appliquant au champ électrostatique : lim 
E.dS  = div M E.dτ
dτ→0

 Σ enveloppant dτ 
∫∫
c)
Expression de la divergence en fonction des composantes du champ
r ∂E
r
∂E y ∂E z
x
En fonction des composantes cartésiennes de E : divE =
+
+
∂x
∂y
∂z
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
7
r 1 ∂ (rE ) 1 ∂E θ ∂E
r
r
En fonction des composantes cylindriques de E : divE =
+
+ z
r ∂r
r ∂θ
∂z
r
r 1 ∂(r 2 E r )
1 ∂ (sin θE θ )
1 ∂E ϕ
En fonction des composantes sphériques de E : divE = 2
+
+
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ
r
Seule la première expression est à connaître. Les deux dernières ne sont pas à connaître et sont surtout utiles dans le cas où
le champ est radial (alors, seul le premier terme est non nul).
Remarque : la divergence est une grandeur algébrique : une divergence en M du champ positive, signifie que le champ
diverge effectivement à partir de M ; une divergence en M du champ négative, signifie que, de fait, le champ converge
vers M.
d)
Expression de la divergence à l’aide de l’opérateur nabla
r
La divergence d’un champ de vecteurs a (M) s’exprime au moyen de l’opérateur nabla :
r rr
diva = ∇.a
En effet
∂
∂x
∂a y ∂a z
r ∂a
∂
div M a = x +
+
=
∂x
∂y
∂z
∂y
∂
∂z
e)
ax
.
ay
rr
= ∇.a
az
Théorème de Grenn- Ostrogradsky
Nous l’admettrons :
r
« Le flux sortant à travers une surface fermée Σ délimitant un volume V, d’un champ de vecteur a (M), est égal à
l’intégrale de volume sur tout le volume V de la divergence du champ ».
r
r
∫∫ a ( N).dS( N) =
N∈Σ
∫∫∫
r
diva (M).dτ
M∈V dé lim ité par Σ
Pour comprendre l'origine de cette expression, imaginons un découpage du volume V délimité par Σ, en petits
r
parallélépipèdes et ajoutons les contributions div a (M) dτ. Pour deux éléments de volume ayant une face commune, les
flux sortants correspondant à cette face sont opposés et leurs contributions s'annulent. En ajoutant les contributions de tous
r
r
les éléments de volume, on trouve que l'intégrale de volume de diva , est égale au flux de a sortant des faces extérieures
r
des parallélépipèdes frontières de V. Nous admettrons que ce flux tend vers celui de a à travers l'enveloppe Σ.
Remarque : Il est intéressant de noter que l’intégrale de volume «
∫∫∫
r
diva (M).dτ » de la divergence du
M∈V dé lim ité par Σ
r
r
champ de vecteurs a (M) sur un volume V, ne fait intervenir en fait que les valeurs du champ a aux points N de
l’enveloppe (surface fermée) Σ de V.
Rappel : une surface fermée est « une enveloppe » : on peut définir l’intérieur et l’extérieur.
f)
Formulation locale du théorème de Gauss : équation de Maxwell-Gauss
Utilisons le théorème d'Ostrogradsky dans l'expression du théorème de Gauss :
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
8
∫∫
Σ
r r Q
E.dS = int ⇔
ε0
∫∫∫
VΣ
r
1
divEdτ =
ε0
∫∫∫ρdτ
VΣ
Cette égalité devant être vérifiée pour un volume VΣ quelconque, on peut le faire tendre vers zéro autour d'un point M. On
r
obtient une propriété locale du point considéré : divM E =ρ(M)/ε0 :
r ρ
divE =
équation de Maxwell Gauss (MG)
ε0
Remarques :
•
La démonstration précédente établit l’équivalence entre les formulations intégrale et locale du théorème de Gauss :
r r
Formulation intégrale : théorème de Gauss :
∫∫ E.dS =
Σ
Q int
ε0
r
Formulation locale : équation de Maxwell Gauss : divM E =ρ(M)/ε0
•
•
r
r
Dans une zone vide de charge, le champ E est à flux conservatif (l’équation (MG) s’écrit div E =0).
L’équation (MG) obtenue en électrostatique à partir du théorème de Gauss garde cette forme dans le cas le plus
général (charges et courants variables) et constitue, telle quelle, une des 4 équations de Maxwell qui régissent tout
l’électromagnétisme.
3.
Formulation locale du caractère conservatif de la circulation du champ
électrostatique- Opérateur rotationnel
a)
Caractère non tourbillonnaire du champ électrostatique
r
L’analyse du champ E a déjà permis de remarquer que d’une part, les lignes de champ sont toujours orthogonales au
réseau d’équipotentielles, d’autre part que les lignes de champ divergent à partir des sources (conformément à (MG)).
r
Le champ E a donc un caractère non tourbillonnaire (on dit aussi « non rotationnel »).
r
Nous allons montrer que c’est une conséquence du caractère conservatif de la circulation de E .
b)
Caractère conservatif de la circulation du champ électrostatique
Il est lié à l’existence du potentiel électrostatique.
La circulation du champ électrostatique entre 2 points quelconques A et B de l’espace est indépendante du chemin suivi et
ne dépend que de la différence de potentiel V(A)-V(B).
B
B
B
r
r r
C = E.d l = − gradV.d l = − dV = − ∆V = V (A) − V(B)
∫
∫
∫
A
A
A
Une autre conséquence est donc :
La circulation du champ électrostatique le long d’un contour fermé (Γ) quelconque est nulle :
r r
« E.d l = 0 pour tout contour fermé Γ ».
∫
Γ
r
On dit que E est à circulation conservative. (Attention, ce résultat n’est vrai qu’en régime stationnaire).
Nous allons introduire l’opérateur rotationnel qui traduit cette propriété au niveau local.
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
9
c)
Définition intrinsèque de l’opérateur rotationnel
r
r
Le rotationnel est un champ de vecteurs associé à un champ de vecteurs a (M), noté rot M a .
r
r
r
Le rotationnel de a en M est tel que sa projection sur une direction n , est égale à la circulation locale de a autour de
r
r
(M, n ), par unité d'aire normale à n .
∫
( ) ( )
r r
a.d l
r
r r δC
Γ contour de dS
rota n = rota .n =
= lim
dS dS→0
dS
r
rota
n
r r
r r
rota.dS = lim
dS→0
dS
M
∫ a.d l
Γ auour de dS
C'est une grandeur locale. Pour voir sa signification en un point M, imaginons comme élément de surface un disque de
r
centre M, dont on fait tendre le rayon vers 0. La définition montre que le rotationnel du champ a au point M aura une
r
r
composante sur la direction n d'autant plus importante que le champ "tourbillonne" autour de (M, n ) ou encore que les
r
r
r
lignes de champ de a , "enlace" n au niveau du point M, qu’elles sont tangentes aux cercles de centre M, d’axe (M, n ).
d)
Expression du rotationnel à l’aide de l’opérateur nabla
r r r
r
Le rotationnel d’un champ de vecteurs a (M) s’exprime au moyen de l’opérateur nabla : rota = ∇ ∧ a .
r r
r
rot M a = ∇ ∧ a =
e)
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
ax
∧
ay
az
∂a z ∂a y
−
∂y
∂z
∂a x ∂a z
=
−
∂z
∂x
∂a y ∂a x
−
∂x
∂y
Expression des composantes
(rotar ) = (rotar ).ur
(rotar ) = (rotar ).ur
(rotar ) = (rotar ).ur
x
En cartésiennes
r
rot M a
y
z
∂a z ∂a y
−
∂y
∂z
∂a x ∂a z
−
y =
∂z
∂x
∂a y ∂a x
−
z =
∂x
∂y
x
=
En coordonnées cylindriques ou sphériques, le rotationnel a des expressions qui sont données dans des formulaires et ne
sont pas à connaître.
f)
Théorème de Stokes-Ampère
Nous l’admettrons :
r
Il relie la circulation d'un champ de vecteur a (M) le long d'un contour fermé orienté Γ, et le flux de son rotationnel à
travers une surface Σ délimitée par Γ.
r r
r r
a.d l =
rota .dS
∫
Γ
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
∫∫ ( )
Σ
10
r
« La circulation d’un champ vectoriel a le long d’un contour Γ est égale au flux du rotationnel de ce champ à travers une
surface Σ s’appuyant sur Γ. »
Pour comprendre l'origine de cette expression, on peut imaginer un découpage de la surface ouverte Σ s'appuyant sur le
contour fermé orienté Γ, en éléments de surface adjacents, chaque élément de surface étant bordé par une boucle orientée
r
d'après l'orientation de la surface. Calculons la circulation de a sur chacune de ces boucles et effectuons-en la somme. Les
contributions venant de la partie commune à deux boucles adjacentes s'annulent. Seules restent celles correspondant au
contour Γ.
Remarque : il est intéressant de noter que l’intégrale de surface «
∫∫ (rota ).dS » du rotationnel du champ de vecteurs a (M)
r r
r
Σ
r
sur la surface Σ, ne fait intervenir en fait que les valeurs du champ a aux points N du contour Γ de Σ.
g)
r
Formulation locale du caractère « à circulation conservative » de E
équation de Maxwell-Faraday de l’électrostatique
:
r r
Partons de «
∫∫ ( )
∫ E.d l = 0 pour tout contour fermé Γ » et utilisons le théorème de Stokes-Ampère :
Γ
r r
rotE .dS = 0
Σ(Γ )
Cette égalité doit être valable pour toute surface ouverte Σ(Γ) s’appuyant sur le contour fermé (Γ), et ce, pour tout contour
fermé (Γ) : on déduit que la grandeur intégrée est identiquement nulle :
r r
rot E = 0 équation de Maxwell Faraday de l’électrostatique (MF)s
Remarques :
•
La démonstration précédente établit l’équivalence entre les formulations intégrale et locale de la conservation de la
r
circulation de E :
r
Formulation intégrale : E est à circulation conservative : «
r r
∫ E.d l = 0 pour tout contour fermé Γ »
Γ
r r
Formulation locale : équation de Maxwell Faraday de l’électrostatique : rot E = 0
•
•
r
On pouvait déduire (MF) de E = −gradV et d’une propriété mathématique du rotationnel « le rotationnel d’un champ
de gradient est nul »
r
r
∂B
L’équation de Maxwell Faraday « générale » (en régime quelconque) est différente : nous le verrons : rotE = −
: le
∂t
r
r
second membre est nul quand B est nul (cas de l’électrostatique), ou quand B est constant (cas des régimes
permanents), mais dans le cas des régimes variables, il n’est pas nul (il est « responsable » du phénomène d’induction,
cf. chapitre 9).
4.
Equation de Poisson
Elle fait intervenir le laplacien ∆.
a)
Opérateur laplacien scalaire
( )
r r
r
Le laplacien d’un champ scalaire f, noté ∆f, est la divergence du champ de gradient de f : ∆f = div gradf = ∇.(∇f ) = ∇ 2f
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
11
Soit, en coordonnées cartésiennes : ∆f =
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
+
+
.
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Son expression dans les autres systèmes de coordonnées n’est pas à connaître, elle est donnée dans des formulaires.
Dans les cas où il y a symétrie cylindrique ou sphérique, son expression est simple et souvent utile (toujours donnée) :
∆f =
1 d  df 
 ρ  (symétrie cylindrique)
ρ dρ  dρ 
∆f =
1 d  2 df 
r
 (symétrie sphérique)
r 2 dr  dr 
b)
Equation de Poisson
Exprimons le laplacien du potentiel électrostatique V :
r
ρ
∆V = div gradV = div − E ) = −
ε0
(
)
( )
∆V +
ρ
=0
ε0
équation de Poisson
(2)
Remarques :
•
Les équations (1) et (2) constituent une formulation locale de l'électrostatique équivalente aux équations (MG) et
r
(MF)s mais souvent plus utile car il est plus simple de trouver un champ scalaire V(M) qu’un champ vectoriel E (M).
r
L’équation de Poisson (2) permet (du moins théoriquement) de déterminer V et (1) d'en déduire E .
•
L'équation de Poisson relie le potentiel à la source du champ. Dans une région vide de charge (ρ=0), elle devient
l'équation de Laplace : ∆V = 0
Théorème d'unicité (on l'admettra): L'équation de Poisson définit de façon unique une fonction potentiel V lorsque la distribution source
r
ρ( r ) est donnée et que les conditions aux limites sont données (quand les charges sont réparties dans un volume fini, on prend comme
conditions aux limites V=0 à l'infini).
5.
Linéarité des équations locales et principe de superposition
r
r
Soit E 1 et V1 le champ et le potentiel de la distribution source « ρ1 », E 2 et V2 ceux de « ρ2 ».
Les équations locales (1) et (2), ainsi que (MG) et (MF)s, étant linéaires, le champ (respectivement le potentiel) créé par la
r
r
distribution « λ1ρ1+λ2ρ2 » est : λ1E1 + λ 2 E 2 (respectivement λ1V1+λ2V2).
Quand λ1=λ2=1, ce résultat constitue le principe de superposition (conséquence immédiate de la linéarité des équations).
6.
Intérêt des équations locales
r
r
Les équations locales de l’électrostatique associées à la loi de force f =Q E , constituent une autre formulation des lois de
l’électrostatique. En régime statique, les deux formulations (intégrale et locale) sont équivalentes mais en régime variable,
seules les équations locales (sous leur forme générale) sont capables de décrire les phénomènes de propagation.
En effet, la loi de Coulomb représente une action à distance : elle attribue l’action sur la charge Q à la présence de la
charge q placée à distance finie, ce qui ne pose pas de problème si les charges sont immobiles. En revanche, si les charges
sont mobiles, la loi de coulomb (en 1/r2) suppose que l’information « valeur de r » se transmette instantanément d’un corps
à l’autre, elle supposerait donc une vitesse de propagation de l’information infinie!
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
12
r
En revanche, avec la notion de champ, on attribue l’action s’exerçant sur Q en M, au champ E existant en M. Les
r
r
équations locales régissent l’évolution de E de proche en proche (en comparant les valeurs des composantes de E en des
points infiniment voisins : c’est la signification physique des dérivées et des opérateurs).
Conclusion : les équations locales ne sont pas nécessaires en électrostatique, mais elles nous familiarisent avec cette notion
et nous permettront d’introduire en douceur les équations de Maxwell dans le cas le plus général.
EEEE
r
III.
Propriétés de
1.
et V
Distributions volumiques (=distributions réelles)
Remarque
La matière étant très lacunaire (les atomes sont constituée de particules très petites séparées par des vides énormes
r
relativement), à l'échelle atomique de la matière, la densité volumique de charge ρ( r ) a des variations énormes qui
r
entraînent des variations de champ E énormes.
Dans notre étude, conformément au programme, on n’observe pas la matière à l’échelle atomique, mais à l’échelle dite
mésoscopique et on définit une densité volumique ρ qui représente en fait une valeur moyenne (nivelée) sur un volume
élémentaire dit mésoscopique, i.e très petit à l’échelle macroscopique, mais très grand à l’échelle atomique.
ρ(M ) =
lim
δτ → 0
à l 'échelle
macroscopique
δq
:
δτ
δτ tend vers zéro à l’échelle macroscopique mais reste très grand à l’échelle atomique
On traite la matière comme un milieu continu, en ignorant sa structure atomique.
La densité volumique de charge en un point M est la charge par unité de volume au voisinage de M : ρ(M ) =
dq
(C.m-3)
dτ
Dans ce cadre, les distributions réelles de charges sont des distributions volumiques. On admettra que pour de telles
distributions :
r
E et V sont définis et continus en tout point de l’espace
r
En particulier, le champ E et le potentiel V sont définis en tout point de la distribution, même si la densité de charge n’y
r
est pas nulle : malgré la présence du facteur 1/r2, l’intégrale donnant E (ou V) ne diverge pas.
r
Démo pour E : soit M un point de la distribution volumique D. Le champ
en M s’écrit :
r
E (M ) =
ρdτ
D
Soit τ un volume sphérique, de centre M, de rayon a, on peut décomposer
l’intégrale précédente en deux contributions : celle des charges intérieures à
τ, et celle des autres :
SM
∫∫∫ 4πε SM 2 . SM
0
r r
r
E = E int + E ext =
∫∫∫
r
dE +
τ
Sur l’extérieur de τ, l’intégrant reste fini. Sur l’intérieur de τ, notons m un
majorant de |ρ |.
Cette contribution tend bien vers zéro quand a tend vers zéro : la
contribution des charges élémentaires infiniment proches de M ne diverge
pas
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
r
E int ≤
∫∫∫
τ
mdτ
m
=
4πε 0 r ² 4πε0
∫∫∫
r
dE
D−τ
∫∫∫
τ
dτ
m
=
r ² 4πε 0
∫
a
0
4πr ²dr ma
=
r²
ε0
13
2.
Distributions surfaciques (=modélisation de distributions particulières)
a) Notion de distribution surfacique de charges
Lorsque les charges d’une distribution sont réparties dans de très faibles épaisseurs, il est pratique de la modéliser comme
une distribution surfacique, i.e. bidimensionnelle.
On appelle distribution surfacique (ou superficielle) de charges, une répartition de charges sur une couche d’épaisseur
« très faible », que l’on confond avec une surface géométrique.
Si dq est la charge portée par l’élément de surface dS, on appelle densité surfacique de charge σ en M, la charge par unité
de surface au voisinage de M :
σ( M ) =
dq
en C.m-2
dS
La notion de distribution surfacique est un modèle; en réalité, la charge dq est répartie à l’intérieur d’un petit cylindre
d’épaisseur très faible, a, et de base dS : dq =
∫ ρdτ =
petit cylindre
a
∫ ρ(z)dSdz = dS∫ ρ(z)dz
petit cylindre
0
La densité surfacique de charge du modèle surfacique est donc lié à la densité volumique de la distribution réelle par :
a
∫
σ(M) = ρ(z)dz
0
Si par exemple, la densité volumique sur la fine couche est homogène et égale à ρ0, la densité surfacique dans le modèle
surfacique s’écrit alors : σ=ρ0.a
Adopter le modèle de distribution surfacique consiste à considérer que l’épaisseur a tend vers zéro. On voit que cela
correspond à une densité volumique de charge tendant vers l’infini. La démonstration du III1) n’est alors plus valable.
Cependant :
b)
Le potentiel V est défini et continu à la traversée d’une distribution surfacique de
charges. (résultat admis)
c)
En un point appartenant à une distribution surfacique, le champ électrique n’est pas
défini.
On ne cherchera donc pas à écrire les équations de Maxwell en un tel point.
En un point d’une distribution surfacique, les équations de Maxwell sont à remplacer par les relations de passage.
d)
Relations de passage
Soit M un point sur la distribution surfacique, π le plan tangent en M, il sépare l’espace en deux demi-espaces (1) et (2).
Soit M2 un point du demi-espace (2) et M1 un point du demi-espace (1).
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Posons : E 2 = lim E(M 2 ) et E1 = lim E(M1 ) puis E 2 = E T 2 + E N 2 et E1 = E T1 + E N1
M 2 →M
M1 → M
r
r
r
où E Ti (resp. E Ni) est la projection du champ E i sur le plan π (resp. sur sa normale) (cf schémas ci-dessous).
r
Soit n 12 un vecteur unitaire normal en M au plan π, orienté du côté (1) vers le côté (2).
r
α) La composante tangentielle de E est continue à la traversée d'une distribution surfacique
r
Exprimons la circulation du champ E le long d'un contour fermé
rectangulaire ABCD, de centre M, perpendiculaire à π, AB et CD étant
parallèles à π, symétriques par rapport à π; on pose AB=CD=δl. On choisit
r
E2
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
r
E T2
r
E T1 C
r
E N2
B
M2
Côté (2)
A
M
M1
D
r
E N1
r
14
n 12
r
δl suffisamment petit pour considérer E uniforme sur AB et sur CD. La
circulation du champ sur les côtés BC et DA peut être rendue aussi petite
r
que l'on veut en diminuant ces côtés. E étant un champ de gradient, la
circulation sur le contour fermé ABCD est nulle :
∫ E.d l = 0 = (E 2 − E1 ).δ l = (E T 2 − E T1 ).δ l
r r
r
r
r
r
r
r
ABCD
Cette égalité devant être vérifiée quelle que soit l'orientation de δl
parallèlement à π, on en déduit:
r
r
r
E T 2 = E T1 La composante tangentielle de E est continue à la traversée d'une distribution surfacique
Cette relation de passage se substitue à l’équation de Maxwell-Faraday de l’électrostatique (MF)s au niveau d’une
distribution surfacique.
r
β) La composante normale de E subit une discontinuité σ/ε0 à la traversée d'une distribution surfacique
En effet, appliquons le théorème de Gauss à la surface cylindrique de
génératrice normale en M à la distribution, limitée par deux sections
droites planes parallèles à π, symétriques par rapport à π, Σ1 et Σ2, d'aire
∆S.
r
Le flux de E à travers la surface latérale peut être rendu aussi petit que
l'on veut en diminuant la hauteur du cylindre. On choisit ∆S suffisamment
r
petit pour considérer E comme uniforme sur Σ1 et sur Σ2.
r r
∫∫ E.dS =
σ∆S
σ∆S
⇔ (E N 2 − E N1 )∆S =
ε0
ε0
r
E2
r
E N2
M2
r
E T2r
E T1
M
Côté (2)
r
n 12
M1
r
E1
r
E N1
Côté (1)
r
r
r
σ r
E N 2 − E N1 =
n12 : La composante normale de E subit une discontinuité σ/ε0 à la traversée d'une distribution surfacique
ε0
Cette relation de passage se substitue à l’équation de Maxwell-Gauss (MG) au niveau d’une distribution surfacique.
γ) Remarque : Les deux résultats précédents se résument en un seul : en tout point M d’une distribution surfacique :
r
r
σ r
E 2 (M ) − E1 (M ) =
n12 (M )
ε0
r
La discontinuité de E à la traversée d’une distribution surfacique, est normale à cette distribution.
3.
Distributions linéiques (=modélisation)
On appelle distribution linéique, une répartition de charges concentrée sur un cordon de section très faible que l’on confond avec une
courbe géométrique. Nous admettrons que le champ et le potentiel ne sont pas définis en un point d’une distribution linéique et qu’à
r
l’approche de la distribution, E diverge en 1/ρ et le potentiel V en lnρ (ρ distance à la courbe).
Formulation locale des lois de l'électrostatique (elm 1)
15