Espaces vectoriels - Université de La Rochelle

Agr´egation interne de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques
Universit´e de La Rochelle
F. Geoffriau
2006-2007
Espaces vectoriels
Convention 1. – Dans toute la suite, kd´esignera un corps quelconque.
D´ efinition 2. – Espace vectoriel
On appelle k-espace vectoriel un ensemble Emuni d’une loi de composition interne not´ee
+ et d’une loi de composition externe d’ensemble d’op´erateurs knot´e ·v´erifiant
.(E,+) est un groupe commutatif (d’´el´ement neutre not´e 0) ;
.λ·(x+y)=λ·x+λ·ypour tout λ∈ket tous x, y ∈E;
.(λ+µ)·x=λ·x+µ·xpour tous λ,µ∈ket tout x∈E;
.λ·(µ·x) = (λµ)·xpour tous λ,µ∈ket tout x∈E;
.1·x=xpour tout x∈E(1 ´etant l’´el´ement neutre pour la multiplication de k).
Un ´el´ement de Eest appel´e un vecteur et un ´el´ement de kun scalaire.
Exemple 3. – Espaces vectoriels usuels
a. L’ensemble kest naturellement un k-espace vectoriel.
b. Soit n∈N∗. L’ensemble knest un espace vectoriel.
c. Soit Aun ensemble et Eun espace vectoriel. L’ensemble F(A, E) des applications de A
dans Eest naturellement muni d’une structure d’espace vectoriel, les lois ´etant d´efinies par
∀f, g ∈F(A, E)∀λ∈kf+g!
!
!
!A−→ E
x%−→ f(x)+g(x)et λf!
!
!
!A−→ E
x%−→ λf(x)
En particulier l’ensemble des suites `a valeurs dans ket ou l’ensemble des applications de k
dans ksont des espaces vectoriels.
d. L’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans kest naturellement muni d’une structure
d’espace vectoriel.
Proposition 4. – Propri´ et´ es ´ el´ ementaires
Soit Eun espace vectoriel, λ,µ∈k,x, y ∈E. Alors
a. λ·0E=0
E;
b. 0k·x=0
E;
c. λ·(−x) = (−λ)·x=−(λ·x);
d. λ·(x−y)=λ·x−λ·yet (λ−µ)·x=λ·x−µ·x.
e. λ·x=0
E=⇒λ=0 kou x=0 E.
Preuve – a. On a λ·(0E+0
E)=λ·0Edonc λ·0E+λ·0E=λ·0Esoit λ·0E=0 E.
b. De mˆeme 0k·x= (0k+0
k)·x=0 k·x+0 k·xd’o`u 0k·x=0 E.
c. On a λ·(x+(−x)) = λ·0Edonc λ·x+λ·(−x) = 0Eet λ·(−x)=−(λ·x).
Et 0E=0
k·x=(λ+(−λ)) ·x=λ·x+(−λ)·xsoit (−λ)·x=−(λ·x).
d. On a λ·(x−y)=λ·(x+(−y)) = λ·x+(−λ)·y=λ·x−λ·y.
e. Supposons que λx=0
Eet λ'= 0. Le scalaire λadmet un inverse dans ket
x=1·x=(λ−1λ)·x=0
E
D’o`u le r´esultat. !

– 2 – Espaces vectoriels
D´ efinition 5. – Combinaison lin´ eaire
Soit Eun espace vectoriel sur k.
a. Soit u1,u
2, . . . , updes vecteurs de E. Tout vecteur de la forme
λ1u1+λ2u2+· · · +λpup=
p
"
k=1
λkuk
o`u λ1, . . . , λpsont des ´el´ements de k, est appel´e combinaison lin´eaire des vecteurs
u1,u
2, . . . , up. Les scalaires λ1, . . . , λpsont les coefficients.
b. Une famille de vecteurs (ou un syst`eme de vecteurs) de Eindex´ee par un ensemble I
est, par d´efinition, une application de Idans E, une telle famille se note usuellement (vi)i∈I.
(On prendra garde au fait qu’une famille de vecteurs de En’est pas, en g´en´eral, une partie
de Ecar on peut avoir vi=vjavec i'=j.)
c. Soit Aune famille de vecteurs de E. On appelle combinaison lin´eaire d’´el´ements de A,
tout vecteur v∈Epouvant s’´ecrire sous la forme
v=λ1v1+· · · +λpvp
avec p∈N,v1, . . . , vp∈Aet λ1, . . . λp∈k. (Mˆeme si Aest infinie, les combinaisons lin´eaires
sont toujours finies et si p= 0, alors v= 0.)
D´ efinition 6. – Application lin´ eaire
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels et fune application de Edans F.
a. On dit que fest un homomorphisme d’espaces vectoriels ou une application
lin´eaire si elle v´erifie les conditions suivantes
a..f(x+y)=f(x)+f(y) pour tous x, y ∈E;
a..f(λ·x)=λ·f(x) pour tout x∈Eet tout λ∈k.
b. On appelle endomorphisme de Etoute application lin´eaire de Edans E,forme lin´eaire
sur Etoute application lin´eaire de Edans k,isomorphisme de Edans Ftoute application
lin´eaire bijective de Edans Fet automorphisme de Etoute endomorphisme bijectif de E.
S’il existe un isomorphisme de Edans F, on dit que Eet Fsont des espaces vectoriels
isomorphes.
c. On note L(E, F ) l’ensemble des applications lin´eaires de Edans F,E∗l’ensemble L(E,k)
des formes lin´eaires de E(il est appel´e le dual de E), L(E) l’ensemble des endomorphismes
de Eet GL(E) l’ensemble des automorphismes de E(qui appel´e groupe lin´eaire).
Remarque 7. – a. Soit Eet Fdeux espaces vectoriels et f∈L(E, F ). Alors f(0) = 0,
en effet, f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0), donc f(0) = 0.
b. Soit Eun espace vectoriel, l’application idEidentit´e de Edans Eest lin´eaire. C’est un
automorphisme de E.
Proposition 8. – Caract´ erisation d’une application lin´ eaire
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels et soit une application f:E→F.
a. L’application fest lin´eaire si et seulement si
∀u, v ∈E∀λ,µ∈kf(λu+µv)=λf(u)+µf(v)
b. Si fest lin´eaire, pour tous u1, . . . , up∈Eet tous λ1, . . . , λp∈kon a
f(λ1u1+· · · +λpup)=f#p
"
k=0
λkuk$=
p
"
k=0
λkf(uk)=λ1f(u1)+· · · +λpf(up)
Preuve – a. Si fest une application lin´eaire, alors pour tous u, v ∈Eet λ,µ∈k
f(λu+µv)=f(λu)+f(µv)=λf(u)+µf(v)
et par r´ecurrence on montre le deuxi`eme point.
F. Geoffriau

Espaces vectoriels – 3 –
b. R´eciproquement, soit u, v ∈Eet λ∈k, on a
f(u+v)=f(1 ·u+1·v) = 1 ·f(u)+1·f(v)=f(u)+f(v)
f(λ·u)=f(λ·u+0·u)=λ·f(u)+0·f(u)=λ·f(u)
Ainsi fest lin´eaire. !
Proposition 9. – Op´ erations sur les applications lin´ eaires
Soit E,F,Gtrois espaces vectoriels.
a. Soit f:E→Fet g:E→Fdeux applications lin´eaires et λ,µ∈k. L’application
λf+µg !
!
!
!E−→ F
x%−→ λf(x)+µg(x)
est lin´eaire.
b. Si f:E→Fet g:F→Gsont deux applications lin´eaires alors g◦f:E→Gest lin´eaire.
c. Si f:E→Fun isomorphisme alors f−1:F→Eest lin´eaire.
Preuve – a. Soit u, v ∈Eet soit α,β∈k, on a
(λf+µg)(αu+βv)=λf(αu+βv)+µg(αu+µv)
=λ%αf(u)+βf(v)&+µ%αg(u)+βg(v)&
=α(λf(u)+µg(u)&+β(λf(v)+µg(v)&
=α(λf+µg)(u)+β(λf+µg)(v)
ainsi λf+µg est une application lin´eaire.
b. Soit u, v ∈Eet soit λ,µ∈k, on a
g◦f(λu+µv)=g%f(λu+µv)&=g%λf(u)+µf(v)&
=λg%f(u)&+µg%f(v)&=λg◦f(u)+µg ◦f(v)
ainsi g◦fest une application lin´eaire.
c. Soit u, v ∈Fet λ,µ∈k, on a
f−1(λu+µv)=f−1#λf%f−1(u)&+µf%f−1(v)&$
=f−1#f%λf−1(u)&+µf−1(v)&$
=λf−1(u)&+µf−1(v)
ainsi f−1est lin´eaire. !
Remarque 10. – Soit Eet Fdeux espaces vectoriels. L’ensemble L(E, F ) est muni, de
fa¸con naturelle, d’une structure d’espace vectoriel et l’ensemble L(E) est muni, de fa¸con
naturelle, d’une structure d’alg`ebre, le produit ´etant la compos´ee des applications et l’unit´e
est l’application identique idE.
De plus, l’ensemble GL(E) est muni naturellement d’une structure de groupe, c’est le
groupe des inversibles de l’anneau L(E).
D´ efinition 11. – Sous-espace vectoriel
Soit Eun espace vectoriel. Une partie Fde Eest un sous-espace vectoriel de Esi
a. 0E∈F;
F. Geoffriau

– 4 – Espaces vectoriels
b. ∀x, y ∈Fx+y∈F;
c. ∀λ∈k,∀x∈Fλx∈F.
Remarque 12. – a. Un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel est lui-mˆeme un espace
vectoriel. En particulier, pour montrer qu’un ensemble poss`ede une structure d’espace
vectoriel, il est souvent plus simple de montrer que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace
vectoriel connu.
b. Un sous-espace vectoriel n’est jamais vide car il contient l’´el´ement nul.
Exemple 13. – a. Si Eest un espace vectoriel, Eet {0E}sont des sous-espaces vectoriels
de E.
b. Soit Eun espace vectoriel et a∈E\{0}. L’ensemble Da={λa;λ∈k}est un sous-espace
vectoriel de Eappel´e droite vectorielle.
c. L’ensemble F={(x, y, z)∈R3;x−y+2z=1}n’est pas un sous-espace vectoriel de R3
car 0R3'∈ F.
d. Par contre l’ensemble F={(x, y, z)∈R3;x−y+2z=0}est un sous-espace vectoriel
de R3.
e. L’ensemble C(R,R) des applications continues de Rdans Rest un sous-espace vectoriel
de F(R,R).
f. Soit Eet Fdes espaces vectoriels. Alors l’ensemble des endomorphismes L(E, F ) est un
sous-espace vectoriel de F(E, F ).
Proposition 14. – Caract´ erisation d’un sous-espace vectoriel
Soit Eun espace vectoriel et soit Fune partie de E.
a. La partie Fest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si
a..Fest non vide ;
a..∀u, v ∈F, ∀λ,µ∈kλu+µv ∈F.
b. Si Fest un sous-espace vectoriel de E, toute combinaison lin´eaire de vecteurs de F
appartient `a F, i.e.
∀u1, . . . , up∈F∀λ1, . . . , λp∈k
p
"
k=1
λkuk∈F
Preuve – a. Supposons que Fsoit un sous-espace vectoriel de E. On a 0 ∈F, donc
F'=∅. Soit x, y ∈Fet λ,µ ∈k, alors u=λxet v=µy sont des ´el´ements de Fet
λx+µy =u+v∈F.
Le deuxi`eme point se d´eduit alors par r´ecurrence.
b. R´eciproquement, il existe u∈F, car F'=∅. Alors 0 = 0 ·u+0·u∈F. Soit x, y ∈Fet
λ∈k, on a
x+y=1·x+1·y∈Fet λx=λx+0u∈F
Donc Fest un sous-espace vectoriel de E.!
Proposition 15. – Espace vectoriel quotient
Soit Eun espace vectoriel et Fun sous-espace vectoriel. La relation
∀x, y ∈Ex*y⇐⇒ x−y∈F
est une relation d’´equivalence compatible avec les lois d’espaces vectoriels. Ainsi l’ensemble
quotient E/F est muni naturellement d’une structure d’espace vectoriel.
Preuve – Soit x, x$, y, y$∈Etels que x*yet x$*y$et soit λ∈k. On a x−y∈F,
x$−y$∈Fet
(x+x$)−(y+y$) = (x−y)+(x$−y$)∈Fet λx−λy=λ(x−y)∈F
donc x+x$*y+y$et λx*λy. Ainsi les lois de l’espace vectoriel sont compatibles avec la
relation d’´equivalence. !
F. Geoffriau

Espaces vectoriels – 5 –
D´ efinition 16. – Espace vectoriel produit
Soit E1,E
2, . . . , Endes espaces vectoriels. L’ensemble produit
E=E1×E2×· · · ×En
est muni d’une structure naturelle d’espace vectoriel en posant pour (x1,x
2, . . . , xn)∈E,
(y1,y
2, . . . , yn)∈Eet λ∈k,
(x1,x
2, . . . , xn)+(y1,y 2, . . . , yn) = (x1+y1,x 2+y2, . . . , xn+yn)
λ·(x1,x
2, . . . , xn) = (λ·x1,λ·x2, . . . , λ·xn)
On dit que Eest l’espace vectoriel produit ou la somme directe ext´erieure de
E1,E
2, . . . , Enet est not´e 'n
i=1 Eiou ⊕n
i=1Ei.
L’application
ψi!
!
!
!Ei−→ E
x%−→ (0, . . . , 0, x, 0. . . , 0)
(le seul coefficient non nul ´etant xen position i) est l’injection canonique de Eidans E.
C’est une application lin´eaire injective d’image {0}×{0}×···×{0}×Ei×{0}×···×{0},
elle permet d’identifier Ei`a ce sous-espace vectoriel de E.
L’application
πi!
!
!
!E−→ Ei
(x1,x
2, . . . , xn)%−→ xi
est la projection canonique de Esur Ei. C’est une application lin´eaire surjective de noyau
E1×E2×· · · ×Ei−1×{0}×Ei+1 ×· · · ×En.
On a
πi◦ψi= idEi;
n
"
i=1
ψi◦πi= idE
Remarque 17. – On retrouve le fait que kn(n∈N∗) est un espace vectoriel.
D´ efinition 18. – Noyau d’une application lin´ eaire
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels, ϕ:E→Fune application lin´eaire. On appelle noyau
de l’application lin´eaire ϕl’ensemble
ker(ϕ)={x∈E;ϕ(x) = 0F}=ϕ−1({0F})
Th´ eor` eme 19. – Noyau et injection
Une application lin´eaire ϕ:E→Fest injective si et seulement si ker(ϕ)={0E}.
Preuve – a. Si ϕest injective, alors, pour x∈E,
x∈ker(ϕ)⇐⇒ ϕ(x) = 0 ⇐⇒ ϕ(x)=ϕ(0) ⇐⇒ x=0
donc ker(ϕ)={0E}.
b. Supposons que ker(ϕ)={0E}et soit x1et x2deux ´el´ements tels que ϕ(x1)=ϕ(x2).
Comme ϕest lin´eaire, on obtient ϕ(x1−x2)=ϕ(x1)−ϕ(x2)=0
E, soit x1−x2∈ker(ϕ)
donc x1−x2= 0, x1=x2. Ainsi ϕest injective. !
Proposition 20. – Image et image r´ eciproque de sous-espaces vectoriels
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels, ϕ:E→Fune application lin´eaire, Aun sous-espace
vectoriel de Eet Bun sous-espace vectoriel de F. Alors
F. Geoffriau