sujet

Université Paul Sabatier
Fascicule de Travaux Dirigés de Physique 1 – Semestre 1, L1,
Portail SFA
Année 2011-2012
1
1
Thème 1 – Constantes fondamentales-analyse dimensionnelle. Loi fondamentale de la dynamique-chute libre (durée 6 heures)
1.1
Ordres de grandeur
Calculer les ordres de grandeur de la masse volumique de la Terre, du Soleil, de l’atome d’hydrogène et de son
noyau. On donne :
MT = 6 × 1024 kg
RT = 6 400 km
MS = 2 × 1030 kg
RS = 0,7 × 106 km
On prendra comme rayon de l’atome d’hydrogène a0 = 52,9 pm et comme rayon du proton 1 fm (femtomètre
ou Fermi, 1 fm = 10−15 m). On adoptera dans tous les cas étudiés le modèle d’une sphère homogène.
1.2
Énergie dégagée par une explosion nucléaire par l’analyse dimensionnelle
Lors de l’explosion d’une bombe atomique, on suppose qu’il existe une relation entre les grandeurs suivantes : le rayon R, l’énergie initiale E, la masse
volumique de l’air ρ et le temps t.
Par analyse dimensionnelle, déduire quelle doit être la forme de cette relation.
Application numérique : en supposant que la constante numérique est d’ordre
1, et en utilisant les données des photos (à t = 0.006 s, on mesure R =
80 m), trouver l’énergie de la bombe en S.I. Pour comparaison, on rappelle
que l’énergie délivrée par 1 g de TNT est 4000 J.
En 1950, le physicien britannique G. Taylor a effectué ce calcul, ce qui lui a permis (i) de vérifier cette loi avec
les données expérimentales, et (ii) d’estimer l’énergie dégagée par l’explosion de la bombe atomique dans le
Nouveau Mexique en 1945 alors que cette donnée était “secret défense”.
1.3
Systèmes d’unités atomiques
En physique atomique (étude du mouvement des électrons dans un atome), il est commode d’utiliser un système
différent du système SI. On choisit comme grandeurs fondamentales :
– la masse (dimension [M]), dont l’unité est choisie égale à la masse de l’électron me ;
– la charge (dimension [Q]), dont l’unité est choisie égale à la charge élémentaire e ;
– l’action (dimension [A]), dont l’unité est choisie égale à la constante de Planck divisée par 2π, notée ~ ;
– la permittivité diélectrique (dimension [P]), dont l’unité est choisie égale à 4πε0 .
1. Exprimer les dimensions de chacune de ces grandeurs en fonction de celles des grandeurs fondamentales
du système SI.
2. En déduire les dimensions des grandeurs fondamentales du système SI en fonction de celles de ce
système.
3. Calculer les valeurs en unités SI des unités atomiques de longueur, de vitesse, d’énergie et de tension.
4. Qu’en déduisez-vous sur les ordres de grandeurs de la taille de l’atome d’hydrogène, de la vitesse des
électrons dans cet atome, ainsi que de son énergie d’ionisation (en Joule et électron-volts) ?
1.4
Saut à la perche
Le record du monde du saut à la perche, établi par l’ukrainien Sergei Bubka en 1994, est de 6,14 m.
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1. À l’aide d’un raisonnement mécanique simple, s’appuyant sur la conservation de l’énergie mécanique,
établir une expression simplifiée de la hauteur h atteinte en fonction de la vitesse v0 avant le saut et la
valeur g du champ de pesanteur terrestre. Quel est le rôle de la perche ?
2. Sachant que v0 = 9 m.s−1 et g = 9,81 m.s−2 , calculer h. Comparer la valeur obtenue à celle du record.
Commenter.
1.5
Saut en longueur
Le record du monde au saut en longueur, établi par l’américain Mike Powell en 1991, est de 8,95 m. On se
propose de retrouver cet ordre de grandeur. Pour cela on considère le mouvement d’un point matériel, sous la
seule action du champ de pesanteur g, avec une vitesse initiale v0 faisant l’angle α0 avec le plan horizontal.
1. On s’attend à ce que l’amplitude L du saut en longueur dépende de v0 , g et α0 . Proposer une expression
pour L en vous basant sur une simple analyse dimensionnelle. Commenter.
2. Établir les équations donnant les coordonnées du point dans le plan vertical xOy au cours du temps. La
position du point matériel, à l’instant initial, est prise comme origine O des coordonnées.
3. En déduire l’équation cartésienne de la trajectoire. Exprimer, en fonction de v0 , α0 et g, l’amplitude L
du saut en longueur.
4. Montrer que L atteint une valeur maximale Lm pour α0 = π/4. Calculer Lm lorsque v0 = 9,5 m.s−1 .
Comparer avec le record mondial et commenter.
5. Supposons que la vitesse de l’athlète soit réduite de 10 %. Comment cela affecte-t-il l’amplitude du saut ?
1.6
Masse volumique d’une étoile
Les étoiles sont des masses M de gaz ionisé (plasma) ≪ confinées ≫ dans un volume V par la force de gravitation
qui tend à rapprocher les particules de gaz les unes contre les autres. Au cœur des étoiles la densité ρ est telle
que des réactions de fusion nucléaire se produisent en libérant une très grande quantité d’énergie sous forme
de rayonnement. Ce rayonnement exerce une pression (dite pression de radiation) dirigée de l’intérieur de
l’étoile (le noyau) vers l’extérieur (la couronne de l’étoile). Cette force de pression s’oppose à l’effondrement
de l’étoile sur elle-même par gravité. Les étoiles sont donc des systèmes stables en équilibre où deux forces
F IGURE 1 –
s’opposent : la force de gravité FG et la force de pression de radiation FR . Sous l’effet combiné de ces deux
forces, l’enveloppe de l’étoile oscille à une certaine fréquence (s−1 ) : ν = 1/T (ou T est la période de vibration
en seconde).
1. Donner l’expression du volume V de l’étoile considérée comme une sphère de rayon R.
2. En déduire l’expression de la densité ρ de l’étoile considérée comme constante en fonction de R. Quelle
est la dimension de la densité et son unité ?
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3. Donner, en le justifiant, la dimension de la constante de gravitation G ainsi que son unité.
4. On s’attend à ce que la fréquence de vibration de l’étoile ν ne dépende que de G, de la densité de l’étoile
ρ, et du rayon R de l’étoile. Déterminer à l’aide d’une analyse dimensionnelle l’expression de ν à une
constante sans dimension près.
5. Connaissant la valeur de G quelle grandeur peut-on déduire de la mesure de cette fréquence de vibration
de l’étoile et de son rayon R ?
1.7
Lancer d’une balle
F IGURE 2 –
On lance une balle du haut d’un immeuble, de hauteur H, avec une vitesse initiale de norme V0 , faisant un angle
α0 constant avec l’axe horizontal (O, x). On suppose que la balle est assimilée à un point matériel M de masse
m ne subissant que l’accélération de la pesanteur (g = 9, 81m/s2 ).
1. A l’aide de la loi fondamentale de la dynamique pour la balle par rapport au référentiel d’observation lié
au sol, déterminer les équations du mouvement.
2. Déterminer la hauteur maximale, hmax ,atteinte par la balle.
3. Déterminer la portée horizontale, Xport , atteinte par la balle.
4. Déterminer, tchute , la durée de la chute de la balle jusqu’au point d’impact I.
5. Déterminer, VI , la vitesse atteinte par la balle au point d’impact, en déduire l’angle d’impact θ.
6. On donne : H = 40m, V0 = 12m/s, α0 = 30o ,
7. Déterminer les valeurs numériques de hmax , Xport , tchute , VI et θ.
8. Déterminer le temps que met la balle pour repasser au niveau du toit et l’instant où elle se trouve à 15 m
en dessous du niveau du toit, ainsi que la norme de sa vitesse à cet instant.
Exercices supplémentaires (la correction ne sera pas faite en TD)
1.8
Vitesse caractéristique d’un objet dans l’environnement terrestre
Pour un objet en mouvement dans l’environnement gravitationnel de la Terre, les paramètres pertinents sont,
en dehors de la constante de gravitation G, la masse MT de la Terre et la distance r qui sépare l’objet du centre
de la Terre.
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1. Pourquoi la masse de l’objet n’apparaı̂t-elle pas dans la liste des paramètres pertinents ?
2. À l’aide d’une équation aux dimensions, trouver une vitesse caractéristique du mouvement dans l’environnement gravitationnel de la Terre. En vous aidant de la loi fondamentale de la dynamique, donner une
signification précise à cette vitesse. Faire l’application numérique pour un objet situé à une altitude de
800 km. On donne la masse et le rayon de la Terre :
MT = 6 × 1024 kg et
1.9
RT = 6 400 km.
Trajectoire
Soit un point M du plan (O, ex , ey ) repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y). Dans les 2 cas suivants,
donner l’équation cartésienne f (x, y) = 0 de la trajectoire de M et définir sa nature :
1.
x = a (1 + cos2 (φ))
y=
b sin2 (φ)
où a et b sont des constantes non nulles dont vous donnerez la dimension et φ un angle.
2.
x = a (1 + cos(φ))
y=
b sin(φ)
où a et b sont des constantes non nulles dont vous donnerez la dimension et φ un angle.
1.10 Mouvement à accélération constante
Une automobile accélère de façon constante à partir du repos jusqu’à la vitesse de 30 m/s en 10s, sur une route
rectiligne. Elle roule ensuite à vitesse constante. On assimile l’automobile a un point matériel M, de masse m.
On observe son mouvement par rapport au référentiel lié à la route.
1. Déterminer l’accélération selon l’axe de la route.
2. Déterminer la distance qu’elle parcourt pendant l’accélération.
3. Déterminer la distance qu’elle parcourt pendant que sa vitesse passe de 10 m/s à 20 m/s.
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1.11 Tableau des constantes fondamentales
Nom
Notations
Unités
Valeur approchée
usuelle
Valeur précise
(à ce jour)
constante de gravitation
vitesse de la lumière
dans le vide
constante de Planck
constante de Planck
divisée par 2π
charge élémentaire
G
c
m3 .kg−1 .s−2
m.s−1
6,67 × 10−11
3 × 108
6,674 28 (67) × 10−11
2,997 924 58 × 108
h
~
J.s = kg.m2 .s−1
J.s
6,63 × 10−34
1,05 × 10−34
6,626 068 96 (33) × 10−34
1,054 571 628 (53) × 10−34
e
C : Coulomb
A.s
kg
kg
J.K−1
mol−1
J.mol−1 . K−1
F.m−1
A2 .s4 .kg−1 .m−3
1,6 × 10−19
1,602 176 487 (40) × 10−19
0,91 × 10−30
1,67 × 10−27
1,38 × 10−23
6 × 1023
8,31
8,85 × 10−12
0,910 938 215 (45) × 10−30
1,672 621 637 (83) × 10−27
1,380 650 4 (24) × 10−23
6,022 140 78 (30) × 1023
8,314 472 (15)
8,854 187 817 . . . × 10−12
(charge de l’électron : −e)
me
mp
kB
NA
R = NA kB
ε0
masse de l’électron
masse du proton
constante de Boltzmann
nombre d’Avogadro
constante des gaz parfaits
constante
de la loi de Coulomb
(valeur pouvant être obtenue
avec une précision arbitraire
par la formule ε0 µ0 c2 = 1)
perméabilité du vide
(valeur exacte)
rayon classique
de l’électron
constante
de structure fine
magnéton de Bohr
magnéton nucléaire
µ0
re = qe2 /(me c2 )
H.m−1
kg.m.A−2 .s−2
m
α = qe2 /(~c)
µB = e~/(2me )
µN = e~/(2mp )
J.T−1
J.T−1
4π × 10−7
2,82 × 10−15
2,817 940 2894 (58) × 10−15
7,3 ≈ 1/137,036
7,297 352 5376 (50)
927,4 × 10−26
5,05 × 10−27
927,400 915 (23) × 10−26
5,050 783 24 (13) × 10−27
me c2 = 0,510 998 910 (13) MeV ≈ 0, 511 MeV
mp c2 = 938,272 013 (23) MeV
qe2 ≡ e2 /(4πε0 ) = 230,707 712 8 × 10−30 SI
C : Coulomb, J : Joule, K : degrés Kelvin, F : Farad (capacité électrique), H : Henry (inductance électrique), T :
Tesla (induction magnétique)
1 Faraday = 9, 6487.104 C.
1T = 1 Wb.m−2 , 1 H = 1 Wb.A−1 , 1 Wb(Weber) = 1 V.s, 1 V (Volt) = 1 W.A−1 , 1 W (Watt) = 1 J.s−1
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