sujet

Universit´ e Paul Sabatier
Fascicule de Travaux Dirig´ es de Physique 1 – Semestre 1, L1,
Portail SFA
Ann´ ee 2011-2012
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1 Th` eme 1 – Constantes fondamentales-analyse dimensionnelle. Loi fonda-
mentale de la dynamique-chute libre (dur´ ee 6 heures)
1.1 Ordres de grandeur
Calculer les ordres de grandeur de la masse volumique de la Terre, du Soleil, de l’atome d’hydrog`ene et de son
noyau. On donne :
MT= 6 ×1024 kg RT= 6 400 km MS= 2 ×1030 kg RS= 0,7×106km
On prendra comme rayon de l’atome d’hydrog`ene a0= 52,9pm et comme rayon du proton 1fm (femtom`etre
ou Fermi, 1 fm = 10−15 m). On adoptera dans tous les cas ´etudi´es le mod`ele d’une sph`ere homog`ene.
1.2 ´ Energie d´ egag´ ee par une explosion nucl´ eaire par l’analyse dimensionnelle
Lors de l’explosion d’une bombe atomique, on suppose qu’il existe une rela-
tion entre les grandeurs suivantes : le rayon R, l’´energie initiale E, la masse
volumique de l’air ρet le temps t.
Par analyse dimensionnelle, d´eduire quelle doit ˆetre la forme de cette relation.
Application num´erique : en supposant que la constante num´erique est d’ordre
1, et en utilisant les donn´ees des photos (`a t= 0.006 s, on mesure R=
80 m), trouver l’´energie de la bombe en S.I. Pour comparaison, on rappelle
que l’´energie d´elivr´ee par 1 g de TNT est 4000 J.
En 1950, le physicien britannique G. Taylor a effectu´ e ce calcul, ce qui lui a permis (i) de v´ erifier cette loi avec
les donn´ ees exp´ erimentales, et (ii) d’estimer l’´ energie d´ egag´ ee par l’explosion de la bombe atomique dans le
Nouveau Mexique en 1945 alors que cette donn´ ee ´ etait “secret d´ efense”.
1.3 Syst` emes d’unit´ es atomiques
En physique atomique (´etude du mouvement des ´electrons dans un atome), il est commode d’utiliser un syst`eme
diff´erent du syst`eme SI. On choisit comme grandeurs fondamentales :
– la masse (dimension [M]), dont l’unit´e est choisie ´egale `a la masse de l’´electron me;
– la charge (dimension [Q]), dont l’unit´e est choisie ´egale `a la charge ´el´ementaire e;
– l’action (dimension [A]), dont l’unit´e est choisie ´egale `a la constante de Planck divis´ee par 2π, not´ee ~;
– la permittivit´e di´electrique (dimension [P]), dont l’unit´e est choisie ´egale `a 4πε0.
1. Exprimer les dimensions de chacune de ces grandeurs en fonction de celles des grandeurs fondamentales
du syst`eme SI.
2. En d´eduire les dimensions des grandeurs fondamentales du syst`eme SI en fonction de celles de ce
syst`eme.
3. Calculer les valeurs en unit´es SI des unit´es atomiques de longueur, de vitesse, d’´energie et de tension.
4. Qu’en d´eduisez-vous sur les ordres de grandeurs de la taille de l’atome d’hydrog`ene, de la vitesse des
´electrons dans cet atome, ainsi que de son ´energie d’ionisation (en Joule et ´electron-volts) ?
1.4 Saut ` a la perche
Le record du monde du saut `a la perche, ´etabli par l’ukrainien Sergei Bubka en 1994, est de 6,14 m.
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1. ` A l’aide d’un raisonnement m´ecanique simple, s’appuyant sur la conservation de l’´energie m´ecanique,
´etablir une expression simplifi´ee de la hauteur hatteinte en fonction de la vitesse v0avant le saut et la
valeur gdu champ de pesanteur terrestre. Quel est le rˆole de la perche?
2. Sachant que v0= 9 m.s−1et g= 9,81 m.s−2, calculer h. Comparer la valeur obtenue `a celle du record.
Commenter.
1.5 Saut en longueur
Le record du monde au saut en longueur, ´etabli par l’am´ericain Mike Powell en 1991, est de 8,95 m. On se
propose de retrouver cet ordre de grandeur. Pour cela on consid`ere le mouvement d’un point mat´eriel, sous la
seule action du champ de pesanteur g, avec une vitesse initiale v0faisant l’angle α0avec le plan horizontal.
1. On s’attend `a ce que l’amplitude Ldu saut en longueur d´epende de v0,get α0. Proposer une expression
pour Len vous basant sur une simple analyse dimensionnelle. Commenter.
2. ´ Etablir les ´equations donnant les coordonn´ees du point dans le plan vertical xOy au cours du temps. La
position du point mat´eriel, `a l’instant initial, est prise comme origine Odes coordonn´ees.
3. En d´eduire l’´equation cart´esienne de la trajectoire. Exprimer, en fonction de v0,α0et g, l’amplitude L
du saut en longueur.
4. Montrer que Latteint une valeur maximale Lmpour α0=π/4. Calculer Lmlorsque v0= 9,5m.s−1.
Comparer avec le record mondial et commenter.
5. Supposons que la vitesse de l’athl`ete soit r´eduite de 10 %. Comment cela affecte-t-il l’amplitude du saut?
1.6 Masse volumique d’une ´ etoile
Les ´etoiles sont des masses M de gaz ionis´e (plasma) ≪confin´ees ≫dans un volume V par la force de gravitation
qui tend `a rapprocher les particules de gaz les unes contre les autres. Au cœur des ´etoiles la densit´e ρest telle
que des r´eactions de fusion nucl´eaire se produisent en lib´erant une tr`es grande quantit´e d’´energie sous forme
de rayonnement. Ce rayonnement exerce une pression (dite pression de radiation) dirig´ee de l’int´erieur de
l’´etoile (le noyau) vers l’ext´erieur (la couronne de l’´etoile). Cette force de pression s’oppose `a l’effondrement
de l’´etoile sur elle-mˆeme par gravit´e. Les ´etoiles sont donc des syst`emes stables en ´equilibre o`u deux forces
FIGURE 1 –
s’opposent : la force de gravit´e FGet la force de pression de radiation FR. Sous l’effet combin´e de ces deux
forces, l’enveloppe de l’´etoile oscille `a une certaine fr´equence (s−1) : ν= 1/T (ou Test la p´eriode de vibration
en seconde).
1. Donner l’expression du volume Vde l’´etoile consid´er´ee comme une sph`ere de rayon R.
2. En d´eduire l’expression de la densit´e ρde l’´etoile consid´er´ee comme constante en fonction de R. Quelle
est la dimension de la densit´e et son unit´e ?
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3. Donner, en le justifiant, la dimension de la constante de gravitation Gainsi que son unit´e.
4. On s’attend `a ce que la fr´equence de vibration de l’´etoile νne d´epende que de G, de la densit´e de l’´etoile
ρ, et du rayon Rde l’´etoile. D´eterminer `a l’aide d’une analyse dimensionnelle l’expression de ν`a une
constante sans dimension pr`es.
5. Connaissant la valeur de Gquelle grandeur peut-on d´eduire de la mesure de cette fr´equence de vibration
de l’´etoile et de son rayon R?
1.7 Lancer d’une balle
FIGURE 2 –
On lance une balle du haut d’un immeuble, de hauteur H, avec une vitesse initiale de norme V0, faisant un angle
α0constant avec l’axe horizontal (O, x). On suppose que la balle est assimil´ee `a un point mat´eriel Mde masse
mne subissant que l’acc´el´eration de la pesanteur (g= 9,81m/s2).
1. A l’aide de la loi fondamentale de la dynamique pour la balle par rapport au r´ef´erentiel d’observation li´e
au sol, d´eterminer les ´equations du mouvement.
2. D´eterminer la hauteur maximale, hmax,atteinte par la balle.
3. D´eterminer la port´ee horizontale, Xport, atteinte par la balle.
4. D´eterminer, tchute, la dur´ee de la chute de la balle jusqu’au point d’impact I.
5. D´eterminer, VI, la vitesse atteinte par la balle au point d’impact, en d´eduire l’angle d’impact θ.
6. On donne : H= 40m,V0= 12m/s,α0= 30o,
7. D´eterminer les valeurs num´eriques de hmax,Xport,tchute,VIet θ.
8. D´eterminer le temps que met la balle pour repasser au niveau du toit et l’instant o`u elle se trouve `a 15 m
en dessous du niveau du toit, ainsi que la norme de sa vitesse `a cet instant.
Exercices suppl´ ementaires (la correction ne sera pas faite en TD)
1.8 Vitesse caract´ eristique d’un objet dans l’environnement terrestre
Pour un objet en mouvement dans l’environnement gravitationnel de la Terre, les param`etres pertinents sont,
en dehors de la constante de gravitation G, la masse MTde la Terre et la distance rqui s´epare l’objet du centre
de la Terre.
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1. Pourquoi la masse de l’objet n’apparaˆıt-elle pas dans la liste des param`etres pertinents ?
2. ` A l’aide d’une ´equation aux dimensions, trouver une vitesse caract´eristique du mouvement dans l’envi-
ronnement gravitationnel de la Terre. En vous aidant de la loi fondamentale de la dynamique, donner une
signification pr´ecise `a cette vitesse. Faire l’application num´erique pour un objet situ´e `a une altitude de
800 km. On donne la masse et le rayon de la Terre :
MT= 6 ×1024 kg et RT= 6 400 km.
1.9 Trajectoire
Soit un point M du plan (O, ex,ey)rep´er´e par ses coordonn´ees cart´esiennes (x, y). Dans les 2 cas suivants,
donner l’´equation cart´esienne f(x, y) = 0 de la trajectoire de Met d´efinir sa nature :
1. x=a(1 + cos2(φ))
y=bsin2(φ)
o`u aet bsont des constantes non nulles dont vous donnerez la dimension et φun angle.
2. x=a(1 + cos(φ))
y=bsin(φ)
o`u aet bsont des constantes non nulles dont vous donnerez la dimension et φun angle.
1.10 Mouvement ` a acc´ el´ eration constante
Une automobile acc´el`ere de fac¸on constante `a partir du repos jusqu’`a la vitesse de 30 m/s en 10s, sur une route
rectiligne. Elle roule ensuite `a vitesse constante. On assimile l’automobile a un point mat´eriel M, de masse m.
On observe son mouvement par rapport au r´ef´erentiel li´e `a la route.
1. D´eterminer l’acc´el´eration selon l’axe de la route.
2. D´eterminer la distance qu’elle parcourt pendant l’acc´el´eration.
3. D´eterminer la distance qu’elle parcourt pendant que sa vitesse passe de 10 m/s `a 20 m/s.
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