Méthodes directes de la résolution des systèmes linéaires

Méthodes directes de la résolution des
systèmes linéaires
Ali TAMOUSSIT
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Table des matières
Introduction 2
1 Rappels et compléments sur les matrices 3
1.1 L’inversedesmatrices: ..................................... 3
1.2 Matricestriangulaires:...................................... 4
1.3 Latransposition:......................................... 4
1.4 Matricessymétriques:...................................... 5
1.5 Ledéterminant: ......................................... 5
1.6 Matricesdéfiniespositives: ................................... 5
1.7 MatricesdeHouseholder:.................................... 6
1.8 Décompositions matricielles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 La méthode d’élimination de Gauss 10
2.1 Résolution des systèmes linéaires triangulaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Le principe de la méthode d’élimination de Gauss : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Les opérations élémentaires pour la triangularisation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Méthode d’élimination de Gauss avec pivot non nul : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 Description de l’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2 Etuded’unexemple: .................................. 13
2.4.3 Complexité de l’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Méthode d’élimination de Gauss avec pivot nul : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Influence du pivotage sur la précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.2 Description de l’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.3 Etuded’unexemple: .................................. 15
2.6 Quantificationdel’erreur:.................................... 17
3 La méthode de décomposition LU 17
3.1 Le principe de la méthode de décomposition LU :....................... 17
3.2 L’algorithme de la méthode de décomposition LU :...................... 17
3.2.1 Description de l’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.2 Etuded’unexemple: .................................. 18
3.2.3 Complexité de l’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Analysedesensibilité:...................................... 19
4 La méthode de Cholesky 20
4.1 Le principe de la méthode de Cholesky : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 L’algorithme de la méthode de Cholesky : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.1 Description de l’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.2 Etuded’unexemple: .................................. 21
4.2.3 Complexité de l’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Résolution des systèmes linéaires : cas non symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 La méthode de Householder 23
5.1 Le principe de la méthode de Householder : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 L’algorithme de La méthode de Householder : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2.1 Description de l’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.2 Etuded’unexemple: .................................. 24
5.2.3 Complexité de l’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Conclusion 27
Annexe 29
Références 35
1

Introduction
La résolution des systèmes linéaires est considérée comme l’un des deux 1problèmes fondamenteaux de
l’Analyse Numérique Matricielle, et cette résolution intervient à divers domaines, en particulier lorsqu’il
s’agit de modéliser puis résoudre numériquement des problèmes comme par exemple en :
–Electrité : recherche des intensités du courant dans un circuit électronique en utilisant les lois des
noeuds et des mailles... ;
–Chimie : l’équilibre des équations des réactions chimiques ;
–Algèbre linéaire : recherche des vecteurs propres d’une matrice carrée associés à une valeur propre
donnée, déterminer le noyau d’un endomorphisme en dimension finie (système homogène) ;
–Géométrie analytique : étudier la position relative des droites et des plans dans l’espace ;
–Optimisation : minimisation ou maximisation d’une fonction quadratique ;
–Analyse numérique : interpolation polynômiale (matrice de Vandermonde), résolution numérique
des EDP (méthode des différences finies où les matrices rencontrées sont tridiagonales).
Position du problème :
Le problème consiste à trouver la solution du système d’équations
a1,1x1+a1,2x2+··· +a1,nxn=b1
a2,1x1+a2,2x2+··· +a2,nxn=b2
.
.
.
an,1x1+an,2x2+··· +an,nxn=bn
En notation matricielle le problème s’énonce comme suit :
On cherche à résoudre le système Ax =bavec :
•Amatrice à cœfficients réels de taille n×net supposée inversible (i.e. det(A)6= 0) ;
•bvecteur de Rn;
•xinconnue à chercher de Rn.
Si b= 0 le système est dit homogène, donc il admet au moins une solution x= 0 qui est la solution nulle
ou triviale .
L’hypothèse d’inversibilité de Aassure l’existence et l’unicité de la solution du système.
L’idée générale de résolution d’un système linéaire :
Pour résoudre un système d’équations linéaires on cherche à remplacer le système initial par un autre,
plus simple, ayant la même solution, sachant que la résolution de système Ax =best très simple lorsque :
•Adiagonale ;
•Aorthogonale ;
•Atridiagonale ;
•Atriangulaire supérieure ou inférieure ;
•Acreuse (en général).
Classification des méthodes de résolution :
Il existe deux grandes familles de méthodes de résolution :
1. Les méthodes directes qui permettent d’obtenir la solution en un nombre fini d’opérations soit
par triangularisation ou soit par décomposition de la matrice A.
Les principales méthodes sont :
– L’élimination de Gauss,
– La décomposition LU,
– La décomposition de Cholesky,
1. Les deux problèmes fondamentaux de l’Analyse Numérique Matricielle sont :
a. Résolution d’un système linéaire,
b. Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matrice.
2

– La décomposition QR.
Ces méthodes sont utilisées pour les matrices pleines et les petits systèmes (npeu élevé).
2. Les méthodes itératives qui consistent à construire une suite (xn)nqui converge vers la solution.
Les principales méthodes sont :
– Méthode de Jacobi,
– Méthode de Gauss-Seidel,
– Méthode du gradient conjugué.
Ces méthodes sont utilisées pour les matrices creuses et les grands systèmes.
Remarque : Le choix entre les méthodes directes et les méthodes itératives dépend du type (ou forme) de
la matrice du système.
Les méthodes directes :
Les différentes méthodes directes ramènent la résolution de Ax =bà la résolution d’un système dont
la matrice est triangulaire.
Pour cela, on cherche une matrice inversible Mtelle que MA soit triangulaire ; alors :
Ax =b⇔MAx =Mb.
Les méthodes directes que nous allons étudier sont :
•Elimination de Gauss : avec pivot nul et non nul ;
•Décomposition LU :Ltriangulaire inférieure , Utriangulaire supérieure ;
•Décomposition de Cholesky : décomposition LLT;
•Décomposition QR :par la méthode de Householder.
1 Rappels et compléments sur les matrices
On rappelle les résultats élémentaires en algèbre linéaire qui concerne les matrices.
Notation 1.1. Mn(R)désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre nà cœfficients réels.
1.1 L’inverse des matrices :
Définition 1.1. Une matrice A∈ Mn(R)est dite inversible s’il existe une matrice de Mn(R)notée
A−1telle que : AA−1=A−1A=In.
Notation 1.2. GLn(R)est l’ensemble des matrices carrées inversibles d’ordre n.
Proposition 1.1. Si A∈GLn(R), alors : A−1∈GLn(R)et A−1−1=A;
∀A, B ∈GLn(R) : AB ∈GLn(R)et (AB)−1=B−1A−1.
Proposition 1.2. (Inversibilité et valeurs propres)
Soit A∈ Mn(R).
A∈GLn(R)⇐⇒ 0 n’est pas une valeur propre de A.
Théorème 1.1. (Critère de Hadamard 2)
Soit A= (ai,j )1≤i,j≤n∈ Mn(R)telle que : ∀i∈ {1,2,··· , n}:|ai,i|>
n
X
j=1
j6=i
|ai,j |,(?)
alors Aest inversible.
Démonstration. Effectuons une démonstration par l’absurde en supposant qu’il existe un vecteur colonne
x= (x1,··· , xn)Tnon nul tel que Ax = 0.
Soit kélément de 1,2,··· , n tel que |xk|= max
1≤i≤n(|xi|).
Remarquons que : |xk|>0.
En effet, on a le vecteur xest non nul, alors ∃i0∈ {1,2,··· , n}tel que xi06= 0.
2. Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) est un mathématicien français.
3

Donc |xk|≥|xi0|>0.
Etudions alors la kème équation tirée de Ax = 0 :ak,kxk+
n
X
i=1
i6=k
ak,ixi= 0
⇒ |ak,k xk|=
n
X
i=1
i6=k
ak,ixi⇒ |ak,k ||xk| ≤ |xk|
n
X
i=1
i6=k
ak,i
donc |ak,k | ≤ 
n
X
i=1
i6=k
ak,i ce qui contredit le fait que Avérifie (?).
Ainsi Aest inversible.
Définition 1.2. Une telle matrice Aqui vérifie (?)est dite à diagonale strictement dominante.
Exemple 1.1. La matrice A=
−421
1 6 2
1−2 5
est une matrice à diagonale strictement dominante.
Donc la matrice Aest inversible.
Remarque 1.1. Le critère de Hadamard donne une condition suffisante mais qui n’est pas nécessaire.
Contre exemple : La matrice B=
−221
1 3 2
1−2 0
est une matrice inversible qui n’est pas à diagonale
strictement dominante.
Proposition 1.3. Les cœfficients diagonaux d’une matrice à diagonale strictement dominante sont non
nuls.
1.2 Matrices triangulaires :
Définition 1.3. Une matrice A= (ai,j )16i,j6n∈ Mn(R)est dite triangulaire inférieure 3(respective-
ment triangulaire supérieure 4), si ∀i < j (respectivement i>j), i, j ∈n1,2,···no:ai,j = 0.
Remarque 1.2. Une matrice qui est à la fois triangulaire inférieure et triangulaire supérieure est dite
diagonale.
Proposition 1.4. Soit A= (ai,j )16i,j6n∈ Mn(R).
1. Si Aest triangulaire inférieure (respectivement supérieure) et inversible, alors A−1est triangulaire
inférieure (respectivement supérieure).
2. Si Aest triangulaire inférieure (respectivement supérieure), alors :
Aest inversible ⇔ai,i 6= 0 ,∀i∈n1,2,···no.
3. Soit B∈ Mn(R). Si Aet Bsont triangulaires inférieures (respectivement supérieures), alors le
produit AB est triangulaire inférieure (respectivement supérieure).
1.3 La transposition :
Définition 1.4. Soit A= (ai,j )∈ Mn,m(R).
On définit la matrice transposée de Aet on note ATla matrice de Mm,n(R)par :
AT= (aj,i)∈ Mm,n(R).
Proposition 1.5. Soient A∈ Mn,m(R)et B∈ Mm,p(R), on a : (AB)T=BTAT.
Proposition 1.6. Si A∈ Mn(R)est inversible, alors ATest inversible et on a : AT−1=A−1Tqui
sera notée A−T.
3. en anglais : Lower triangular matrix.
4. en anglais : Upper triangular matrix.
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