M2 de Théorie ergodique 2012-13. Quelques exercices. Exercice 1

M2 de Th´eorie ergodique 2012-13. Quelques exercices.
Exercice 1 Soient (X, B, µ, T ) une dynamique mesurable f∈L2(X, µ) et
θ∈R. Montrer que la suite
1
n
n
X
k=1
eikθTkf
converge dans L2(X, µ) quand n→ ∞ et identifier sa limite.
Exercice 2 Soit (X, B, µ, T ) une dynamique mesurable et f:X→Rune
application mesurable.
a)Montrer que si fest `a valeurs dans ]0,∞[ alors pour µ-p.t. x∈X, on a
P∞
k=0 f(Tkx) = ∞.
b) Montrer que si f∈L1(X, µ) alors pour µ-p.t. x∈Xon a limn→∞ 1
nf(Tnx) =
0.
Exercice 3 Soit m≥2 un entier. On note rnle nombre d’entiers k∈
{1,...,n}pour lesquels le premier chiffre du d´eveloppement en base 10 de
mkest un 9 (exemple : 9743). D´emontrer que rn/n admet une limite l(m) et
pr´eciser la d´ependance de l(m) par rapport `a m.
Exercice 4 Montrer que T:R/Z→R/Z,T x = 2xmod 1 est m´elangeante
pour la mesure de Haar.
Exercice 5 Soient ξet ηdeux partitions mesurables finies sur un espace
(X, B, µ).
a) D´emontrer que H(ξ|η) = 0 si et seulement si pour µ-p.t. x∈X,η(x)⊂
ξ(x).(η(x), ξ(x) sont les atomes des partitions η, ξ qui contiennent le point
x).
b) D´emontrer que l’´egalit´e H(ξ∨η) = H(ξ)+H(η) est ´equivalente au fait que
les partitions ξet ηsont ind´ependantes c’est-`a-dire que pour tout (A, B)∈
ξ×ηon a µ(A∩B) = µ(A)µ(B).
Exercice 6 Montrer que si Test faiblement m´elangeante il en est de mˆeme
de Tnet de toute transformation Stelle que Sn=T.
Exercice 7 Soit (X, B, µ, T ) un syst`eme dynamique et ξune partition
g´en´eratrice finie contenant katomes.
a) D´emontrer que h(T, µ)≤log k.
b) Montrer que si h(T, µ) = log kalors Test m´etriquement isomorphe `a un
d´ecalage σsur un alphabet `a ksymboles {1,...,k}muni de la mesure de
1

probabilit´e de Bernoulli qui donne la mesure 1/kp`a tout cylindre de longueur
p.
Exercice 8 Soit (X, A, f, µ) un syst`eme dynamique mesurable (fn’est pas
n´ecessairement inversible) et T:X×T→X×Td´efinie par T(x, y) =
(f(x), y +φ(x)) (φ:X→T).
1. D´emontrer que la mesure ν=µ⊗λest invariante par To`u λest la mesure
de Haar sur T.
2. D´emontrer que h(T, ν)≥h(f, µ)
3. Notons αune partition mesurable finie de Xet βune partition mesurable
finie en intervalles de T. On note α×βla partition produit de X×T
compos´ee des ´el´ements Ai×Bj, (Ai, Bj)∈α×βet π:X×T→Xla
projection canonique sur le premier facteur.
3.a. D´eterminer la forme d’un ´el´ement de T−k(α×β) et d´emontrer que pour
tout C∈ηn−1
0=Wn−1
0f−kα,
#D∈
n−1
_
0
T−k(α×β) : π(D) = C≤rn
o`u rest le nombre d’´el´ements de β.
3.b En conditionnant par rapport `a π−1(ηn−1
0), d´emontrer que h(T, ν)≤
h(f, µ).
4. Calculer l’entropie h(T, µ) quand S:T→Test d´efinie par fx = 2x.
5. On suppose `a pr´esent T:T2→T2,T(x, y) = (2x, y +x). Le syst`eme
dynamique (T, m) (mmesure de Haar sur T2) est-il ergodique ? M´elangeant ?
Exercice 9 Une conjecture c´el`ebre en Th´eorie Ergodique (due `a Furstenberg)
est la suivante : ”la mesure de Lebesgue sur le cercle R/Zest l’unique mesure
bor´elienne sans atome invariante par T2;x7→ 2xet par T3:x7→ 3x”. Dans
cet exercice on se propose de d´emontrer ce r´esultat dans un cas particulier
(c’est un th´eor`eme dˆu `a B. Host).
Consid´erons le cas o`u par rapport `a la mesure µinvariante par T2et
T3, l’entropie de T2est (strictement) positive et la transformation T3est
ergodique.
1) Supposons Xm´etrique compact.
1.a) Expliquer pourquoi un syst`eme dynamique sur Xinversible admet-
tant une partition fortement g´en´eratrice est d’entropie nulle.
1.b) D´emontrer que si un syst`eme dynamique (X, T, µ) est ergodique,
toute autre mesure de probabilit´e invariante ergodique νpour Test ortho-
gonale `a µ(leurs supports essentiels respectifs sont disjoints).
2

2) D´emontrer que si h(T2, µ)>0 alors T2n’est pas inversible µ-pp (ce qui
signifie, qu’il n’existe pas de bor´elien Ade µ-mesure positive tel que T2res-
treinte `a Asoit injective).
3) Soit τ2:x7→ x+ (1/2) la translation sur le cercle R/Zet notons ˜µ=
(τ2)∗µ. D´emontrer que si (T3, µ) est ergodique alors ˜µ=µ(on pourra d’abord
d´emontrer que µet ˜µne sont pas ´etrang`eres).
4) En d´eduire que si µn’a pas d’atomes elle est ´egale `a la mesure de Lebesgue
(on pourra consid´erer les coefficients de Fourier de µ). Conclure.
3

Universit´e Paris 6– M2 Th´eorie ergodique– Examen du 12 juin
2012 - Dur´ee 3h
Exercice 1 Soit T: [0,1] →[0,1] d´efinie par T(x) = x/2 si 0 < x ≤1 et
T(0) = 1. D´emontrer que Tn’admet pas de mesure bor´elienne invariante.
Exercice 1 Soit T: [0,1] →[0,1] d´efinie par T x = 2xsi 0 ≤x≤1/2 et
T x = 2 −2xsi 1/2≤x≤1 (application “tente”).
1) D´emontrer que Leb, la mesure de Lebesgue, est invariante par T.
2) Notons ξ={[0,1/2[,[1/2,1]}. D´ecrire la partition Wn−1
k=0 T−kξ.
3) En utilisant un argument de point de densit´e, d´emontrer que Test ergo-
dique pour la mesure de Lebesgue. [Indication : On remarquera que si Iet
Jsont deux intervalles et f:I→June application affine bijective de Isur
J, alors pour tout ensemble mesurable A⊂Ion a Leb(f(A))/Leb(f(I)) =
Leb(A)/Leb(I).]
4) Calculer l’entropie hLeb(T).
5) On note S: [0,1] →[0,1] l’application Sx = 4x(1 −x). D´emontrer
que Tet Ssont topologiquement conjugu´ees (il existe un hom´eomorphisme
g: [0,1] →[0,1] tel que T◦g=g◦S).
Exercice 2 On consid`ere un syst`eme dynamique ergodique (X, T, BX, µ).
1) On suppose (X, T, BX, µ) faiblement m´elangeant.
1.a) Rappeler pourquoi pour tout syst`eme dynamique ergodique (Z, R, BZ, λ)
le syst`eme dynamique (X×Z, T ×R, BX⊗ BZ, µ ⊗λ) est ergodique.
1.b) D´emontrer que pour tout θ∈Rirrationnel et toute fonction f∈
L1(X, µ), il existe un ensemble Af,θ ∈ BXtel que µ(Af,θ) = 1 et tel que
pour tout x∈Af,θ
1
N
N
X
n=1
f(Tnx)e2πinθ
converge vers 0 quand N→ ∞.
1.c) D´emontrer que si θest rationnel la moyenne pr´ec´edente converge pour
tout x∈Af,θ o`u Af,θ ∈ BXest tel que µ(Af,θ) = 1.
2) D´emontrer que si l’on suppose seulement (X, T, BX, µ) ergodique alors
pour tout θ∈Ron peut associer `a toute fonction f∈L2(BX, µ) un ensemble
Af,θ ∈ BXde µ-mesure 1 pour lequel, pour tout x∈Af,θ ,
1
N
N
X
n=1
f(Tnx)e2πinθ
4

converge quand N→ ∞. [Indication : On pourra d´emontrer que si F
d´esigne l’espace de Hilbert engendr´ee par les fonctions propres de T, il existe
une tribu A ⊂ BXtelle que L2(A, µ) = F⊥et telle que (X, T, A, µ) est
faiblement m´elangeante.]
3) 3.a) On suppose toujours (X, T, BX, µ) ergodique et on suppose pour sim-
plifier que f∈L∞(X, µ). En utilisant les questions pr´ec´edentes d´emontrer
qu’il existe un ensemble Aftel que µ(Af) = 1 et tel que pour tout x∈Affix´e,
tout syst`eme dynamique ergodique (Y, BY, S, ν) et toute fonction g∈L2(Y, ν)
la somme
1
N
N
X
n=1
f(Tnx)g◦Sn
converge dans L2(Y, ν). [Indication : On pourra utiliser judicieusement le
th´eor`eme spectral et la question pr´ec´edente.]
3.b) Si E∈ BXest de µ-mesure positive on note pour x∈X,nk(x) les temps
de retours successifs dans E. D´emontrer qu’il existe un ensemble A∈ BXde
µ-mesure 1 tel que pour tout x∈Ace qui suit est vrai : pour tout syst`eme
dynamique ergodique (Y, BY, S, ν) et toute fonction g∈L2(Y, ν) la somme
1
K
K
X
k=1
g◦Snk(x)
converge dans L2(Y, ν).
Remarque : On peut en fait d´emontrer que la convergence a lieu ν-pp (c’est
un th´eor`eme de J. Bourgain, H. Furstenberg, Y. Katznelson et D. Ornstein)).
Exercice 3 On consid`ere un syst`eme dynamique (X, B, µ, T ) `a spectre dis-
cret c’est-`a-dire tel que L2(X, B, T ) admet une base orthonorm´ee d´enombrable
de fonctions propres pour T.
1) Rappeler sous quelle condition sur α= (α1,...,αd)∈Td, la translation
Tα:Td→Td,x7→ x+αest transitive, minimale ou ergodique pour la
mesure de Lebesgue.
2) D´emontrer que pour toute fonction φ∈L2(X, B, µ), on peut trouver une
suite d’entiers nk→ ∞ telle que φ◦Tnk→φdans L2.
3) En d´eduire que hµ(T) = 0. [Indication : On pourra examiner Hµ(ξ|W∞
k=1 T−kξ)
o`u ξest une partition mesurable finie et utiliser 2)].
4) Retrouver le fait que hLeb(Tα) = 0 (Tαcomme dans le 1)).
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