M2 de Théorie ergodique 2012-13. Quelques exercices. Exercice 1

M2 de Théorie ergodique 2012-13. Quelques exercices.
Exercice 1 Soient (X, B, µ, T ) une dynamique mesurable f ∈ L2 (X, µ) et
θ ∈ R. Montrer que la suite
n
1 X ikθ k
e T f
n k=1
converge dans L2 (X, µ) quand n → ∞ et identifier sa limite.
Exercice 2 Soit (X, B, µ, T ) une dynamique mesurable et f : X → R une
application mesurable.
a)Montrer que si f est à valeurs dans ]0, ∞[ alors pour µ-p.t. x ∈ X, on a
P
∞
k
k=0 f (T x) = ∞.
b) Montrer que si f ∈ L1 (X, µ) alors pour µ-p.t. x ∈ X on a limn→∞ n1 f (T n x) =
0.
Exercice 3 Soit m ≥ 2 un entier. On note rn le nombre d’entiers k ∈
{1, . . . , n} pour lesquels le premier chiffre du développement en base 10 de
mk est un 9 (exemple : 9743). Démontrer que rn /n admet une limite l(m) et
préciser la dépendance de l(m) par rapport à m.
Exercice 4 Montrer que T : R/Z → R/Z, T x = 2x mod 1 est mélangeante
pour la mesure de Haar.
Exercice 5 Soient ξ et η deux partitions mesurables finies sur un espace
(X, B, µ).
a) Démontrer que H(ξ|η) = 0 si et seulement si pour µ-p.t. x ∈ X, η(x) ⊂
ξ(x). (η(x), ξ(x) sont les atomes des partitions η, ξ qui contiennent le point
x).
b) Démontrer que l’égalité H(ξ ∨η) = H(ξ)+H(η) est équivalente au fait que
les partitions ξ et η sont indépendantes c’est-à-dire que pour tout (A, B) ∈
ξ × η on a µ(A ∩ B) = µ(A)µ(B).
Exercice 6 Montrer que si T est faiblement mélangeante il en est de même
de T n et de toute transformation S telle que S n = T .
Exercice 7 Soit (X, B, µ, T ) un système dynamique et ξ une partition
génératrice finie contenant k atomes.
a) Démontrer que h(T, µ) ≤ log k.
b) Montrer que si h(T, µ) = log k alors T est métriquement isomorphe à un
décalage σ sur un alphabet à k symboles {1, . . . , k} muni de la mesure de
1
probabilité de Bernoulli qui donne la mesure 1/k p à tout cylindre de longueur
p.
Exercice 8 Soit (X, A, f, µ) un système dynamique mesurable (f n’est pas
nécessairement inversible) et T : X × T → X × T définie par T (x, y) =
(f (x), y + φ(x)) (φ : X → T).
1. Démontrer que la mesure ν = µ ⊗ λ est invariante par T où λ est la mesure
de Haar sur T.
2. Démontrer que h(T, ν) ≥ h(f, µ)
3. Notons α une partition mesurable finie de X et β une partition mesurable
finie en intervalles de T. On note α × β la partition produit de X × T
composée des éléments Ai × Bj , (Ai , Bj ) ∈ α × β et π : X × T → X la
projection canonique sur le premier facteur.
3.a. Déterminer laWforme d’un élément de T −k (α × β) et démontrer que pour
tout C ∈ η0n−1 = 0n−1 f −k α,
n−1
_
−k
T (α × β) : π(D) = C ≤ rn
# D∈
0
où r est le nombre d’éléments de β.
3.b En conditionnant par rapport à π −1 (η0n−1 ), démontrer que h(T, ν) ≤
h(f, µ).
4. Calculer l’entropie h(T, µ) quand S : T → T est définie par f x = 2x.
5. On suppose à présent T : T2 → T2 , T (x, y) = (2x, y + x). Le système
dynamique (T, m) (m mesure de Haar sur T2 ) est-il ergodique ? Mélangeant ?
Exercice 9 Une conjecture célèbre en Théorie Ergodique (due à Furstenberg)
est la suivante : ”la mesure de Lebesgue sur le cercle R/Z est l’unique mesure
borélienne sans atome invariante par T2 ; x 7→ 2x et par T3 : x 7→ 3x”. Dans
cet exercice on se propose de démontrer ce résultat dans un cas particulier
(c’est un théorème dû à B. Host).
Considérons le cas où par rapport à la mesure µ invariante par T2 et
T3 , l’entropie de T2 est (strictement) positive et la transformation T3 est
ergodique.
1) Supposons X métrique compact.
1.a) Expliquer pourquoi un système dynamique sur X inversible admettant une partition fortement génératrice est d’entropie nulle.
1.b) Démontrer que si un système dynamique (X, T, µ) est ergodique,
toute autre mesure de probabilité invariante ergodique ν pour T est orthogonale à µ (leurs supports essentiels respectifs sont disjoints).
2
2) Démontrer que si h(T2 , µ) > 0 alors T2 n’est pas inversible µ-pp (ce qui
signifie, qu’il n’existe pas de borélien A de µ-mesure positive tel que T2 restreinte à A soit injective).
3) Soit τ2 : x 7→ x + (1/2) la translation sur le cercle R/Z et notons µ̃ =
(τ2 )∗ µ. Démontrer que si (T3 , µ) est ergodique alors µ̃ = µ (on pourra d’abord
démontrer que µ et µ̃ ne sont pas étrangères).
4) En déduire que si µ n’a pas d’atomes elle est égale à la mesure de Lebesgue
(on pourra considérer les coefficients de Fourier de µ). Conclure.
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Université Paris 6– M2 Théorie ergodique– Examen du 12 juin
2012 - Durée 3h
Exercice 1 Soit T : [0, 1] → [0, 1] définie par T (x) = x/2 si 0 < x ≤ 1 et
T (0) = 1. Démontrer que T n’admet pas de mesure borélienne invariante.
Exercice 1 Soit T : [0, 1] → [0, 1] définie par T x = 2x si 0 ≤ x ≤ 1/2 et
T x = 2 − 2x si 1/2 ≤ x ≤ 1 (application “tente”).
1) Démontrer que Leb, la mesure de Lebesgue, est invariante par T .
Wn−1 −k
2) Notons ξ = {[0, 1/2[, [1/2, 1]}. Décrire la partition k=0
T ξ.
3) En utilisant un argument de point de densité, démontrer que T est ergodique pour la mesure de Lebesgue. [Indication : On remarquera que si I et
J sont deux intervalles et f : I → J une application affine bijective de I sur
J, alors pour tout ensemble mesurable A ⊂ I on a Leb(f (A))/Leb(f (I)) =
Leb(A)/Leb(I).]
4) Calculer l’entropie hLeb (T ).
5) On note S : [0, 1] → [0, 1] l’application Sx = 4x(1 − x). Démontrer
que T et S sont topologiquement conjuguées (il existe un homéomorphisme
g : [0, 1] → [0, 1] tel que T ◦ g = g ◦ S).
Exercice 2 On considère un système dynamique ergodique (X, T, BX , µ).
1) On suppose (X, T, BX , µ) faiblement mélangeant.
1.a) Rappeler pourquoi pour tout système dynamique ergodique (Z, R, BZ , λ)
le système dynamique (X × Z, T × R, BX ⊗ BZ , µ ⊗ λ) est ergodique.
1.b) Démontrer que pour tout θ ∈ R irrationnel et toute fonction f ∈
L1 (X, µ), il existe un ensemble Af,θ ∈ BX tel que µ(Af,θ ) = 1 et tel que
pour tout x ∈ Af,θ
N
1 X
f (T n x)e2πinθ
N n=1
converge vers 0 quand N → ∞.
1.c) Démontrer que si θ est rationnel la moyenne précédente converge pour
tout x ∈ Af,θ où Af,θ ∈ BX est tel que µ(Af,θ ) = 1.
2) Démontrer que si l’on suppose seulement (X, T, BX , µ) ergodique alors
pour tout θ ∈ R on peut associer à toute fonction f ∈ L2 (BX , µ) un ensemble
Af,θ ∈ BX de µ-mesure 1 pour lequel, pour tout x ∈ Af,θ ,
N
1 X
f (T n x)e2πinθ
N n=1
4
converge quand N → ∞. [Indication : On pourra démontrer que si F
désigne l’espace de Hilbert engendrée par les fonctions propres de T , il existe
une tribu A ⊂ BX telle que L2 (A, µ) = F ⊥ et telle que (X, T, A, µ) est
faiblement mélangeante.]
3) 3.a) On suppose toujours (X, T, BX , µ) ergodique et on suppose pour simplifier que f ∈ L∞ (X, µ). En utilisant les questions précédentes démontrer
qu’il existe un ensemble Af tel que µ(Af ) = 1 et tel que pour tout x ∈ Af fixé,
tout système dynamique ergodique (Y, BY , S, ν) et toute fonction g ∈ L2 (Y, ν)
la somme
N
1 X
f (T n x)g ◦ S n
N n=1
converge dans L2 (Y, ν). [Indication : On pourra utiliser judicieusement le
théorème spectral et la question précédente.]
3.b) Si E ∈ BX est de µ-mesure positive on note pour x ∈ X, nk (x) les temps
de retours successifs dans E. Démontrer qu’il existe un ensemble A ∈ BX de
µ-mesure 1 tel que pour tout x ∈ A ce qui suit est vrai : pour tout système
dynamique ergodique (Y, BY , S, ν) et toute fonction g ∈ L2 (Y, ν) la somme
K
1 X
g ◦ S nk (x)
K k=1
converge dans L2 (Y, ν).
Remarque : On peut en fait démontrer que la convergence a lieu ν-pp (c’est
un théorème de J. Bourgain, H. Furstenberg, Y. Katznelson et D. Ornstein)).
Exercice 3 On considère un système dynamique (X, B, µ, T ) à spectre discret c’est-à-dire tel que L2 (X, B, T ) admet une base orthonormée dénombrable
de fonctions propres pour T .
1) Rappeler sous quelle condition sur α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Td , la translation
Tα : Td → Td , x 7→ x + α est transitive, minimale ou ergodique pour la
mesure de Lebesgue.
2) Démontrer que pour toute fonction φ ∈ L2 (X, B, µ), on peut trouver une
suite d’entiers nk → ∞ telle que φ ◦ T nk → φ dans L2 .
W
−k
ξ)
3) En déduire que hµ (T ) = 0. [Indication : On pourra examiner Hµ (ξ| ∞
k=1 T
où ξ est une partition mesurable finie et utiliser 2)].
4) Retrouver le fait que hLeb (Tα ) = 0 (Tα comme dans le 1)).
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Université Paris 6– M2 Théorie ergodique– Examen du 10 juin
2011 - Durée 3h
Exercice 1 Notons X = R/Z × Z/2Z, α ∈ T irrationnel et T : X → X,
T : (x, y) 7→ (x + α, y + 1).
1) Montrer qu’il existe une mesure µ sur X (on précisera la tribu) pour
laquelle (T, µ) est ergodique mais (T 2 , µ) ne l’est pas.
2) Quelles sont les mesures invariantes par T et T 2 ?
Exercice 2 Soit (X, A, T, µ) un système dynamique mesurable inversible
(on supposera pour simplifier que X est métrique compact, A borélienne, T
continue).
1) 1.a) On suppose dans cette question que (T, µ) est ergodique. Démontrer
que si ν est une autre mesure de probabilité sur X invariante par T et absolument continue par rapport à µ alors ν = µ
1. b) Supposons que (T, µ) vérifie la propriété suivante : il existe une constante
c > 0 telle que pour tout ensemble A ∈ A, T -invariant de µ-mesure non nulle
on a µ(A) ≥ c. Démontrer que si φ ∈ L∞ (X, µ) vérifie φ ◦ T = φ alors φ ne
prend qu’un nombre fini de valeurs (µ-mod 0).
2) On suppose à présent que (T, µ) vérifie les deux propriétés suivantes :
i) pour tout n ≥ 1, (T n , µ) est ergodique ;
ii) il existe une constante c > 0 telle que pour tous A, B ∈ A
lim sup µ(A ∩ T −n B) ≤ cµ(A)µ(B).
n→∞
2.a) Démontrer que (T, µ) est faiblement mélangeant. [On pourra étudier
(T × T, µ ⊗ µ) et démontrer qu’une fonction propre de T ne prend qu’un
nombre fini de valeurs]
2.b) Notons ∆ la mesure diagonale de (X × X, A ⊗ A) définie par ∆(A ×
B) = µ(A ∩ B) (A, B ∈ A) et soit λ une valeur d’adhérence de S∗n ∆ où
S : X × X → X × X égale I × T (S(x, y) = (x, T y)). Démontrer que
λ = µ ⊗ µ.
2.c) Démontrer que (T, µ) est (fortement) mélangeant.
Exercice 3 On considère l’application T : [0, 1] → [0, 1], définie par T x =
(3/2)x si 0 ≤ x < 2/3 et T x = 3(x − (2/3)) si 2/3 ≤ x ≤ 1.
1) Montrer que la mesure de Lebesgue sur [0, 1], m, est invariante par T .
2) Démontrer que (T, m) est ergodique.
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3) Calculer l’entropie hm (T ) (on pourra démontrer que {[0, 2/3[, [2/3, 1[} est
un générateur fort).
4) L’application T est-elle mesurablement conjuguée à S : [0, 1] → [0, 1],
S : x → 2x ?
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Université Paris 6– M2 Théorie ergodique– Correction de l’examen
du 10 juin 2011
Exercice 1 On munit R/Z de la tribu borélienne et Z/2Z de la tribu totale.
1) Notons µ = Leb ⊗ ((1/2)δ0 + (1/2)δ1 ). Cette mesure est clairement invariante par T (et donc T 2 ). Si φ : X → R est T -invariante, on a ϕ(x + α, y +
1) = ϕ(x, y) et donc ϕ(x + 2α, y) = ϕ(x, y). Comme α est irrationnel on a
ϕ(·, y) = ψ(y) pour Leb-p.t. x. Mais comme ψ vérifie ψ(y) = ψ(y + 1), on
voit que ψ est constante. Par conséquent ϕ est constante et T est ergodique.
En revanche, (T 2 , µ) n’est pas ergodique car R/Z × {0} est T 2 -invariant
et de mesure non-nulle et différente de 1.
2) Si µ est une mesure invariante par T , on voit que (π1 )∗ µ = Leb car
x 7→ x + α est uniquement ergodique et (π2 )∗ µ = (1/2)δ0 + (1/2)δ1 ) car
cette mesure est l’unique mesure invariante par y 7→ y + 1. Maintenant, µ
est invariante par T 2 qui est le produit de x 7→ x + 2α (qui est ergodique) et
de l’identité ; comme l’identité est disjointe des ergodiques, on en déduit que
µ (qui est un couplage) est la mesure produit Leb ⊗ ((1/2)δ0 + (1/2)δ1 ). On
aurait aussi pu prendre des sommes de Birkhoff pour démontrer ce résultat.
Si à présent ν est une mesure invariante par ν on voit que (π1 )∗ ν = Leb.
De la même façon, que précédemment, ν est un couplage qui est forcément
un produit Leb ⊗ ρ où ρ = (π2 )∗ ν. Inversement, toute mesure de la forme
Leb ⊗ ρ est T 2 -invariante.
Exercice 2
1.a. Notons φ ∈ L∞ (X, µ) la densité de ν par rapport à µ. L’invariance de
ν par T est équivalente à φ ◦ T −1 = φ et comme (T, µ) est ergodique on a
φ ≡ cste. On a forcément cste = 1.
1.b. On peut supposer φ à valeurs réelles. Notons alors Aλ l’ensemble des
x ∈ X tels que φ(x) ≤ λ. C’est un ensemble T -invariant et donc µ(Aλ ) ≥
c > 0. La fonction de répartition F (t) = µ(At ) vérifie donc pour tout t2 ≥ t1 ,
F (t2 ) − F (t1 ) = 0 ou F (t2 ) − F (t1 ) ≥ c. Comme F (−∞) = 0 et F (∞) = 1 on
en déduit que F ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Si on note t1 , . . . , tn
les pointsP
de croissance de F et si on note A1 = At1 , A2 = At2 − At1 etc. on
a φ(x) = nk=1 ti 1Ai (x).
2.a. On constate que µ ⊗ µ est une mesure invariante par T × T et on veut
démontrer qu’elle est en fait ergodique (c’est un critère de mélange faible,
cf. cours). Il est facile de vérifier que (T × T, µ ⊗ µ) vérifie la condition ii)
avec c2 à la place de c (mais a priori pas i)). Il est clair (faire A = B avec
T remplacé par T × T dans i.) que tout ensemble invariant par T × T (de
mesure non nulle) vérifie µ ⊗ µ(A) ≥ c−2 . Par ailleurs, si φ est une fonction
8
propre de T de valeur propre ρ (|ρ| = 1) alors ψ(x, y) = φ(x)φ̄(y) est une
fonction invariante par T × T et par conséquent ne prend qu’un nombre fini
de valeurs. Une application de Fubini montre qu’il en est de même de φ. Mais
φ(T x) = ρφ(x) et ρ est irrationnel car T n est ergodique pour tout n ≥ 1.
Ainsi, x étant générique, φ(T k x) = ρk φ(x) prend une infinité de valeurs ce
qui est une contradiction. Le système (T, µ) est donc faiblement mélangeant.
2.b. La mesure ∆ est invariante par T ×T (puisque T ×T et I ×T commutent)
mais a priori pas par I × T . La mesure λ est donc invariante par T × T et
la condition i) montre que λ est absolument continue par rapport à µ ⊗ µ.
Comme T × T est ergodique pour (µ ⊗ µ) la question 1.a permet de conclure.
2.c Le résultat de la question précédente montre que la limite de S∗n ∆ (il
n’y a qu’une seule valeur d’adhérence d’après la question précédente) pour
la topologie faible-* est la mesure produit µ ⊗ µ ce qui est la définition de la
définition du mélange (pourquoi ?).
Exercice 3
1) Il s’agit de démontrer que pour tout intervalle I, T −1 (I) a la même mesure
de Lebesgue que I, ce qui est un calcul simple.
2) Il y a plusieurs façon de démontrer ce résultat. Une première est de
démonter que T est isomorphe à un shift (exercice). La seconde est par
exemple de raisonner par point de densité. Notons ξ la partition mesurable
{(0, 2/3), (2/3, 1)}. Les atomes de ξn = T −n ξ sont des intervalles de longueurs
(2/3)k (1/3)n−k . La restriction de T n à chacun de ces atomes J est une application affine qui envoie bijectivement J sur (0, 1) ( mod 0). Supposons que
A soit un ensemble invariant de mesure de Lebesgue positive et x un point
de densité. On peut supposer que ce point appartient à un des atomes J de
ξn . On sait qu’étant donné ǫ > 0 (suffisamment petit), il existe un δ > 0 tel
qu’une proportion (1 − ǫ) des points de (x − δ, x + δ) ⊂ J (ǫ est assez petit
pour qu’on puisse trouver un tel δ) soient dans A. Comme T n est affine et
envoie J sur (0, 1), on peut dire qu’une proportion (1 − ǫ) des points de (0, 1)
est dans A. Cela démontre que A est de mesure 1.
3) La question précédente montre que la partition en question est un générateur
fort (car le sup des diamètres des atomes de ξn tend vers 0 quand n tend vers
l’infini). On a donc hm (T ) = hm (T, ξ). On a
n X
n
(k log(2/3) + (n − k) log(1/3))(2/3)k (1/3)n−k .
Hm (ξn ) = −
k
k=0
On sait que l’espérance d’une loi binômiale est np, si bien que la somme
précédente vaut
−n((2/3) log(2/3) + (1/3) log(1/3)),
9
et l’entropie cherchée vaut −(2/3) log(2/3) − (1/3) log(1/3).
On peut retrouver facilement ce résultat en utilisant le fait que T est
isomorphe à un shift de paramètre 2/3.
4) Comme l’entropie est un invariant de conjugaison mesurable, on peut dire
que T n’est pas mesurablement conjugué au shift de paramètre x 7→ 2x dont
l’entropie est Log 2.
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