ergodicité, mélanges et applications sur le tore

M2R Universit´e de Grenoble
Th´eorie Ergodique 2009/2010
Feuille d’exercices no2 : ergodicit´e, m´elanges et
applications sur le tore
Rappels de cours
Exercice 1 : Unique ergodicit´e
Soit Tune application continue sur un espace m´etrique X. On dit que Test uniquement
ergodique si elle n’admet qu’une seule mesure µde proba bor´elienne et invariante.
1) Montrer que si Test uniquement ergodique, alors la mesure invariante µest n´ecessairement
ergodique.
2) Montrer que si Test telle que pour toute fonction continue ϕ, la moyenne en temps
1/n Pn−1
k=0 ϕ◦Tnconverge uniform´ement vers une constante, alors Test uniquement er-
godique.
Exercice 2 : M´elanges
Une application Tsur un espace Xlaissant une mesure de proba µinvariante est dite
m´elangeante si pour tous ensembles Aet Bmesurables,
µ(A∩T−nB)−−−−−−−−→
n−→+∞µ(A)µ(B).
1) Montrer qu’une application m´elangeante est ergodique.
2) Montrer qu’une application est m´elangeante si et seulement si pour tous fet gdans
L2(X),
∀f, g ∈L2(X),Zf(Tn(x))g(x)dµ −−−−−−−−→
n−→+∞ZfdµZgdµ .
Quelques exercices th´eoriques
Exercice 3 : A propos de T2
Soit Tune application sur un espace m´etrique X. On suppose que Tpr´eserve une mesure
de proba bor´elienne µ.
1) Montrer que si T2est ergodique pour µ, alors Test ergodique pour µ.
1

2) Si Test ergodique pour µ,T2est-elle ergodique pour µ?
3) Si T(resp. T2) est uniquement ergodique, T2(resp. T) est-elle u niquement ergodique ?
4) Montrer que Test m´elangeante pour µsi et seulement si T2est m´elangeante pour µ.
Exercice 4 : Conjugaison et projection
Soit T:X→Xune application pr´eservant une mesure bor´elienne µet S:Y→Yune
application pr´eservant une mesure bor´elienne λ. Donner une d´efinition naturelle de la
conjugaison entre les deux syst`emes dynamiques. Montrer que l’ergodicit´e et le m´elange
sont deux notions pr´eserv´ees par la conjugaison.
On suppose maintenant qu’il existe une surjection h:X→Ytelle que µ=h∗λet
h◦T=S◦h. Comment se transmettent les propri´et´es d’ergodicit´e et de m´elange ?
Les applications du tore
Exercice 5 : Les translations
Soit d∈N∗et α∈Td. On consid`ere Rα:x7→ x+αla translation de vecteur αsur le tore
Td.
1) Montrer une condition (C) n´ecessaire et suffisante sur αpour que Rαsoit ergodique
pour la mesure de Lebesgue. Si αne v´erifie pas (C), existe-t-il des mesures ergodiques
pour Rα?
2) On suppose que αv´erifie (C). Montrer que Rαest uniquement ergodique.
Exercice 6 : Loi de Benford
Un ensemble de nombres suit la loi de Benford si la proportion de nombres commen¸cant par
le chiffre kest ln(1 + 1/k)/ln 10. Curieusement, beaucoup de donn´ees v´erifient empirique-
ment cette loi : taille des villes, chiffres d’affaires des entreprises, la suite des carr´es etc.
En particulier, on note que les nombres commen¸cant par 1 apparaissent plus fr´equemment
que ceux commen¸cant par 2. En utilisant l’exercice pr´ec´edent, montrer que la plupart des
suites exponentielles (an)n∈Nv´erifie la loi de Benford.
Exercice 7 : Un exemple `a faire `a la main
On regarde sur le tore T2l’application T: (x, y)7→ (x+α, x +y). Montrer que Test
ergodique pour la mesure de Lebesgue si et seulement si αest irrationnel.
Exercice 8 : Structure de groupe de Lie et mesure de Lebesgue
Le tore Tdest un groupe de Lie pour l’addition (x, y)7→ x+y. On appelle homomorphisme
du tore une application bor´elienne Ttelle que T(x+y) = T x +T y.
1) Soit µune mesure de proba bor´elienne sur Tdtelle que pour tout x∈Tdet tout bor´elien
A⊂Td,µ(x+A) = µ(A). Montrer que µest la mesure de Lebesgue sur Td.
2) Montrer qu’un homomorphisme du tore Tsurjectif pr´eserve la mesure de Lebesgue.
2

Exercice 9 : Applications lin´eaires
On consid`ere sur le tore Tdl’application Tinduite pour une matrice inversible A:T(x) =
Ax mod 1.
1) Montrer que Test bien d´efinie si et seulement si les coefficients de Asont tous entiers.
2) Montrer que Tpr´eserve la mesure de Lebesgue si et seulement si Aest inversible.
3) En utilisant la base orthonormale (e2iπk.x)k∈Zd, montrer que Test m´elangeante pour la
mesure de Lebesgue si et seulement si Aest inversible et n’a pas de valeur propre racine
de l’unit´e.
Application no1 : le shift et les nombres normaux.
Montrer que le shift σ: [0,1[→[0,1[ d´efini par σ(0, a1a2a3a4. . .)=0, a2a3a4... est
m´elangeante pour la mesure de Lebesgue. En d´eduire que presque tous les nombres r´eels
sont normaux : la statistique des apparitions des chiffres dans leurs d´ecimales est uniforme.
Application no2 : le chat d’Arnold.
Montrer que l’application sur le tore T2d´efinie par T(x, y) = (x+y, x + 2y) est une bijec-
tion m´elangeante.
Application no3 : la multiplication.
Montrer que sur le tore T2d´efinie par (x, y)7→ (2x, 2y) est m´elangeante mais non unique-
ment ergodique car il existe une infinit´e de mesures invariantes.
Exercice 10 : Applications affines
Soit Aune matrice inversible `a coefficients entiers et α∈Td. On consid`ere sur le tore
Tdl’application T(x) = Ax +αmod 1. On suppose que 1 n’est pas valeur propre de A.
Montrer que Test conjugu´ee `a l’application ˜ T:x7→ Ax mod 1.
Exercice 11 : Transformation du boulanger.
On consid`ere sur le tore T2l’application T: (x, y)7→ (2x, 1/2b2xc+y/2). Justifier que
cette application est m´elangeante pour la mesure de Lebesgue.