ergodicité, mélanges et applications sur le tore

M2R
Théorie Ergodique
Université de Grenoble
2009/2010
Feuille d’exercices no 2 : ergodicité, mélanges et
applications sur le tore
Rappels de cours
Exercice 1 : Unique ergodicité
Soit T une application continue sur un espace métrique X. On dit que T est uniquement
ergodique si elle n’admet qu’une seule mesure µ de proba borélienne et invariante.
1) Montrer que si T est uniquement ergodique, alors la mesure invariante µ est nécessairement
ergodique.
2) Montrer
que si T est telle que pour toute fonction continue ϕ, la moyenne en temps
P
1/n n−1
ϕ
◦ T n converge uniformément vers une constante, alors T est uniquement erk=0
godique.
Exercice 2 : Mélanges
Une application T sur un espace X laissant une mesure de proba µ invariante est dite
mélangeante si pour tous ensembles A et B mesurables,
µ(A ∩ T −n B) −−−−−−−−→ µ(A)µ(B) .
n−→+∞
1) Montrer qu’une application mélangeante est ergodique.
2) Montrer qu’une application est mélangeante si et seulement si pour tous f et g dans
L2 (X),
Z
Z
Z
2
n
∀f, g ∈ L (X) ,
f (T (x))g(x)dµ −−−−−−−−→ f dµ gdµ .
n−→+∞
Quelques exercices théoriques
Exercice 3 : A propos de T 2
Soit T une application sur un espace métrique X. On suppose que T préserve une mesure
de proba borélienne µ.
1) Montrer que si T 2 est ergodique pour µ, alors T est ergodique pour µ.
1
2) Si T est ergodique pour µ, T 2 est-elle ergodique pour µ ?
3) Si T (resp. T 2 ) est uniquement ergodique, T 2 (resp. T ) est-elle u niquement ergodique ?
4) Montrer que T est mélangeante pour µ si et seulement si T 2 est mélangeante pour µ.
Exercice 4 : Conjugaison et projection
Soit T : X → X une application préservant une mesure borélienne µ et S : Y → Y une
application préservant une mesure borélienne λ. Donner une définition naturelle de la
conjugaison entre les deux systèmes dynamiques. Montrer que l’ergodicité et le mélange
sont deux notions préservées par la conjugaison.
On suppose maintenant qu’il existe une surjection h : X → Y telle que µ = h∗ λ et
h ◦ T = S ◦ h. Comment se transmettent les propriétés d’ergodicité et de mélange ?
Les applications du tore
Exercice 5 : Les translations
Soit d ∈ N∗ et α ∈ Td . On considère Rα : x 7→ x + α la translation de vecteur α sur le tore
Td .
1) Montrer une condition (C) nécessaire et suffisante sur α pour que Rα soit ergodique
pour la mesure de Lebesgue. Si α ne vérifie pas (C), existe-t-il des mesures ergodiques
pour Rα ?
2) On suppose que α vérifie (C). Montrer que Rα est uniquement ergodique.
Exercice 6 : Loi de Benford
Un ensemble de nombres suit la loi de Benford si la proportion de nombres commençant par
le chiffre k est ln(1 + 1/k)/ ln 10. Curieusement, beaucoup de données vérifient empiriquement cette loi : taille des villes, chiffres d’affaires des entreprises, la suite des carrés etc.
En particulier, on note que les nombres commençant par 1 apparaissent plus fréquemment
que ceux commençant par 2. En utilisant l’exercice précédent, montrer que la plupart des
suites exponentielles (an )n∈N vérifie la loi de Benford.
Exercice 7 : Un exemple à faire à la main
On regarde sur le tore T2 l’application T : (x, y) 7→ (x + α, x + y). Montrer que T est
ergodique pour la mesure de Lebesgue si et seulement si α est irrationnel.
Exercice 8 : Structure de groupe de Lie et mesure de Lebesgue
Le tore Td est un groupe de Lie pour l’addition (x, y) 7→ x+y. On appelle homomorphisme
du tore une application borélienne T telle que T (x + y) = T x + T y.
1) Soit µ une mesure de proba borélienne sur Td telle que pour tout x ∈ Td et tout borélien
A ⊂ Td , µ(x + A) = µ(A). Montrer que µ est la mesure de Lebesgue sur Td .
2) Montrer qu’un homomorphisme du tore T surjectif préserve la mesure de Lebesgue.
2
Exercice 9 : Applications linéaires
On considère sur le tore Td l’application T induite pour une matrice inversible A : T (x) =
Ax mod 1.
1) Montrer que T est bien définie si et seulement si les coefficients de A sont tous entiers.
2) Montrer que T préserve la mesure de Lebesgue si et seulement si A est inversible.
3) En utilisant la base orthonormale (e2iπk.x )k∈Zd , montrer que T est mélangeante pour la
mesure de Lebesgue si et seulement si A est inversible et n’a pas de valeur propre racine
de l’unité.
Application no 1 : le shift et les nombres normaux.
Montrer que le shift σ : [0, 1[→ [0, 1[ défini par σ(0, a1 a2 a3 a4 . . .) = 0, a2 a3 a4 . . . est
mélangeante pour la mesure de Lebesgue. En déduire que presque tous les nombres réels
sont normaux : la statistique des apparitions des chiffres dans leurs décimales est uniforme.
Application no 2 : le chat d’Arnold.
Montrer que l’application sur le tore T2 définie par T (x, y) = (x + y, x + 2y) est une bijection mélangeante.
Application no 3 : la multiplication.
Montrer que sur le tore T2 définie par (x, y) 7→ (2x, 2y) est mélangeante mais non uniquement ergodique car il existe une infinité de mesures invariantes.
Exercice 10 : Applications affines
Soit A une matrice inversible à coefficients entiers et α ∈ Td . On considère sur le tore
Td l’application T (x) = Ax + α mod 1. On suppose que 1 n’est pas valeur propre de A.
Montrer que T est conjuguée à l’application T̃ : x 7→ Ax mod 1.
Exercice 11 : Transformation du boulanger.
On considère sur le tore T2 l’application T : (x, y) 7→ (2x, 1/2b2xc + y/2). Justifier que
cette application est mélangeante pour la mesure de Lebesgue.