I. Nombre dérivé et tangente II. Fonction dérivée et fonction de

Dérivation
I.
Préparer son entrée en Terminale S
Nombre dérivé et tangente
Définition
Taux d’accroissement
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un nombre de I.
f (a + h) − f (a)
appelé taux d’accroissement
A tout nombre h non nul, tel que a + h ∈ I, on associe le nombre
h
de f entre a et a + h.
Définition
Nombre dérivé
Soir f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a un nombre de I et h un réel non nul tel que a + h ∈ I.
Dire que f est dérivable en a, c’est dire que lorsque h tend vers 0, le taux d’accroissement tend ver un réel L.
Ce nombre L est appelé nombre dérivé de f en a et on le note f ′ (a).
Ainsi, on a
f (a + h) − f (a)
= f ′ (a)
lim
h→0
h
Vous avez vu en cours cette année que graphiquement le nombre dérivée en a correspondait à une position « limite »
d’une droite passant par deux points, dont l’un d’abscisse a, de la courbe C représentative de la fonction f : la tangente au
point d’abscisse a. Ainsi, on a le résultat suivant :
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, Cf sa courbe représentative et a un réel tel que a ∈ I.
Si f est dérivable en a alors la droite passant par A (a; f (a)) et de coefficient directeur f ′ (a) est la tangente
à Cf au point A.
Propriété
L’équation de la tangente T à Cf en A est :
y = f ′ (a)(x − a) + f (a)
II.
Fonction dérivée et fonction de référence
Définition
On dit que f est dérivable sur I lorsque f admet en tout x de I un nombre dérivé, f ′ (x).
Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f (ou plus simplement dérivée de f ) la fonction, notée f ′ , qui,
à tout x de I, associe le nombre dérivé f ′ (x) de f en x.
Le cours
Dérivation
Préparer son entrée en Terminale S
Théorème
Tableau des dérivées usuelles
Fonction
Ensemble de dérivabilité
Fonction dérivée
f (x) = k (fonction constante)
dérivable sur R
f ′ (x) = 0
f (x) = x sur R
dérivable sur R
f ′ (x) = 1
f (x) = x2 sur R
dérivable sur R
f ′ (x) = 2x
f (x) = x3 sur R
dérivable sur R
f ′ (x) = 3x2
f (x) =
1
sur R∗
x
dérivable sur R∗
f ′ (x) = −
f (x) =
√
x sur R+
dérivable sur R∗+
1
f ′ (x) = √
2 x
1
x2
Généralisation
f (x) = xn , n ∈ N∗ sur R
f (x) =
III.
1
, n ∈ N∗ sur R∗
xn
dérivable sur R
f ′ (x) = nxn−1
dérivable sur R∗
f ′ (x) =
−n
xn+1
Opérations sur les fonctions dérivables
On considère une fonction f définie sur un intervalle I ; Tous les résultats suivants sont admis.
Si f (x) s’écrit
alors f est dérivable sur I et f ′ (x) est
égale à
Somme u + v
f (x) = u(x) + v(x)
f ′ (x) = u′ (x) + v ′ (x)
Différence u − v
f (x) = u(x) − v(x)
f ′ (x) = u′ (x) − v ′ (x)
f (x) = λ.u(x)
f ′ (x) = λ.u′ (x)
f (x) = u(x) × v(x)
f ′ (x) = u′ (x) × v(x) + u(x) × v ′ (x)
u et v sont des fonctions définies et dérivables sur I
Produit par un nombre réel λ λ.u
Produit de deux fonctions u.v
Inverse
1
où v(x) 6= 0 pour tout x de I
v(x)
f (x) =
1
v(x)
u
où v(x) 6= 0 pour tout x de I
v
f (x) =
u(x)
v(x)
Quotient
Le cours
f ′ (x) = −
f ′ (x) =
v ′ (x)
[v(x)]2
u′ (x) × v(x) − u(x) × v ′ (x)
[v(x)]2
Dérivation
IV.
Préparer son entrée en Terminale S
Extremums et sens de variation
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si pour tout x de I :
• f ′ (x) > 0, alors f est croissante sur I.
• f ′ (x) < 0, alors f est décroissante sur I.
• f ′ (x) = 0, alors f est constante sur I.
Définition
• On dit qu’une fonction f admet un minimum local f (a) lorsque pour tout x suffisamment proche de a,
f (x) > f (a).
• On dit qu’une fonction f admet un maximum local f (b) lorsque pour tout x suffisamment proche de b,
f (x) 6 f (b).
Dans les deux cas, on parle d’extremum locaux, c’est à dire des valeurs minimales ou maximales de la fonction
localement.
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur I. Soit x0 appartenant à I, distinct des extrémités de I.
• Si f a un extremum local en x0 alors f ′ (x0 ) = 0.
• Si f ′ (x0 ) = 0 et si f ′ change de signe en x0 , alors f possède un extremum local en x0 .
Le cours
Dérivation
Préparer son entrée en Terminale S
Pour ne pas perdre la main
Exercice 1
Exercice 9
Calculer la fonction dérivée de la fonction u définie sur
]2; ∞[ par :
2x + 1
u(x) =
−x + 2
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −x3 + x2 .
1. Calculer la dérivée de f .
2. En déduire le sens de variation de f sur R.
Exercice 2
Exercice 10
Soit f la fonction définie sur R par :
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3 − x2 + 1.
f (x) = x + 3x − 5
3
2
1. Étudier le sens de variation de f sur R.
Existe-t-il des réels a tels que f ′ (a) = 2 ?
2. Déterminer le minimum de f sur [0; +∞[.
Exercice 3
3. Déterminer le signe de f sur [0; +∞[.
4
Déterminer les points de la courbe d’équation y = où la
x
tangente est parallèle à la droite d’équation y = −2x + 1.
Exercice 11
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3 − 3x − 2.
Exercice 4
1. Étudier le sens de variation de f sur R.
Soit C la représentation graphique de la fonction p définie
sur R par p(x) = x3 − 4x2 .
2. Existe-t-il des réels tels que x3 > 3x + 2 ?
Existe-t-il des points de C où la tangente est parallèle à
l’axe des abscisses ? Si oui, lesquels ?
Exercice 12
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par :
f (x) = x +
Exercice 5
4
x
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 + 3.
1. Étudier le sens de variation de f .
Calculer sa dérivée et donner une équation de la tangente
à la courbe représentative de f en son point d’abscisse 1.
2. Déterminer le minimum de f sur ]0; +∞[.
Exercice 13
Exercice 6
1. Étudier le sens de variation de la fonction f définie
sur ]0; +∞[ par :
1
x2 −
x
Soit f et h les fonctions définies sur ]0; +∞[ par :
f (x) = x 1 +
√ x
et h(x) = x +
Déterminer les fonctions f ′ et h′ .
√ 2
x
2. Calculer f (1)
Exercice 7
3. Déterminer le signe de f sur ]0; +∞[.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x3 + 4x.
4. Existe-t-il des réels positifs tels que x2 6
1. Calculer la dérivée de f .
Exercice 14
2. En déduire le sens de variation de f sur R.
On considère la fonction définie sur R par
1
?
x
f (x) = x2 − 3x − 1
Exercice 8
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −x3 + 3x + 5.
1. Calculer la dérivée de f .
1. Démontrer que l’équation réduite de la tangente à la
courbe représentative de f au point A (a; f (a)) est
donnée par y = (2a − 3)x − a2 − 1.
2. Existe-t-il un point pour lequel la tangente est parallèle à la droite d’équation y = x ?
2. En déduire le sens de variation de f sur R.
3. Existe-t-il un point pour lequel la tangente passe par
l’origine du repère ?
Les exercices
Dérivation
Préparer son entrée en Terminale S
Corrections
Ne cédez pas à la tentation ! Utilisez ces corrections à bon escient ;)
Les exercices - Correction
Dérivation
Préparer son entrée en Terminale S
Exercice 1
u′ (x) =
2(−x + 2) − (−1)(2x + 1)
(−x + 2)2
Exercice 2
f ′ (x) = 3x2 + 6x
Le problème revient à résoudre l’équation 3x2 + 6x = 2, soit 3x2 + 6x − 2 = 0.
Cette équation possède deux solutions :
√
√
−3 − 15
−3 + 15
x1 =
et x2 =
3
3
Exercice 3
4
Le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre dérivé en ce point. La fonction f : x 7−→ admet
x
4
pour dérivée sur R∗ f ′ : x 7−→ − 2 .
x
Les droites sont parallèles si les coefficients directeurs sont égaux. Donc le(s) éventuel(s) réel(s) a cherché(s) sont les solutions
√
√
4
de l’équation − 2 = −2, qui sont − 2 et 2.
x
Exercice 4
Même type de problème que le précédent.
p′ (x) = 3x2 − 8x
parallèle à l’axe des abscisses implique un coefficient directeur nul. Donc on résout :
3x2 − 8x = 0 ↔ x(3x − 8) = 0
8
Les points de C cherchés sont les points d’abscisse 0 et .
3
Exercice 5
f ′ (x) = 2x
Donc l’équation de la tangente est
y = f ′ (1)(x − 1) + f (1)
Soit
y = 2(x − 1) + 4
Exercice 6
f ′ (x) = 1 +
et
√
√ 3 x
1
x +x× √ =1+
2 x
2
√
√
√
√
1
1
1
h′ (x) = (1 + √ )(x + x) + (x + x)(1 + √ ) = 2(1 + √ )(x + x) = 2x + 1 + 3 x
2 x
2 x
2 x
Exercice 7
1. f ′ (x) = 6x2 + 4
2. f ′ (x) > 0 sur R (évident car somme de termes positifs). Donc la fonction f est croissante sur R.
Exercice 8
1. f ′ (x) = −3x2 + 3
Les exercices - Correction
Dérivation
Préparer son entrée en Terminale S
2. f ′ (x) admet pour racines -1 et 1. Donc f ′ (x) > 0 sur ] − 1; 1[ et f ′ (x) < 0 sur ] − ∞; −1[∪]1; +∞[. On en déduit la
tableau de variation suivant :
x
−∞
−1
1
+∞
7
f (x)
3
Exercice 9
1. f ′ (x) = −3x2 + 2x
2
2
2
′
′
2. f (x) admet pour racines 0 et . Donc f (x) > 0 sur 0;
et f (x) < 0 sur ] − ∞; 0[∪ ; +∞ . On en déduit la
3
3
3
tableau de variation suivant :
′
x
0
−∞
2
3
+∞
4
27
f (x)
0
Exercice 10
2
1. f ′ (x) = 3x2 − 2x = x(3x − 2). Donc f ′ (x) admet pour racine et 0.
3
2
2
Donc f ′ (x) < 0 sur 0;
et f ′ (x) > 0 sur ] − ∞; 0[∪ ; +∞ . On en déduit la tableau de variation suivant :
3
3
x
0
−∞
2
3
+∞
1
f (x)
23
27
2. D’après le tableau de variations la fonction est croissante sur [0; +∞[. Donc le minimum sur cet intervalle est atteint
23
pour x = 0 et vaut
27
3. Comme le minimum de f (x) est positif et que la fonction est croissante sur [0; +∞[, on peu conclure que f (x) > 0 sur
cet intervalle
Exercice 11
1. f ′ (x) = 3x2 − 3. Les racines de f ′ (x) sont -1 et 1.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
Les exercices - Correction
Dérivation
Préparer son entrée en Terminale S
x
−∞
+∞
1
−1
0
f (x)
−4
2. Répondre à la question revient à résoudre l’inéquation
x3 − 3x − 2 > 0
D’après la tableau de variation, si de tels réels existent, alors ils sont plus grand que 1. Or il semble assez évident (un
calcul peut aider) que f (2) = 0.
On en déduit que l’ensemble des réels cherchés est ]2; +∞[.
Exercice 12
f (x) = x +
4
x
x2 − 4
4
=
.
x2
x2
′
Étudier le signe de f (x) équivaut à étudier le signe de x2 − 4, dont les racines sont -2 (Hors du domaine de définition)
et 2.
On en déduit le tableau de variation :
1. f ′ x() = 1 −
x
f ′ (x)
0
+∞
2
−
0
+
f (x)
−1
2. D’après le tableau le minimum (sur ]0; +∞[ ) de la fonction f vaut 4 et est atteint pour x = 2.
Exercice 13
1. f ′ (x) = 2x +
1
. Il est clair que f ′ (x) > 0 si x > 0. Donc f est croissante sur ]0; +∞[.
x2
2. f (1) = 0
3. D’après les questions précédentes, f (x) < 0 sur ]0; 1[ et f (x) > 0 sur ]1; +∞[.
4. x2 6
1
1
↔ x2 − 6 0. Donc d’après la question précédente, les réels cherchés sont ceux de l’intervalle ]0; 1].
x
x
Exercice 14
1. f ′ (x) = 2x − 3. Donc l’équation de la tangete au point d’abscisse a est donnée par y = f ′ (a)(x − a) + f (a)., soit
y = (2a − 3)(x − a) + (a2 − 3a − 1) = (2a − 3)x − a2 − 1.
2. Répondre à la question revient à résoudre 2a − 3 = 1.
Donc le réel cherché est a = 2.
3. Passé par l’origine du repère implique que la tangente passe par le point (0, 0). Donc on cherche s’il existe a tel que
−a2 − 1 = 0, soit a2 = −1.
Il n’existe donc aucune solution, donc aucun point !
Les exercices - Correction