BAC S Métropole 2011 EXERCICE III Spécialité : CONCERT DE

BAC S Métropole 2011 EXERCICE III Spécialité : CONCERT DE VIOLONS (4 points)
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1. Le violon
1.1. Le signal de l’enregistrement 2 du diapason est une sinusoïde : il correspond à un son pur.
Le signal de l’energistrement 1 du violon est périodique mais non sinusoïdal : il correspond à un
son complexe.
Les deux sons joués par les deux instruments ont la même fréquence f
1
= 440 Hz donc la même
hauteur.
En revanche, ils ont des timbres différents car les spectres sont différents.
1.2. La fréquence f
1
est appelée fréquence fondamentale.
1.3. f
2
= 2×f
1
= 2 x 440 = 880 Hz.
f
3
= 3×f
1
= 3 x 440 = 1320 Hz.
2. L’ensemble des violons
2.1.1.
3T
bat
 8,9 cm Les mesures en cm peuvent différer selon l’impression
220 ms  13,0 cm mais le résultat final doit être identique ou proche.
Donc 3T
bat
= 220 × 8,9 / 13,0 = 151 ms
Donc T
bat
= 151 / 3 = 50,2 ms
bat
bat
1
f
T
=
soit
bat
3
1
f
50,2 10
−
=× = 19,9 Hz
b a
f f 460 420 40
20
2 2 2
− −
= = = Hz.
On vérifie aux erreurs de mesure près :
bat
f
=
b a
f f
2
−
.
2.1.2. Lorsqu’il n’y a plus de battement, f
bat
= 0 Hz donc f
b
= f
a
: tous les deux violons sont
accordés.
2.2.1. Condition de stabilité des ondes stationnaires : L =
n.
2
λ
pour le mode fondamental n = 1
ainsi L =
2
λ
.
3 T
bat
⇔
8,9 cm
220 ms ⇔ 13,0 cm

2.2.2. v = λ.f et λ = 2.L donc pour la fréquence fondamentale f
0
: v = 2.L.f
0
2.2.3. Analyse dimensionnelle : [F] = [m].[a] car d’après la deuxième loi de Newton une force est
homogène à une masse fois une accélération.
[F] = M.L.T
−2
.
[µ] = [m] / [L] = M.L
−1
Donc :
( )
1/2
2
1/2
2 2
1
F M.L.T L .T
M.L
−−
−
= =
µ
= L.T
−1
ce qui est bien homogène à une vitesse.
La relation v =
F
µ
est homogène.
2.2.4.
0
v 1 F
f .
2.L 2.L
= =
µ
2.2.5. L et µ sont fixées. La fréquence est proportionnelle à la racine carrée de la tension F de la
corde. On souhaite diminuer la fréquence f
0
(de 460 Hz à 440 Hz) : il faut donc diminuer la
tension F de la corde.
2.3.1. Lorsque I
1
= I
0
alors : L
1
= 10×
01
0 0
I
I
log 10 log
I I
= × =10 ×log(1) = 0 dB
2.3.2. Pour un violon, on a L
1
=
1
0
I
10 log I
× =
70 dB
Pour les 10 violons : L
10
= 10×
1 1
0 0
10I I
log 10 log10 10 log
I I
= × + × = 10 + 70 = 80 dB
2.3.3. Pour un auditeur situé à 5 m : n.I
1
= I où n représente le nombre de violons.
avec I
1
tel que : L
1
=
1
0
I
10 log
I
× soit
1 1
0
I L
log
I 10
= d’où : I
1
= I
0
. 10
L1/10
avec L
1
= 70 dB il vient :
12 70/10
1
I 1,0 10 10
−
= × × = 1,0×10
−5
W.m
−2
donc n =
1
I
I
soit n =
1
5
1,0 10
1,0 10
−
−
×
×
≈ 10
4
violons !
Lors d’un concert, le nombre de violons est limité à une ou deux dizaine(s) : l’intensité sonore
correspondant à des dommages de l’oreille ne sera pas atteinte.
3.1.
13 13 10 9 8 6 5 312 11 7 4 2
1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
f f f f f f f f
f f f f f
x x x x x x x x x x 2
f f f f f f f f f f f f f
= × =
donc
12
13 i 1
1 i
f f
2
f f+
= =
finalement :
1
i 1
12
i
f
2
f+
  =
.
3.2. si
3
et la
3
sont séparés de deux demi-tons alors :
3
3
1 1
si
12 12
la
f
2 .2
f
  =
avec f
la3
= 440 Hz alors :
3 3
1 1
12 12
si la
f 2 .2 .f
=
soit
3
1 1
12 12
Si
f 2 2 440
= × × = 494 Hz.