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Chapitre XVII
Noyau de probabilité et loi conditionnelle
Table des matières
A Noyau de probabilité 1
B Loi conditionnelle 1
C Compléments sur les noyaux 3
A Noyau de probabilité
Définition 1
Soient (E, E)et (F, F)deux espaces mesurables. On appelle noyau de probabilité (ou noyau markovien,
probabilité de transition) sur E× F toute application Kde E× F dans [0,1] vérifiant les deux propriétés
suivantes :
a) pour tout élément Ade Fl’application de Edans [0,1] qui à xassocie K(x, A)est mesurable
b) pour tout élément xde El’application de Fdans [0,1] qui à Aassocie K(x, A)est une probabilité
sur F.
Exemple 2
a) Si µest une probabilité sur (F, F)on définit un noyau constant par K(x, A) = µ(A).
b) Si test une application mesurable de (E, E)dans (F, F), on définit un noyau en posant K(x, A) =
1A[t(x)], i.e. K(x, ·) = δt(x).
Définition 3 (Intégration par rapport à un noyau)
Si fest une application mesurable de (F, F)dans [0,+∞], ou une application bornée de (F, F)dans
R, l’application de Edans [0,+∞]ou Rqui à sassocie Rf(x)K(s, dx)est mesurable et notée Kf(s).
B Loi conditionnelle
Définition 4
Soient (E, E)et (F, F)deux espaces mesurables, et soient X(resp. Y) une variable aléatoire définie
sur un espace probabilisé (Ω,A, P )et à valeurs dans (E, E)(resp. dans (F, F)). On dit qu’un noyau Ksur
F× E est une loi conditionnelle de Xpar rapport à Ysi
∀A∈ E ∀B∈ F P(X∈A, Y ∈B) = ZB K(y, A)dPY(y) = Z{Y∈B} K(Y, A)dP.
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Remarque 5
a) Etant données deux variables aléatoires Xet Y, il n’existe pas nécessairement une loi conditionnelle de
Xpar rapport à Y. Cependant si Eet Fsont des espaces polonais munis de leurs tribus boréliennes, une
telle loi conditionnelle existe toujours.
b) L’égalité ci-dessus se récrit
Z1A(X)1B(Y)dP =ZY−1(B)
K(Y, A)dP,
ce qui prouve que
K(Y, A) = E(1A(X)|Y).
On peut en déduire que si hest une application mesurable de (F, F)dans [0,+∞], ou une application
bornée de (F, F)dans R
E(h(X)|Y) = Kh(Y).
Théorème 6
Soit X(resp. Y) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,A, P )et valeurs dans un
espace mesuré (E, E, µ)(resp. (F, F, ν)), les mesures µet νétant σ-finies.
On suppose que le couple (X, Y )admet par rapport à la mesure µ⊗νune densité hdéfinie sur E×F
et à valeurs dans [0,+∞[. On pose
N={y∈F:ZE h(x, y)dµ(x) = 0}.
On définit un noyau Ksur F× E par
- si y∈N K(y, •)est une probabilité fixée ρsur E
- si y /∈N K(y, •) = h(•, y)
Rh(x, y)dµ(x)µ.
Kest une loi conditionnelle de Xsachant Y.
Preuve
Pour A∈ E l’application
F3y→K(y, A) = 1N(y)ρ(A)+1NcZA h(x, y)dµ(x)/Zh(x, y)dµ(x)
est mesurable. Par le théorème de Fubini
µ(E)×ν(F) = µ⊗ν(E×F) = ZN [ZE h(x, y)dµ(x)]dν(y) = 0,
ce qui prouve que ν(F) = 0.
La variable Yadmet pour densité par rapport à la mesure νl’application g(y) = Rh(x, y)dµ(x). Pour
A∈ E et B∈ F
ZB
K(y, A)dPY(y) = ZB K(y, A)[Zh(x, y)dµ(x)]dν(y)
=ZB∩Nc (ZA h(x, y)dµ(x)/Zh(x, y)dµ(x))K(y, A)[Zh(x, y)dµ(x)]dν(y)
=ZBZA h(x, y)dµ(x)dν(y)
=P(X∈A, Y ∈B).
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C Compléments sur les noyaux
Dans cette partie (H, H, π)et (E, E, µ)sont des espaces probabilisés, (F, F)et (G, G)sont des
espaces probabilisables, ϕune application mesurable de Hdans E,Kun noyau sur E× F et Lun noyau
sur F× G.
1) Intégration d’une application par un noyau
Définition 7
Soit fune application mesurable de Fdans [0,+∞]. Pour tout xfixé dans E, l’intégrale de fpar
rapport à la probabilité K(x, ·)se note Kf(x) = RFf(y)K(x, dy).
Proposition 8
L’application Kfest mesurable de Edans [0,+∞].
Preuve
Lorsque fest la fonction caractéristique 1Ad’un élément A∈ F,Kf(x) = K(x, A)est mesurable
par définition d’un noyau. L’application Kfest donc aussi mesurable lorsque fest positive et étagée
par rapport à la tribu F, i.e. de la forme f=Pn
i=1 αi1Ai, où αi∈[0,+∞[et Ai∈ F. Enfin si fune
application mesurable quelconque de Fdans [0,+∞], il existe une suite croissante (fn)nd’applications
positives et étagées par rapport à la tribu Fconvergeant en tout point vers f. Pour xfixé dans Ela suite
Kfn(x) = Rfn(y)K(x, dy)converge (en croissant) vers Rf(y)K(x, dy) = Kf(x)en vertu du théorème de
convergence croissante, et l’on conclut en remarquant qu’une limite simple d’applications mesurables est
mesurable.
Proposition 9
Soit de plus (D, D)un espace mesurable et fune application mesurable de F×Ddans [0,+∞].
L’application de D×Edans [0,+∞]qui à (d, x)associe RFf(y, d)K(x, dy)est mesurable sur F×D.
Preuve
Posons J={A∈ D × E :1A∈ I}. L’ensemble Jest une classe de Dynkin qui contient les pavés
mesurables, donc aussi la tribu D × E. La suite de la démonstration est calquées sur celle de la proposition
précédente.
2) Composé d’une probabilité et d’un noyau
Définition 10
Le composé de la probabilité µet du noyau Kest la probabilité notée µ◦ K définie sur (F, F)par
∀A∈ F µ◦ K(A) = ZE K(x, A)dµ(x).
µ◦ K est bien une probabilité car d’une part µ◦ K(F) = RK(x, F )dµ(x) = 1, puisque K(x, F ) = 1 pour
tout x∈E; d’autre part si (An)n≥1est une suite d’éléments deux à deux disjoints de F
µ◦ K([
n≥1
An) = ZK(x, [
n≥1
An)dµ(x) = Z[X
n≥1
K(x, An)]dµ(x) = X
n≥1ZK(x, An)dµ(x) = X n≥1
µ◦ K(An)
par additivité de l’intégrale des applications positives.
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Proposition 11
Soit fune application mesurable de Fdans [0,+∞]. Si l’on pose ν=µ◦ K, on a
ZF
fdν =ZE [ZF f(y)K(x, dy)]dµ(x) = ZKfdµ.
Preuve
La proposition est immédiate lorsque fest la fonction caractéristique 1Ad’un élément A∈ F, donc
aussi lorsque fest positive et étagée par rapport à la tribu F. Le cas général s’obtient en considérant suite
croissante (fn)nd’applications positives et étagées par rapport à la tribu Fconvergeant en tout point vers
f.
Corollaire 12
Si µ=πϕest la mesure image de πpar ϕ, application mesurable de Hdans E, et si l’on pose
ν=µϕ◦ K
Zfdν =ZE
Kfdµϕ=ZH Kf[ϕ(u)]dπ(u) = ZH [ZF f(y)K(ϕ(u), dy)]dπ(u).
Si l’on note Kϕle noyau défini sur H× F par Kϕ(u, A) = K(ϕ(u), A)et ρ=π◦ Kϕ, on constate que
Zfdρ =ZH
[ZF f(y)Kϕ(x, dy)]dπ(x) = ZH [ZF f(y)K(ϕ(x), dy)]dπ(x) = Zfdν.
L’égalité précédente équivaut à la relation πϕ◦ K =π◦ Kϕ.
Notation 13
Soit fune application mesurable de Fdans Rtelle que les applications Kf+et Kf−soient finies
presque partout pour µ. Dans ce cas on définit une application Kfµpar :
-Kfµ=Kf+− Kf−sur {Kf+<+∞} ∩ {Kf−<+∞}
-Kfµ= 0 ailleurs.
Kfµest une application mesurable Edans R.
Si l’application fest de plus intégrable pour ν,Kfµest intégrable pour µet RFfdν =REKfµdµ.
En effet on a d’après la proposition 2 REKf+dµ =RFf+dν < +∞et REKf−dµ =RFf−dν < +∞,
ce qui prouve que les applications Kf+et Kf−sont intégrables pour µ; l’application Kfest donc aussi
intégrable pour µ. De plus les deux applications Kf+et Kf−sont finies presque partout pour µ. Posant
N={Kf+<+∞} ∩ {Kf−<+∞} on a
ZF
fdν =ZF f+dν −ZF f−dν =ZE Kf+dµ −ZE Kf−dµ =ZN [Kf+− Kf−]dµ =ZN Kfµdµ =ZE Kfµdµ.
3) Composé de deux noyaux
Définition 14
Le composé du noyau Ket du noyau Lest le noyau noté K ◦ L défini sur E× G par
∀(x, B)∈E× G K ◦ L(x, B) = ZL(y, B)K(x, dy).
Si pour Bfixé dans Gon pose f(y) = L(y, B)on a K ◦ L(x, B) = Kf(x); l’application x→ K ◦ L(x, B)
est donc mesurable. Si pour xfixé dans Eon note νla probabilité K(x, ·), on a K ◦ L(x, B) = ν◦ L(B),
ce qui justifie que pour xfixé K ◦ L(x, ·)soit une probabilité.
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Proposition 15
Désignant par Mle noyau K ◦ L, on a pour toute application mesurable gde Gdans [0,+∞]
∀x∈EMg(x) = ZF [ZG g(z)L(y, dz)]K(x, dy) = ZF Lg(y)K(x, dy) = K[Lg](x).
Preuve
La proposition est immédiate lorsque gest la fonction caractéristique 1Ad’un élément A∈ G, donc
aussi lorsque gest positive et étagée par rapport à la tribu G. Le cas général s’obtient en considérant suite
croissante (gn)nd’applications positives et étagées par rapport à la tribu Gconvergeant en tout point vers
g.
Proposition 16
On a la relation d’associativité µ◦(K ◦ L) = (µ◦ K)◦ L.
Preuve
Cette égalité résulte directement des définitions : pour toute application mesurable gde Gdans
[0,+∞], en notant νla probabilité µ◦ K,ρla probabilité µ◦(K ◦ L)et ηla probabilité (µ◦ K)◦ L, et en
utilisant successivement les propositions 11 ,15 et à nouveau deux fois la proposition 11
Zgdρ =ZK ◦ L(g)dµ =ZK[Lg]dµ =ZLgdν =Zgdη.
4) Produit de deux noyaux
Définition 17
Le produit K ⊗ L des noyaux Ket Lest l’unique noyau sur E×(F ⊗ G)vérifiant :
∀x∈E∀(A, B)∈ F × G K ⊗ L(x, A ×B) = ZA L(y, B)K(x, dy).
On remarque que pour xfixé dans Ela probabilité image de K ⊗ L(x, ·)par la projection canonique de
F×Gsur Gest K ◦ L(x, ·).
Définition 18
Le produit µ⊗ K de la probabilité µet du noyau Kest l’unique probabilité définie sur (E×F, E ⊗ F)
vérifiant ∀(A, B)∈ E × F
µ⊗ K(A×B) = ZA K(x, B)dµ(x).
Pour tout A∈ E
µ⊗ K(A×F) = ZA K(x, F )dµ(x) = µ(A),
et pour tout B∈ F
µ⊗ K(E×B) = ZE K(x, B)dµ(x) = µ◦ K(B).
En conséquence la mesure image de µ⊗ K par la projection canonique sur Eest µ, et la mesure image de
µ⊗ K par la projection canonique sur Fest µ◦ K.
Remarque 19
Désignant par πE(resp. πF) la projection canonique de E×Fsur E(resp. F), on vérifie que le noyau
Kest une loi conditionnelle de πEsachant πFrelativement à la probabilité µ⊗ K. En conséquence
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