Terminale S - Loi uniforme. Loi exponentielle
Loi uniforme. Loi exponentielle
I) Loi uniforme de probabilité sur [a : b]
La loi de probabilité qui admet pour densité la fonction
constante
égale à
sur [ ; ], est appelée loi uniforme sur [ ; ]
Soit [ ; ] un intervalle inclus dans [ ; ] et une variable aléatoire
suivant la loi uniforme sur [ ; ], alors :
( )=
=
Propriétés :
Si est une loi de probabilité suivant une loi uniforme sur l’intervalle [ ;] alors cela
signifie que est une loi continue dont la densité est la fonction constante définie
sur [ ; ] par () =
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur
[ ; ] est () =
Exemples :
1) Dans une ville (idéale) les autobus passent à chaque arrêt exactement toutes les
20 minutes. On appelle le temps d’attente en minutes d’un autobus à un arrêt.
est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 20], on a
donc :
( 5 18 ) =
=
et ( 12 )= ( 12 20) =
=
enfin le temps d’attente moyen qui est égal à () vaut
soit 10 minutes.
2) La fonction « alea » d’une calculatrice affiche au hasard un nombre réel
appartenant à ]0 ; 1[. Soit le nombre affiché, est une variable aléatoire qui suit
une loi uniforme sur ]0 ; 1[. On a donc :
( 0,15 0,40 ) = ,,
= 0,25 et ( 0,8 ) = ( 0,8 1) = ,
= 0,2
Remarque :
Si suit une loi uniforme sur [ ;] on définit la fonction appelée fonction de
répartition de de la façon suivante :
Pour tout ()=( )=
0 si
si
1 si
II) Loi exponentielle
1) Définition
Soit
λ
un réel strictement positif. Une variable aléatoire
suit une loi
exponentielle de paramètre
λ
lorsque sa densité de probabilité est la
fonction la fonction définie sur [ 0 ; +
∞
[ par :
( ) = λ λ
Remarque :
On peut vérifier que est bien une densité de probabilité sur [0 ; + ∞ [ en effet :
● La fonction est continue et positive sur [0 ; + ∞ [
● Pour tout nombre a positif, λλ
= [λ ]
= 1 – λ donc
lim () = 1
Ce qui signifie que l’aire sous la courbe de sur [0 ; + ∞ [ est égale à 1
Résultats :
Soit une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ, et et
deux réels positifs ou nuls ,alors on a:
● ( ) = λλ
= [
λ
]
= 1 – λ
● ( ) = 1 – ( ) = 1 – ( 1 – λ) =λ.
● ( ) = λλ
= [
λ
]
= λ – λ.
Exemples :
Exemple 1 : La durée de vie d’un ordinateur portable exprimée en années est une
variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre = 0,125
La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable dépasse 5 ans est
( 5)= 1 0,125 ,
= , × 0,535
La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable soit inférieure à 3 ans
est ( 3)= 0,125 ,
= 1 , × 0,313
Exemple 2 : Le temps d’attente exprimé en minutes au guichet d’une banque est
une variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre . On sait que la
probabilité qu’un client attende moins de 8 minutes est égale à 0,7.
a) Calculer une valeur approchée à 0,0001 de
On a ( 8 )= 0,7 donc 1 = 0,7
De là = 0,3 et donc λ = (,)
0,1505
b) Calculer la probabilité qu’un client attende entre 15 et 20 minutes
( 15 20)= ,× ,× 0,055
2) Propriétés
a) Espérance mathématique d’une loi exponentielle
Soit
une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre
λ
(
λ
> 0 ),alors :
()=
×λ
λ
=
λ
Démonstration :
La fonction ()= ( +
λ
)λ a pour dérivée ()= λtλ d’où
()= lim ×λλ
= lim
[()]
0= lim
+
λ
λ+
λ
Comme on sait que lim λ= 0 et que lim λ= 0 on a ()=
λ
Remarque : E() représente la valeur moyenne de la variable aléatoire de
Exemple :
Si est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre telle que
sa valeur moyenne soit égale à 20, alors on peut écrire que ()=
=20
d’où =
b) Probabilité conditionnelle
Pour tout
et tout
on a
( + )= ( )
Démonstration :
Soit une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre . Soit
et deux réels strictement positifs. On cherche la probabilité que soit
supérieure ou égale à + sachant que est supérieure à
( + )= ( + )
( )
D’où
( + )= ( + )
( )= ( )
= =( )
D’où le nom de « loi de durée de vie sans vieillissement » donné quelquefois à
la loi exponentielle.
Exemple :
La durée de vie d’un ordinateur portable exprimée en années est une variable
aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre = 0,125
La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable dépasse 5 ans sachant
qu’il fonctionne depuis déjà 2 ans est égale à
( 5 )= ( 5 )
( 2) =
= =( 3 )=,×0,687
c) Fonction de répartition
Si
est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre
, on définit la fonction
appelée fonction de répartition de
de la façon
suivante :
Pour tout
()=( )=
0 si
si 0
1
/
4
100%
