2 - Modélisation du Moteur à Courant Continu

Lycée Gustave Eiffel de Dijon
Classe préparatoire P.T.S.I.
Année 2016 - 2017
Électrotechnique
2 - Modélisation du
Moteur à Courant Continu
Table des matières
I
1
2
Fonctionnement d’un moteur à courant continu
Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Constitution d’un moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
1
2
3
Modèle de moteur à courant continu
Mise en équation des phénomènes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportement global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Identification des grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
7
Commande d’un moteur à courant continu
9
II
III
IV
1
2
3
4
Aspect énergétique
Puissance d’entrée ou Puissance "absorbée"
Puissance électromagnétique . . . . . . . . .
Puissance de sortie ou Puissance "utile" . .
Pertes et rendement . . . . . . . . . . . . .
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.
Objectif :
• Connaître le modèle de connaissance de la machine à courant continu.
• Comprendre le comportement global de la machine à courant continu.
• Savoir identifier les quadrants de fonctionnement de la machine à
Concevoir
Analyser
Réaliser
Compétences
Expérimenter
Communiquer
20 janvier 2017
1
Modéliser
Résoudre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
10
11
11
Modélisation du
Moteur à Courant Continu
Électrotechnique
Infos issues d'autres
systèmes et des
interfaces
homme/machine
Informations destinées
aux autres sustèmes et
aux interfaces
homme/machine
Chaîne d'information
ACQUERIR
Nom
TRAITER
COMMUNIQUER
Nom
Nom
Energie
d'entrée
Grandeurs
physiques
à acquérir
Ordres
MO
Chaîne d'énergie
ALIMENTER
Nom
DISTRIBUER
CONVERTIR
Nom
ACTION
TRANSMETTRE
Nom
Nom
MO
+
VA
Nom
Figure 1 – Situation dans la chaîne fonctionnelle.
I.
1
Fonctionnement d’un moteur à courant continu
Force de Laplace
Propriété 1 : Force de Laplace
→
−
Soit une portion de fil (petite, définie par un vecteur dl ) traversée par un courant électrique I.
→
−
Supposons que ce fil soit plongé dans un champ magnétique B .
−→
Alors cette portion de fil est soumise à une petite force dF , appelée force de Laplace telle
que :
→
− →
−→
−
dF = I dl ∧ B
(1)
dl
dF
dF
dl
Figure 2 – Représentation des forces de Laplace.
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Exemple 1 :
Calculons les force de Laplace, engendrée dans chaque partie de fil (1) et (2) (les autres parties sont
jugées négligeables). En déduire le couple autour du point O.
z
Fil (1)
O
U
y
x
i
i
D
L
B
Fil (2)
• Fil 1 :
F~1 =
• Fil 2 :
Z
L
−→
dF =
L
Z
→
− →
−
I dl ∧ B
F~2 =
0
0
Z
L
−→
dF =
=I
→
− ~
I dl ∧ B
0
0
L
Z
L
Z
L
Z
−
−
dl→
y ∧ (−B →
x)
= −I
0
−
−
dl→
y ∧ (−B →
x)
0
Z
= IB
L
→
−
−
z dl = IBL→
z
Z
= −IB
0
L
→
−
−
z dl = −IBL→
z
0
• Moment en O :
−−→
MO = 2
→
− →
−
D→
−
→
−
x
I dl ∧ B ∧ y y +
2
f il
f il
Z L
Z L
D→
→
−
→
−
−
−
−
=I
(+ z ) ∧ (y y +
x )Bdl +
(−→
z ) ∧ (y →
y −
2
0
0
Z L
Z L
D−
−
−
−
−
= IB
(+→
z ) ∧ (y →
y + →
x )dl +
(−→
z ) ∧ (y →
y −
2
0
0
!
Z L
Z L
D→
D→
−
−
y dl +
y dl
= IB
2
2
0
0
Z
−→ −−→
dF ∧ OP =
= 2IBL
Z
D→
−
x )Bdl
2
!
D→
−
x )dl
2
!
D→
−
y
2
Le principe d’un moteur est donc de placer une (ou plusieurs) boucle(s) de fil traversée par un courant
électrique (on parle de bobinage), sur une pièce en rotation (appelée rotor), le tout placé dans un champ
magnétique. Cela a pour effet de créer un couple qui fera tourner ce rotor.
2
Constitution d’un moteur à courant continu
Le moteur à courant continu est principalement constitué de 2 ensembles :
• Le stator : partie fixe du moteur ;
• Le rotor : partie tournante du moteur.
a)
Le stator
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(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figure 3 – Différentes étapes de rotation d’un moteur à courant continu.
Définition 1 : Stator
Le stator (ou « inducteur ») est la partie fixe du moteur (stator ∼
= statique). Il a pour fonction
de créer un champ magnétique reçu par les bobines du rotor. Il peut être constitué d’aimants
permanents ou de bobines alimentées par un courant.
(a) Photo d’un stator seul
(b) Schéma d’un stator à 2 paires
de pôles.
Figure 4 – Stator.
b)
Le rotor
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Définition 2 : Rotor
Le rotor (ou « induit ») est la partie tournante du moteur (rotor ∼
= rotation). Il est constitué
d’un enroulement de spires conductrices réunies en faisceaux, disposés de telle manière que
lorsqu’un côté est soumis au pôle nord, l’autre est au pôle sud : les faisceaux sont tous reliés en
série grâce aux lames du collecteur.
Figure 5 – Photos d’un rotor.
Chaque faisceau est constitué d’un enroulement d’un grand nombre de spires. Les faisceaux sont disposés
afin que deux côtés opposés d’une spire soient soumis aux deux pôles de l’aimant. L’intensité de la force
électromagnétique d’entraînement dépend du nombre de spires.
Comme le courant électrique provient généralement d’une source extérieure fixe, pour ne pas emmêler les fils
lors de la rotation, les bobines du rotor sont alimentées par des contacts électriques frottants, via des balais ou
des charbons fixé sur le stator. L’élément du rotor qui est en contact avec ces balais s’appelle le collecteur
(fig.6).
Figure 6 – Collecteur.
c)
Les paires de pôles
Pour améliorer la puissance, le couple généré et la fluidité du moteur, la bobine du rotor peut être doublée,
triplée, etc... Chacune des ces bobines supplémentaire est soumise d’un coté à un pôle nord, de l’autre à un pôle
sud. On parle alors de paire de pôles 1 .
1. Cette définition sera essentielle pour l’étude des moteurs triphasés l’an prochain.
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Définition 3 : Paire de pôles
On appelle paire de pôles le nombre de bobines indépendantes dans le rotor. Ce nombre
correspond également au nombre d’aimants sur le stator.
Par exemple, la figure 3 schématise un moteur à une seule paire de pôles. La figure 4b représente un stator
à 2 paires de pôles. La photo 4a représente un stator à 3 paires de pôles. Enfin, la photo 5 semble contenir
également 3 paires de pôles.
II.
1
Modèle de moteur à courant continu
Mise en équation des phénomènes physiques
Le moteur à courant continu peut être modélisé de deux manières, selon le régime.
a)
Circuits équivalents
Comportement en régime établi
Comportement en régime dynamique (ou
transitoire)
• Définition : On considère le régime comme
établi s’il n’y a pas de variation de vitesse ou de
tension.
• Définition : On considère le régime comme
dynamique s’il n’est pas établi.
• Modèle : Le moteur est constituée d’une résistance R créée par les spires bobinées du rotor
(R = ρL
S ), en série avec une force électromotrice E
provoquée par une variation de flux sur le bobinage
induit (Loi de Lenz : E (t) = − dφ(t)
dt .)
• Modèle : Le modèle est presque similaire au
régime établi, à cela près qu’on ajoute en série une
inductance L issue du bobinage induit.
E
E
U
Mcc
U
⇔ U
Mcc
⇔ U
R
b)
R
L
Équations électriques et mécaniques
Propriété 2 : Loi des mailles
Par loi des mailles sur le modèle précédent, il vient :
Comportement en régime établi
U (t) = E (t) + RI (t)
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(2)
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Comportement en régime
dynamique (ou transitoire)
U (t) = E (t) + RI (t) + L
dI (t)
dt
(3)
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Propriété 3 : Force électromotrice
La force électromotrice E (t) est une tension induite par la variation de champ magnétique reçu
par les bobinages (voir cours d’électromagnétisme en physique). On retiendra que cette variation
est proportionnelle à la vitesse de rotation Ω(t) et :
E (t) = KΩ(t)
(4)
où K est la constante électromagnétique (en V s /rad ) caractéristique du moteur, donnée
par le constructeur a .
a. Pour info : K = 2πpN
Φ avec p = nombre de paires de pôles, a = nombre de paires de voies d’enroulements,
60a
N = nombre de conducteurs actifs (2/spires) et Φ = flux par pôles (Wb)
Propriété 4 : Couple
Le couple C (t) exercé par le stator sur le rotor est proportionnel au courant I (t) qui alimente le
moteur :
C (t) = KI (t)
(5)
En l’absence de perte, le K présenté ci dessus est le même que pour la force électromotrice.
Propriété 5 : Puissance mécanique et électrique
En l’absence de perte, il vient :
Pem (t) = C (t)Ω(t)
= E (t)I (t) = U (t)I (t) −
RI (t)2
Puissance mécanique
(6)
Puissance électrique
(7)
Propriété 6 : Principe fondamental de la dynamique
Si on isole le rotor, le principe fondamental de la dynamique en rotation autour de l’arbre du
moteur donne
dΩ(t)
dt
dΩ(t)
C (t) − f Ω(t) = J
dt
dΩ(t)
C (t) − Cr (t) − f Ω(t) = J
dt
C (t) = J
(En l’absence de frottement)
(8)
(Avec frottement fluides f )
(9)
(Avec frottement fluides et couple résistant)
(10)
où J est le moment d’inertie du rotor a
a. J représente l’inertie en rotation, c’est à dire la difficulté à modifier la vitesse de rotation.
2
Comportement global
Le comportement global d’un moteur à courant continu peut s’exprimer sous la forme d’un schéma bloc via
les transformées de Laplace 2 :


U (t) = E (t) + RI (t) + L dI(t)

dt
 L
E (t) = KΩ(t)
⇔
C (t) = KI (t)



C (t) − Cr (t) − f Ω(t) = J dΩ(t)
dt
Ces équations nous amènent au schéma bloc suivant :



U (p)
E (p)
C (p)


C (p) − Cr (p) − f Ω(p)
= E (p) + (R + pL)I (p)
= KΩ(p)
= KI (p)
= JpΩ(p)
2. On se place dans les conditions de Heaviside.
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f
U (p)
I (p)
1
R + Lp
+
−
K
C (p)
−
+
−
Ω(p)
1
Jp
Cr (p)
E (p)
K
Après calcul, la fonction de transfert d’un moteur à courant continu (sans couple résistant) est :
HM (p) =
K
=
(Jp + f )(R + Lp) + K 2
K
f R+K 2
f L+JR
JL
2
f R+K 2 p + f R+K 2 p
(11)
+1
La forme canonique peut être exprimer comme produit de 2 premiers ordre :
HM (p) =
avec τ =
RJ
K 2 +Rf ,
τe =
L
R,
K0 =
K
K 2 +Rf
et α =
K0
τ τe p2 + (τ + ατe )p + 1
(12)
Rf
K 2 +Rf .
• τ est appelé constante de temps électromécanique (d’autant plus grande que l’inertie J est grande)
• τe est appelé constante de temps électrique (issue des composants électroniques, notamment l’inductance).
En général, la partie électromécanique réagit moins vite que la partie électrique et on montre que :
τ τe
(13)
Propriété 7 :
Après quelques simplifications sur les ordres de grandeurs (non présentées), le moteur peut être
considéré comme produit de deux fonctions du premier ordre :
• une fonction liée à la mécanique (de constante de temps τ ).
• une fonction liée à l’électronique (de constante de temps τe ).
Hm (p) ≈
3
K0
(1 + τ p)(1 + τe p)
(14)
Identification des grandeurs
D’après ce qui précède, le modèle d’un moteur à courant continu peut se caractériser par 3 grandeurs 3 :
• son inductance L,
• sa résistance interne R,
• sa constance électromotrice (ou constante de couple) K.
Ces paramètres sont généralement données par le constructeur. Toutefois, il peut être nécessaire de les caractériser.
a)
Identifier R :
R s’obtient simplement par mesure de la résistance via un ohmmètre.
3. J n’est pas considéré comme une grandeur caractéristique du moteur car il fait intervenir le reste du mécanisme (réducteur,
charge, etc.).
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Attention :
La connexion des balais du collecteur influe beaucoup sur la mesure de la résistance. Il faudra
donc penser à faire plusieurs mesures en faisant légèrement tourner le moteur à chaque fois.
b)
Identifier L :
La loi d’Ohm (équation 3) permet de déduire l’équation différentielle suivante :
L
dI (t)
+ RI (t) = U (t) − E (t)
dt
(15)
Prenons le cas où l’on bloque le moteur (Ω(t) = 0 rad /s ). On en déduit : E (t) = 0 V . Appliquons un échelon de
tension à l’entrée : U (t) = U0 = C te pour t > 0. La solution de cette équation est alors :
R
U0 1 − e− L t
(16)
I (t) =
R
imax
i(t)
0.95 imax
0.63 imax
t
L/R
3L/R
Figure 7 – Courant traversant le moteur bloqué en rotation, auquel on soumet un échelon de tension.
La constante de temps de cette réponse est :
τ=
L
1
= (temps de réponse pour 63%) = (temps de réponse à 5%)
R
3
(17)
Astuce 1 :
Dans les conditions citées ci-dessus (moteur bloqué + échelon de tension), L s’obtient en recherchant le
temps à 5% (t5%
r ) :
L=
c)
Rt5%
r
3
(18)
Identifier K :
K est présent dans deux équations :
• l’équation (4) joignant la force électromotrice à la vitesse de rotation,
• l’équation (5) joignant le couple au courant ;
Il y a donc 2 manière de calculer K.
1. En calculant E (t) = U (t) − RI (t) en régime établit (il faut donc connaître préalablement R et mesurer I (t))
et en mesurant Ω(t).
2. En mesurant le couple fourni par le moteur et le courant absorbé.
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III.
Commande d’un moteur à courant continu
La commande d’un moteur n’est pas triviale car celui-ci peut adopter plusieurs comportements : parfois
moteur, parfois générateur, dans un sens, dans l’autre, . . . Selon les cas, le circuit de commande doit être
capable de gérer chacun de ces modes de fonctionnement.
Les modes de fonctionnement du moteur dépendent :
• du sens de rotation Ω(t). En effet, le moteur peut tourner dans le sens positif ou négatif (selon la convention
choisie).
• du sens du couple C (t). En effet, indépendamment du sens, le moteur peut aider ou gêner le rotor dans sa
rotation. On rappelle, d’après l’équation 5 que le couple est intimement lié au courant.
Vitesse de rotation
+ Ω
Quadrant 2
Fonctionnement en
génératrice avant
FREIN
I
+
U
Quadrant 1
Fonctionnement en
moteur avant
I
Ω
G
U
+
+
C Ω
M
+
C
-
Couple
+ C
Quadrant 3
Quadrant 4
Fonctionnement en
moteur arrière
I
U
+
M
C
Ω
+
U
-
Fonctionnement en
génératrice arrière
FREIN
I
+
C
+
G
Ω
Figure 8 – Quadrants de fonctionnement du moteur.
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Exemple 2 : TGV
La première génération de TGV (1978–1988) fonctionnait
avec des moteurs à courant continu. Les trains étaient (et
sont toujours) équipés de deux motrices (locomotives) : la
motrice avant tire le train pendant que la motrice arrière
le pousse.
On suppose que le train accélère jusqu’à sa vitesse de
croisière, puis décélère pour s’arrêter en gare. Ensuite, il
repart dans l’autre sens en suivant le profile inverse. On
suppose que l’aller correspond au sens positif de rotation
des moteurs. On suppose également qu’en vitesse de croisière, les frottements de l’air obligent à exercer un couple
moteur constant.
Définir, pour chaque phase, le quadrant de fonctionnement des moteurs.
Ω
t
Remarques 1 :
• A condition que la chaîne cinématique le permette, pour passer des quadrants 1 → 4 ou 2 → 3
le dispositif d’alimentation devra être réversible en courant.
• A condition que la chaîne cinématique le permette, pour passer des quadrants 1 → 2 ou 3 → 4
le dispositif d’alimentation devra être réversible en tension.
Remarque 2 :
Selon le sens de C, on comprend que le courant I doit pouvoir changer de sens également. Le
distributeur qui pilote le moteur doit ainsi pouvoir gérer ce changement de signe. Cette remarque
fera l’objet du prochain cours sur les hacheurs.
IV.
1
Aspect énergétique
Puissance d’entrée ou Puissance "absorbée"
La puissance absorbée est la puissance électrique utilisée par le moteur, vue depuis l’extérieur du moteur.
Si U est la tension d’alimentation du moteur et i est le courant qui le traverse, alors :
Pa = U × i
2
(19)
Puissance électromagnétique
C’est la puissance que le moteur est théoriquement capable de convertir, lorsque l’on néglige les pertes.
PEM = E × i
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(En régime permanent)
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3
Puissance de sortie ou Puissance "utile"
La puissance utile est la puissance mécanique réellement récoltée à la sortie du moteur.
Si ω est la vitesse de rotation du rotor, et Cu le couple généré par le moteur, alors :
PU = ω × C u
4
(20)
Pertes et rendement
Lors de sa transformation, toute la puissance n’est donc pas transmise ; il y a des pertes :
• les pertes Joules : PJ = Ri2 . C’est la puissance dissipée par la résistance électrique du rotor (bobinage. . .).
• les pertes collectives : Cette puissance perdue et la somme de deux choses :
◦ Les pertes fer PF : Ce sont les pertes dues aux effets du champs magnétiques sur le noyaux du rotor
(autre que le bobinage). Les courants de Foucault créent, entre autre, un échauffement du noyau, et donc
une perte sous forme de chaleur.
◦ Les pertes mécanique PM : Ce sont les pertes liées aux frottements du rotor, notamment dans la liaison
pivot, dans les frottements de l’air, etc..
Les pertes collectives peuvent être déterminées par un essai à vide (sans charge) : la puissance de sortie est
donc nulle ; les pertes collectives correspondent à la puissance électromagnétique.
Pertes Joules
PJ=R×i²
Puissance
absorbée
Pa=U×i
Pertes fer
Pertes
PF
Mécaniques
PM
Puissance
utile
PU=ω×Cu
Puissance
Eléctromagnétique
PEM=E×i
Figure 9 – Schéma des puissance et des pertes dans la conversion d’un moteur à courant continu.
Définition 4 : Rendement
On appelle rendement du moteur à courant continu, le coefficient (sans unité) :
η=
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Puissance utile
PU
PU
=
=
Puissance absorbée
Pa
P U + PJ + PF + P M
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Électrotechnique
Questions de cours
Q1.
Définir la force de Laplace
Q2.
Qu’est ce qu’un collecteur
Q3.
Qu’est ce qu’une paire de pôles ?
Q4.
De quoi dépend la force électromotrice E ?
Q5.
De quoi dépend le couple moteur C ?
Q6.
Quelle est la constante de temps électrique du moteur ?
Q7.
Comment déterminer K expérimentalement ?
Q8. Mon moteur tourne dans le sens positif, mais je cherche à le freiner. Dans quel quadrant
de fonctionnement dois-je être ?
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