CHAPITRE III : Dynamique du point matériel

III.1
CHAPITRE III : Dynamique du point matériel
III.1 : La Force
La dynamique s’intéresse aux causes pour lesquelles les objets se déplacent comme ils le
font. Pourquoi un objet immobile se met-il en mouvement ? Qu’est-ce qui amène un mobile à
accélérer ou à ralentir ? Dans ces deux cas, c’est une action extérieure à l’objet, qui a une
direction et un sens, et que l’on appelle force, qui modifie l’état de mouvement de l’objet. La
force qui modifie le mouvement d’un mobile est nécessairement exercée sur ce mobile par un
autre objet, soit directement par contact, comme la force de poussée de quelqu’un qui pousse un
wagonnet ou la force de traction exercée par un enfant qui tire un traîneau, soit indirectement, à
distance, c’est le cas de la force d’attraction de la terre sur la lune ou de la force de répulsion qui
existe entre deux charges électriques de même signe.
On peut mesurer l’intensité d’une force à l’aide d’un dynamomètre, constitué d’un ressort
qui s’étire devant une échelle graduée (voir figure III.1).
Figure III.1.
Pour calibrer le dynamomètre on décide arbitrairement de la force unité (correspondant au trait
1). En appliquant deux, trois, quatre, … de ces forces unité identiques à un même dynamomètre,
on repère les traits 2, 3, 4, …(voir figure III.2).
Figure III.2.
La force est une grandeur caractérisée par une intensité, une direction et un sens. Mais
pour pouvoir la représenter par un vecteur, il faut vérifier qu’elle obéit à la loi de l’addition
III.2
vectorielle. On peut vérifier expérimentalement à l’aide de dynamomètres, qu’il en est bien ainsi.
Par exemple, la figure III.3 représente une force horizontale de quatre unités, F1 , et une force
verticale de 3 unités, F2 .
Figure III.3.
L’expérience montre que l’effet combiné de ces deux forces est le même que celui d’une force
unique de 5 unités, faisant un angle de 37° avec l’horizontale. Ce sont en fait le module et la
direction du vecteur somme de ces deux forces
JG :
JG
JG
F tot = F1 + F 2 .
(III. 1)
Dans cet exemple, les forces obéissent bien à la règle d'addition des vecteurs. Cette expérience a
été répétée à de nombreuses occasions et pour différentes forces, ce qui confirme bien la nature
vectorielle de la force.
Mais quel est le lien entre la force exercée et le mouvement ? Ce problème a été résolu en
partie par Galilée1 et ensuite par Newton, qui a énoncé trois lois qui constituent les fondements
de la mécanique classique.
III.2 : La première loi ou principe d'inertie
Nous savons par expérience qu’un objet lancé sur un plancher horizontal et abandonné à
lui-même, s’arrête rapidement. Par contre si on polit soigneusement la surface de contact de
l’objet avec le sol et si ce dernier est lui-aussi bien lisse, comme de la glace, par exemple, pour
une même vitesse initiale imprimée à l’objet, celui-ci parcourra une distance plus grande avant de
s’arrêter. Si maintenant l’objet se meut sur un coussin d’air entre lui et le sol, on verra à peine sa
vitesse diminuer. D’où l’idée de Galilée que dans une situation idéale sans forces de frottements
entre l’objet et le sol, cet objet garderait indéfiniment sa vitesse initiale. Ceci a conduit à la 1ère
loi, appelée aussi principe d’inertie :
Tout corps reste immobile ou conserve un mouvement rectiligne et uniforme aussi
longtemps qu’aucune force extérieure ne vient modifier son état.
Autrement dit
G G
si F = 0
JJJG JJG
v(t) = v 0
et réciproquement
(III.2)
Si on veut qu’un objet se déplace à vitesse constante sur une surface rugueuse, il faut lui
appliquer une force égale et opposée à la force de frottement de telle sorte que la force résultante
qui s’applique sur l’objet soit nulle (voir figure III.4).
1
Galileo Galilei (1564-1642) : philosophe et astronome italien.
III.3
Figure III.4.
La 1ère loi n'implique donc pas qu'aucune force ne s'applique sur un corps en MRU, mais que la
résultante de ces forces extérieures est nulle.
III.3 : La deuxième loi de Newton et la masse
D’après la première loi de Newton, on sait qu’une force agissant sur un corps produit une
accélération. Pour déterminer comment l’accélération dépend de la force, on fait varier la force
appliquée à un même objet et on mesure l’accélération. On constate que si la force appliquée est
deux fois plus grande, l’accélération produite est deux fois plus grande. De même pour une force
trois, quatre fois … plus grande, l’accélération produite est trois fois, quatre fois … plus grande.
Pour un même objet, l’intensité de l’accélération est donc proportionnelle à l’intensité de la force
appliquée :
G
G
a ∝ F
(III.3)
Mais que se passe-t-il pour un autre objet ? On sait que si on applique une même force à un
chariot à provisions plein et à un chariot vide, l’accélération sera plus
G Gfaible dans le premier cas.
Clairement, il y a une autre grandeur qui joue dans la loi qui relie F à a , qui est liée à l’objet luimême : c’est la quantité de matière de l’objet que l’on appelle la masse, m. On constate
expérimentalement que lorsqu’on applique une même force à un objet qui a une masse deux fois
plus grande, l’accélération est deux fois plus petite : l’accélération est inversement
proportionnelle à la masse.
G 1
a∝
(III.4)
m
La masse d’un objet traduit donc la manière dont cet objet résiste à une force extérieure qui tend
à l’accélérer. Plus la masse est grande, plus faible sera l’accélération produite pour une même
force. Un objet de masse élevée a une grande inertie ce qui veut dire qu’il faut lui appliquer une
force élevée pour le mettre en mouvement. La masse dont il est question ici est donc une mesure
de l'inertie de l'objet; c’est pourquoi on précise parfois qu'il s'agit de la masse d’inertie (mI).
G
F
G
G
G
En regroupant les expressions (III.3) et (III.4), on obtient : a ∝
ou encore, F ∝ m a .
m
La constante de proportionnalité peut être fixée arbitrairement à 1, à condition de choisir l’unité
de force en conséquence. L’unité de force du SI est le Newton (N), c’est la force qui appliquée à
une masse de 1 kg produit une accélération de 1 m/s2. Dès lors la deuxième loi de Newton
s’écrit :
G
G
F=ma
(III.5)
III.4
En effet, l’accélération produite a la même direction que la force appliquée et la relation entre les
G
G
intensités de a et de F peut s’écrire sous forme vectorielle. Il en résulte que la masse est un
scalaire.
Dans la formulation classique du lien entre force et modification du mouvement, énoncée cidessus, la masse des corps en mouvement est supposée constante. Dans un cours ultérieur de
relativité restreinte, vous apprendrez que cette hypothèse n'est qu'une approximation valable à
faible vitesse comparée à la vitesse de la lumière, c:
v c = 299 792 458 m/s 300 000 km/s
Cette condition est aisément vérifiée pour les mouvements que nous aurons à considérer dans ce
cours.
III.4 : La troisième loi de Newton ou principe de l'action et de la réaction
Dans chaque cas où on étudie le mouvement d’un objet à l’aide de la deuxième loi de
Newton, on considère les forces appliquées par un autre corps sur cet objet : le cheval qui tire la
charrette, pour le mouvement de la charrette, la personne qui pousse un chariot à provisions pour
le chariot à provisions, le marteau qui enfonce un clou pour le clou. Mais s’il est vrai que le
marteau exerce une force sur un clou, de toute évidence le clou exerce lui aussi une force sur le
marteau puisque la vitesse de ce dernier devient rapidement nulle lorsque les deux objets entrent
en contact. Seule une force intense peut causer une décélération aussi rapide et qui d’autre que le
clou peut l’avoir exercée ? Ces considérations ont conduit Newton à énoncer sa troisième loi :
Chaque fois qu’un objet exerce une force sur un second objet, ce dernier exerce sur le
premier une force égale et opposée.
JG
JG
F12 = - F 21
(III.6)
Remarque importante :
Les forces F12 et F21 qui apparaissent dans la troisième loi de Newton ne sont pas
appliquées au même objet et seule l’une d’entre elle doit être prise en considération si on désire
étudier le mouvement de l’un de ces objets avec la 2ème loi de Newton. Si on désire étudier le
mouvement de la particule 1, il faut faire intervenir dans la loi (III.5), F12 qui est la force exercée
par la particule 2 sur la particule 1. F21 , qui est la force exercée par la particule 1 sur la
particule 2, n’intervient pas.
III.5 : Référentiel inertiel
Les lois de Newton, ainsi que les prédictions que l’on peut faire à partir de celles-ci, se
sont montrées extrêmement bien vérifiées par l’expérience (tant que v << c), à condition de les
appliquer dans un référentiel particulier, dit référentiel inertiel. Les lois de Newton sont vérifiées
dans un référentiel Oxyz, « fixe ». Nous montrerons au chapitre V qu’elles le seront aussi dans
tout référentiel qui a un mouvement de translation uniforme, c'est-à-dire avec une vitesse
constante, par rapport à ce référentiel fixe. Chacun de ces référentiels dans lesquels les lois de
Newton sont vérifiées est dit inertiel. Par contre les lois de Newton ne sont pas vérifiées dans un
III.5
référentiel en rotation ou qui accélère : il faut exercer une force pour maintenir un objet immobile
sur un manège forain qui tourne ou sur la plate-forme d’un tram qui accélère.
Mais comment déterminer ce fameux référentiel fixe ? En fait c’est impossible car les lois
de la physique sont identiques dans tous les référentiels inertiels; c'est le principe de relativité
sur lequel nous reviendrons au chapitre V. Il n’y a donc pas moyen d’en identifier un qui serait au
repos alors que les autres seraient en translation. S'il n'est pas possible de trouver un référentiel
au repos, comment savoir si un référentiel est inertiel ? Il faut s'assurer que la 1ère loi de Newton
y est vérifiée. Dans ce cas, on pourra y appliquer aussi les deux autres lois. Dès qu’un référentiel
inertiel a été identifié de cette manière, tous les autres s’obtiennent par translation uniforme.
Dans la suite de ce cours nous travaillerons toujours dans un référentiel supposé inertiel, du
moins (en première approximation), sauf mention contraire.
III.6 : La force gravitationnelle
En première approximation, les planètes et la terre en particulier, décrivent un
mouvement circulaire uniforme autour du soleil. D’autre part, nous avons vu au chapitre II que
G
G
dans un MCU, l’accélération est normale : a = Rω2 u n . La deuxième loi de Newton (III.5), nous
dit que pour que ce MCU ait lieu, il faut exercer une force centripète dirigée vers le centre de la
circonférence, donc vers le soleil. Newton en conclut que le soleil exerce une force d’attraction
sur les planètes, et réciproquement, en vertu de la loi de l’action et de la réaction (III.6). Cette
constatation l’a conduit à postuler la loi de la gravitation universelle. Selon cette loi, il existe
entre deux objets ponctuels de masse m1 et m2, distants de r12 une force d’attraction dont le
JJG
module FG est donné par :
JJJG
mm
FG = G 1 2
2
r12
(III.7)
G est une constante de proportionnalité qui ne peut plus être choisie égale à 1, toutes les unités
étant déjà définies. On l'appelle constante de gravitation universelle et une analyse
dimensionnelle permet de vérifier que dans le S.I., son unité est le N.m2/kg2; sa mesure conduit à
G = 6,67 × 10-11 N.m2/kg2.
La force gravitationnelle entre deux masses m1 et m2 est dirigée suivant la ligne qui les joint :
Figure III.5
On remarquera que le principe de l'action et de la réaction est bien respecté :
III.6
JJG JJG
m m
F12 = F21 = G 1 2 2
r12
JJG JJG
F12 = F21
La première mesure précise de G est due à Henry Cavendish1. Il a réalisé cette mesure à l'aide
d'une balance de torsion (voir figure III.6). Deux petites masses m1 se situent aux extrémités
d'une tige horizontale (~2 m), suspendue à un fil. Deux grosses masses m2 sont approchées des
masses m1 qui sont attirées par m2, ce qui provoque la torsion du fil d'un certain angle
proportionnel à la force d'attraction. La constante de proportionnalité est mesurée à partir d'une
mesure de la période d'oscillation de la tige.
Schéma de principe
Dispositif utilisé par Cavendish
Figure III.6.
III.7 : Le poids
Lorsqu’un objet ponctuel de masse m se trouve à la surface de la Terre, il subit une force
d’attraction gravitationnelle de la part de chaque molécule qui constitue la Terre, ce qui résulte en
une force d’attraction globale qu’on appelle le poids de l’objet, ou encore, force pesanteur. Son
intensité est donnée d’après la loi de gravitation universelle par :
JG
m
P =m.<G i >
ri2
Les signes < >, indiquent qu’on aurait calculé (à l’aide d’une intégrale de volume) la valeur
moyenne de l'accélération gravitationnelle exercée par chaque molécule de masse mi, située à une
distance ri de la masse m, en tenant compte de sa direction. Cette valeur moyenne a les
dimensions d’une accélération et pour cette raison est appelée accélération de la pesanteur et
désignée par la lettre g. La Terre n’étant pas parfaitement sphérique et homogène, g dépend de
l’endroit où on se trouve. En outre, de ce fait, il est tout à fait impossible de calculer la moyenne
ci-dessus, d'une part vu le nombre astronomique de molécules constituant la Terre et d'autre part
parce qu'on ne connaît pas avec précision la répartition des masses de diverses natures dans le
volume de celle-ci. Il faut donc mesurer g; à Bruxelles, g vaut 9,81 m/s2. En première
1
Henry Cavendish (1731-1810) : physicien et chimiste britanique
III.7
JG
approximation la force pesanteur est dirigée vers le centre de la terre et P est donc vertical, dirigé
vers le bas :
JG
G
P = mg
(III.8)
Remarque :
Il ne faut pas confondre masse et poids comme cela se fait malheureusement dans le
langage courant. La masse désigne la quantité de matière et s’exprime en kg, tandis que le poids
est une force et s’exprime en Newton.
La masse est une caractéristique de l'objet indépendante de l'endroit où il se trouve. Le
poids dépend de la masse (voir III.8) mais il dépend aussi de l'accélération du lieu où il se trouve.
Le poids d'un objet est six fois plus faible sur la Lune que sur la Terre, il est pratiquement nul
dans l'espace, loin de l'influence de toute planète.
III.8 : Masse gravitationnelle et masse inertielle
G
G
La masse inertielle, mI, que nous avons introduite dans la deuxième loi de Newton : F = m I a ,
n'est à priori pas la même que celle qui apparaît dans la loi de gravitation universelle ci-dessus et
JJG
m m
il aurait fallu écrire: FG = G G1 2 G2 . En effet, les masses dites gravitationnelles mG sont bien
r12
des grandeurs qui caractérisent les objets en présence mais il ne s'agit plus de l'inertie de ces
objets mais de la manière dont ils s'attirent l'un l'autre; ce sont donc deux concepts différents.
Dans le cas d'un point matériel qui se trouve au voisinage de la surface de la Terre, ou pour tout
corps tel qu'on puisse négliger ses dimensions et les forces de frottements de l'air, la seule force en
présence est le poids; on dit que le corps est en chute libre. Dans ce cas, la 2ème loi de Newton
s'écrit :
JG
G
JG JG
G
G m G
F = mI a
avec
F = P = mG g
a= G g
⇒
mI
L'accélération d'un corps en chute libre dépend donc du rapport de sa masse gravitationnelle à sa
masse inertielle. Dans les limites de leurs moyens techniques, Galilée et Stevin1 avaient observé
que tous les corps avaient la même accélération lorsqu'ils étaient en chute libre. Le rapport mG /
mI est donc le même pour tous les corps; il est donc commode de le choisir égal à 1. Dans la suite
du cours, nous considèrerons donc : m G = m I = m .
III.9 Applications
Nous allons étudier ici différents cas de chute libre (voir section III.8). Suivant le module de la
vitesse initiale et son orientation, le mouvement peut être rectiligne (vertical), parabolique ou
circulaire. Les masses gravitationnelle etGinertielle
ayant été posée égale, nous avons :
G
a=g
(III.9)
Il s'agit d'un mouvement à accélération constante, verticale, dirigée vers le bas, indépendant de la
masse du corps en chute libre.
1
Stevin (1548-1620) : ingénieur, mécanicien et mathématicien flamand.
III.8
III.8.1 : La chute libre verticale
Dans le cas ou le point matériel est lâché sans vitesse initiale ou lorsque sa vitesse initiale est
verticale, il aura un MRUA vertical. Soit Oy un axe vertical, dirigé vers le haut. A l'instant t = t0,
le mobile est lâché d'une hauteur h, par rapport à l'origine de l'axe, avec une vitesse initiale vy0
(voir figure III.7) :
Figure III.7
Comme l'accélération est verticale, il n'y aura pas de variation de vitesse dans la direction
horizontale et celle-ci restera verticale. Les relations (II.11, II.12, II.13 et II.14), obtenues au
chapitre II dans les cas d'un MRUA quelconque sont donc d'application:
a y = -g
v y = v y0 - g ( t - t 0 )
1
2
y = h + v y0 ( t - t 0 ) - g ( t - t 0 )
2
2
2
v y = v y0 - 2g ( y - h )
(III.10)
Interprétons ces relations:
Si la vitesse initiale est dirigée vers le haut, comme sur la figure III.7., la 2ème relation montre que
le mobile continuera de monter (vy > 0), jusqu'à ce que vy s'annule après un intervalle de temps
v y0
Δt = t - t 0 =
(III.11)
g
Ensuite la vitesse devient négative et le mobile tombe avec une vitesse de plus en plus grande en
module. Si la vitesse initiale est dirigée vers le bas, le mobile tombe immédiatement. La dernière
relation montre que c'est la hauteur du mobile, h-y, qui détermine sa vitesse.
III.9
III.8.2 : Le lancer d'un projectile
Figure III.8
Lorsque la vitesse initiale a une composante horizontale, vx0 (voir figure III.8), le mobile garde
cette composante horizontale sans modification. En effet, comme l'accélération de la pesanteur n'a
pas de composante horizontale, le mobile a un MRU suivant cette direction et les relations (II.8,
II.9 et II.10) peuvent être appliquées:
ax = 0
v x = v x0
(III.12)
x = x 0 + v x0 ( t - t 0 )
Le mouvement suivant l'axe vertical reste identique à ce qui a été décrit en III.8.1.
Pour trouver la forme de la trajectoire on élimine le facteur t – t0 dans les expressions de x (III.12)
et y (III.10), ce qui donne:
x - x0
Δt =
v x0
(III.13)
2
x - x0 1 ⎛ x - x0 ⎞
y - y 0 = v y0
- g⎜
⎟
v x0
2 ⎝ v x0 ⎠
C'est l'équation d'une parabole, du moins à vitesse suffisamment faible (voir III.8.3).
Tout comme au point III.8.1, la hauteur maximum est obtenue lorsque la vitesse verticale s'annule
pour changer de signe. En utilisant la valeur de Δt obtenue en (III.11) et en l'introduisant dans
l'expression de y donnée en (III.10), on obtient la hauteur maximum:
2
v y0 1 ⎛ v y0 ⎞
y max = h + v y0
- g⎜
⎟
g 2 ⎝ g ⎠
(III.14)
2
2
2
v
1 y0
1 v0 sin (θ )
= h+
= h+
2 g
2
g
III.10
La portée maximum du tir est donnée par la valeur maximum de x pour y = 0. Pour un projectile
lancé depuis le sol (h = 0), la relation (II.10) avec y = 0, donne que l'impact de retour sur le sol ce
produit après un temps double de celui nécessaire pour atteindre le sommet de la trajectoire
(III.11), ce qui introduit dans (III.12) donne :
v y0
v2
v2
(III.15)
x sol = x 0 + v x0 2
= x 0 + 2 0 cos (θ ) sin (θ ) = x 0 + 0 sin ( 2θ )
g
g
g
La portée xsol, comme on pouvait s'en douter, dépend de l'angle de tir, θ. La figure (III.9) montre
la hauteur atteinte, normalisée au rapport v 02 / g en fonction de la portée, normalisée de manière
identique. La trajectoire en trait gras correspond à une portée maximum qui s'obtient pour un sinus
de 1 et donc un angle θ de 45°, ce qui conduit à une portée maximum :
v2
x max-sol = x 0 + 0
(III.16)
g
Figure III.9
Ces résultats ne restent valables que tant qu'on peut négliger la résistance de l'air et l'influence des
vents.
III.8.3 : Les satellites en orbite
La relation (III.16) montre que la portée maximum augmente avec le rapport v02 / g . Avec un tir
horizontal, tangent à la surface de la Terre, si on augmente la vitesse initiale, le mobile retombe de
plus en plus loin, tellement loin que l'accélération de la pesanteur, toujours verticale, change de
direction par rapport au moment du lancer; la trajectoire devient elliptique. A la limite, le
projectile fait le tour de la Terre sans toucher le sol et se place en orbite. Bien que le projectile soit
toujours en chute libre, la courbure de la Terre coïncide avec la courbure de l'orbite. Le satellite
est en orbite. La figure III.10 montre que les satellites "tombent" effectivement: la lune "tombe"
sur la Terre. Si la Lune ne tombait pas, elle continuerait tout droit, dans la direction de sa vitesse
initiale.
Considérons le cas particulier d'orbites circulaires; la masse du satellite m, étant négligeable par
rapport à celle de la Terre, M, on peut supposer cette dernière immobile et la trajectoire circulaire,
centrée sur cette dernière, stable. On est alors en présence d'un MCU produit par la force
III.11
Figure III.10.
gravitationnelle qui existe entre le satellite et la Terre. On peut écrire en tenant compte de (II.37,
III.5 et III.7):
JJG 2
GmM m v
=
(III.17)
r2
r
G
où r est la distance du satellite au centre de la Terre, v , le module de la vitesse et G la constante
universelle de gravité. La vitesse orbitale est donc :
JJG
GM
v=
(III.18)
r
Remarquons qu'elle ne dépend pas de la masse du satellite et diminue de manière inversement
proportionnelle à la racine carrée du rayon de l'orbite. La période de l'orbite s'obtient par :
2π r
2π
(III.19)
T = JJG =
r3
GM
v
On obtient ainsi la 3ème loi de Kepler :
T2 =
4π 2
r3 ∝ r3
GM
(III.20)
Cette loi stipule que le carré de la période de l'orbite est proportionnel au cube du rayon de celleci. Remarquons que la constante de proportionnalité ne fait intervenir que la masse du corps
central M et pas la masse du satellite, ou de la planète dans le cas des observations de Kepler.
Dans le cas du système solaire, toutes les planètes ont la même constante de proportionnalité. La
3ème loi de Kepler est particulièrement utile pour déterminer la masse d'un corps céleste qui a un
satellite en orbite, en mesurant le rayon de cette orbite et la période de révolution.