Lancement du poids

Lancement du poids
2. Le poids
Un sportif pratiquant le lancer de poids désire améliorer ses
performances. À la date t = 0, à la suite de la phase d'élan,
le lanceur lâche le poids au point A dans le repère terrestre
retombe en M
à la date tM. Donner l'équation
littérale vérifiée par tM• Exprimer
i,
(0;
k), avec une vitesse Vo faisant un angle a avec le vecteur horizontal i. On prendra 9 = 9,8 m. ç1.
tM•
3. En déduire l'expression numérique de la performance
p
en ne conservant que le paramètre a.
4. On donne la courbe représentant p en fonction de a,
pour a variant de 35° à 55°. Pour quelle valeur de a la
performance est-elle maximale? Quelle est cette performance? Que vaudrait-elle pour a = 37°? 47°?
}~~M
ot.~.
17:
1 1
1
1
Il
Portée
1
p(m)
X
1
1
1
"1
22
1
1
1
Performance
1
1.
1
_1
21
Le point
a
se trouve en bordure de l'aire de lancement. Le
point A a pour coordonnées Xo = 0,60 m et Zo = 2,00 m. On
mesure grâce à un enregistrement vidéo Vo = 13,7 m· ç1.
La performance p est la distance entre le point a et le point
de chute (noté M) du poids sur le sol.
20
35
1. Établir les équations paramétriques x(t) et z(t) du mouvement du poids.
MODÈLE DE RÉSOLUTION
1. La composante
1. a = g. En projection sur (i, k), on obtient
Alors
Vx
= C1
et
soit:
vx=vocosa
tM ne peut être négative.
On en déduit:
~ = vocosa
+ K1
2.
zM
et
et
x(t)= vocosa·t+xo
~ = - gt + vosina
et
Xo
et
+ vosina·t
+ K2
z(t = 0) = K2 = Zo
z(t)=-1/2gt2+vosina·t+zo
tM vérifie donc l'équation
- 1/2gt2
vz(t = 0) = C2 = vosina
vz=-gt+vosina
z(t) = - 1/2gt2
x(t = 0) = K1 =
= 0 par définition.
et
et
d'où:
x(t) = vocosa·t
et
= - gt + C2.
v/t = 0) = C1 = vocos a
Conditions initiales:
2. La date
Vz
dvx
-=0
dt
Conditions initiales:
soit:
50
5. Pour quelle valeur de l'angle a la portée (voir schéma cicontre) serait-elle maximale?
CONSEILS
de g sur k est
négative puisque k est orienté vers
le haut.
Ne pas oublier les constantes d'intégration: on les détermine grâce aux
conditions initiales du mouvement.
45
40
du second degré:
+ vosin a· t + Zo
=0
vosin a + Y (vosina)2 + 2gzo
tM =
3. Savoir interpréter les grandeurs
sur les axes du graphique.
3.
xM
9
= vocosa·tM
+ Xo
. L'autre racine de l'équation est négative.
= 1,40cosa[13,7sina
4. Sur la courbe, on trouve que
Pour 37° et 47°, p = 21,5 m.
172
+ Y188sin2a
p est maximale pour a
9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
=
+ 39,2] + 0,6.
42°,
Pmax
=
21,7 m.
Mouvement d'une bille en acier
1.
Lemouvement d'une bille en acier dans le champ de pesanteur a été enregistré à l'aide d'un caméscope à raison de
25 images par seconde. La durée de l'enregistrement
de
chaque image est de 1/2000 de seconde. Les coordonnées
x (horizontale) et z (verticale) des positions successives
de
la bille ont été numérisées. Le graphique ci-dessous donne
ces positions. À la date t = 0, elle se trouvait en (0, 0).
1
. ..
.
0,5
1,5321
2,5
1111
x(m)
••
0,61,4 ~ z(m)
0,21 .-
Quelle durée sépare
bille?
deux positions
2.
À quelle date ts la bille passe-t-elle
sa trajectoire?
successives
de la
par le sommet
S de
9 = 9,81 m· ç2, en déduire la valeur de la
3. Connaissant
coordonnée voz du vecteur vitesse initiale
coordonnée
vox' sa valeur Vo et l'angle
l'horizontale .
.....
1
Déterminer sa
qu'il fait avec
vO'
lX
4. Déterminer
Vo
5. La vitesse
limite de la bille en chute verticale
et
lX
par une autre méthode.
est de
çl.
On suppose
que la valeur F de la force de
62 m·
frottement de l'air est égale à Kv2. Calculer la valeur maxi·
male du rapport F/mg au cours du mouvement enregistré.
Aurait-il fallu prendre en compte la force de frottement?
CONSEILS
MODÈLE
1. Ne pas confondre la durée d'enregistrement
d'une image et la durée entre deux images.
1.
(1 s)/25
2.
S correspond
3.
Vz= - gt+ voz' En S,
3. Savoir que dans une chute libre, la coordon·
née horizontale de la vitesse est constante et
DE RÉSOLUTION
= 40
ms.
au
ne
point de la courbe. ts = 13 x 40 ms = 0,52 s.
VZ
= 0 donc voz = gts = 9,81 x 0,52 = 5,1 m .çl.
À t1 = 2ts, Xl = 3 m. Or Xl = VO/1
que la coordonnée verticale est une fonction
affine de t, de coefficient directeur - g.
Vo=
4.
v' 5,12
+ 2,92 = 5,9 m· çl.
On trace la tangente
d'où
tan
lX
vox = 3/(2 x 0,52) = 2,9 m·
= voz/vox = 1,76
soit
à la courbe en 0 et on mesure
l'angle
lX
çl.
= 60°.
lX
avec
l'axe horizontal. Pour déterminer vO' on mesure la distance entre les
deux premiers points: on trouve approximativement
0,25 m.
D'où Vo = 0,25/0,040
= 6,2 m· çl, ce qui est satisfaisant
la précision des mesures sur le graphique.
5. Lorsque la vitesse limite est atteinte, F = mg.
•
date
angle
t = 0,
a par
est tiré
~ 2. Les équations
~ 3. tA est
à une altitude donnée
vers le haut
du point
0 à la
le vecteur vitesse ~ de G est incliné d'un
rapport à l'horizontal.
Le mouvement
de G
dans le repère
t= vcosa·tet
o
tA
zA
v sin
Le projectile
est décrit
5. L'application de la deuxième loi de Newton montre que KVTim= mg
donc F/mg = (V/V1im)2.
La vitesse maximale est Vo= 5,9 m· çl soit F/ mg = (5,9/62)2 "" 10-2 :
il n'est pas nécessaire de prendre en compte la force de frottement.
Dates de passage
~ 1.
terrestre
horaires
z=-1/2gt2
solution
(0;
étant donné
Les solutions
sont:
tl
=
t -
et
2
~ 4. Discussion
du second degré
sont:
+ vsina·t
0
g
0
vo sin
17 ï<\
a - v:;:
a + v:;:
g
(pour zA> 0): pour que l'équation
ait une solution
réelle, il faut que
v2sin2a
de - 1/2gt2 + vosin a· t = zA soit
-1/2gt2 + vosin a· t- zA = O. On pose L\ = v~sin2a - 2gzA.
9.
MOUVEMENT
ZA ~
a 2g
.
tl
correspond
à la phase
t2 à la phase descendante du mouvement
PARABOLIQUE
DANS
UN CHAMP
DE PESANTEUR
ascendante et
du projectile.
UNIFORME
173
EXERCICES
Répondre vrai ou faux. À chaque question peuvent correspondre
aucune, une ou plusieurs propositions correctes.
o
Un caillou est lancé d'une altitude de 12 m, avec un vec-
teur vitesse initiale va dirigé vers le haut. Ce vecteur fait un
angle de 30° avec l'horizontale. Le caillou retombe ensuite sur
le sol horizontal. Au cours du mouvement de chute libre du
caillou, l'angle entre le vecteur vitesse vet l'horizontale est:
a. toujours inférieur à 30°;
b. toujours supérieur à 30°;
c. prend une valeur supérieure à 30° en certains endroits de
la trajecto ire.
o
Lors d'un match de football, un gardien de but dégage le
ballon avec une vitesse de valeur va supposée identique à
chaque dégagement. La valeur (J. de l'angle entre la vitesse initiale du ballon et l'horizontale peut être différente. La durée
de la trajectoire du ballon:
a. croît lorsque
(J.
augmente de 0° à 45°, puis diminue lorsque
augmente de 45° à 90°;
(J.
b. ne dépend pas de (J.;
c. croît toujours lorsque
augmente.
[f]
Frappée par le club, une balle de golf quitte le sol au point
de valeur 52 m·
inclinée d'un angle de
13° sur l'horizontale. On ne tient pas compte des frottements.
çl,
a avec une vitesse
1. Proposer un repère et une date origine pour établir les équations horaires du mouvement de la balle dans le champ de
pesanteur. Établir ces équations.
2. À quelle date la balle atteindra-t-elle le sommet de sa
trajectoire? Calculer les coordonnées de ce point.
[J
Lors d'un service, un joueur de tennis frappe la balte à
une hauteur de 2,8 m, en lui communiquant une vitesse de
À cette date choisie comme origine des temps,
valeur 57 m·
la balle est au point A. Le vecteur vitesse initiale est dirigé vers
le bas et fait un angle de 6,8° avec l'horizontale. On considère
k): l'origine a est sur le sol, à la verticale de
le repère (0;
A. k est vertical ascendant, et le vecteur vitesse initiale est
dans le plan (i, k). On ne tient pas compte des frottements.
çl.
i,
initiales du mouvement de la balle.
sommet de la trajectoire parabolique d'un mouvement
de chute libre, la vitesse est:
a. nulle;
b. verticale;
c. horizontale;
d. de valeur minimale.
Il
Un projectile est lancé en a depuis le sol horizontal. Il
retombe en P. On appelle 5 le sommet de la trajectoire et v
le vecteur vitesse du projectile. Le vecteur accélération du
projectile:
a. est colinéaire à vet de sens opposé à v lors du mouvement
a
Équations horaires paramétriques
1.a. Faire un schéma précisant le repère et les conditions
(J.
DAu
entre
D'APPLICATION
et 5;
b. Établir les équations horaires du mouvement de la balle de
tennis lors de son mouvement de chute libre.
2. À quelle date atteindra-t-elle le sol si elle n'est pas interceptée? À quelle distance de a se trouvera-t-elle alors?
Équation
de la trajectoire
D
Un joueur de rugby
dégage en chandelle:
on suppose qu'à l'issue
b. est colinéaire à vet de même sens que v lors du mouvement entre 5 et P;
de son coup de pied, la
balle quitte le sol au point
c. est toujours perpendiculaire à Ii.
à la date t = 0, avec une vitesse va'
On considère le repère (0;
k) où k est vertical ascendant.
i,
Il
Deux billes en aciers sont lancées simultanément depuis
un balcon situé à 15 m du sol. Les positions initiales des billes
appartiennent au même plan horizontal. La bille 1 est lâchée
sans vitesse; la bille 2 est lancée avec une vitesse initiale horizontale. À une date quelconque du mouvement de chute libre
des billes, les altitudes des billes seront:
a. égales;
b. différentes, la bille 1 étant plus haute que la bille 2;
c. différentes, la bille 1 étant plus basse que la bille 2.
m
~
a
Un projectile est lancé depuis un sol horizontal avec une
vitesse inclinée de 60° sur l'horizontale, et de valeur va' Le projectile retombe ensuite sur le sol. La durée de la chute libre
du projectile:
Le vecteur va est dans le plan (i, k). Il fait un angle de
avec et sa valeur va est égale à 20,0 m·
i,
çl.
1.
À partir de la deuxième loi de Newton et des conditions
initiales, établir l'équation de la trajectoire du ballon. Ses
coordonnées sont désignées par x et z.
2. Déterminer la valeur de x au moment où le ballon retombe
sur le sol. Calculer l'altitude maximale du ballon.
i,
k) où l'origine a est sur le
sol. k est vertical ascendant; le vecteur vitesse initiale est dans
le plan (i, k). On ne tient pas compte des frottements.
1101 On considère le repère (0;
À la date t = 0, une balle de tennis se trouve au point A à la
verticale de 0, à une altitude de 1,0 m. Elle vient d'être frap-
pée par la raquette du joueur; son vecteur vitesse va est alors
dans le plan (i, k). Il est dirigé vers le haut et fait un angle de
a. ne dépend pas de la valeur va;
7,2° avec l'horizontale;
b. est proportionnelle
1. Établir l'équation de la trajectoire de la balle.
à va;
c. est proportionnelle à
v~;
d. est inversement proportionnelle à
174
sa valeur va est égale à 28 m·çl.
a touchera-t-elle le sol si elle n'est
pas interceptée par l'adversaire?
2. À quelle distance du point
va'
65°
9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
EXERCICES
1
DE SYNTH~SE
[Il * Temps de vol
Uneballe est lancée du sol avec un vecteur vitesse V, qui fait
~
unangle a avec l'horizontale et dont la valeur va est égale à
25m·
Elle retombe sur le sol 4,2 s plus tard: cette durée
estappelée temps de vol de la balle. Le sol est horizontal.
'1 ':
çl.
1. Définir un repère d'espace, préciser la date origine; établir
leséquations horaires paramétriques du mouvement de la balle.
a.
.,
1
14
d
1. Soit aB l'angle que fait la vitesse vB du ballon avec l'horizontale
lorsqu'il passe par B. Sans faire de calcul, comparer aB à a.
2. Établir l'équation de la trajectoire du ballon dans le repère
2.
Calculer "angle
3.
Calculer l'altitude maximale de la balle. Calculer la vitesse
ence point.
m * Différentes
1
1
(0; T, k),
en prenant la valeur
3. Quelle doit-être la valeur
4.
altitudes de lancement
Onconsidère une bille lancée horizontalement avec une vitesse
çl.
Soit a un point du sol supposé horidevaleur va = 5,0 m·
zontal.Les différents points de lancement sont situés à la verticale de 0, à des altitudes hn différentes: hn = nha avec
ho = 5 m et n = 1; 2; 3; 4. La bille arrive sur le sol à la distancexn de O.
1. Choisir un repère et donner les équations horaires du
mouvement de chute libre de la bille, en prenant n comme
paramètre.
Endéduire l'expression numérique de xn• Que remarque-1on?Calculer xn pour les quatre valeurs de n.
va
de la vitesse comme paramètre.
vaB de va pour que le tir réussisse?
Que se passera-t-il si va est plus grand que vaB? plus petit?
ml ** Trajectoire
.11
d'un ballon de rugby
Un joueur de rugby dégage en chandelle. La courbe ci-dessous
donne la trajectoire du centre d'inertie G du ballon. À la date
t = 0, le ballon se trouve à l'origine a du repère.
1. Soit vax et vaz les composantes horizontale et verti-
z(m)
"-
20
cale de la vitesse initiale va
de G. Établir, à partir de la
deuxième loi de Newton et
des conditions initiales, les
équations paramétriques
xU) et zU) de la trajectoire.
15
2.
10
m * La cible est-elle
atteinte?
Soitun repère terrestre (0; T, k), k étant vertical ascendant. À
ladatet = 0, un projectile est lancé du point a à la vitesse va'
Cevecteur est contenu dans le plan vertical (i, k). va =
100 m· çl et l'angle (T, va) est égal à 60,0°. Les calculs seront
effectuésau mètre près.
1.Lepoint A de coordonnées
t·ilatteint par le projectile?
2.
lB
(xA
= 100 m, zA = 162 m) sera(xB
= 700 m,
0'
o
1
5
'.x(m)
10 15 20 25
1
1
À
la date t= 0,
leballon est au sol et sa vitesse initiale est va' Sa valeur va est
de98 km· h-1 et l'angle entre va et l'horizontale vaut 45°.
Leballon retombe sur le terrain au point P.
1. Choisir un repère d'espace. Établir les équations horaires
paramétriquesdu mouvement du centre d'inertie du ballon,
ennégligeant l'action de l'air.
Calculerla distance OP.
On imagine un match de football sur la Lune, dans une
{(bulle»équipée pour permettre des activités humaines. La
pesanteury est 6,0 fois plus faible que sur la Terre. Calculer
lanouvelle valeur de la distance OP.
3.
vaz la date ts à laquelle G
passe au sommet S de la
trajectoire.
À partir de
ts et de la valeur de xS' déterminer
vax'
5. Soit a l'angle de va avec l'horizontale. Déterminer a à partir
des calculs précédents. Vérifier la valeur de tan a sur la courbe.
çl,
puis en km·
h-1.
m ** Chute d'un toit
Une plaque de glace glisse jusqu'au bord du toit enneigé d'un
immeuble. À la date t = 0, elle se
trouve au point 0, et commence
o
T
m m m~~o
m m m hk= 16v;,
m
mmm
une chute libre avec une vitesse va
faisant un angle de 35° avec l'horizontale. Soit A le point du sol
situé à la verticale de O. La plaque
touche le sol au point P,à une distance d du point A. La hauteur du
bord de toit est h = 16 m.
1.
~ ** Tir lobé au football
l
3. Soit Zs l'altitude de S. Montrer que gzs = 1/2 v~z' Calculer
la valeur de vaz à partir du graphique. En déduire celle de ts'
Calculer va en m·
particulier
Ungardien de but dégage un ballon de football.
2.
2. Exprimer en fonction de
4.
Mêmequestion pour le point B de coordonnées
= 251 m).
III* Un match de football
5
mlA
p
~
Montrer que d ne peut être supérieure à 23 m.
2. Reproduire la figure et tracer qualitativement
la trajectoire
Unjoueur de football tente de tromper le gardien adverse grâce
untir lobé. Il se trouve à une distance d = 25,0 m face au
de la plaque.
but,et communique au ballon une vitesse va faisant un angle
a = 47,0° avec l'horizontale. Il souhaite que la trajectoire du
ballonpasse par le point B, situé juste sous la barre d'une
hauteurh = 2,40 m.
sous forme numérique, en prenant va comme paramètre, les
équations horaires du mouvement de la plaque. En déduire
à
3. On se place dans le repère (0;
T,
k) du schéma. a. Donner
l'équation de sa trajectoire. b. On mesure d = 8,1 m. Calculer va'
c. Calculer la durée de chute de la plaque.
9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
175