Lancement du poids

50
et
45
dvx
-=0
dt
4035
20
p(m)
22
21
5. Pour quelle valeur de l'angle a la portée (voir schéma ci-
contre) serait-elle maximale?
2. Lepoids
retombe en M
àla date tM. Donner l'équation
littérale vérifiée par tM• Exprimer tM•
3. En déduire l'expression numérique de la performance p
en ne conservant que le paramètre a.
4. On donne la courbe représentant pen fonction de a,
pour a variant de 35° à55°. Pour quelle valeur de a la
performance est-elle maximale? Quelle est cette perfor-
mance? Que vaudrait-elle pour a =37°? 47°?
1. a=g. En projection sur (i, k), on obtient
Alors Vx =C1 et Vz = - gt +C2.
Conditions initiales: v/t =0) =C1=vocos a et vz(t =0) =C2=vosina
soit: vx=vocosa et vz=-gt+vosina
On en déduit: ~ =vocosa et ~ = - gt +vosina
d'où: x(t) =vocosa·t +K1 et z(t) = - 1/2gt2 +vosina·t +K2
Conditions initiales: x(t =0) =K1=Xo et z(t =0) =K2 =Zo
soit: x(t)= vocosa·t+xo et z(t)=-1/2gt2+vosina·t+zo
MODÈLE DE RÉSOLUTION
Lancement du poids
1. La composante de gsur k est
négative puisque k est orienté vers
le haut.
Ne pas oublier les constantes d'inté-
gration: on les détermine grâce aux
conditions initiales du mouvement.
}~~M
ot.~.
17: 1 1X
1 1 1 Portée 1 1
1 Il "1 1
1 1
1Performance 1
1. _1
CONSEILS
1. Établir les équations paramétriques x(t) et z(t) du mou-
vement du poids.
Le point ase trouve en bordure de l'aire de lancement. Le
point A a pour coordonnées Xo =0,60 m et Zo =2,00 m. On
mesure grâce àun enregistrement vidéo Vo=13,7 m· ç1.
La performance pest la distance entre le point aet le point
de chute (noté M) du poids sur le sol.
Un sportif pratiquant le lancer de poids désire améliorer ses
performances. Àla date t=0, àla suite de la phase d'élan,
le lanceur lâche le poids au point A dans le repère terrestre
(0; i,k), avec une vitesse Vofaisant un angle a avec le vec-
teur horizontal i. On prendra 9=9,8 m. ç1.
2. La date tM ne peut être négative. 2. zM =0 par définition. tM vérifie donc l'équation du second degré:
- 1/2gt2 +vosina· t+Zo =0
vosina +Y (vosina)2 +2gzo
tM=9.L'autre racine de l'équation est négative.
3. Savoir interpréter les grandeurs
sur les axes du graphique. 3. xM =vocosa·tM +Xo =1,40cosa[13,7sina +Y188sin2a +39,2] +0,6.
4. Sur la courbe, on trouve que pest maximale pour a =42°, Pmax =21,7 m.
Pour 37° et 47°, p=21,5 m.
172 9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

Mouvement d'une bille en acier
Lemouvement d'une bille en acier dans le champ de pesan-
teur a été enregistré à l'aide d'un caméscope à raison de
25 images par seconde. La durée de l'enregistrement de
chaque image est de 1/2000 de seconde. Les coordonnées
x(horizontale) et z (verticale) des positions successives de
la bille ont été numérisées. Le graphique ci-dessous donne
ces positions. Àla date t=0, elle se trouvait en (0, 0).
1,4 ~ z(m) .....
... .
10,6
0,21 .- 1
1111
1•• x(m)
00,5
1
1,5
2
2,5
3
1. Quelle durée sépare deux positions successives de la
bille?
2. Àquelle date ts la bille passe-t-elle par le sommet S de
sa trajectoire?
3. Connaissant 9=9,81 m· ç2, en déduire la valeur de la
coordonnée voz du vecteur vitesse initiale vO' Déterminer sa
coordonnée vox' sa valeur Vo et l'angle lX qu'il fait avec
l'horizontale .
4. Déterminer Vo et lX par une autre méthode.
5. La vitesse limite de la bille en chute verticale est de
62 m· çl. On suppose que la valeur Fde la force de
frottement de l'air est égale à Kv2. Calculer la valeur maxi·
male du rapport F/mg au cours du mouvement enregistré.
Aurait-il fallu prendre en compte la force de frottement?
CONSEILS MODÈLE DE RÉSOLUTION
9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME 173
g
t -
2
~4. Discussion (pour zA> 0): pour que l'équation
du second degré ait une solution réelle, il faut que
v2sin2a
ZA ~a2g .tl correspond à la phase ascendante et
t2 à la phase descendante du mouvement du projectile.
et
1. (1 s)/25 =40 ms.
2. S correspond au ne point de la courbe. ts =13 x 40 ms =0,52 s.
3. Vz= - gt+ voz' En S, VZ = 0 donc voz =gts = 9,81 x 0,52 = 5,1 m .çl.
Àt1 =2ts, Xl = 3 m. Or Xl =VO/1 d'où vox= 3/(2 x 0,52) = 2,9 m· çl.
Vo=v'5,12 +2,92 = 5,9 m· çl. tan lX =voz/vox = 1,76 soit lX = 60°.
4. On trace la tangente à la courbe en 0 et on mesure l'angle lX avec
l'axe horizontal. Pour déterminer vO' on mesure la distance entre les
deux premiers points: on trouve approximativement 0,25 m.
D'où Vo =0,25/0,040 =6,2 m· çl, ce qui est satisfaisant étant donné
la précision des mesures sur le graphique.
5. L'application de la deuxième loi de Newton montre que KVTim=mg
donc F/mg =(V/V1im)2.
La vitesse maximale est Vo= 5,9 m· çl soit F/ mg = (5,9/62)2 "" 10-2 :
il n'est pas nécessaire de prendre en compte la force de frottement.
Dates de passage tA àune altitude donnée zA
vsin a - v:;:
Les solutions sont: tl =0g
vsin a+v:;:
o
3. Savoir que dans une chute libre, la coordon·
née horizontale de la vitesse est constante et
que la coordonnée verticale est une fonction
affine de t, de coefficient directeur -g.
1. Ne pas confondre la durée d'enregistrement
d'une image et la durée entre deux images.
5. Lorsque la vitesse limite est atteinte, F=mg.
~3. tA est solution de - 1/2gt2 +vosina·t=zA soit
-1/2gt2 +vosina· t- zA =O. On pose L\ =v~sin2a -2gzA.
~ 1. Le projectile est tiré vers le haut du point 0 àla
date t= 0, le vecteur vitesse ~ de G est incliné d'un
angle apar rapport à l'horizontal. Le mouvement de G
est décrit dans le repère terrestre (0; 17 ï<\
~2. Les équations horaires sont:
t= vcosa·tet z=-1/2gt2 +vsina·t
o0
•

Équation
de la trajectoire
EXERCICES D'APPLICATION
Équations horaires paramétriques
1101 On considère le repère (0; i,k) où l'origine aest surle
sol. kest vertical ascendant; le vecteur vitesse initiale est dans
le plan (i, k). On ne tient pas compte des frottements.
Àla date t=0, une balle de tennis se trouve au point A àla
verticale de 0, à une altitude de 1,0 m. Elle vient d'être frap-
pée par la raquette du joueur; son vecteur vitesse va est alors
dans le plan (i, k). Il est dirigé vers le haut et fait un anglede
7,2° avec l'horizontale; sa valeur va est égale à 28 m·çl.
1. Établir l'équation de la trajectoire de la balle.
2. Àquelle distance du point atouchera-t-elle le sol si elle n'est
pas interceptée par l'adversaire?
DUn joueur de rugby
dégage en chandelle:
on suppose qu'à l'issue
de son coup de pied, la ~
balle quitte le sol au point a
à la date t=0, avec une vitesse va'
On considère le repère (0; i,k) où kest vertical ascendant.
Le vecteur va est dans le plan (i, k). Il fait un angle de 65°
avec i,et sa valeur va est égale à 20,0 m· çl.
1. Àpartir de la deuxième loi de Newton et des conditions
initiales, établir l'équation de la trajectoire du ballon. Ses
coordonnées sont désignées par xet z.
2. Déterminer la valeur de xau moment où le ballon retombe
sur le sol. Calculer l'altitude maximale du ballon.
[f]Frappée par le club, une balle de golf quitte le sol au point
aavec une vitesse de valeur 52 m· çl, inclinée d'un anglede
13° sur l'horizontale. On ne tient pas compte des frottements.
1. Proposer un repère et une date origine pour établir leséqua-
tions horaires du mouvement de la balle dans le champ de
pesanteur. Établir ces équations.
2. Àquelle date la balle atteindra-t-elle le sommet de sa
trajectoire? Calculer les coordonnées de ce point.
[JLors d'un service, un joueur de tennis frappe la balteà
une hauteur de 2,8 m, en lui communiquant une vitesse de
valeur 57 m· çl.Àcette date choisie comme origine destemps,
la balle est au point A. Levecteur vitesse initiale est dirigévers
le bas et fait un angle de 6,8° avec l'horizontale. On considère
le repère (0; i,k): l'origine aest sur le sol, à la verticale de
A. kest vertical ascendant, et le vecteur vitesse initiale est
dans le plan (i, k). On ne tient pas compte des frottements.
1.a. Faire un schéma précisant le repère et les conditions
initiales du mouvement de la balle.
b. Établir les équations horaires du mouvement de la balle de
tennis lors de son mouvement de chute libre.
2. Àquelle date atteindra-t-elle le sol si elle n'est pas inter-
ceptée? Àquelle distance de ase trouvera-t-elle alors?
b. verticale;
d. de valeur minimale.
DAu sommet de la trajectoire parabolique d'un mouvement
de chute libre, la vitesse est:
a. nulle;
c. horizontale;
174 9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
Répondre vrai ou faux. Àchaque question peuvent correspondre
aucune, une ou plusieurs propositions correctes.
mUn projectile est lancé depuis un sol horizontal avec une
vitesse inclinée de 60° sur l'horizontale, et de valeur va' Lepro-
jectile retombe ensuite sur le sol. La durée de la chute libre
du projectile:
a. ne dépend pas de la valeur va;
b. est proportionnelle à va;
c. est proportionnelle à v~;
d. est inversement proportionnelle à va'
oLors d'un match de football, un gardien de but dégage le
ballon avec une vitesse de valeur va supposée identique à
chaque dégagement. Lavaleur (J. de l'angle entre la vitesse ini-
tiale du ballon et l'horizontale peut être différente. La durée
de la trajectoire du ballon:
a. croît lorsque (J. augmente de 0° à 45°, puis diminue lorsque
(J. augmente de 45° à 90°;
b. ne dépend pas de (J.;
c. croît toujours lorsque (J. augmente.
IlDeux billes en aciers sont lancées simultanément depuis
un balcon situé à 15 m du sol. Les positions initiales des billes
appartiennent au même plan horizontal. La bille 1 est lâchée
sans vitesse; la bille 2 est lancée avec une vitesse initiale hori-
zontale. Àune date quelconque du mouvement de chute libre
des billes, les altitudes des billes seront:
a. égales;
b. différentes, la bille 1 étant plus haute que la bille 2;
c. différentes, la bille 1 étant plus basse que la bille 2.
oUn caillou est lancé d'une altitude de 12 m, avec un vec-
teur vitesse initiale va dirigé vers le haut. Ce vecteur fait un
angle de 30° avec l'horizontale. Le caillou retombe ensuite sur
le sol horizontal. Au cours du mouvement de chute libre du
caillou, l'angle entre le vecteur vitesse vet l'horizontale est:
a. toujours inférieur à 30°; b. toujours supérieur à 30°;
c. prend une valeur supérieure à 30° en certains endroits de
la trajectoire.
IlUn projectile est lancé en adepuis le sol horizontal. Il
retombe en P. On appelle 5 le sommet de la trajectoire et v
le vecteur vitesse du projectile. Le vecteur accélération du
projectile:
a. est colinéaire à vet de sens opposé à vlors du mouvement
entre aet 5;
b. est colinéaire à vet de même sens que vlors du mouve-
ment entre 5 et P;
c. est toujours perpendiculaire à Ii.

.11
p
~
mlA
1
.,
oT
m m m~~o
m m m kv;,
h=16 m
mmm
d
1
'1 ':
~11
14
5
z(m)
"-
20
10
15
2. Exprimer en fonction de
0' 111l'.x(m) vaz la date ts àlaquelle G
o5 10 15 20 25 passe au sommet S de la
trajectoire.
3. Soit Zs l'altitude de S. Montrer que gzs =1/2 v~z' Calculer
la valeur de vaz àpartir du graphique. En déduire celle de ts'
4. Àpartir de ts et de la valeur de xS' déterminer vax'
5. Soit al'angle de va avec l'horizontale. Déterminer aàpartir
des calculs précédents. Vérifier la valeur de tan asur la courbe.
Calculer va en m· çl, puis en km· h-1.
1. Soit aB l'angle que fait lavitesse vB du ballon avec l'horizontale
lorsqu'il passe par B. Sans faire de calcul, comparer aB àa.
2. Établir l'équation de la trajectoire du ballon dans le repère
(0; T,k), en prenant lavaleur va de la vitesse comme paramètre.
3. Quelle doit-être la valeur vaB de va pour que le tir réussisse?
4. Que se passera-t-il si va est plus grand que vaB? plus petit?
m** Chute d'un toit
Une plaque de glace glisse jus-
qu'au bord du toit enneigé d'un
immeuble. Àla date t=0, elle se
trouve au point 0, et commence
une chute libre avec une vitesse va
faisant un angle de 35° avec l'ho-
rizontale. Soit A le point du sol
situé àla verticale de O. La plaque
touche le sol au point P,àune dis-
tance ddu point A. La hauteur du
bord de toit est h=16 m.
1. Montrer que dne peut être supérieure à23 m.
2. Reproduire la figure et tracer qualitativement la trajectoire
de la plaque.
3. On se place dans le repère (0; T, k) du schéma. a. Donner
sous forme numérique, en prenant va comme paramètre, les
équations horaires du mouvement de la plaque. En déduire
l'équation de sa trajectoire. b. On mesure d=8,1 m. Calculerva'
c. Calculer la durée de chute de la plaque.
ml **Trajectoire d'un ballon de rugby
Un joueur de rugby dégage en chandelle. La courbe ci-dessous
donne la trajectoire du centre d'inertie G du ballon. Àla date
t=0, le ballon se trouve àl'origine adu repère.
1. Soit vax et vaz les compo-
santes horizontale et verti-
cale de la vitesse initiale va
de G. Établir, àpartir de la
deuxième loi de Newton et
des conditions initiales, les
équations paramétriques
xU) et zU) de la trajectoire.
III*Un match de football particulier
Ungardiende but dégage un ballon de football. Àla date t= 0,
leballonest au sol et sa vitesse initiale est va' Sa valeur va est
de98 km· h-1 et l'angle entre va et l'horizontale vaut 45°.
Leballon retombe sur le terrain au point P.
1.Choisirun repère d'espace. Établir les équations horaires
paramétriquesdu mouvement du centre d'inertie du ballon,
ennégligeant l'action de l'air.
2. Calculerla distance OP.
3. On imagine un match de football sur la Lune, dans une
{(bulle»équipée pour permettre des activités humaines. La
pesanteury est 6,0 fois plus faible que sur la Terre. Calculer
lanouvellevaleur de la distance OP.
EXERCICES DE SYNTH~SE
~** Tir lobé au football
Unjoueurde football tente de tromper le gardien adverse grâce
àuntir lobé. Il se trouve àune distance d=25,0 m face au
but,etcommunique au ballon une vitesse va faisant un angle
a=47,0° avec l'horizontale. Il souhaite que la trajectoire du
ballonpasse par le point B, situé juste sous la barre d'une
hauteurh=2,40 m.
m*Différentes altitudes de lancement
Onconsidère une bille lancée horizontalement avec une vitesse
devaleur va =5,0 m· çl.Soit aun point du sol supposé hori-
zontal.Lesdifférents points de lancement sont situés àla ver-
ticalede 0, àdes altitudes hn différentes: hn =nha avec
ho = 5 m et n=1; 2; 3; 4. La bille arrive sur le sol àla dis-
tance
xn de O.
1.Choisir un repère et donner les équations horaires du
mouvementde chute libre de la bille, en prenant ncomme
paramètre.
2. Endéduire l'expression numérique de xn• Que remarque-1-
on?Calculerxn pour les quatre valeurs de n.
m*La cible est-elle atteinte?
Soitun repère terrestre (0; T, k), k étant vertical ascendant. À
ladatet=0, un projectile est lancé du point aàla vitesse va'
Cevecteur est contenu dans le plan vertical (i, k). va =
100 m·çl et l'angle (T, va) est égal à60,0°. Lescalculs seront
effectuésau mètre près.
1.Lepoint A de coordonnées (xA =100 m, zA =162 m) sera-
t·ilatteint par le projectile?
2. Mêmequestion pour le point B de coordonnées (xB =700 m,
lB =251 m).
[Il *Temps de vol
Uneballe est lancée du sol avec un vecteur vitesse V, qui fait
unangle aavec l'horizontale et dont la valeur va est égale à
25m·çl. Elle retombe sur le sol 4,2 s plus tard: cette durée
estappelée temps de vol de la balle. Le sol est horizontal.
1. Définir un repère d'espace, préciser la date origine; établir
leséquations horaires paramétriques du mouvement de la balle.
2. Calculer"angle a.
3. Calculerl'altitude maximale de la balle. Calculer la vitesse
ence point.
9. MOUVEMENT PARABOLIQUE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME 175