Bruit en electronique et detection synchrone
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Dept GEII IUT Bordeaux I BRUIT EN ELECTRONIQUE et DETECTION SYNCHRONE (Vol. 7) G. Couturier Tel : 05 56 84 57 58 email : [email protected] Sommaire BRUIT EN ELECTRONIQUE I- Fonction de corrélation et densité spectrale II- Sources de bruit en électronique III- Association de sources de bruit IV- Caractéristiques de bruit d'un amplificateur IV- 1- Bande passante équivalente de bruit IV- 2- Facteur de bruit d'un amplificateur IV- 3- Facteur de bruit des transistors et des amplificateurs opérationnels V- Minimisation du bruit par adaptation d'impédance VI- Facteur de bruit d'une chaîne de quadripôles DETECTION SYNCHRONE I- Intérêt de la détection synchrone et principe de fonctionnement II- La détection synchrone en pratique II- 1- Effet du temps d'intégration limité II- 2- Effet de l'amplification II- 3- Réalisation d'un détecteur synchrone III- Applications de la détection synchrone III- 1- Démodulation d'amplitude III- 2- Démodulateur I/Q III- 3- Recherche de non-linéarités III- 4- Mesure en photoconductivité, photoluminescence Le bruit est inhérent à tout montage électronique, dans nombre de montages cependant on peut l'ignorer, mais dès qu'il s'agit d'amplifier des signaux bas niveaux, q.q. µV par exemple, il y a un certain nombre de précautions à prendre. Dans ce chapitre on commence donc par décrire rapidement les outils mathématiques adaptés pour traiter le bruit en électronique, on introduit ainsi les fonctions de corrélation et les densités spectrales. On fait ensuite un rapide tour d'horizon des différentes sources de bruit en électronique en donnant leurs densités spectrales respectives. On s'intéresse naturellement à la valeur efficace de bruit en sortie d'un amplificateur, on introduit ainsi la bande passante équivalente de bruit et le facteur de bruit. On examine le cas des transistors et des amplificateurs opérationnels. Pour terminer on calcule le bruit dans une chaîne de quadripôles en cascade. En électronique on utilise fréquemment le mot bruit pour qualifier tous les signaux aléatoires indésirables. Le bruit est-il un signal ?, porte t-il une information ? difficile de répondre à cette question, impossible même. Prenons le cas d'un voyageur qui attend le métro sur le quai de la gare, le bruit du train au loin est un signal qui prévient le voyageur de l'arrivée imminente du train, ce signal est utile. Quand le voyageur est dans le train, il aimerait bien que le bruit du train cesse ..... I- Fonction de corrélation et densité spectrale Dans le cas des signaux déterministes on dispose des fonctions mathématiques classiques (cos(ωt), exp(-t/τ), etc. ...) pour décrire les signaux dans le domaine temporel et des transformées de Fourier pour l'espace des fréquences. Dans le cas où l'on ne peut pas disposer d'une écriture mathématique pour décrire un signal il n'est pas possible d'en calculer sa transformée de Fourier et donc de savoir comment il se répartit dans le domaine des fréquences. De nombreux signaux ne sont pas déterministes, ce sont même les plus nombreux, on les appelle signaux aléatoires. Pour les décrire il nous faut trouver de nouveaux outils, ce sont précisément les fonctions de corrélation et les densités spectrales. Prenons par exemple le cas du signal x(t) ci-dessous, ce signal passe aux instants t1, t2, ... tm-1, tm, tm+1 ... par la même valeur A. Question : existe t-il une relation entre les valeurs de x(t) prises aux instants t1+∆t, t2+∆t, ... , tm-1+∆t, tm+∆t, tm+1+∆t, ... ? t +∆ t t +∆ t 1 2 t +∆ t t + ∆ t m-1 m t +∆ t m+1 x(t) A t 1 t 2 t m-1 t m t m+1 Fig. 1 Les valeurs de f(t) aux instants t1+∆t, t2+∆t, ... tm-1+∆t, tm+∆t, tm+1+∆t sont-elles quelconques ? Il n'est pas toujours évident de dire si les valeurs aux instants t1+∆t, t2+∆t, ... , tm-1+∆t, tm+∆t, tm+1+∆t,... sont complètement indépendantes les unes des autres. Des corrélations peuvent existées, il peut même y avoir dans certains cas une périodicité cachée. Un moyen de répondre à cette question est d'introduire la fonction de corrélation Cxx(τ) du signal x(t), elle est définie comme suit : C xx (τ ) = lim T→∞ 1 T x(t)x(t − τ )dt T ∫0 (1) Dans le cas où le signal x(t) est à valeur moyenne nulle, ce qui est vrai pour tous les bruits en électronique, la fonction de corrélation Cxx(τ) sera nulle partout sauf en τ=0 si il n'existe aucune relation entre les valeurs de x(t) aux instants t1+∆t, t2+∆t, ... , tm-1+∆t, tm+∆t, tm+1+∆t,... et ceci quelque soit ∆t=τ (∆t≠0). Pour τ=0, il est clair que la fonction de corrélation est différente de zéro, en effet on a : C xx (0) = lim T→∞ 1 T 1 T x(t)x(t)dt = lim T→∞ ∫ x 2 (t)dt ∫ T 0 T 0 (2) La quantité Cxx(0) représente la valeur quadratique moyenne du signal. D'après la relation (1), la fonction de corrélation Cxx(τ) est une fonction paire de la variable τ, en effet : C xx (τ ) = lim T→∞ 1 T 1 T-τ x(t)x(t − τ )dt =lim T→∞ ∫ x(t + τ )x(t)dt =C xx ( −τ ) ∫ T 0 T -τ Un signal aléatoire dont la fonction de corrélation Cxx(τ) est nulle partout sauf en τ=0 où elle vaut Cxx(0), est appelé bruit blanc. En général les sources de bruit présentent des fonctions de corrélation avec l'allure suivante : C xx (τ ) C xx (0) −τ m τm τ Fig. 2 Exemple d'allure de fonction de corrélation Le fait par exemple que Cxx(τ) est différent de zéro pour τ petit signifie qu'il existe des corrélations entre les valeurs de x(t) prises aux instants t1+∆t, t2+∆t, ... , tm-1+∆t, tm+∆t, tm+1+∆t,... . Au fur et à mesure que ∆t=τ devient grand, les corrélations disparaissent et la fontion de corrélation devient nulle. Dans le cas des signaux périodiques, x(t+T)=x(t), on peut encore définir une fonction de corrélation : C xx (τ ) = 1 θ +T x(t)x(t − τ )dt T ∫θ (3) La fonction de corrélation est alors périodique, en effet Cxx(τ) = Cxx(T+τ). Prenons par exemple le cas de x(t)=cos(ωt), il vient : Cxx(τ)=(1/2)cos(ωτ), on vérifie bien que Cxx(0)=(1/2)=(1 2 )2 est la valeur quadratique, c'est à dire la valeur efficace au carré. La fonction de corrélation Cxx(τ) ne nous renseigne pas directement sur la manière dont l'énergie est répartie dans le domaine des fréquences, pour répondre à cette question on introduit la densité spectrale du signal. Intuitivement on peut s'attendre à ce que le spectre soit très étendu dans le cas où la fonction de corrélation Cxx(τ) est très concentrée autour de τ=0. La densité spectrale est par définition la valeur quadratique moyenne par unité de fréquence, c'est une grandeur mesurable au moyen du dispositif de mesure représenté sur la Fig. 3 suivante : df s(t) x(t) mesure de la valeur quadratique moyenne e m =S(f)df f filtre sélectif Fig. 3 Mesure de la densité spectrale Le signal x(t) est passé au travers d'un filtre sélectif de largeur de bande df centrée sur la fréquence f, en sortie on obtient encore un signal aléatoire noté s(t), on mesure alors la valeur quadratique moyenne e m de s(t), elle est donnée par : e m = lim T→∞ 1 T 2 s (t)dt T ∫0 (4) On introduit la densité spectrale X(f) en écrivant la quantité e m sous la forme : e m =X(f)df (5) La densité spectrale X(f)= e m /df représente donc la valeur quadratique moyenne par unité de fréquence. Il s'ensuit que la quantité ∞ ∫ X(f)df 0 représente la valeur quadratique moyenne du signal x(t), en effet on somme la contribution de toutes les plages df. La quantité ∞ ∫ X(f)df 0 est bien entendu égale à la valeur quadratique moyenne exprimée dans le domaine temporel, on obtient donc la relation importante suivante : ∞ 1 T 2 x (t)dt = ∫ X(f)df ∫ 0 T 0 valeur quadratique valeur quadratique dans le domaine dans le domaine temporel fréquentiel lim T→∞ (6) NB: On peut démontrer que la densité spectrale X(f) est la transformée de Fourier de la fonction de corrélation Cxx(τ) ; théorème de Wiener-Kinchine (sans démonstration) : X(f) = T. F. (C xx (τ )) = ∫ C xx (τ )e - jωτ dτ ∞ −∞ (7) On remarque que dans le cas particulier où la fonction de corrélation Cxx(τ) est nulle partout sauf en τ=0 où elle vaut Cxx(0), cas du bruit blanc, la densité spectrale X(f) = Cxx(0). démonstration : en introduisant la distribution δ(τ), on peut écrire : Cxx(τ)=Cxx(0)δ(τ) et ∫ ∞ −∞ C xx (τ )δ (τ )e − jωτ dτ = C xx (τ )e - jωτ τ =0 = C xx (0) (8) Si la densité spectrale X(f) est une constante quelle que soit la fréquence cela veut dire que le signal x(t) comprend toutes les fréquences avec une égale amplitude. La fonction Cxx(τ) est appelée en toute rigueur fonction d'autocorrélation, il est possible dans le cas de deux signaux différents, x(t) et y(t) par exemple, de calculer la fonction d'intercorrélation Cxy(τ) définie comme suit : C xy (τ ) = lim T→∞ ∫ x(t)y(t - τ )dt T 0 (9) Dans le cas de deux sources de bruit non corrélées et à valeurs moyennes nulles, on obtient : Cxy(τ)=0. II- Sources de bruit en électronique En électronique, il y a diverses sources de bruit avec des origines physiques différentes, on passe en revue ces sources de bruit. 1- Bruit thermique des résistances (Johnson noise) Une résistance génère une tension de bruit due aux fluctuations spatiales de la densité électronique engendrées par les vibrations thermiques du réseau cristallin. La densité spectrale de bruit thermique est donnée par la relation suivante (sans démonstration) : X(f ) = 4kTR (en V 2 / Hz) (10) avec k=1.38x10-23JK-1 la constante de Boltzman, T la température en degré Kelvin et R la résistance en Ohm. Une résistance peut donc être considérée comme une source de bruit blanc. Une théorie plus approfondie montre cependant que pour les fréquences très élevées la densité spectrale X(f) diminue suivant la loi : X(f) = 4kTR hf kT (11) (e hf kT − 1) avec h=6.6x10-34Js, la constante de Planck. Un rapide calcul montre que pour f=1GHz, le facteur correctif ( hf kT) ( e hf kT − 1) = 0.9999209 à 300K, pour le domaine de fréquence qui nous intéresse une résistance est donc bien une source de bruit blanc. Le schéma équivalent d'une résistance bruitée est donné sur la Fig. 4. R résistance avec bruit R résistance sans bruit X(f)=4kTR Fig. 4 Source de bruit associée à une résistance En pratique, la densité spectrale de bruit dans les résistances est plus élevée que 4kTR, en effet le passage du courant dans une résistance génère un bruit en excès, ce bruit varie généralement 1/f avec f la fréquence. Les résistances à couches métalliques présentent le bruit en excès le plus faible c'est la raison pour laquelle elles sont principalement utilisées dans les amplificateurs faibles bruit. 2- Bruit de grenaille (Shot noise) Le passage d'un courant I dans une diode solide (ou dans un tube à vide) génère un bruit, il est dû au fait que le transfert des électrons et trous d'un matériau à l'autre est un processus statistique. La densité spectrale de bruit de grenaille est donnée par la relation suivante (sans démonstration) : X(f ) = 2qI (en A 2 Hz −1 ) (12) avec q=1.6x10-19C, I (en A) est le courant moyen passant dans la diode. Le schéma équivalent d'une diode bruitée est donné sur la Fig. 5. Ici encore il s'agit d'une source de bruit blanc. X(f)=2qI diode bruitée diode sans bruit I Fig. 5 Source de bruit asociée à une diode III- Association de sources de bruit Prenons le cas simple suivant de deux générateurs de bruit de densités spectrales respectives X1(f) et X2(f), ces deux générateurs sont en série comme le montre la Fig. 6 cidessous, on cherche la densité spectrale de bruit équivalente Xeq(f) aux deux générateurs. X 1 (f) X eq (f)= ? X 2(f) Fig. 6 Générateur de bruit équivalent à deux générateurs Pour trouver Xeq(f), on introduit dans un premier temps trois générateurs de tension x1(t), x2(t) et xeq(t) dont les densités spectrales respectives valent X1(f), X2(f) et X3(f). On ne connaît pas les expressions de x1(t), x2(t) et xeq(t), ce sont seulement des intermédiaires de calcul. On peut donc écrire xeq(t)=x1(t)+x2(t). Calculons alors la valeur quadratique moyenne du générateur de bruit équivalent, d'après la relation (6), il vient : ∞ ∫X 0 eq (f)df =lim T→∞ 1 T 2 1 T 2 x eq (t)dt = lim T→∞ ∫ (x 1 (t) + x 2 (t )) dt ∫ T 0 T 0 = lim T→∞ ∞ [ 1 T 2 1 T x 1 (t) + x 22 (t))dt + lim T→∞ ∫ 2x 1 (t)x 2 (t)dt ( ∫ T 0 T 0 ] = ∫ X 1 (f) + X 2 (f) df + 2C x1x 2 (0) 0 Dans le cas où les deux générateurs de bruit x1(t) et x2(t) ne sont pas corrélés, cas de deux résistances en série par exemple, alors la fonction d'intercorrélation C x1x2 (0) =0. Il s'ensuit que : Xeq(f)=X1(f)+X2(f) (13) En conclusion, ce sont les densités spectrales de bruit qui s'ajoutent. Nous donnons en suivant un autre exemple qui nous sera utile pour la suite, c'est le cas de trois générateurs de bruit : un générateur de bruit de densité spectrale X1(f)=4kTR associé à une résistance R et deux autres générateurs, un de tension et un de courant de densités spectrales respectives X2(f) en V2/Hz et I(f) en A2/Hz. Le schéma de l'ensemble est donné sur la Fig. 7. Pour trouver la densité spectrale Xeq(f) de bruit équivalente aux trois sources de bruit, il suffit de procéder comme précédemment, c'est à dire d'associer à chaque générateur de bruit un générateur de tension ou de courant classsique puis d'exprimer la valeur quadratique moyenne tant dans le domaine temporel que fréquentiel. X 2 (f) R résistance bruitée X 1(f)=4kTR R I(f) résistance sans bruit X eq (f) =? Fig. 7 Association de trois générateurs de bruit et générateur de bruit équivalent Dans le cas où les générateurs de bruit ne sont pas corrélés, on peut écrire : ∫ ∞ 0 X eq (f)df = lim T→∞ 1 T ∫ (x (t) + x ∞ 0 1 (t) + Ri(t) ) dt = 2 2 ∫ (X (f) + X ∞ 0 1 2 (f) + R 2 I(f) )df avec x1(t), x2(t) et i(t) les générateurs tension et de courant des trois sources de bruit, d'où : X eq (f) = 4kTR + X 2 (f) + R 2 I(f) en ( V 2 Hz -1 ) (14) IV- Caractéristiques de bruit d'un amplificateur Un amplificateur est composé d'éléments actifs, diodes, transistors, et de résistances, tous ces composants sont des sources de bruit. Il s'ensuit que le bruit en sortie de l'amplificateur est supérieur au bruit de l'entrée multiplié par le gain de l'amplificateur. Le facteur de bruit NF (Noise Figure) permet de qualifier un amplificateur quant à ses performances vis à vis du bruit. Avant d'étudier la contribution de l'amplificateur à la valeur efficace de bruit en sortie, nous allons analyser le cas d'un amplificateur idéal, c'est à dire sans bruit, et introduire la notion de bande passante équivalente de bruit : BENBW (ENBW pour Equivalent Noise Band Width ). IV-1- Bande passante équivalente de bruit Soit un amplificateur dont le module du gain en tensione gain est G(f). Cet amplificateur est attaqué par une source de bruit de densité spectrale e(f), calculons la valeur efficace de bruit en sortie de l'amplificateur. amplificateur e(f) valeur efficace de bruit ? G (f) f Fig. 8 Introduction de la bande passante équivalente de bruit D'après la relation (5), la valeur quadratique moyenne de bruit pour une tranche de fréquence df est donnée par G 2( f ) e( f ) df (en V2). La valeur quadratique moyenne de bruit en sortie de l'amplificateur est obtenue en intégrant sur toute la plage des fréquences, elle s'écrit donc : ∞ valeur quadratique moyenne de bruit en sortie = ∫ G 2(f) e(f)df (15) 0 Dans le cas particulier où la source de bruit est une résistance, e(f)=4kTR, l'intégrale précédente peut alors s'écrire : ∞ ∞ 0 0 valeur quadratique moyenne de bruit en sortie = ∫ G 2(f) e(f)df = 4kTR ∫ G 2(f) df La quantité ∫ ∞ 0 (16) G (2f ) df représente l'aire sous la courbe G 2( f ) comme le montre la Fig. 9. G 2(f) G 2m f B ENBW Fig. 9 Définition de la bande passante équivalente de bruit On introduit la bande passante équivalente de bruit BENBW, telle que : ∫ ∞ 0 G(2f ) df = Gm2 B ENBW (17) avec Gm le gain aux fréquences moyennes. En pratique la bande passante équivalente de bruit n'est pas très différente de la bande passante à -3dB, dans le cas d'un simple ciruit R-C; BENBW=(π/2)B-3bB, il en est de même pour un filtre passe bande constitué d'un circuit R-L-C (voir les TD pour les calculs). NB : la notion de bande passante équivalente de bruit n'a d'intérêt que dans le cas où la source de bruit est à densité spectrale constante, c'est à dire une résistance, c'est très souvent le cas. La résistance de bruit, appelée généralement Rs (pour résistance de source), représente la résistance de sortie de l'étage précédent. Application numérique : T=300K, Rs=1kΩ, BENBW=106Hz et Gm=10 val. eff. moy. de bruit =[4kTRs G 2m BENBW]1/2 = [4x1.38x10-23x300x103x102x106]1/2 ≈40µV Si l'on souhaite en sortie de l'amplificateur un rapport signal sur bruit de 80dB, il faut à l'entrée un signal de valeur efficace E telle que : 80dB = 20Log10 G mE soit E = 40mV 40 x10−6 NB : Pour diminuer le bruit il faut réduire la largeur de bande, évidemment il faut tenir compte de la largeur spectrale du signal à amplifier. Il ne sert à rien d'avoir un amplificateur de largeur de bande 1MHz pour amplifier un signal de largeur spectrale 100Hz par exemple. Il ne faut cependant pas trop réduire la bande passante sinon on introduit une distorsion de phase. A priori il faut également une résistance de source Rs très faible, nous verrons cependant que lorsqu'on tient compte du bruit apporté par l'amplificateur il existe une valeur optimale de Rs conduisant à un minimum de bruit en sortie de l'amplificateur. Une diminution de température permet également d'abaisser le niveau de bruit, on procède ainsi dans certains cas critiques, par exemple les amplificateurs de radiotélescope. IV-2- Facteur de bruit d'un amplificateur Le facteur de bruit NF (en dB) d'un amplificateur est défini comme suit : val. quad. moy. de bruit en sortie de l' ampli. réel NF(en dB) = 10Log 10 val. quad. moy. de bruit en sortie de l' ampli. supposé parfait (18) NF est toujours supérieur à 0dB. Si l'amplificateur a une bande passante équivalente de bruit BENBW, un gain aux fréquences moyennes Gm et qu'il est attaqué par une résistance de source Rs, alors la valeur quadratique moyenne de bruit en sortie de l'amplificateur s'écrit : val. quad. moy. de bruit en sortie de l'ampli.= 4kTRsG 2m BENBW 10NF/10 (19) En effet la valeur quadratique moyenne de bruit en sortie de l'amplificateur supposé parfait est donnée par : 4kTRs G 2m BENBW (voir les relations 16 et 17). La valeur quadratique moyenne de bruit apporté par l'amplificateur est donc égale à : 4kTRsG 2m B ENBW 10 NF/10 − 4kTRsG 2m BENBW soit 4kTR sG 2m BENBW 10NF/10 − 1 Application numérique : T=300K, Rs=1kΩ, BENBW=106Hz, Gm=10 et NF=4dB val. eff. moy. de bruit en sortie de l'ampli réel = [4kTRs G 2m BENBW10NF/10]1/2 = [4x1.38x1023 x300x103x102x106x104/10]1/2 ≈63µV Si on souhaite en sortie de l'amplificateur un rapport signal sur bruit de 80dB, il faut à l'entrée un signal de valeur efficace E tel que : 80dB = 20Log10 G mE soit E = 63mV 63x10 −6 Remarque n°1 : On trouve souvent comme autre définition du facteur de bruit la relation suivante : NF( en dB) = 20 log 10 ( ) ( S B) ( S B) e (20) s ( ) où les quantités S B et S B désignent respectivement les rapports signal sur bruit en e s entrée et en sortie. Montrons que cette définition est bien identique à celle exprimée par les relations (18) et (19). NF = 10Log 10 (val. quadr. moy. de bruit en sortie) (4kTR G s 2 m B EBNW ) E2 4kTR s B ENBW = 20 log = 10Log 10 10 2 2 GmE val. quadr. moy. de bruit en sortie S B e S B s avec E la valeur efficace du signal d'entrée. Il faut interpréter la quantité (4kTRsBENBW)1/2 comme étant la valeur efficace de bruit ramenée à l'entrée de l'amplificateur supposé parfait. En effet, si l'amplificateur est parfait, la valeur efficace de bruit en sortie est égal à [4kTRsBENBW G 2m ]1/2, le bruit ramené à l'entrée est obtenu en divisant cette dernière quantité par le gain G m , soit : (4kTRsBENBW)1/2. Remarque n°2 : A la place du facteur de bruit NF, certains électroniciens parlent de température équivalente de bruit Teq, établissons la correspondance entre ces deux grandeurs. Pour cela écrivons de nouveau la valeur quadratique moyenne de bruit en sortie de l'amplificateur réel, il vient : val. quad. moy. de bruit en sortie de l'ampli.= 4kTRsG 2m BENBW 10NF 10 = 4kR sG 2mB ENBW T10NF 10 (21) = 4kR sG 2m BENBW Teq La température équivalente de bruit Teq est égale à T10NF/10, autrement dit tout se passe comme si l'amplificateur était parfait mais qu'il était attaqué par une résistance de source Rs portée non plus à la température T ambiante mais à une température Teq plus élevée donnée par T10NF/10 (ex : NF = 4dB, T = 300K d'où Teq = 753 K) , voir la Fig. 10 ci-dessous. amplificateur sans bruit amplificateur avec bruit NF R T NF=0dB R T10 NF/10 Fig. 10 Facteur de bruit et température équivalente de bruit IV-3- facteur de bruit des transistors et des amplificateurs opérationnels Dans le cas des amplificateurs opérationnels et des transistors, le constructeur ne sait pas à priori sous quelle largeur de bande le composant sera utilisé, les informations fournies sont les densités spectrales à l'entrée. Le bruit est représenté sous forme de deux générateurs, un de tension de densité spectrale en(f) en V2/Hz et un de courant in(f) en A2/Hz. Deux générateurs sont nécessaires pour représenter le bruit dans les amplificateurs opérationnels et les transistors. Un générateur de tension seul suffit à priori dans le cas où l'entrée est en court-circuit mais ce générateur ne permet pas d'expliquer le bruit lorsque l'entrée est en circuit ouvert. A l'inverse, un seul générateur de courant permet de représenter le bruit dans le cas où l'entrée est en circuit ouvert mais pas dans le cas d'un court-circuit. e n (f) amplificateur opérationnel sans bruit + + i n (f) - - bruit ramené à l'entrée amplificateur opérationnel avec bruit e n (f) transistor transistor i n (f) avec bruit sans bruit bruit ramené à l'entrée Fig. 11 Représentation du bruit dans les amplificateurs opérationnels et les transistors Les Data Books donnent, pour les composants "faible bruit" (Low noise), les courbes en(f) et in(f). A titre indicatif, les caractéristiques de bruit d'un transistor et d'un amplificateur opérationnel sont données aux annexes 1 et 2. Dans le cas des transistors il s'agit de faisceaux de courbes paramétrées en courant de collecteur Ic. Les densités spectrales en(f) et in(f) sont d'autant plus grandes que Ic est élevé. Dans le cas des composants classiques, on trouve en général à titre indicatif les valeurs de en(f) et in(f) à une fréquence particulière, par exemple en(1kHz) et in(1kHz). e n (f) Ic i n (f) Ic A 2 /Hz V 2 /Hz f f Fig. 12 Allures des densités spectrales en(f) et in(f) dans le cas des transistors et amplificateurs opérationnels, pour ces derniers il n'y a qu'une seule courbe. Dans le cas des composants "faible bruit" on trouve également des courbes de facteur de bruit NF en fonction de la résistance de source Rs. La valeur de NF n'a pas exactement la même signification que dans le cas des amplificateurs, en effet ne connaissant pas la largeur de bande sous laquelle le composant sera utilisé, NF est donné à une certaine fréquence pour une largeur de bande de 1Hz. e n (f) amplificateur amplificateur Rs Rs opérationnel ou transistor i n (f) 4kTR s e eq (f) opérationnel ou transistor Fig. 13 Bruit à l'entrée d'un amplificateur opérationnel ou transistor attaqué par une résistance de source Rs Le facteur de bruit NF à la fréquence f est donnée par : val. quad. moy. de bruit à l' entrée de l' ampli. réel NF(en dB) = 10Log 10 val. quad. moy. de bruit à l' entrée de l' ampli. supposé parfait e n (f) + 4kTR s + R 2s i n (f) e eq (f) = 10Log = 10Log 10 10 4kTR s 4kTR s (22) Le facteur de bruit NF permet de comparer rapidement deux transistors ou amplificateurs opérationnels. Dans certains cas, on trouve également le facteur de bruit pour une certaine largeur de bande donnée, c'est souvent le cas pour les transistors utilisés en audiofréquence, la largeur de bande est alors égale à la plage audio. Si Fmin et Fmax sont les fréquences minimum et maximum de la plage, NF s'écrit alors : NF(en dB) [ ] Fmax e (f) + 4kTR + R 2 i (f) df s s n ∫Fmin n = 10Log 10 Fmax ∫Fmin 4kTR s df [ [ ] ] Fmax e (f) + 4kTR + R 2 i (f) df n s s n ∫F = 10Log 10 min 4kTR s Fmax − Fmin [ ] (23) Il est à remarquer que dans le cas où les densités spectrales en(f) et in(f) dépendent peu de la fréquence, les valeurs de NF données respectivement par les relations (22) et (23) sont pratiquement identiques. V- Minimisation du bruit par adaptation d'impédance Soit un amplificateur à bande passante étroite dont la facteur de bruit NF dépend de : 1- de la fréquence d'accord f0 2- de la résistance de source Rs Les caractéristiques de bruit d'un tel amplificateur sont présentées sur la Fig. 14, on appelle contours de bruit les courbes à facteur de bruit NF constant. Les contours de bruit d'un préamplificateur de détection synchrone sont présentés à l'annexe 3. Rs NF3 NF2 NF1 NF1 <NF2 <NF3 fréquence d'accord f 0 Fig.14 Contours de bruit typiques d'un amplificateur à bande étroite accordé à la fréquence f0 Soit Rs la résistance de source de cet amplificateur, la valeur efficace de bruit en sortie de l'amplificateur est donc donnée par : val. eff. de bruit en sortie = 4kTR s BENBW 10 NF/10 1/ 2 Le rapport signal/bruit s'écrit : e [S/B]a (en dB) = 20 log 10 4kTR s B ENBW 10 NF/10 [ 1/ 2 ] (24) avec e la valeur efficace du signal d'entrée. Il est possible de diminuer la valeur efficace de bruit en sortie en adaptant la résistance de source Rs afin de travailler avec un facteur de bruit moindre. Pour adapter l'impédance on utilise un transformateur d'impédance comme le montre la Fig. 15. n1 R NF ' n2 amplificateur transformateur adaptateur d'impédance Fig. 15 Réduction du bruit par adaptation d'impédance En présence du transformateur, la valeur efficace de bruit en sortie est donnée par : 2 n2 val. eff. de bruit en sortie = 4kTR s B ENBW 10 NF'/10 n1 1/ 2 avec NF' le nouveau facteur de bruit. Le rapport signal/bruit devient : n2 e n1 [S / B] n (en dB) = 20 log 10 1/ 2 2 n2 4 kTR s B ENBW 10 NF'/10 n1 (25) e = 20 log 10 4kTR s B ENBW 10 NF'/10 [ 1/ 2 ] La comparaison des relations (24) et (25) montre que : S / B n − S / B a = NF − NF' (26) Par adaptation d'impédance, on peut ainsi gagner plusieurs dizaines de dB dans le rapport signal/bruit. En pratique les résultats sont un peu inférieurs à ceux prévus par la relation (26) car le transformateur est également source de bruit, pour que l'opération ait un sens il faut donc utiliser des transformateurs "faible bruit". VI- Facteur de bruit d'une chaîne de quadripôles On se propose de calculer le facteur de bruit équivalent d'une chaîne de quadripôles. Pour simplifier le calcul et faire apparaître les paramètres pertinents gouvernant le facteur de bruit nous prenons un cas simple, c'est à dire sur une chaîne de quadripôles adaptés en puissance tel que le montre la Fig. 16, les résistances d'entrée Rin sont donc égales aux résistances de sortie Rout, on pose Rin=Rout=R. La résistance de source Rs est aussi égale à R. R Rs R R G1 NF1 R R R G2 Rs G3 NF2 R NF3 R s =R R G1 G2 G 3 4 NFeq R s =R Fig. 16 Chaîne de quadripôles de facteurs de bruit respectifs NF1, NF2, NF3 et chaîne équivalente Chaque quadripôle est caractérisé par son gain en tension Gi et son facteur de bruit NFi. Les facteurs de bruit sont donnés pour une largeur de bande de un Hertz située à une fréquence f donnée. La résistance de source génère donc un bruit de densité spectrale 4kTR. D'après la relation (19), la valeur quadratique moyenne de bruit en sortie du premier étage s'écrit : 2 R G 4kTR 10 NF1 /10 = G12 kTR10NF1 /10 R + R 2 1 (27) La valeur quadratique moyenne de bruit apporté par le quadripôle est donc égale à : G12 kTR 10 NF1 /10 − 1 (28) Le bruit en sortie du deuxième quadripôle est égal à : 2 NF1 /10 1 2 G + G 22 kTR[10 NF2 /10 − 1] G 1 kTR10 4 2 bruit de l' entrée bruit apporté par le quadripôle x par le gain [ ] (29) Finalement la valeur quadratique moyenne de bruit en sortie du troisième étage s'écrit : 2 1 2 NF /10 1 2 2 NF2 /10 2 NF /10 + − G G kTR 10 1 [ ] G 1 kTR10 1 G 3 + G 3 kTR[10 3 − 1] (30) 2 2 4 4 [ ] D'après le schéma équivalent de la Fig. 16, la valeur quadratique moyenne de bruit peut encore s'écrire : 2 2 2 G 1G 2 G 3 R G 1 G 2 G 3 NFeq /10 NF /10 = kTR 10 10 eq 4kTR R+R 4 4 La comparaison des relations (30) et (31) nous permet d'écrire : (31) 10 NFeq /10 = 10 NF1 /10 + (10 NF2 /10 − 1) G1 2 2 + (10 NF3 /10 − 1) 2 G1 G 2 2 2 2 (32) La quantité (G i / 2) représente le gain en puissance Gpi de l'étage i, en effet ce gain est donné par : 2 (G i U 2) 2 R G i G pi = = avec U la tension d' entrée R U2 2 2 Il s'ensuit que la relation finale s'écrit : NFeq /10 10 = 10NF1 /10 + (10NF2 /10 − 1) (10NF3 /10 − 1) + + etc G p1 G p1G p2 (33) Cette relation montre que le facteur de bruit équivalent à une chaîne de quadripôles est pratiquement égal au facteur de bruit du premier étage. Il faut donc apporter un soin tout particulier à ce premier étage : choix d'un transistor "faible bruit", choix du courant de collecteur, résistances à couche métallique, abaissement de la température si nécessaire, .... Cette partie de cours est divisée comme suit : - intérêt de la détection synchrone et principe de fonctionnement - la détection synchrone en pratique - Application de la détection synchrone I- Intérêt de la détection synchrone et principe de fonctionnement Soit un système linéaire dont on cherche à déterminer la fonction de transfert, c'est à dire H(jω)=K(ω)e-jφ(ω). Une méthode consiste à soumettre le système sous étude à une excitation sinusoïdale de la forme Acos(ωt) et à mesurer l'amplitude et la phase du signal de sortie, comme le montre la Fig. 1. Acos( ω t) H(j ω) AK ( ω ) cos(ω t- φ ( ω ) ) Fig. 1 Relevé de la fonction de transfert d'un système linéaire Cette méthode est applicable dans la mesure où le rapport signal sur bruit en sortie est suffisamment élevé pour permettre une mesure facile de K(ω) et φ(ω). Dans le cas où le rapport signal sur bruit est faible, on peut procéder à un filtrage afin de diminuer la valeur efficace de bruit comme le montre la Fig. 2. AK( ω ) cos(ω t- φ ( ω ) ) +b(t) bruit bruit b(t) Acos( ω t) H(jω) système sous étude df f filtre sélectif Fig. 2 Amélioration du rapport signal sur bruit par filtrage Pour simplifier et bien faire ressortir les paramètres pertinents, on suppose que le bruit b(t) en sortie du système sous étude est à densité spectrale constante b(f). En supposant un filtre de bande passante équivalente de bruit df centrée autour de f, on obtient en sortie du filtre un rapport signal/bruit égal à : S B (en dB) AK(ω ) 2 = 20 log 10 1/ 2 ( b(f)df ) (1) L'augmentation du rapport signal/bruit nécessite un filtre sélectif très performant, il y a bien entendu des limites à de tels filtres. S'il s'agit d'un filtre accordé de type R-L-C, la bande passante équivalente de bruit est égale à (π/2)B-3dB=(π/2)f/Q, où Q est le facteur de qualité. D'un point de vue pratique, il est difficile d'obtenir, avec des composants L-C, des coefficients Q supérieurs à 100. Une alternative à cette limite repose sur l'utilisation de la détection synchrone. L'idée de base consiste à ramener la quantité à mesurer à la fréquence zéro, là où rien ne limite la réalisation de filtre à bande passante équivalente de bruit étroite. Pour ramener l'information contenue à la fréquence f vers la fréquence zéro, il suffit de mutiplier le signal par cos(ωt) comme le montre la Fig. 3, ainsi est née la détection synchrone. Le mot synchrone vient du fait que l'on "remultiplie" par un signal de même fréquence que l'excitation et surtout de même phase ou de phase connue comme nous le verrons dans la suite de l'exposé. AK (ω ) cos(ω t- φ (ω ) ) +b(t) Acos( ω t) Vm bruit b(t) multiplieur H(j ω) système sous étude voie générateur signal V out intégrateur cos ( ω t) voie référence Fig. 3 Schéma de principe d'un détecteur synchrone idéal : mesure de la composante en phase En sortie du multiplieur et de l'intégrateur supposé parfait les signaux Vm et Vout s'écrivent respectivement : Vm (t) = [AK(ω ) cos(ωt − φ (ω )) + b(t) ] cos(ωt ) (2) et Vout (t) = lim T→∞ 1 T V (t)dt T ∫0 m Si le bruit b(t) est à valeur moyenne nulle, alors lim T →∞ signal Vout devient : 1 T b(t ) cos(ωt )dt → 0 et le T ∫0 Vout → Vout1 = AK(ω ) AK(ω ) 1 T cos(φ (ω )) + lim T→∞ ∫ cos 2ωt − φ(ω ) dt 2 2 T 0 ( = ) AK(ω ) cos(φ (ω )) 2 (3) La tension Vout1 donne accès à la composante en phase K(ω)cos(φ(ω)) avec le signal d'excitation. Pour remonter à K(ω) et φ(ω), il faut procéder à une autre mesure, il suffit d'attaquer le multiplieur non plus par le signal cos(ωt) mais par cos(ωt-π/2)=sin(ωt) comme le montre la Fig. 4. On mesure dans ce cas la composante en quadrature de phase avec l'excitation. Par un raisonnement identique au précédent, on obtient donc pour Vout : Vout → Vout2 = AK(ω ) sin(φ (ω )) 2 (4) AK( ω )cos(ω t- φ ( ω ) ) +b(t) Acos( ω t) Vm bruit b(t) H(j ω) système sous étude voie signal générateur multiplieur V out intégrateur sin ( ω t) déphaseur π /2 voie référence Fig. 4 Mesure de la composante en quadrature de phase A partir des relations (3) et (4) on trouve facilement les quantités φ(ω) et K(ω) , il vient : Vout2 2 2 2 et K(ω ) = φ (ω ) = arctg Vout1 + Vout2 A Vout1 (5) A priori la détection synchrone permet donc d'extraire un signal de fréquence connue noyé dans le bruit, le rapport signal sur bruit tend vers l'infini à condition que l'intégration se fasse pendant une durée infinie, le prix à payer d'un tel dispositif est que le résultat Vout est obtenu au bout d'un temps infini ! II- La détection synchrone en pratique En pratique le rapport signal sur bruit en sortie de l'intégrateur sera fini, ceci pour plusieurs raisons : 1- temps d'intégration limité afin de disposer du résultat Vout dans un délai raisonnable 2- nécessité d'amplifier le signal avant et après le multiplieur afin d'obtenir un signal Vout de q.q. mV à q.q. V, l'amplification rajoute du bruit (voir cours sur le bruit en électronique). II-1- Effet du temps d'intégration limité On se propose donc maintenant d'estimer le rapport signal/bruit dans le cas où l'intégration après multiplication est réalisée par un filtre passe-bas R-C classique. Dans un premier temps on néglige le bruit apporté par l'amplification de la voie signal. La bande passante équivalente de bruit d'un tel filtre est égale π/2 fois à la bande passante à -3dB, c'est à dire 1/4RC. Ecrivons de nouveau le signal en sortie du multiplieur, il s'écrit : Vm (t) = AK(ω )cos(ωt)cos(ωt − φ (ω )) + b(t)cos(ωt) = AK(ω ) AK(ω ) cos( φ (ω )) + cos( 2ωt − φ (ω )) + b(t)cos(ωt) 2 2 comp. continue + comp. 2f + bruit Le signal à l'entrée du filtre passe-bas est constitué d'une composante continue, d'un signal à la fréquence 2f et d'un bruit. D'après nos connaissances sur le bruit, il est facile d'estimer la valeur efficace de bruit en sortie du filtre si on connaît la densité spectrale e(f) à l'entrée. Pour calculer celle-ci, on utilise le fait que : lim T→∞ 2 ∞ 1 T b(t)cos(ωt)] dt = ∫ e(f)df [ ∫ 0 T 0 = lim T→∞ 1 T 2 1 1 1 T b 2 (t) 1 T b 2 (t) b (t) + cos(2ωt) dt = lim T→∞ ∫ cos(2ωt)dt dt + lim T→∞ ∫ T ∫0 T 0 2 T 0 2 2 2 ⇓ 0 = 1 ∞ b(f)df + 0 2 ∫0 en effet par définition de la densité spectrale : lim T→∞ ∞ 1 ∞ 2 b (t)dt = ∫ b(f)df . ∫ 0 T 0 Finalement la densité spectrale de bruit à l'entrée du filtre passe bas est : e(f)=b(f)/2. Si on continue de supposer que b(f) est constant. La représentation spectrale à l'entrée du filtre passe-bas est donnée à la Fig. 5. En sortie du filtre on obtiendra donc trois termes : 1- le terme continu 2- la composante de fréquence 2f est fortement atténuée, en effet son amplitude est multipliée par le gain correspondant du filtre à la fréquence 2f. 3- du bruit Vout1 = 1 1 1 AK(ω )cos( φ (ω ) ) + AK(ω ) cos( 2ωt − φ (ω ) − arctg(RCω )) + bruit 2 2 2 1 + ( RCω ) densité spectrale 1 AK(ω ) 2 1 AK(ω )cos(φ (ω )) 2 b(f)/2 B ENBW =1/4RC 2f fréquence Fig. 5 Densité spectrale à l'entrée du filtre et bande passante équivalente de bruit du filtre (en pointillés) La valeur efficace de bruit est donnée par [BENBWb(f)/2]1/2. En négligeant la composante 2f (2f>>1/2πRC), le rapport signal/bruit devient : (1 / 2) K(ω )Acos(φ (ω ) ) S = 20 log 10 1/ 2 B (en dB) ( B ENBW b(f) / 2) avec BENBW=1/4RC (6) Le rapport signal/bruit ainsi obtenu est à comparer au rapport obtenu par simple filtrage. Plaçons nous dans le cas optimum où cos(φ(ω))=0 (le système sous étude ne déphase pas), la comparaison des relations (1) et (6) permet d'écrire : par détection synchrone S B ( en dB) par filtrage S − B ( en dB ) df = 10 log 10 B ENBW (7) avec df et BENBW les bandes passantes respectives des filtres passe-bande et passe-bas. La détection synchrone est intéresssante si BENBW<<df, c'est en général le cas. La bande passante BENBW se trouve en général imposée par la bande passante du signal à étudier, voir par exemple en suivant le cas de la démodulation d'amplitude par détection synchrone. II-2- Effet de l'amplification Pour que le signal continu en sortie de l'intégrateur atteigne q.q. mV à q.q. V par exemple, il est nécessaire d'amplifier le signal, en effet, la détection synchrone s'impose particulièrement en présence de signaux faibles, q.q. nV à q.q. µV. En général l'amplification est scindée en deux parties : 1- amplification alternative avant le multiplieur 2- amplification continue en sortie de l'intégrateur Le schéma électrique complet d'un détecteur synchrone se présente donc comme suit : voie signal amplificateur sélectif multiplieur déphaseur de π /2 intégrateur amplificateur continu voie référence générateur Fig. 6 Schéma électrique complet d'un détecteur synchrone Comment répartir l'amplification ? compte tenu de la dérive des amplificateurs continus il est à priori préférable d'amplifier au maximum avant le multiplieur. Dans le cas des signaux fortement bruités on ne peut pas trop amplifier avant le multiplieur, en effet il y a risque de saturer l'étage d'entrée du multiplieur comme le montre la figure ci-dessous. limite de saturation multiplieur limite de saturation Fig. 7 Risque de saturation de l'étage d'entrée du multiplieur par une amplification trop élevée Afin de réduire la valeur efficace de bruit à l'entrée du multiplieur, on utilise en général un amplificateur accordé à bande étroite. Le rapport signal/bruit en sortie du détecteur sera evidemment légèrement inférieur à celui donné par la relation (6), l'amplificateur apportant luimême du bruit. L'amplification alternative sur la voie signal est en général réalisée avec un préamplificateur très faible bruit suivi d'un amplificateur accordé, ceci en accord avec le fait que dans une chaîne d'amplificateurs c'est le premier étage qui compte (voir cours "bruit en électronique"). Pour minimiser le bruit de l'amplificateur accordé, on peut si nécessaire effectuer une adaptation d'impédance. II-3- Réalisation d'un détecteur synchrone Suivant la gamme de fréquence, les techniques utilisées pour la réalisation des détecteurs synchrones diffèrent. Dans le domaine des hautes fréquences on utilise des multiplieurs analogiques et des filtres analogiques pour l'intégration, dans le domaine des moyennes fréquences et des très basses fréquences, les réalisations sont de plus en plus entièrement numériques. On utilise des DSP pour la multiplication et des filtres numériques pour l'intégration. voie signal amplificateur sample/ hold analogique CAN DSP DSP àpour virgule flottante multiplication DSP pour filtrage CNA voie référence horloge θ EPROM sinus programmé fréquence F Fig. 8 Schéma de principe d'un détecteur numérique Dans un détecteur numérique la fréquence du signal de référence dépend uniquement de la fréquence de l'horloge (1/θ) qui permet de lire l'EPROM contenant le sinus programmé. Un des avantages des détecteurs numériques est leur souplesse d'emploi, en particulier la possibilité de recherche des harmoniques nF contenus dans le signal d'entrée. Les détecteurs synchrones numériques présentent par ailleurs des dérives très faibles. NB : un détecteur synchrone est caractérisé par sa réserve dynamique; c'est le plus grand rapport Bruit/Signal admissible à l'entrée du détecteur. Pour un bon détecteur il est de l'ordre de 100dB. III- Applications de la détection synchrone D'une manière générale, la détection synchrone est utile chaque fois que l'on veut récupérer un signal de fréquence connue noyé dans du bruit. Parmi les applications, citons : - démodulation d'amplitude ou encore démodulation synchrone - démodulateur I/Q - analyseurs de réseaux - recherche de non-linéarité - mesure en photoconductivité, photoluminescence, .... Nous passons maintenant en revue certaines de ces applications. III-1- Démodulation d'amplitude La démodulation d'amplitude avec porteuse et bandes latérales peut s'effectuer classiquement par une détection crête avec diode et circuit RC, on obtient de bons résultats si l'amplitude du signal à démoduler est suffisamment grande devant la tension de seuil de la diode. Un tel démodulateur ne permet plus de récupérer l'onde modulante dans le cas d'une modulation sans porteuse ou encore d'une modulation à bande latérale unique (BLU). En effet dans ces deux dernières modulations, la crête du signal modulé ne représente plus l'onde modulante. Nous montrons dans ce qui suit l'intérêt de la détection synchrone en démodulation d'amplitude. a) cas de la modulation d'amplitude avec porteuse Soit donc une onde modulée en amplitude de la forme A(1 + mcos(Ωt) )cos(ωt) où m, Ω et ω désignent respectivement le taux de modulation, une pulsation particulière du signal modulant et la pulsation de la porteuse. On souhaite récupérer un signal proportionnel à m cos(Ωt), pour cela on effectue le montage suivant : A(1+mcos(Ω t)cos( ω t) S1 amplificateur multiplication (K) filtre passe-bande S2 Bcos( ω t- φ ) oscillateur local Fig. 9 Principe d'un démodulation d'amplitude par détection synchrone En sortie du multiplieur, au point S1, on obtient un signal de la forme : KAB(1 + mcos(Ωt) )cos(ωt)cos(ωt − φ ) = = KAB (1 + mcos(Ωt))( cos φ + cos(2ωt − φ )) 2 ( ) KAB m cos φ + mcosφ cos(Ωt ) + cos(2ωt - φ ) + cos[(2ω + Ω) t − φ ] + cos[(2ω − Ω) t − φ ] 2 2 avec K la fonction d'appareil du multiplieur. L'oscillateur local génère une pulsation ω égale à la pulsation de la porteuse mais sa phase est quelconque par rapport à celle de la porteuse, c'est la raison pour laquelle on introduit le terme de phase φ. Le spectre de ce signal est représenté à la Fig. 10. Il comprend une composante continue et quatre composantes alternatives aux pulsations respectives Ω, 2ω, 2ω+Ω et 2ω-Ω. amplitude filtre passe-bande bruit 0 ωb Ω ωh 2 ω −Ω 2ω 2ω +Ω pulsation Fig. 10 Spectre du signal au point A, en sortie du multiplieur et filtre passe-bas Pour récupérer le signal modulant de pulsation Ω, c'est à dire KAB mcos( φ) cos( Ω t ) , il 2 faut : - un filtre passe-bande de pulsation de coupure haute ωh et de pulsation de coupure basse ωb avec : Ω max < ω h < 2ω -Ω max et ω b < Ω min où Ω max et Ω min sont respectivement les pulsations max. et min. du signal modulant. Pour éliminer au maximum le bruit, il faut choisir ωh le plus près possible de Ω max et ωb le plus près possible de Ω min. Compte tenu de la courbe de phase du filtre, il faut prendre cependant une marge sinon on introduit une distorsion de phase importante. - une phase φ nulle si possible, dans ce cas on obtient en S2, un signal de la KAB forme : mcos(Ω t ). Si la phase φ=π/2, le signal en S2 est nul. 2 Une démodulation d'amplitude par détection synchrone exige donc une relation de phase bien définie entre la porteuse à l'émission et la porteuse regénérée localement. Pour réaliser cette relation de phase, on utilise une boucle à verrouillage de phase (PLL pour Phase Locked Loop) comme le montre la Fig. 11. cos(ω t-π/ 2) boucle à verrouillage de phase amplificateur boucle à verrouillage de phase multiplieur (K) déphaseur π /2 filtre passe-bande cos( ω t) S comparateur filtre de phase passe-bas cos( ω t- π/ 2) VCO Fig. 11 Démodulation d'amplitude par détection synchrone et boucle à verrouillage de phase La boucle à verrouillage de phase est constituée d'un VCO, d'un comparateur de phase et d'un filtre passe-bas (voir cours et TP). Il s'agit d'un système asservi, la pulsation libre du VCO est ajustée à ω, lorsque la boucle est verrouillée la phase du VCO se cale à π/2, c'est la raison pour laquelle il est nécessaire d'ajouter un déphaseur de π/2 dans le démodulateur. b) cas de la modulation d'amplitude sans porteuse Dans ce cas, la modulation est équivalente à une multiplication et le signal modulé s'écrit simplement : Acos(Ωt)cos(ωt). La suppression de la porteuse permet pour un émetteur donné d'amplifier davantage les bandes latérales et par conséquent d'obtenir une portée de transmission plus grande. Le spectre de ce signal est constitué de deux raies, l'une à ω+Ω et l'autre à ω-Ω. Pour récupérer le signal modulant, c'est à dire Acos(Ωt), il suffit à priori de multiplier localement par cos(ωt). Comme précédemment, l'oscillateur local génère cos(ωt − φ ) après multiplication on obtient : Acos(Ω t)cos( ωt)cos(ωt - φ ) = A A cos( φ) cos( Ω t ) + cos (2ω − Ω)t − φ + cos (2ω + Ω )t − φ 2 4 Le spectre de ce signal est représenté sur la Fig. 12. Pour récuper le signal modulant il faut comme précédemment : - un filtre passe-bande de pulsation de coupure haute ωh et de pulsation de coupure basse ωb avec : Ω max < ω h < 2ω -Ω max et ω b < Ω min où Ω max et Ω min sont respectivement les pulsations max. et min. du signal modulant. Pour éliminer au maximum le bruit, il faut choisir ωh le plus près possible de Ω max et ωb le plus près possible de Ω min. Compte tenu de la courbe de phase du filtre, il faut prendre cependant une marge sinon on introduit une distorsion de phase importante. - une phase φ nulle si possible, dans ce cas on obtient un signal de la forme : A cos( Ω t ). Si la phase φ=π/2, le signal démodulé est nul. 2 amplitude filtre passe-bande bruit 0 ωb Ω ω h 2 ω −Ω pulsation 2ω +Ω Fig. 12 Spectre du signal après multiplication et filtre passe-bas Comme dans le cas de la démodulation d'amplitude avec porteuse il est nécessaire de verrouiller la phase de l'oscillateur local. En l'absence de porteuse, le signal reçu ne contient donc aucune énergie à la pulsation ω, il s'ensuit qu'une simple boucle à verrouilllage de phase ne peut assurer le verrrouillage de phase de l'oscillateur local. On utilise dans ce cas une boucle de Costas réalisée avec deux boucles à verrouillage de phase (voir cours boucle à verrouillage de phase). boucle de Costas amplificateur multiplieur (K) S filtre passe-bas Fig. 13 Démodulation d'amplitude par boucle de Costas c) cas de la BLU En BLU une seule bande est transmise. Par rapport au cas de la modulation à deux bandes latérales sans porteuse on obtient un encombrement spectral réduit et une largeur de bande de bruit réduite. Le signal reçu est donc de la forme Acos(ω+Ω)t dans le cas où la bande latérale supérieure est émise. Au niveau du récepteur, l'oscillateur local génère un signal cos(ωt+φ), après multiplication on obtient donc : Acos((ω + Ω)t )cos(ωt + φ ) = [ A cos(Ωt − φ ) + cos( (2ω + Ω ) t + φ ) 2 ] Le spectre contient deux pulsations, une est égale à Ω, l'autre à 2ω+Ω. La pulsation la plus élevée est éliminée par filtrage, le signal obtenu s'écrit donc finalement : (A/2)cos(Ωt-φ). La réception sera bonne si la phase φ reste constante. Pour qu'il en soit ainsi, à l'émission on transmet une porteuse réduite qui sert à l'asservissement de phase de la porteuse locale. La porteuse est isolée par filtrage et verrouille la phase de l'oscillateur locale. Le schéma du démodulateur est représenté sur la Fig. 14. ω BLU filtre sélectif amplificateur ω multiplieur (K) boucle à verrouillage de phase filtre passe-bas déphaseur π /2 S Fig. 14 Démodulation en BLU NB : En télévision classique, on effectue une modulation dite BLR (Bande Latérale Résiduelle), le spectre d'une telle modulation est donnée en Fig. 15. Avec ce type de modulation il est encore possible de récupérer le signal modulant par une simple détection crête (voir cours sur modulations et démodulations). porteuse bande latérale inférieure bande latérale supérieure Fig. 15 Modulation en bande latérale résiduelle III-2- Démodulateur I/Q Dans de nombreuses situations on est amené à utiliser une même porteuse pour transmettre deux signaux modulants e1(t) et e2(t). C'est le cas par exemple dans les systèmes de télévision PAL et NTSC (transmission des signaux de chrominance Rouge et Bleu), en téléphonie numérique (transmission de deux symboles), etc ... . L'avantage de cette technique est de réduire l'encombrement spectral comme le montre la Fig. 16. Si on utilise deux porteuses différentes de fréquences fp1 et fp2, l'encombrement spectral du signal modulé s(t) est de 4B, où B est l'encombrement spectral des signaux modulants e1(t) et e2(t), on suppose que ces deux signaux ont le même encombrement spectral (voir Fig. 16-a). Avec un modulateur I(In phase)/Q(Quadrature), l'encombrement spectral est divisé par 2, il vaut seulement 2B comme le montre la Fig. 16-b. f p1 (a) e 1 (t) multiplieurs 2B 2B f p1 f p2 s(t) e 2 (t) Modulateur avec deux porteuses f p2 (b) e 1 (t) déphaseur π /2 s(t) 2B fp e 2 (t) fp Modulateur I/Q (modulateur avec une seule porteuse) Fig. 16 Réduction de l'encombrement spectral par utilisation d'un modulateurI/Q Le signal modulé s(t) s'écrit : s( t ) = A e1( t ) cos(ωt ) + e2 ( t ) cos( ωt − π / 2 où Acos(ωt) désigne la porteuse, on suppose pour simplifier l'écriture une constante du multiplieur égale à l'unité. La restitution des signaux e1(t) et e2(t) s'obtient au moyen d'un démodulateur I/Q comme le montre la Fig. 17. Comme dans les cas précédents, il est nécessaire de verrouiller la phase de l'oscillateur local pour obtenir les signaux e1(t) et e2(t) après filtrage. Le verrouillage de la phase est encore réalisé au moyen d'un boucle de Costas. Récepteur Emetteur e 1 (t) e 1 (t) déphaseur π /2 s(t) déphaseur π /2 e 2 (t) filtre passe-bas fp e 2 (t) fp Fig. 17 Modulateur et démodulateur I/Q III-3- Recherche de non-linéarités Soit par exemple un système non-linéaire dont la relation grandeur d'entrée-grandeur de sortie s'écrit sous la forme y=ax+bx2+ ...., où a et b sont des constantes. Les constantes a et b peuvent être obtenues par analyse spectrale, par détection synchrone, etc ... . Nous analysons ici le cas de la détection synchrone. Excitons le système en régime sinusoïdal avec x = Acos(ωt), la sortie y est de la forme : y = aAcos(ωt) + b 2 bA 2 bA 2 A (1 + cos(2ωt) ) = cos(2ωt) + aAcos(ωt) + 2 2 2 Pour accéder à la constante a, il suffit d'envoyer sur la voie référence du détecteur synchrone un signal de la forme Bcos(ωt), pour accéder à b il suffit d'envoyer Bcos(2ωt), en effet par mutiplication, on obtient : bA 2 bA 2 ω + + B aAcos( t) cos(2ωt) cos(2ωt) 2 2 bA 2 aA bA 2 aA bA 2 = B + cos(ωt) + cos(2ωt) + cos(3ωt) + cos(4ωt) 2 2 2 4 4 x= Acos( ω t) système sous étude y=ax+bx2 V out multiplieur intégrateur voie référence Bcos(2 ω t) voie générateur doubleur signal Fig. 18 Etude de non-linéarité En sortie du filtre passe-bas, de fréquence de coupure inférieure à ω/2π, on obtient une composante continue égale à b(BA2/4). Ainsi il est possible d'accéder à n'importe quel coefficient de la non-linéarité, pourvu que l'on dispose de la pulsation nω. Dans les détecteurs synchrones analogiques on ne dispose généralement que de la pulsation 2ω, par contre dans les détecteurs synchrones numériques il est facile de disposer de la pulsation nω, en effet il suffit de lire l'EPROM contenant le sinus programmé (voir Fig. 8) avec une fréquence n fois plus élevée. III-4- Mesure en photoconductivité, photoluminescence, ... Dans toutes ces expériences il s'agit d'aller rechercher un signal physique de très faible amplitude en synchronisme avec une excitation de fréquence connue. Prenons par exemple le cas d'une expérience de photoconductivité, c'est à dire de la variation de conductivité d'un matériau sous l'action d'un éclairement. Pour extraire le signal du bruit, on procède à une modulation de l'excitation lumineuse par un chopper, c'est un disque percé de trous. Le matériau est donc illuminé périodiquement, au courant d'obscurité vient se superposer un photocourant périodique. Pour extraire ce photocourant il suffit alors de faire une détection synchrone, c'est à dire de multiplier le signal par un signal en synchronisme avec l'excitation. Pour obtenir ce signal on utilise une boucle à verrouillage de phase dont le signal de synchronisme est en général un signal TTL, de fréquence identique à l'excitation lumineuse, issu du dispositif de commande de chopper. Une expérience de photoluminescence est similaire à une expérience de photoconductivité. L'excitation est une source de lumière, en général monochromatique, le signal analysé est encore un signal lumineux de longueur d'onde différente de l'excitation. Pour analyser une longueur d'onde spécifique on utilise un monochromateur (équivalent à un prisme ... ) puis un convertisseur photon-électron (diode PIN, photomultiplicateur, ...) pour générer le signal électrique à envoyer sur la détecteur synchrone. Eclairement Eclairement synchro. commande du chopper matériau E convertisseur couranttension I ampèremètre courant d'obscurité + photocourant + bruit I (a) boucle à verrouillage de phase voie référence filtre multiplieur passe-bas matériau E (b) Fig. 19 Dispositif de mesure de photocourant sans détection sychrone (a) et avec détection synchrone (b) On pourrait ainsi citer de nombreuses expériences où un détecteur synchrone est utilisé. En conclusion, la détection synchrone est l'outil idéal pour rechercher un signal de fréquence connue noyé dans du bruit.
