Définition 1.1–

LA THÉORIE GÉNÉRALE DES GROUPES
GUILLAUME RICOTTA
ABSTRACT. L’objectif de ce polycopié est de rassembler les diverses notions sur
les groupes découvertes au fil des chapitres de mon cours. Toutes les notions
décrites ici sont au programme du devoir surveillé et a fortiori de l’examen final.
Je vous demande de bien méditer ce polycopié et de me faire part de toutes vos
remarques et corriger mes erreurs par courriel à guillaume.ricotta@math.
u-bordeaux1.fr.
CONTENTS
1. Objets (ie groupes) et morphismes entre objets (ie morphismes de
groupes) 1
1.1. Définitions 1
1.2. Morphismes de groupes 2
1.3. Produit direct de groupes 3
2. Sous-objets (ie sous-groupes) 3
2.1. Définition 3
2.2. Image directe et réciproque 4
2.3. Groupes engendrés 5
2.4. Ordre d’un élément dans un groupe 6
2.5. Description des groupes monogènes 7
1. OBJETS (IE GROUPES)ET MORPHISMES ENTRE OBJETS (IE MORPHISMES DE
GROUPES)
1.1. Définitions.
Définition 1.1– Un groupe est un couple ( G,∗ )où G est un ensemble et ∗ est une
loi interne sur G telle que
• ∗ est associative ie
∀(x,y,z)∈G3, (x∗y)∗z=(x∗y)∗z.
•G possède un élément neutre e ie
∀x∈G,x∗e=e∗x=x.
Un tel e est unique et on le note eG.
•Tout élément de G admet un symétrique dans G (il est unique) ie
∀x∈G,∃x0∈G x ∗x0=x0∗x=eG.
Date: Version of October 19, 2010.
1

2 G. RICOTTA
Remarque 1.2– On dit que le groupe ( G,∗ ) est abelien ou commutatif si ∗ est
commutative ie
∀(x,y)∈G2,x∗y=y∗x.
Dans ce cas, la loi interne ∗ est souvent notée additivement + , le symétrique de x
est noté −x (on parle de l’opposé de x ) et le neutre de ( G,+ ) est noté 0
G
ou même
0.
Remarque 1.3– En notation multiplicative, c’est-à-dire lorsque ∗ est notée . , le
symétrique de xest noté x−1et le neutre de (G,.) est noté 1Gou même 1.
Remarque 1.4– Un groupe n’est jamais vide car e∈G . Un singleton est muni
d’une unique structure de groupe: le «groupe nul» qui est abélien.
Remarque 1.5–Pour retenir la définition 1.1, (C)AINS.
Exemple 1.6–(Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) sont des groupes abéliens.
Exemple 1.7–(Q∗,×), (R∗,×), (R∗
+,×), (C∗,×) sont des groupes abéliens.
Exemple 1.8– Si X est un ensemble alors on note σX l’ensemble des bijections
(ou permutations) de X dans X . ( σX,◦ ) est un groupe. Il n’est abélien que si X
est un ensemble fini de cardinal inférieur à 2. Si X={ 1 ,...,n} avec n un entier
naturel supérieur à 1 alors on note σX=σnle groupe symétrique.
Exemple 1.9–Soit Rn(nÊ1) l’ensemble des racines nièmes de l’unité dans Cet
R:=∪nÊ1Rn
l’ensemble des racines de l’unité dans C . ( Rn,× ) et ( R,× ) sont des groupes
abéliens.
Exemple 1.10– Soit M2 ( C ) l’ensemble des matrices carrées de taille 2 à coeffi-
cients complexes. ( M2 ( C ) ,+ ) est un groupe abélien. Par contre, ( M2 ( C ) ,× ) n’est
pas un groupe mais (GL2(C),×) est un groupe abélien où
GL2(C):=½A=µa b
c d¶,ad −bc 6=0¾.
1.2. Morphismes de groupes.
Définition 1.11– ( G,. )et ( H,∗ )désignent des groupes et f est une fonction de G
dans H. On dit que f est un morphisme de groupes lorsque
∀(x,y)∈G2,f(x.y)=f(x)∗f(y).
On note Hom(G,H)leur ensemble.
Remarque 1.12– Certains disent homomorphisme de groupes ce qui explique la
notation.
Exemple 1.13– Si ( G,. ) est un groupe et a est un élément de G alors le morphisme
d’exponentiation
ϕa: (Z,+)→(G,.)
n7→ an
est un morphisme de groupes.
Un morphisme de groupes vérifie les propriétés suivantes.

LA THÉORIE GÉNÉRALE DES GROUPES 3
Proposition 1.14–Si f ∈Hom(G,H)alors
f(1G)=1H,
f¡x−1¢=f(x)−1,
f¡xn¢=f(x)n
pour tout x dans G et tout entier relatif n.
Définition 1.15– On dit que f est un isomorphisme de groupes lorsque f est un
morphisme de groupes bijectif.
La terminologie est la suivante. Hom ( G,H ), End ( G ) si G=H , Isom ( G,H ),
Aut ( G ) si G=H . On dit que G et H sont isomorphes lorsqu’il existe un isomor-
phisme de Gsur H.
1.3. Produit direct de groupes.
Définition 1.16– Soient ( G,. )et ( H,. )deux groupes. On définit une loi interne sur
G×H:=©(g,h), g∈G,h∈Hªpar
(g,h)∗(g0,h0)=(g.g0,h.h0).
(G×H,∗)s’appelle le produit direct de G et de H.
Proposition 1.17–
•(G×H,∗)est un groupe. Il est abélien si et seulement si G et H le sont.
•Le neutre de (G×H,∗)est (1G,1H)et le symétrique de (g,h)est (g−1,h−1).
•Les applications dites de projection
πG: (G×H,∗)→(G,.)
(g,h)7→ g
et
πH: (G×H,∗)→(H,.)
(g,h)7→ h
sont des morphismes de groupes surjectifs.
Exemple 1.18–Z2 , R2 , C2 , R∗
+×S1
, R∗
+×Z
/2 Z , R∗
+×R2
, Z / nZ×Z / mZ , Rn×Rm
sont des groupes abéliens. R∗×SL2(R) est un groupe qui n’est pas abélien.
2. SOUS-OBJETS (IE SOUS-GROUPES)
2.1. Définition.
Définition 2.1– Soient ( G,. )un groupe et H⊂G une partie de G . On dit que H est
un sous-groupe de G lorsque le neutre de G appartient à H ie
1G∈H
et H est stable par produit et par passage à l’inverse ie
∀(x,y)∈H2,x y ∈H,x−1∈H.
Exemple 2.2–Zest un sous-groupe de (Q,+), (R,+), (C,+).
Exemple 2.3–R∗
+
est un sous-groupe de ( R∗,× ).
{−1,+1}
est un sous-groupe de
( Q∗,× ). S1 est un sous-groupe de ( C∗,× ). Rn et R sont des sous-groupes de
(S1,×).
Exemple 2.4–Les sous-groupes de (Z,+) sont exactement les nZ,n∈N.

4 G. RICOTTA
Exemple 2.5– Les entiers de Gauss Z [ i ]
:=©a+bi ,(a,b)∈Z2ª
sont un sous-groupe
de (C,+).
Exemple 2.6–Rnest un sous-groupe de (Rm,×) si et seulement si n|m.
Exemple 2.7–SL2(R) est un sous-groupe de (GL2(R),×).
2.2. Image directe et réciproque.
Proposition 2.8– Soient G et H des groupes, f∈Hom ( G,H ), K un sous-groupe
de G et L un sous-groupe de H .
•L’image directe de K par f ie
f(K):=©f(k),k∈Kª
est un sous-groupe de H et l’image réciproque de L par f ie
−1f(L):=©g∈G,f(g)∈Lª
est un sous-groupe de G.
•En particulier, le noyau de f ie
Ker(f):=−1f({1H})=©g∈G,f(g)=1Hª
est un sous-groupe de G et l’image de f ie
Im(f):=f(G)=©f(g), g∈Gª
est un sous-groupe de H.
Remarque 2.9– Le noyau d’un morphisme de groupes mesure le défaut d’injectivité
d’un morphisme de groupes. En particulier, f est le morphisme de groupes con-
stant si et seulement si Ker ( f ) =G . Cela est précisé dans la proposition hyper
importante suivante.
Proposition 2.10– Un morphisme de groupes f : G→H est injectif si et seule-
ment si son noyau est trivial ie
Ker(f)={1G}.
Remarque 2.11– Autrement dit, pour montrer qu’un morphisme de groupes
f : G→H est injectif, on procède comme suit: «Soit g dans G tel que f ( g ) = 1
H
.
Montrons que g=1G...»
Exemple 2.12–S1est le noyau du morphisme de groupes
(C∗,×)→(R∗
+,×)
z7→ |z|
et l’image du morphisme de groupes
(R,+)→(C∗,×)
θ7→ eiθ.
Exemple 2.13–Rnest le noyau du morphisme de groupes
(C∗,×)→(C∗,×)
z7→ zn
et l’image du morphisme de groupes
(Z,+)→(C∗,×)
k7→ ωk
où ω:=e2iπ/n.

LA THÉORIE GÉNÉRALE DES GROUPES 5
Exemple 2.14–SL2(C) est le noyau du morphisme de groupes
(GL2(C),×)→(C∗,×)
µa b
c d¶7→ ad −bc.
Exemple 2.15–Le groupe alterné Anest le noyau du morphisme de groupes
ε: (σn,◦)→({−1,+1},×)
σ7→ ε(σ)=signature de σ.
2.3. Groupes engendrés.
Définition 2.16– Soient G un groupe et A une partie quelconque de G . On appelle
sous-groupe de G engendré par A le sous-groupe
〈A〉:=∩ A⊂H
H sous-groupe de G
H.
C’est le plus petit sous-groupe de G contenant A . On dit que A est un système de
générateurs de 〈A〉.
Remarque 2.17– La définition précédente est valide car une intersection quel-
conque de sous-groupes est un sous-groupe.
Remarque 2.18–Si A={a}alors on note
〈a〉:=〈{a}〉.
Exemple 2.19–Dans un groupe (G,.), 〈;〉={1G}.
Exemple 2.20– Dans ( C∗,× ) ou dans ( S1,× ). Soit ζ∈Rn . On dit que ζ est une
racine nième primitive de l’unité si
〈ζ〉=Rn.
L’ensemble des racines nième primitive de l’unité sont exactement les ωk
n
où k
décrit l’ensemble des entiers naturels compris entre 1 et n et premiers avec n . Il y
en a ϕ(n) où ϕest l’indicatrice d’Euler définie par
ϕ(n):=card({1ÉkÉn,PGCD(k,n)=1})=nY
p∈P
p|n
µ1−1
p¶.
Exemple 2.21– De même, les générateurs de ( Z / nZ,+ ) sont exactement les k où
kest un entier naturel premier avec n. Il y en a exactement ϕ(n).
Exemple 2.22–Si (G,.) est un groupe et g∈Galors
g®=ngk,k∈Zo.
En notation additive,
g®=©kg ,k∈Zª.
Par exemple, dans (Z,+),
〈n〉={kn,k∈Z}=nZ.
Exemple 2.23– ( SL2 ( Z ) ,× ) est engendré par
{S,T}
où S:=µ0−1
1 0 ¶
et T:=µ1 1
0 1¶.
Exemple 2.24– ( σn,◦ ) est engendré par les transpositions alors que ( An,◦ ) est
engendré par les tricycles.