Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique

Licence de Mathématiques Fondamentales
Calcul Scientifique
feuille de TD 3
Intégration numérique
Soit f: [a, b]→Rune fonction continue. On cherche à calculer numériquement l’intégrale
Rb
af(x)dx. Pour cela, on subdivise [a, b]en plusieurs sous-intervalles (a=x0< x1< . . . < xn=b)
et on utilise le fait que
Zb
a
f(x)dx =
n−1
X
i=0 Zxi+1
xi
f(x)dx.
On est donc ramené au calcul de l’intégrale sur un petit intervalle [xi, xi+1]., ce que l’on fait à
l’aide d’une formule de quadrature élémentaire.
Exemples :
1. Formules à un point :
–rectangle à gauche :
Zxi+1
xi
f(x)dx ≈(xi+1 −xi)f(xi).
–rectangle à droite :
Zxi+1
xi
f(x)dx ≈(xi+1 −xi)f(xi+1).
–point milieu :
Zxi+1
xi
f(x)dx ≈(xi+1 −xi)f(xi+1 +xi
2).
2. Formule du trapèze (deux points) :
Zxi+1
xi
f(x)dx ≈(xi+1 −xi)f(xi+1) + f(xi)
2.
3. Formule de Simpson (trois points) :
Zxi+1
xi
f(x)dx ≈(xi+1 −xi)f(xi) + 4f(xi+xi+1
2) + f(xi+1)
6.
Exercice - 1Formule du point milieu
1- Vérifier que pour des points équidistants xi=a+i(b−a)/n,i= 0,1, . . . , n la formule du point
milieu s’écrit
Zb
a
f(x)dx ≈(b−a)
n
n−1
X
i=0
f(xi+xi+1
2).

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2- Programmer une fonction Matlab int =IntP ointM ilieu(a, b, n)calculant Rb
af(x)dx par
la formule précédente. Cette fonction fera appel à une fonction Matlab y=f(x)contenant la
fonction à intégrer.
3- Tester avec R3
0xsin(√x)dx (faire le calcul analytique pour comparer !).
4- Faire un programme Matlab pour tracer l’erreur de la méthode en fonction de n(en échelle
logarithmique). On utilisera le cas-test ci-dessus.
Exercice - 2Formule de Simpson
1- Rappeler l’approximation de Rb
af(x)dx par la formule de Simpson pour des points équidistants
xi=a+i(b−a)/n.
2- Programmer une fonction Matlab int =IntSimpson(a, b, n)calculant Rb
af(x)dx par la
formule précédente. Tester avec R3
0xsin(√x)dx.
3- Modifier le programme de l’exercice précédent pour tracer sur un même graphique l’erreur par
la méthode de Simpson et par la méthode du point milieu (en fonction de n). Interpréter.
Exercice - 3Ordre d’une formule de quadrature et formules de Newton-Cotes
On veut obtenir d’autres formules de quadrature élémentaires. Pour cela, on pose d’abord
g(t) = f(xi+t(xi+1 −xi)), de sorte que le calcul sur l’intervalle [xi, xi+1]est ramené à un calcul
sur [0,1] par l’égalité
Zxi+1
xi
f(x)dx = (xi+1 −xi)Z1
0
g(t)dt.
Une formule de quadrature élémentaire est donnée par :
Z1
0
g(t)dt ≈
s
X
j=1
λjg(tj).(1)
On dit que les tjsont les noeuds de la formule de quadrature (1) et les λjen sont les poids.
Définition : La formule de quadrature (1) est dite d’ordre (au moins) msi elle est exacte pour
les polynômes de degré inférieur ou égal à m (la formule est d’ordre exactement msi de plus elle
est fausse pour les polynômes de degré m+ 1).
1- Montrer que les deux formules du rectangle sont d’ordre 0, que la formule du point milieu et
du trapèze sont d’ordre 1.
2- Montrer que la formule (1) est d’ordre msi et seulement si
s
X
j=1
λjtl
j=1
l+ 1 pour l= 0,1,...,m.
3- On fixe m+ 1 noeuds 0≤t0< t1< . . . < tm≤1.Montrer qu il existe un unique choix des
poids λ0, λ1,...,λmpour lesquels la formule de quadrature (1) est d’ordre m. Quel est le rapport
entre ce choix des poids et le polynôme d’interpolation de gaux points tj?
Pour des noeuds équidistants tj=j/n on obtient les formules de Newton-Cotes :
s ordre poids λjnom
2 1 1/2 1/2trapèze
3 3 1/6 4/6 1/6Simpson
4 3 1/8 3/8 3/8 1/8Newton
557/90 32/90 12/90 32/90 7/90 Boole
4- Montrer que la formule de Simpson est d’ordre 3.
5- Montrer qu’une formule symétrique (c’est-à-dire ts+1−j= 1 −tj,λs+1−j=λjpour tout j) a
toujours un ordre impair. On pourra utiliser qu’un polynôme de degré 2m+ 1 peut être écrit sous
la forme
g(t) = C(t−1/2)2m+1 +g1(t),
où g1(t)est de degré ≤2m.

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Exercice - 4Estimation de l’erreur
1- En supposant g: [0,1] →Rde classe C2, écrire la formule de Taylor avec reste intégral au point
1/2à l’ordre 1. En déduire l’estimation d’erreur suivante pour la formule du point milieu :
|Z1
0
g(t)dt −g(1
2)| ≤ 1 24 sup
t∈[0,1] |g′′(t)|.
Pour une formule de quadrature générale
Z1
0
g(t)dt ≈
s
X
j=1
λjg(tj),(2)
on définit l’erreur
E(g) := Z1
0
g(t)dt −
s
X
j=1
λjg(tj).
On rappelle que si la méthode est d’ordre m > 0et gest de classe C2sur [0,1] alors
E(g) = 1
m!Z1
0
km(t)g(m+1)(t)dt,
où km(t) := E(u→(u−t)m
+)(t∈[0,1]) est le noyau de Péano d’ordre massocié à la formule de
quadrature (2).
2- Montrer que si la formule est symétrique, le noyau est symétrique (c’est-à-dire km(1−t) = km(t)).
Indication : (u−t)m
+−(t−u)m += (u−t)mpour mimpair.
3- Déterminer le noyau de Péano pour la formule du point milieu, du trapèze et de Simp-
son.(Résultat : k3(t) = −(1/12)t3(2 −3t)pour t∈[0,1/2].)
4- Calculer la constante de l’erreur Cm:= 1/m!R1
0|km(t)|dt pour la formule du point milieu, du
trapèze et de Simpson. (Résultat : 1/24,1/12 et 1/2880.)
Soit maintenant f: [a, b]→R. Pour une subdivision (a=x0< x1< . . . < xn=b), le calcul de
Rb
af(x)dx par la formule (2) appliquée sur chaque intervalle [xi, xi+1]s’écrit :
Zb
a
f(x)dx ≈
n−1
X
i=0
(xi+1 −xi)
s
X
j=1
λjf(xi+tj(xi+1 −xi)),
et l’erreur de cette formule composée est :
En(f) := Zb
a
f(x)dx −
n−1
X
i=0
(xi+1 −xi)
s
X
j=1
λjf(xi+tj(xi+1 −xi)).
5- On prend des points équidistants xi=a+ih,i= 0,1,...,n (h= (b−a)/n). Montrer que si la
formule (2) est d’ordre met si f∈ C2([a, b]), on obtient :
|En(f)| ≤ Cmhm+1(b−a) sup
x∈[a,b]|f(m+1)(x)|.
Exercice - 5Tchebychev théorique
Rappel : Les méthodes de Gauss (1777-1855) utilisent une subdivision particulière où les points xj
sont les racines d’une famille de polynômes orthogonaux, qui ne sont pas régulièrement espacés
contrairement aux méthodes composées (Newton-Cotes). L’intégration est alors exacte pour tout
polynôme de degré ≤2n+ 1 (au lieu de nou n+ 1 dans les méthodes composées).

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La méthode de Gauss appliquée à une fonction conduit à une approximation de la forme :
Zv
u
f(x)ω(x)dx =
n
X
i=0
ωif(xi) + εnf(2n+2)(c)
avec
ωi=Zv
u
li(x)ω(x)dx
et où εndépend des polynômes orthogonaux choisis.
1- Montrer que les polynômes de Tchebychev forment une base orthogonale sur [−1,1] pour la
fonction de pondération ω(x) = 1/√1−x2.
2- Le but de la question est de montrer la formule de Gauss-Tchebychev :
Z1
−1
f(x)1
√1−x2dx ≃π
n+ 1
n
X
i=0
fcos (2i+ 1)π
2(n+ 1) 
(on admettra que εn=2π
22n+2(2n+ 2)!).
a- Pour n∈Net α∈]0, π[on pose :
In(α) = Zπ
0
cos nθ −cos nα
cos θ−cos αdθ
Montrer que : ∀n∈NIn+2(α) + In(α) = 2 cos αIn+1(α).
En déduire que : ∀n∈NInα=πsin nα
sin α.
b- Notons s0, s1,...,snles (n+ 1) racines du polynôme de Tchebychev Tn+1, et posons pour
0≤k≤n:Qk(t) = Tn+1(t)
t−sk
.
Montrer que pour tout kcompris entre 0et n:
Z1
−1
Qk(t)
√1−t2dt =πsin(n+ 1)θk
sin θk
=π
n+ 1 Qk(sk)
où θk=Arccos sk.
c- Soit (lk)la suite des polynômes élémentaires de Lagrange, et soit π(t) =
n
Y
k=0
(t−sk). Montrer
que :
lk(t) = π(t)
(t−sk)π′(sk)=Qk(t) T′
n+1(sk)
d- Conclure.
3- Noter que, si yest une fonction continue sur [−1,1] on a la formule d’intégration suivante :
Z1
−1
y(t)dt ≃π
n+ 1
n
X
k=0
y(sk)q1−s2
k
et cette formule est exacte si y(t)√1−t2∈R2n+1[t].
4- ∗(question subsidiaire) Montrer que pour p≤n:
n
X
k=0 cos (2k+ 1)π
2(n+ 1) 2p
=(2p)!(n+ 1)
(2pp!)2
Exercice - 6Tchebychev pratique
Tester la méthode d’intégration de Gauss-Tchebychev en calculant R3
0xsin √xdx, et tracer l’erreur
de la méthode en fonction de n.

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Exercice - 7Une méthode adaptative
Le but est de trouver, pour une erreur relative ǫune division △={a=x0< x1< ... < xn=b}de
l’intervalle [a, b]telle que l’approximation numérique I△de l’intégrale de f(x)entre aet bvérifie
I△−Zb
a
f(x)dx
≤ǫ. Zb
a|f(x)|dx.
Pour la suite du problème on pose
err([p, p +h], f, s) = 
gauss([p, p +h], f, s)−Zp+h
p
f(x)dx
.
On applique donc l’algorithme suivant pour set ǫdonnés
1. Si err([a, b], f, s)≤ǫ gauss([a, b],|f|, s), on arrête l’algorithme, sinon on passe à l’étape 2.
2. [a, b]est subdivisé en deux intervalles I1et I2d’égales longueurs. On pose n=2, alors si l’inégalité
n
X
j=1
err(Ij, f, s)≤ǫ
n
X
j=1
gauss(Ij,|f|, s)
.(3)
est vérifiée, on arrête l’algorithme. Sinon on passe à l’étape 3.
3. On pose n=n+1 et l’on divise en deux parties égales l’intervalle pour lequel la fonction |err(Ik, f, s)|
est maximale. On nomme ces deux parties Iket In+1. Alors, on recommence cette étape tant que
l’inégalité (3) n’est pas vérifiée.
Finalement, on accepte
n
X
j=1
gauss(Ij,|f|, s)≈Zb
a
f(x)dx,
comme approximation de l’intégrale de f(x)entre aet b.
1 – programmer les fonctions gauss et err,
2 – programmer l’algorithme de la méthode adaptative,
3 – appliquer cette méthode à l’intégration de la fonction f(x) =
x. sin (cos(x)) sur l’intervalle [0,2] pour différentes valeurs de ǫet de
s.