Système vibratoire à un degré de liberté avec amortissement

˙y
Fy=−b. ˙y(t)
b−1
y0
⃗y O y = 0
⃗y
Mg −ky0= 0
y0

⃗γG(M/0) = ¨y.⃗y
⃗
Rd=M.¨y.⃗y
Mg −ky(t)−b˙y(t) = M.¨y(t)
Y(t)
Y(t) = y(t)−y0
Y(t) + y0=y(t)
Mg−k(Y(t)+y0)−b(˙ Y(t)+ ˙y0) = M(¨ Y(t)+ ¨y0) ˙y0= ¨y0= 0
Mg −ky0=kY (t) + b˙ Y(t) + M¨ Y(t)
M¨ Y(t) + b˙ Y(t) + kY (t) = 0
¨
Y(t) + k
M.Y (t) + b M.Y (t) = 0

−ky0.⃗y
Mg.⃗y Mg.⃗y
−ky0.⃗y
Mg.⃗y
⃗
Rd
−ky0.⃗y
−by0.⃗y
−by0.⃗y
ω0=k
M
2ω0.ξ =b
Mξ
¨
Y+ (2ω0.ξ)˙ Y+ω2
0Y= 0
Yp(t)ert r r
r2+ (2ω0.ξ)r+ω2
0= 0
r1,2=−ξ.ω0±ω0ξ2−1
ξ > 1
Y(t) = e−ξ.ω0t(A. Ωt+B. Ωt)
Ω = ω0ξ2−1

ξ= 1
ω0
Y(t) = e−ξ.ω0t(At +B)
ξ < 1
Y(t) = e−ξ.ω0t(A. Ωt+B. Ωt)
Y(t) = e−ξ.ω0tC. (Ωt−φ)
C2=A2+B2
φ=B
A
Y(t)
t
Y=±C.e−ξ.ω0.t
Ω = ω01−ξ2
T=2π
Ω
−1)
Tlim
t→∞ Y(t) = 0
ξ10−210−3

D1D2
ω0
x(t= 0) = x0
˙x(t= 0) = v0