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S Métropole septembre 2016
Exercice 2 4 points
On considère les nombres complexes
zn
définis pour tout entier naturel
n⩾0
par la donnée de
z0
, où
z0
est
différent de 0 et 1, et la relation de récurrence :
zn+1=1−1
zn
.
1.a. Dans cette question, on suppose
z0=2
.
Déterminer les nombres complexes
z1
;
z2
;
z3
;
z4
;
z5
et
z6
.
2.b. Dans cette question, on suppose
z0
=i.
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes
z1
;
z2
;
z3
;
z4
;
z5
et
z6
.
1.c. Dans cette question on revient au cas général où
z0
est un nombre complexe donné.
Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par
z3n
selon les valeurs de l'entier naturel n ?
Prouver cette conjecture.
2. Déterminer
z2016
dans le cas
z0=1+i
3. Existe-t-il des valeurs de
z0
tel que
z0=z1
?
Que peut-on dire de la suite
(zn)
dans ce cas.
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S Métropole septembre 2016
CORRECTION
1.a.
z0=2
z1=1−1
2=1 2
z2=1−1
1
2
=1−2=−1
z3=1−1
−1=1+1=2=z0
donc
z4=z1=1
2
et
z5=z−2=−1
et
z6=z3=z0=2
1.b.
z0=i
z1=1−1i=1+i
z2=1−1
1+i=1+i−1 1+i=i 1+i=i(1−i)
(1+i) ( 1−i )
=1+i
2
z3=1−2
1+i=1−2(1−i) (1+i)(1−i)=1−(1−i)=i=z0
donc
z4=z1=1+i
et
z5=z2=1+i
2
et
z6=z3=z0=i
.
1.c. Pour les deux exemples on a
z6=z3=z0
Si
z0
est un nombre complexe donné différent de 0 et de 1 alors :
z1=1−1
z0
=z0−1
z0
z2=1−z0
z0−1=z0−1−z0 z0−1=−1 z0−1
z3=1−z0−1
−1=1+z0−1=z0
Conjecture
Pour tout entier naturel n
z3n=z0
Preuve de la conjecture
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :
z3n=z0
Initialisation
Pour n=0
z3×0=z0
La propriété est vérifiée pour n=0
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que
z3n=z0
et on
doit démontrer que
z3(n+1)=z0
.
z3n=z0
donc
z3n+1=1−1
z0
=z0−1
z0
et
z3n+21−z0
z0−1=z0−1−z0 z0−1=−1 z0−1
z3n+3=z3(n+1)=1−z0−1
−1=z0
Conclusion
Le principe de récurrence nous permet de conclure que pour tout entier naturel n,
z3n=z0
.
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S Métropole septembre 2016
2.
2016=3×672
donc
z2016=z3×672=z0=1+i
3.
z0=z1⇔z0=1−1
z0
⇔z0
2=z0−1⇔z0 2−z0+1=0
donc
z0
est solution dans l'ensemble des nombres complexes de l'équation :
X2−x+1=0
Δ=(−1)2−4=−3=(i
√
3)2
X'=1−i
√
3
2
et
X' ' =1+i
√
3
2
Les valeurs
X'
et
X' '
sont distinctes de 0 et de 1.
On peut vérifier que
1−2
1−i
√
3=1−i
√
3−2
1−i
√
3=−1−i
√
3
1−i
√
3=(−1−i
√
3)(1+i
√
3)
4=−1−2 i
√
3+3
4=1−i
√
3
2
donc si
z0=1−i
√
3
2
alors
Z1=Z0
On peut vérifier le même résultat pour
z0=1+i
√
3
2
Conclusion
On a
z1=z0
si est seulement si
z0
est égal à
1−i
√
3
2
ou
1+i
√
3
2
.
Dans ce cas la suite
(zn)
est constante.
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