Fiche d`exercices 1 : puissances entières et rationnelles

Document disponible à http://www.univ-montp3.fr/miap/ens/AES/XA101M/index.html.
XA101M – méthodologie mathématique
Année 2003–2004
Fiche d’exercices 1 : puissances entières et rationnelles
1

SAVOIR
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Puissances entières positives et négatives
Définition . — Soit n≥1 un entier naturel, la puissance ned’un réel xest le produit de n
facteurs égaux à x, on le note xnet on lit « xà la puissance n». On a donc
xn=x×x···×x
| {z }
nfois
.
Règles de calcul avec les puissances entières . — Pour tous réels x,yet pour tous entiers
naturels n≥1 et m≥1, on a :
Table 1 Propriétés Exemples
(1) xnxm=xn+m2527=25+7=212
(2) (xn)m=xnm (25)7=25×7=235
(3) ¡x y¢n=xnyn610 =(2 ×3)10 =210 ·310
(4) µx
y¶n
=xn
yn(où y6=0) µ2 3¶4
=24
34
Identités remarquables . — (savoir au moins la première colonne)
(a+b)2=a2+2ab +b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a−b)2=a2−2ab +b2(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab +b2)
Extension de la définition aux exposants négatifs . — On peut généraliser la définition de xn
aux exposants négatifs ou nuls, pour cela il faut que x6=0, et on pose les définitions suivantes :
Définitions (x6=0 et n∈N) Exemples
x0=1 20=1
x−n=1
xn3−2=1 32=1 9
Et les règles de calcul exposées dans la table 1 sont encore vraies. En particulier :
Propriétés (x6=0 et n,m∈Z) Exemples
xn
xm=xn−m25 22=25−2=23=8
xn
xm=1 xm−n
22
25=1 25−2=1 23=1 8
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— EXERCICES —
I) Simplifier les expressions suivantes.
1) x7x5x32) ¡(x7)5¢33) (4a2b)34) a11
a55) a5 a11 6) (2a3b2c)47) µ1 2x7¶(8x8)8) (5x3y2)(4x3y5)
9) (2x4)(5x6)
(10x2)410) (9y6)4(3y5)−311) µ1 6a5¶(−3a−7)(2a2)12) (u−2v3)−413) µa5b 2a7b2¶−3
14)
(2x4y−6)µ1
4x−3y2¶¡6x−1y3¢15) 16x−4y2 8x3y−616) µ(2x3y2)2 z2¶3µz2 x4y¶4
17) µ3x5y4
x0y−3¶2
18) (−2x3y2)5µx7
8y3¶−2
19)
2a4b4(c−1)3
a−2b3c4
3(a−1b−2c)2
ac2
20) µa4b−4
(a−2b3)−2¶3
µ4(a−3b2)3
a8b−10 ¶−2.
II) Utiliser les identités remarquables pour transformer les expressions suivantes. 1) x4+2x2y3+y6
2) z6−2z3t8+t16 3) 2r−1−r2
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Racines carrées, racines cubiques, racines qe
Définition . — Soit aet bdeux nombres réels positifs et qun entier naturel non nul, on dit
que best la racine qede asi on a bq=a. On note ce nombre bpar q
paou par a1
q.
Remarques . — Pour q=1 on a 1
pa=aet pour q=2 on écrit paau lieu de 2 pa. On lit alors
« racine carrée de a» au lieu de « racine deuxième de a». Lorsque q=3, on dit « racine cu-
bique » plutôt que « racine troisième ».
Propriétés . — Soit p≥1 et q≥1 des entiers naturels et a,bdes réels positifs ou nuls on a :
Propriétés Exemples
(0) 01
q=0
(1) 11
q=1
(2) (a1
q)q=a(p3)2=3;(51
4)4=5
(3) a1
pa1 q=a(1 p+1 q)21
321 4=2(1 3+1 4)=27 12
(4) a1
qb1 q=(ab)1 p21
431 4=61 4;p50 =p25×2=p25p2=5p2
(5) (a1
q)1 q=a1 pq 3
p4
p2=³21
4´1
3=21
12 =12
p2
(6) ³a
b´1
q=a1
q
b1
q
3
r3
8=µ3 8¶1
3
=31
3
81
3=
3
p3
2
— EXERCICES —
III) 1) La racine carrée d’un nombre peut–elle être strictement négative ? 2) Et la racine cubique d’un
nombre ? 3) Combien existe-t’il de nombres xtel que x2=4 ? 4) Combien existe-t’il de nombres
xtel que x3=8 ? 5) Combien existe-t’il de nombres xtel que x2= −4 ? 6) Combien existe-t’il de
nombres xtel que x3=−8 ?
3

IV) Calculer : 1) p16 2) 161
43) 271 34) p725) p(−7)26) p567) p32+528) p(3+5)29) (pα)2
10) pα211) (p6−p2)212) (2+p3)2.
V) Simplifier : 1) 61
3×41 32) p24+p54−p63) p12+2p27+3p75−9p48 4) 31
44
p6
pp25) q(4a1
2)(2a1 2)
6) q(p7+2)2+q(p7−2)27) q(2+p7)2+q(2−p7)2.
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Puissances rationnelles
Conventions d’écriture . — Soit a∈R,a≥0. Pour tout p∈Zet q∈N∗on écrit a
p
qpour repré-
senter le nombre (ap)1
q. Et pour tout nombre rationnel rreprésenté par p
q, on écrit ar=a
p
q.
Règles de calcul . — Pour tous a,b∈R,a≥0, b≥0, p∈Zet q∈N∗,r,r0∈Q
Propriétés
(1) a
p
q=(ap)1 q=³a1 q´p
(2) arar0=ar+r0
(3) (ar)r0=ar×r0
(4) ar/ar0=ar−r0(avec a6=0)
(5) (ab)r=arbr
(6) ³a
b´r
=ar
br(où b6=0)
— EXERCICES —
VI) Remplacer les points d’interrogation par des valeurs numériques adéquates : 1) 3
p2×4
p5=12
p?
2) p3×3
p5=? p675 3) 3
p2×5 p2=?
p?4) 4
pa3×6 pb5=?
pa?b?5)
6
paa?
pa=a6)
7
pa2
a?=3
pa7)
³7
pa23
pa´2
=a?×?
pa5.
VII) Simplifier les expressions suivantes : 1)
p4³3
pp4´2
pp22)
3
p4p8³5
p3
p4´2
pp23) 27−2
3×491 2×165 4
¡5
p243¢24)
3
pa5³4 pa7´2
¡a2¢25
pa26 pa35)
5
p4³5
p3
p4´2
3
pp26) p3
p2·5
p3
5
p27·p67)
15
p3·3 p9¡4 p9¢3
³pp3´28)
16
p9·3 p9³pp9´3
³5
pp3´2.
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L’équation xn=apour les nombres réels
Quand on écrit a1
q,a
p
q,pa,n
pa, par définition aest un nombre positif et ces symboles repré-
sentent des nombres positifs. Néanmoins on peut, grâce aux racines rationnelles, exprimer
les solutions réelles xde l’équation xn=a, où net asont respectivement un entier et un
nombre réel.
On doit considérer deux cas suivant la parité de n:
1er cas : nest pair (c’est–à–dire que ndivisé par 2 est un entier).
Comme on a xn≥0 alors l’équation xn=an’a de solution que si a≥0. De plus si xest solution,
alors −xest aussi solution. Il suffit donc de connaître les solutions positives de cette équation
pour décrire toutes les solutions. Lorsque a≥0 l’équation xn=an’a qu’une seule solution
réelle et positive : c’est n
pa, et l’autre solution est −n pa.
2ecas : nest impair(c’est–à–dire que ndivisé par 2 n’est pas un entier).
Dans ce cas, même lorsque aest négatif, il y a des solutions.
Si a≥0, alors x≥0 et par définition on a x=n
pa. Cette solution est unique.
Si a≤0, posons b=−aet y=−x, alors l’équation xn=adevient yn=b. Cette fois, on a b≥0.
D’après ce qui prècède on a l’unique solution y=n
paqui se récrit x= − n p−ace qu’on peut
écrire plus simplement x=− n
p|a|, en ayant remarqué que −a=|a|(valeur absolue de a).
On peut résumer les résultats obtenus dans le tableau ci-dessous.
a<0 0 ≤a
npair pas de solution ©−n
pa,n paª
nimpair ©−n
p|a|ª ©n
paª
Remarque . — On rappelle que la valeur absolue de xest le nombre xsi x≥0 et le nombre
−xsinon.
— EXERCICES —
VIII) Résoudre les équations : 1) x6=64 2) x5=243 3) x6=−712 4) x3=−85) (x+2)10 =p26)
(x4+2)10 =27) (x13 +3,1)12 =p38) (x4−2)4+2=09) (x4−2)5+2=0.
IX) (Tiré de l’examen 2003) La masse moyenne Men kg d’une femme dont la taille en cm est hest
donnée par M=0,0097h1,7.1) Calculer la taille d’une femme pesant 60kg. 2) Que devient la taille
lorsque la masse d’une personne de 1,70m augmente de 10% ?
ÛUn complément sur les ensembles de nombres. — Les nombres entiers naturels sont les nombres
obtenus à partir de 0 par ajout successifs de 1. Les nombres entiers naturels sont donc les nombres 0,
1, 2, 3,... L’ensemble des entiers naturels est noté N. Étant donné un entier naturel n, il existe un seul
nombre xtel que x+n=0. Ce nombre se note −net s’appelle l’opposé de n. Un nombre qui est soit
entier naturel soit l’opposé d’un entier naturel s’appelle un nombre entier (on dit aussi parfois entier
relatif). Les nombres entiers sont donc ...,−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... On note Zl’ensemble
des nombres entiers. Les nombres rationnels sont les nombres obtenus en divisant un entier par un
entier non nul (les nombres entiers sont donc des cas particuliers de nombres rationnels : si n∈Z, on
an=n/1). L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. Par exemple, 4/5 et −6/71 sont des ration-
nels. Les nombres rationnels ont un développement décimal périodique à partir d’un certain rang ce
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