Méthodes de calcul du plus grand commun diviseur (PGCD) de

Méthodes de calcul du plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres entiers
Méthode 1: par la recherche de tous les diviseurs des deux nombres entiers
Nous avons vu en classe une première méthode:
Nous avons considéré les nombres 210 et 140; nous les avons décomposés en produits.
210 = 2 × 105 = 3 × 70, etc ... .
L’ensemble des facteurs intervenant dans ces produits étaient des diviseurs de 210.
Nous avons ensuite fait le même travail avec 140.
140 = 2 × 70 = 4 × 35, etc ...
Là, nous avons constaté que 210 et 140 avaient des diviseurs en commun, et parmi ceux-ci, l’un
d’eux était le plus grand: 70
Bilan de cette méthode:
Celle-ci fonctionne parfaitement, avec tous les nombres mais elle est très longue car il faut trouver
toutes les décompositions en produit de deux facteurs, celà pour chacun des deux nombres dont on
cherche le PGCD.
Méthode 2, dite méthode des soustractions successives
Cette méthode est basée sur une propriété:
Propriété
Soient deux nombres a et b avec a plus grand que b (a > b).
Le PGCD des deux nombres entiers a et b – PGCD(a ; b) – est le même que le PGCD du plus petit
( b ) et de la différence de ces deux nombres ( a – b ).
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a – b)
Exemple d’utilisation:
Pour déterminer le PGCD de 210 et 140:
PGCD ( 210;140 ) = PGCD (140;210 − 140 ) utilisation de la propriété
= PGCD (140; 70 )
= PGCD ( 70;140 − 70 )
= PGCD ( 70; 70 )
= 70
utilisation de la propriété
Comme les deux nombres sont les mêmes,
le plus grand commun diviseur est le nombre lui-même.
Vous obtiendrait toujours à un moment donné le même nombre
écrit deux fois; ce nombre sera le PGCD recherché.
Entrainement avec les exercices: 7 et 23 de la feuille exos_PGCD_3e (sur le site)
Bilan de cette méthode:
Cette méthode est très simple, moins longue que la première mais on peut l’améliorer pour gagner
du temps, ce qui nous amène à la méthode n°3.
Méthode 3, dite méthode des divisions successives (ou encore algorithme d’Euclide)
Là encore, cette méthode est basée sur une propriété:
Propriété
Soient a et b deux nombres entiers avec a plus grand que b (a > b).
On notera r le reste de la division euclidienne de a par b.
Le PGCD des deux nombres entiers a et b – PGCD(a ; b) – est le même que le PGCD du plus petit
( b ) et du reste de la division euclidienne de a par b ( r ) .
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r)
Exemple d’utilisation:
Voici un exemple, qui illustre deux manières de présenter, dans un exercice, l’utilisation de cette
méthode des divisions successives. Cherchons le PGCD de 2 013 et 843:
1re présentation pour cette méthode:
2013 = 843 × 2 + 327
843 = 327 × 2 + 189
327 = 189 × 1 + 138
189 = 138 × 1 + 51
138 = 51 × 2 + 36
51 = 36 × 1 + 15
36 = 15 × 2 + 6
15 = 6 × 2 + 3
6=3×2+0
2ème présentation pour cette méthode:
a (plus grand
nombre)
b (plus petit
nombre)
q (quotient)
r (reste)
2 013
843
2
327
843
327
2
189
327
189
1
138
189
138
1
51
138
51
2
36
51
36
1
15
36
15
2
6
15
6
2
3
6
3
2
0
Le PGCD de 2 013 et de 843 est le dernier reste non nul, c’est-à-dire 3.
Donc PGCD(2 013;843) = 3 .
Entraînement avec les exercices: 8 et 24 de la feuille exos_PGCD_3e (sur le site)
Bilan de cette méthode:
Cette méthode est en général la plus rapide, mais nécessite de maîtriser la division euclidienne, ce
qui est toutefois simple grâce à la calculatrice.