Changements de bases.

Chapitre 1
Changements de bases.
1.1 Changement de coordonn´ees. Matrice de passage.
Soit Eun K−espace vectoriel de dimension n6= 0. Soit (e1, ..., en) une base de E, qu’on
notera B. Si uest un vecteur de Eon notera en colonne le n−uplet des coordonn´ees de udans
la base (e1, ..., en). On l’appelera la colonne des coordonn´ees de udans la base (e1, ..., en).
Attention : Si ua pour coordonn´ees 
x1
.
.
xn
dans la base (e1, ..., en), on n’´ecrit pas
u=
x1
.
.
xn
. En effet, d’abord uest un vecteur de l’espace vectoriel E, qui n’est pas toujours
Kn. Ensuite si on prend une autre base (e0
1, ..., e0
n) de E, la colonne des coordonn´ees de udans
cette nouvelle base ne sera pas la mˆeme que dans l’ancienne base (e1, ..., en).
Attention : Il y a une exception `a l’avertissement donn´e ci-dessus. Si uest un vecteur de Kn,
alors c’est un n−uplet d’´el´ements de K, soit u= (x1, ..., xn). Les coordonn´ees de udans la base
canonique de Knsont exactement ses composantes x1,...,xn. Dans ce cas (mais seulement dans
ce cas), il n’est pas faux d’´ecrire le vecteur uen colonne, c’est `a dire d’´ecrire : u=
x1
.
.
xn
!
Soient e0
1,...,e0
nnvecteurs de E. On se pose la question suivante : `a quelle condition les vecteurs
e0
1,...,e0
nforment-ils une base de E?
R´eponse : comme ils sont en nombre ´egal `a la dimension de E, ils forment une base de Esi et
seulement si ils forment une famille libre.
Appelons C1la colonne des coordonn´ees du vecteur e0
1dans la base (e1, ..., en) ,... et Cnla
colonne des coordonn´ees du vecteur e0
ndans la base (e1, ..., en). Alors on sait que les vecteurs
e0
1,...,e0
nforment une famille libre de Esi et seulement si C1,...,Cnforment une famille libre de
Kn.
Enfin, on sait que les vecteurs C1,...,Cnforment une famille libre de Knsi et seulement si la
matrice dont les colonnes sont C1,....,Cnest une matrice n×ninversible.
Ceci montre la proposition suivante :
Proposition 1.1.1 Soient e0
1,...,e0
nnvecteurs de E. Soient C1,....,Cnles colonnes des coor-
donn´ees de e0
1,...,e0
ndans la base (e1, ..., en). Soit P∈ Mn(K)la matrice dont la j`eme colonne
1

2CHAPITRE 1. CHANGEMENTS DE BASES.
est Cj. Alors les vecteurs e0
1,....,e0
nforment une base de Esi et seulement si la matrice Pest
inversible.
D´efinition 1.1.2 Quand la matrice Pd´efinie ci-dessus est inversible, on l’appelle la matrice
de passage de la base (e1, ..., en)`a la base (e0
1, ..., e0
n). La base (e1, ..., en)sera appel´ee l’ancienne
base et la base (e0
1, ..., e0
n)sera appel´ee la nouvelle base.
Soit u∈Eet soit X=
x1
.
.
.
xn
la colonne des coordonn´ees de udans la base (e1, ..., en).
On se pose la question suivante : comment calculer les coordonn´ees de udans la nouvelle base
(e0
1, ..., e0
n) ?
Th´eor`eme 1.1.3 Soient (e1, ..., en)d’une part et (e0
1, ..., e0
n)d’autre part, deux bases de E. Soit
Pla matrice de passage de la base (e1, ..., en)`a la base (e0
1, ..., e0
n). Si la colonne des coordonn´ees
du vecteur udans la base (e1, ..., en)est X=
x1
.
.
.
xn
, alors la colonne X0de ses coordonn´ees
dans la base (e0
1, ..., e0
n)se d´eduit de la formule : X=P X0.
C’est `a dire : 
x1
.
.
.
xn
=P
x0
1
.
.
.
x0
n
.
On a la formule ´equivalente : X0=P−1X.
Preuve :
u=x1e1+... +xnenet u=x0
1e0 1+... +x0 ne0 n.
Or on a, par la d´efinition de la matrice P:
e0
1=p1,1e1+· · · +pn,1en(1`ere colonne de P)
.
.
.
e0
n=p1,ne1+· · · +pn,nen(ni`eme colonne de P)
On remplace les e0
ipar leurs d´ecompositions sur la base des ej, dans la deuxi`eme formule donnant
uci-dessus. On trouve :
u=x0
1(p1,1e1+p2,1e2+...+pn,1en) + . . . +x0 n(p1,ne1+p2,ne2+. . . +pn,nen),
ce qui donne :
u= (p1,1x0
1+p1,2x0 2+. . .+p1,nx0 n)e1+(p2,1x0 1+p2,2x0 2+. . .+p2,nx0 n)e2+. . .+(pn,1x0 1+pn,2x0 2+. . .+pn,nx0 n)en.
Or il n’y a qu’une seule d´ecomposition de usur la base e1,...,en. Donc les scalaires qui appa-
raissent comme coefficients des vecteurs eidans la formule ci-dessus sont les coordonn´ees de u
dans la base e1,...,en. On a donc :
x1=p1,1x0
1+p1,2x0 2+. . . +p1,nx0
n
x2=p2,1x0
1+p2,2x0 2+. . . +p2,nx0
n
.
.
.
xn=pn,1x0
1+pn,2x0 2+. . . +pn,nx0
n,
Autrement dit : X=P X0.

1.1. CHANGEMENT DE COORDONN ´ EES. MATRICE DE PASSAGE. 3
Attention : Un vecteur ude E´etant donn´e, la matrice de passage Ppermet de calculer les
”anciennes” coordonn´ees de u(ou coordonn´ees de udans l’ancienne base) en fonction des ”nou-
velles” coordonn´ees de u(ou coordonn´ees de udans la nouvelle base). Comment s’en souvenir ?
On teste la formule X=P X0sur le premier vecteur de la nouvelle base, e0
1. On sait que la
premi`ere colonne de Pest form´ee des coordonn´ees du vecteur e0
1dans la base (e1, ..., en). Or on
sait que pour n’importe quelle matrice A, le produit de Apar la colonne 
1
0
.
.
.
0
est la premi`ere
colonne de A. On a donc
P
1
0
.
.
.
0
= 1`ere colonne de P=
p1,1
p2,1
.
.
.
pn,1
.
Or la colonne 
1
0
.
.
.
0
est la colonne des coordonn´ees du vecteur e0
1dans la nouvelle base. La
colonne 
p1,1
p2,1
.
.
.
pn,1
est la colonne des coordonn´ees du mˆeme vecteur e0
1dans l’ancienne base. On
a donc bien v´erifi´e la formule X=P X0, quand Xet X0sont les colonnes des coordonn´ees du
vecteur e0
1.
Exemple : Soit R4muni de la base canonique (e1, ..., e4). Soient les vecteurs e0
1,...,e0 4de R4
donn´es par leurs composantes (qui sont aussi leurs coordonn´ees dans la base canonique) :
e0
1=
1
2
0
0
e0
2=
0
1
0
0
e0
3=
0
0
2
1
et e0
4=
0
0
1
2
.
V´erifions que les vecteurs e0
1,e0 2,e0 3,e0 4forment une base de R4. On remarque que les coor-
donn´ees de ces vecteurs sont presque ´echelonn´ees. On raisonne suivant la mani`ere habituelle pour
des vecteurs de coordonn´ees ´echelonn´ees. D’abord on voit que e0
4et e0 3ne sont pas colin´eaires,
donc ils sont lin´eairement ind´ependants. Puis on voit que e0
2n’est pas combinaison lin´eaire de e0 3
et e0
4, sinon sa deuxi`eme coordonn´ee serait nulle. Comme e0 3et e0 4sont lin´eairement ind´ependants,
cela prouve que e0
2,e0 3,e0 4sont lin´eairement ind´ependants. Alors e0 1,...,e0 4sont li´es si et seulement
si e0
1s’´ecrit comme combinaison lin´eaire de e0 2,e0 3,e0 4. Or e0 1n’est pas combinaison lin´eaire de
ces trois vecteurs, sinon sa premi`ere composante serait nulle. Donc les quatre vecteurs e0
1,e0 2,e0 3,
e0
4sont lin´eairement ind´ependants. Comme leur nombre est 4, ils forment une base de R4. Soit
ule vecteur de R4donn´e par ses 4 composantes :
u=
1
1
1
1
. La colonne 
1
1
1
1
est le vecteur u, mais c’est aussi la colonne des coordonn´ees
du vecteur udans la base canonique de R4. Cherchons les coordonn´ees de udans la nouvelle
base (e0
1, e0 2, e0 3, e0 4). Ecrivons la matrice de passage Pde la base canonique (ancienne base) `a la
nouvelle base.

4CHAPITRE 1. CHANGEMENTS DE BASES.
P=
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 2 1
0 0 1 2
e1
e2
e3
e4
e0
1e0 2e0 3e0 4.
Les coordonn´ees X0de udans la nouvelle base sont donn´ees par la formule X=P X0, c’est
`a dire :
1 = x0
1
1 = 2x0
1+x0 2
1 = 2x0
3+x0 4
1 = x0
3+ 2x0 4
Il reste `a r´esoudre ce syst`eme. On trouve 
x0
1= 1
x0
2=−1
2x0
3+x0 4= 1
3x0
4= 1
d’o`u 
x0
1= 1
x0
2=−1
x0
3= 1/3
x0
4= 1/3
Les nouvelles coordonn´ees de usont donc donn´ees par la colonne 
1
−1
1/3
1/3
Attention : Le vecteur un’est pas ´egal `a cette colonne. On a seulement : u=e0
1−e0 2+1
3e0
3+1
3e0
4.
(Formule qu’on peut v´erifier pour d´etecter d’´eventuelles erreurs de calcul).
On aurait pu r´esoudre le probl`eme autrement. D’abord prouver que Pest inversible et
calculer P−1. Alors le fait que Psoit inversible montre que (e0
1, e0 2, e0 3, e0 4) est une base de R4.
Puis on calcule les nouvelles coordonn´ees de upar la formule X0=P−1X.
1.2 Formule de changement de base pour une application lin´eaire.
Th´eor`eme 1.2.1 Soit f:E→Fune application lin´eaire. Soient (u1, ..., up)et (u0
1, ..., u0
p)deux
bases de Eet soient (v1, ..., vn)et (v0
1, ..., v0
n)deux bases de F. Soit Ala matrice de fdans les
bases (u1, ..., up)et (v1, ..., vn)et soit A0la matrice de fdans les bases (u0
1, ..., u0
p)et (v0
1, ..., v0
n).
Appelons Pla matrice de passage de la base (u1, ..., up)`a la base (u0
1, ..., u0
p)et Qla matrice de
passage de la base (v1, ..., vn)`a la base (v0
1, ..., v0
n). Alors on a la formule suivante :
A0=Q−1AP.
Preuve : La preuve est `a connaˆıtre, car il faut ˆetre capable de retrouver la formule. On va
donner deux preuves diff´erentes (retenir celle qui semble la plus simple !)
Premi`ere d´emonstration. Montrons que QA0=AP . Pour cela, on calcule de deux mani`eres
la matrice de fdans les bases (u0
1, ..., u0
p) et (v1, ..., vn). D’une part on ´ecrit : f=idF◦f. La
matrice Qest la matrice de idFdans les bases (v0
1, ..., v0
n) et (v1, ..., vn). La matrice A0est la
matrice de fdans les bases (u0
1, ..., u0
p) et (v0
1, ..., v0
n). Par le th´eor`eme de composition, la matrice
de f=idF◦fdans les bases (u0
1, ..., u0
p) et (v1, ..., vn) est QA0. D’autre part, on ´ecrit : f=idE◦f.
La matrice Pest la matrice de idEdans les bases (u0
1, ..., u0
p) et (u1, ..., up). La matrice Aest la
matrice de fdans les bases (u1, ..., up) et (v1, ..., vn). Donc la matrice de la fonction compos´ee
f=idE◦fdans les bases (u0
1, ..., u0
p) et (v1, ..., vn) est AP . On a donc calcul´e la matrice de
fdans les bases (u0
1, ..., u0
p) et (v1, ..., vn) de deux mani`eres diff´erentes. Comme il n’y a qu’une
seule matrice, on a AP =QA0.
Deuxi`eme d´emonstration. (N´ecessite de connaˆıtre la formule de changement de base pour
les vecteurs). On donne un vecteur ude E. Soit Xla colonne de ses coordonn´ees dans la
base (u1, ..., up) et X0la colonne de ses coordonn´ees dans la base (u0
1, ..., u0
p). Le vecteur f(u)
appartient `a F. Appelons Yla colonne de ses coordonn´ees dans la base (v1, ..., vn) et Y0la
colonne de ses coordonn´ees dans la base (v0
1, ..., v0
n). On : Y=AX et Y0=A0X0. Or X=P X0
et Y=QY 0. On substitue P X0`a Xet QY 0`a Ydans la formule Y=AX. On trouve QY 0=

1.2. FORMULE DE CHANGEMENT DE BASE POUR UNE APPLICATION LIN ´ EAIRE. 5
AP X0, donc Y0=Q−1AP X0. Comme cela est vrai pour tout vecteur ude E, on en d´eduit que
A0=Q−1AP .
Exemple : Soit f:R2→R3
(x, y)→(2x+ 3y, x, x −y). Appelons (e1, e2) la base canonique de R2et
(e e1,e
e2,e e3) la base canonique de R3. La matrice de fdans les bases canoniques de R2et R3
est 
2 3
1 0
1−1
.On donne u1= (1,2) et u2= (0,1) deux vecteurs de R2. Ils forment une
base de R2car ils ne sont pas colin´eaires. On donne trois vecteurs de R3:v1= (1,−1,0),
v2= (1,2,1) et v3= (0,1,2). On voit que v1et v2sont lin´eairement ind´ependants. Donc v1,
v2,v3ne peuvent ˆetre li´es que si v3est une combinaison lin´eaire de v1et v2, c’est `a dire si il
existe des r´eels αet βtels que 
0 = α+β
1 = −α+ 2β
2 = β
et ce syst`eme n’a pas de solution, donc v1,
v2,v3sont lin´eairement ind´ependants. Ils forment une base de R3. La matrice de passage de
la base canonique de R2`a la base (u1, u2) est P=µ1 0
2 1 ¶et la matrice de passage de la
base canonique de R3`a la base (v1, v2, v3) est Q=
1 1 0
−121
0 1 2
.On inverse la matrice Q.
On trouve Q−1=1
5
3−2 1
2 2 −1
−1−1 3
.Le produit Q−1AP donne A0=1
5
21 8
19 7
−12 −6
.Ceci
signifie que f(u1) = 1
5(21v1+ 19v2−12v3) et f(u2) = 1 5(8v1+ 7v2−6v3).
D´efinition 1.2.2 Soient Aet A0deux matrices de Mn,p(K). Si il existe deux matrices inver-
sibles P∈ Mp(K)et Q∈ Mn(K)telles que A0=Q−1AP , on dit que Aet A0sont des matrices
´equivalentes. Si Aet A0∈ Mp(K)et s’il existe une matrice inversible P∈ Mp(K)telle que
A0=P−1AP , on dit que Aet A0sont des matrices semblables.
Exercice : La relation Rd´efinie sur Mn,p(K) par ”ARA0s’il existe deux matrices inversibles
P∈ Mp(K) et Q∈ Mn(K) telles que A0=Q−1AP ” est une relation d’´equivalence.