Ondes électromagnétiques planes dans des milieux conducteurs

Chapitre O5: Ondes électromagnétiques planes dans des milieux conducteurs
TD
TD-O5 : Ondes électromagnétiques planes dans des milieux
conducteurs
Révisions de cours :
Justifier les hypothèses permettant d’utiliser la loi d’Ohm locale pour un conducteur ohmique de
conductivité réelle en régime variable
Ecrire les équations de Maxwell dans un conducteur ohmique
Etablir l’équation de propagation du champ électrique dans un conducteur ohmique
Repérer l’analogie formelle avec le phénomène de diffusion thermique
Etablir la relation de dispersion
Décrire l’effet de peau dans un conducteur ohmique et établir l’expression de l’épaisseur de peau
Citer l’ordre de grandeur de l’épaisseur de peau du cuivre à 50Hz
Associer l’atténuation de l’onde à une dissipation d’énergie (en exprimant le vecteur de Poynting
en moyenne dans le temps)
Décrire et justifier le modèle du conducteur parfait en présence d’un champ électromagnétique
variable
Décrire ce qu’est un milieu plasma
Justifier la neutralité électronique d’un plasma au passage d’une OEPPH
Décrire le modèle de la conduction électrique dans un plasma
Construire une conductivité complexe en justifiant les approximations
Interpréter le caractère imaginaire pur de la conductivité en termes d’énergie
Ecrire les équations de Maxwell dans un plasma peu dense et localement neutre et établir
l’équation de propagation du champ électrique
Etablir la relation de dispersion dans le plasma
Décrire les différentes solutions suivant la valeur de la pulsation. Identifier une onde evanescente
Expliquer la notion de fréquence de coupure d’un plasma. Donner son ordre de grandeur dans le
cas de l’ionosphère.
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016
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TD
Transparence ultraviolette des métaux
On adopte le modèle "macroscopique" de conduction de Drude dans un métal. La collision entre le réseau
→
−
v
des ions métalliques et les électrons de conduction est représentée par une frottement de la forme −m . On
τ
assimilera dans ce modèle la vitesse d’un électron avec la vitesse d’un ensemble d’électrons appartenant au
même volume mésoscopique de matière. On travaille en notation complexe en régime sinusoïdal forcé. On note
n∗ le nombre volumique d’électrons libres.
−
→ −−−→ → −
→
→−
−→−→−
On rappelle : rot rot E = grad div E
− ∆ E.
1. Montrer que le métal possède une conductivité complexe s’écrivant de la manière suivante :
σ=
σ0
1 + jωτ
avec
σ0 =
n∗ e2 τ
m
2. On rappelle que le métal est localement neutre. En déduire la relation de dispersion des pseudo-OPPH :
k2 =
ω2
− µ0 σ jω
c2
3. Comment se simplifie la relation de dispersion pour ωτ 1 ? Faire apparaître une pulsation critique.
Interpréter alors le fait que certains métaux sont transparents dans l’ultra-violet, sachant que n∗ '
1028 m−3 , m = 9.10−31 kg, e = 1, 6.10−19 C , τ ' 10−14 s et εo = 8, 8.10−12 F .m−1 .
4. Expliquer pourquoi les métaux bons conducteurs comme le cuivre sont aussi des miroirs.
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Propagation dans un métal - effet de peau
On considère un milieu conducteur de conductivité γ pour lequel le courant dû aux porteurs de charge
→
−
→
−
(courant de conduction), caractérisé localement par le vecteur densité de courant j est lié au champ E par la
→
−
→
−
relation j = γ E , supposée valable même en régime variable.
On suppose que, dans ce conducteur, on peut écrire les équations de Maxwell dites "dans le vide", avec les
constantes ε0 et µ0 , à condition de tenir compte du courant de conduction.
Le milieu considéré est l’argent pour lequel γ = 6, 13.107 S.m−1 .
On donne ε0 = 8, 854.10−12 F.m−1 et c = 3.108 m.s−1
1. Courant de conduction et courant de déplacement
→
−
On suppose que, dans le métal, le champ E est donné, en notations complexes, par une expression du
type
→ −
−
→
E = E 0 ei(kx−ωt) .
→
−
Pour quelles valeurs de la fréquence le rapport des amplitudes du "courant de déplacement" ε0 ∂∂tE et du
→
−
→
−
courant de conduction j = γ E reste-t-il faible ?
2. Propagation dans le métal : effet de peau
On suppose que le métal précédent occupe le demi-espace x ≥ 0. On s’intéresse à la propagation, dans
→
−
ce métal, d’une onde électromagnétique dont le champ E est défini par
−
→
→
E = E0 exp [i(kx − ωt)] −
uz
−
où →
u z est le vecteur unitaire porté par (Oz).
a- En écrivant les équations de Maxwell dans le métal et en se situant dans le domaine de fréquence
défini dans la question 1, déterminer la relation entre k et ω (relation de "dispersion").
→
−
b- Montrer que, finalement, E est de la forme
x
→
−
→
E = E0 exp −
exp [i (k0 x − ωt)] −
uz
δ
où δ et k0 sont des grandeurs réelles que l’on explicitera. Pourquoi δ est-elle appelée profondeur de
pénétration ?
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Propagation d’ondes longitudinales dans un plasma
On utilisera la modélisation du plasma décrite dans le cours. La seule différence est que l’on s’intéresse à la
→→
−
→
→
propagation du champ électromagnétique longitudinal suivant : E (−
v r, t) = E(x, t) −
u x = E0 cos(ωt − kx) −
ux
1. Caractériser cette onde. Que vaut le champ magnétique ?
2. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux électrons et en déduire une relation entre la
→
−
→
−
dérivée temporelle de la densité volumique de courant ∂∂tj et E .
→
−
→
−
3. À l’aide des équations de Maxwell, trouver une autre relation entre ∂∂tj et E .
→
−
4. En déduire l’équation vérifiée par E . Quelle est la relation de dispersion ? Quelle est sa particularité ?
Donner la vitesse de groupe.
5. Calculer le vecteur de Poynting. Evaluer l’énergie électromagnétique volumique ainsi que l’énergie cinétique volumique des électrons. Interpréter alors le fait que l’énergie ne se propage pas.
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Propagation de l’énergie dans un plasma
On considère un plasma peu dense contenant n électrons par unité de volume et on étudie la propagation
d’une onde plane progressive monochromatique selon les z croissants de pulsation ω > ωp et polarisée suivant
l’axe (Ox). On rappelle la relation de dispersion dans un plasma ainsi que la pulsation plasma :
k2 =
ω2 − ωp2
2
sc
ne2 τ
me
ωp =
1. Donner l’expression des champs électrique, magnétique et du vecteur de Poynting.
2. Déterminer l’expression de la densité volumique d’énergie électromagnétique et d’énergie cinétique des
électrons. On fera apparaître la pulsation plasma dans l’expression de l’énergie cinétique.
3. A l’aide du vecteur de poynting, calculer l’énergie moyenne traversant une section S orthogonale à (Oz)
pendant un intervalle de temps δt >> T (T période de l’onde). On remarquera que l’énergie des électrons
n’est pas à prendre en compte car le flux de puissance correspondant est nul à travers la section S, les
électrons ne se propageant pas comme l’onde ils restent en moyenne à la même position.
4. Pendant ce même intervalle de temps δt, on peut également considérer que l’énergie qui a traversée la
section S était l’énergie totale (électromagnétique et cinétique) contenue initialement dans un cylindre
de hauteur ve δt et de section S, ve est la vitesse moyenne de l’énergie.
5. En déduire la vitesse de propagation de l’énergie et la comparer à la vitesse de groupe.
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Propagation d’une onde dans le plasma interstellaire
Le plasma interstellaire est constitué d’électrons de masse m, de charge électrique −e, de densité particulaire
n et d’ions de charge électrique q et de densité particulaire N.
La densité de charge totale est nulle. Le mouvement des ions est négligé et celui des électrons, non relati→
vistes, est décrit par le vecteur vitesse −
v.
Avec ces hypothèses, on cherche des solutions des équations de Maxwell (à l’exclusion des champs statiques)
→
−
sous la forme d’ondes planes monochromatiques de vecteur d’onde k , dont le champ électrique est noté :
→−
−
→
−
→
− −
→
r , t) = E0 ei(ωt− k . r )
E (→
1. Montrer que le champ magnétique de l’onde est aussi décrit par une onde plane de même pulsation et
vecteur d’onde.
→−
−
→ −
→
Quelle est la structure du trièdre (, k , E , B ) de l’onde ?
α−
→
→
−
2. En étudiant le mouvement des électrons, exprimer la constante α telle que jv = −i E .
ω
→−
−
→
→
−
→
−
→→
−
→
−
3. Déterminer l’amplitude j du vecteur densité volumique de courant j de l’onde j (−
r , t) = j ej(ωt− k . r )
v0
v
v
v0
en fonction de celle du champ électrique de l’onde.
→
−
4. Etablir l’équation de propagation portant sur jv et en déduire la relation de dispersion ω = ω(k) liant
la pulsation de l’onde et le norme de son vecteur d’onde. On posera K tel que : α = ε0 c 2 K 2
5. Calculer les vitesses de phase et de groupe de l’onde en fonction de k et K . Quelle est la relation entre
ces vitesses ?
6. Deux paquets d’onde de longueurs d’onde λ1 et λ2 sont émis au même instant par un objet stellaire
et sont amenés à traverser une distance L de plasma interstellaire jusqu’au récepteur (le reste de la
propagation s’effectue dans le vide).
En supposant K 2 λ21 1 et K 2 λ22 1, montrer que ces signaux sont reçus avec un décalage δt = t2 − t1
à déterminer en fonction de L, K , c et des longueurs d’onde λ1 et λ2 .
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