Ondes électromagnétiques planes dans des milieux conducteurs

Chapitre O5: Ondes électromagnétiques planes dans des milieux conducteurs TD
TD-O5 : Ondes électromagnétiques planes dans des milieux
conducteurs
Révisions de cours :
Justifierleshypothèsespermettantd’utiliserlaloid’Ohmlocalepourunconducteurohmiquede
conductivitéréelleenrégimevariable
EcrireleséquationsdeMaxwelldansunconducteurohmique
Etablirl’équationdepropagationduchampélectriquedansunconducteurohmique
Repérerl’analogieformelleaveclephénomènedediffusionthermique
Etablirlarelationdedispersion
Décrirel’effetdepeaudansunconducteurohmiqueetétablirl’expressiondel’épaisseurdepeau
Citerl’ordredegrandeurdel’épaisseurdepeauducuivreà50Hz
Associerl’atténuationdel’ondeàunedissipationd’énergie(enexprimantlevecteurdePoynting
enmoyennedansletemps)
Décrireetjustifierlemodèleduconducteurparfaitenprésenced’unchampélectromagnétique
variable
Décrirecequ’estunmilieuplasma
Justifierlaneutralitéélectroniqued’unplasmaaupassaged’uneOEPPH
Décrirelemodèledelaconductionélectriquedansunplasma
Construireuneconductivitécomplexeenjustifiantlesapproximations
Interpréterlecaractèreimaginairepurdelaconductivitéentermesd’énergie
Ecrire les équations de Maxwell dans un plasma peu dense et localement neutre et établir
l’équationdepropagationduchampélectrique
Etablirlarelationdedispersiondansleplasma
Décrirelesdifférentessolutionssuivantlavaleurdelapulsation.Identifieruneondeevanescente
Expliquerlanotiondefréquencedecoupured’unplasma.Donnersonordredegrandeurdansle
casdel’ionosphère.
1PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016

Chapitre O5: Ondes électromagnétiques planes dans des milieux conducteurs TD
1 Transparence ultraviolette des métaux
Onadoptelemodèle"macroscopique"deconductiondeDrudedansunmétal.Lacollisionentreleréseau
desionsmétalliquesetlesélectronsdeconductionestreprésentéeparunefrottementdelaforme−m
−→
v
τ.On
assimileradanscemodèlelavitessed’unélectronaveclavitessed’unensembled’électronsappartenantau
mêmevolumemésoscopiquedematière.Ontravailleennotationcomplexeenrégimesinusoïdalforcé.Onnote
n∗lenombrevolumiqued’électronslibres.
Onrappelle:−→ rot−→ rot−→ E=−−−→ grad div −→ E−−→ ∆−→ E.
1. Montrerquelemétalpossèdeuneconductivitécomplexes’écrivantdelamanièresuivante:
σ=σ0
1+jωτ avec σ0=n∗e2τ m
2. Onrappellequelemétalestlocalementneutre.Endéduirelarelationdedispersiondespseudo-OPPH:
k2=ω2
c2−µ0σjω
3. Commentsesimplifielarelationdedispersionpourωτ 1?Faireapparaîtreunepulsationcritique.
Interpréteralors lefait quecertains métauxsont transparentsdansl’ultra-violet,sachantque n∗'
1028m−3,m=9.10−31kg,e=1,6.10−19C,τ'10−14setεo=8,8.10−12F .m−1.
4. Expliquerpourquoilesmétauxbonsconducteurscommelecuivresontaussidesmiroirs.
2 Propagation dans un métal - effet de peau
Onconsidèreunmilieuconducteurdeconductivitéγpourlequellecourantdûauxporteursdecharge
(courantdeconduction),caractérisélocalementparlevecteurdensitédecourant−→ jestliéauchamp−→ Eparla
relation−→ j=γ−→ E,supposéevalablemêmeenrégimevariable.
Onsupposeque,dansceconducteur,onpeutécrireleséquationsdeMaxwelldites"danslevide",avecles
constantesε0etµ0,àconditiondetenircompteducourantdeconduction.
Lemilieuconsidéréestl’argentpourlequelγ=6,13.107S.m−1.
Ondonneε0=8,854.10−12 F.m−1etc=3.108m.s−1
1. Courant de conduction et courant de déplacement
Onsupposeque,danslemétal,lechamp−→ Eestdonné,ennotationscomplexes,paruneexpressiondu
type −→
E=−→ E0ei(kx−ωt).
Pourquellesvaleursdelafréquencelerapportdesamplitudesdu"courantdedéplacement"ε0∂−→
E
∂t etdu
courantdeconduction−→ j=γ−→ Ereste-t-ilfaible?
2. Propagation dans le métal : effet de peau
Onsupposequelemétalprécédentoccupeledemi-espacex≥0.Ons’intéresseàlapropagation,dans
cemétal,d’uneondeélectromagnétiquedontlechamp−→ Eestdéfinipar
−→
E=E0exp[i(kx −ωt)]−→ uz
où−→ uzestlevecteurunitaireportépar(Oz).
a- EnécrivantleséquationsdeMaxwelldanslemétaletensesituantdansledomainedefréquence
définidanslaquestion1,déterminerlarelationentreketω(relationde"dispersion").
b- Montrerque,finalement,−→ Eestdelaforme
−→
E=E0exp−x
δexp[i(k0x−ωt)]−→
uz
oùδetk0sontdesgrandeursréellesquel’onexplicitera.Pourquoiδest-elleappeléeprofondeur de
pénétration ?
2PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016

Chapitre O5: Ondes électromagnétiques planes dans des milieux conducteurs TD
3 Propagation d’ondes longitudinales dans un plasma
Onutiliseralamodélisationduplasmadécritedanslecours.Laseuledifférenceestquel’ons’intéresseàla
propagationduchampélectromagnétiquelongitudinalsuivant:−→ E(−→ v r, t)=E(x, t)−→ ux=E0cos(ωt −kx)−→ ux
1. Caractérisercetteonde.Quevautlechampmagnétique?
2. Appliquerlarelationfondamentaledeladynamiqueauxélectronsetendéduireunerelationentrela
dérivéetemporelledeladensitévolumiquedecourant∂−→
j
∂t et−→
E.
3. Àl’aidedeséquationsdeMaxwell,trouveruneautrerelationentre ∂−→
j
∂t et−→
E.
4. Endéduirel’équationvérifiéepar−→ E.Quelleestlarelationdedispersion?Quelleestsaparticularité?
Donnerlavitessedegroupe.
5. CalculerlevecteurdePoynting.Evaluerl’énergieélectromagnétiquevolumiqueainsiquel’énergieci-
nétiquevolumiquedesélectrons.Interpréteralorslefaitquel’énergienesepropagepas.
4 Propagation de l’énergie dans un plasma
Onconsidèreunplasmapeudensecontenantnélectronsparunitédevolumeetonétudielapropagation
d’uneondeplaneprogressivemonochromatiqueselonleszcroissantsdepulsationω > ωpetpolariséesuivant
l’axe(Ox).Onrappellelarelationdedispersiondansunplasmaainsiquelapulsationplasma:
k2=ω2−ω2
p
c2
ωp=sne2τ
me
1. Donnerl’expressiondeschampsélectrique,magnétiqueetduvecteurdePoynting.
2. Déterminerl’expressiondeladensitévolumiqued’énergieélectromagnétiqueetd’énergiecinétiquedes
électrons.Onferaapparaîtrelapulsationplasmadansl’expressiondel’énergiecinétique.
3. Al’aideduvecteurdepoynting,calculerl’énergiemoyennetraversantunesectionSorthogonaleà(Oz)
pendantunintervalledetempsδt >> T (Tpériodedel’onde).Onremarqueraquel’énergiedesélectrons
n’estpasàprendreencomptecarlefluxdepuissancecorrespondantestnulàtraverslasectionS,les
électronsnesepropageantpascommel’ondeilsrestentenmoyenneàlamêmeposition.
4. Pendantcemêmeintervalledetempsδt,onpeutégalementconsidérerquel’énergiequiatraverséela
sectionSétaitl’énergietotale(électromagnétiqueetcinétique)contenueinitialementdansuncylindre
dehauteurveδt etdesectionS,veestlavitessemoyennedel’énergie.
5. Endéduirelavitessedepropagationdel’énergieetlacompareràlavitessedegroupe.
3PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016

Chapitre O5: Ondes électromagnétiques planes dans des milieux conducteurs TD
5 Propagation d’une onde dans le plasma interstellaire
Leplasmainterstellaireestconstituéd’électronsdemassem,dechargeélectrique−e,dedensitéparticulaire
netd’ionsdechargeélectriqueqetdedensitéparticulaireN.
Ladensitédechargetotaleestnulle.Lemouvementdesionsestnégligéetceluidesélectrons,nonrelati-
vistes,estdécritparlevecteurvitesse−→ v.
Avecceshypothèses,oncherchedessolutionsdeséquationsdeMaxwell(àl’exclusiondeschampsstatiques)
souslaformed’ondesplanesmonochromatiquesdevecteurd’onde−→ k,dontlechampélectriqueestnoté:
−→
E(−→ r , t)=−→ E0ei(ωt−−→
k .−→ r)
1. Montrerquelechampmagnétiquedel’ondeestaussidécritparuneondeplanedemêmepulsationet
vecteurd’onde.
Quelleestlastructuredutrièdre(,−→ k,−→ E,−→ B)del’onde?
2. Enétudiantlemouvementdesélectrons,exprimerlaconstanteαtelleque−→ jv=−iα
ω
−→
E.
3. Déterminerl’amplitude−→ jv0duvecteurdensitévolumiquedecourant−→ jvdel’onde−→ jv(−→ r , t)=−→ jv0ej(ωt−−→
k .−→ r)
enfonctiondecelleduchampélectriquedel’onde.
4. Etablirl’équationdepropagationportantsur−→ jvetendéduirelarelationdedispersionω=ω(k)liant
lapulsationdel’ondeetlenormedesonvecteurd’onde.OnposeraKtelque:α=ε0c2K2
5. Calculerlesvitessesdephaseetdegroupedel’ondeenfonctiondeketK.Quelleestlarelationentre
cesvitesses?
6. Deuxpaquetsd’ondedelongueursd’ondeλ1etλ2sontémisaumêmeinstantparunobjetstellaire
etsontamenésàtraverserunedistanceLdeplasmainterstellairejusqu’aurécepteur(lerestedela
propagations’effectuedanslevide).
EnsupposantK2λ2
11etK2λ2 21,montrerquecessignauxsontreçusavecundécalageδt =t2−t1
àdéterminerenfonctiondeL,K,cetdeslongueursd’ondeλ1etλ2.
4PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016