Réduction des endomorphismes

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Valeur propre
Définition – Valeur propre
Soit 𝕂 un corps commutatif. En pratique 𝕂 sera le corps des réels ou des complexes.
Soit E un 𝕂-espace vectoriel et u un endomorphisme de E et A sa matrice dans la base canonique de 𝕂
On dit que λ est une valeur propre de u ssi ∃x ∈ E, x ≠ 0E tel que u(x) = λx
On dit que λ est une valeur propre de A ssi ∃x ∈ E, x ≠ 0E tel que Ax = λx
* Si E est de dimension finie l’ensemble des valeurs propres de u est appelé spectre de u
Définition – Vecteur propre
Soit x un vecteur non nul de E, x est un vecteur propre de l’endomorphisme u ssi il existe un scalaire λ tel que u(x) = λx.
Soit x un vecteur non nul de E, x est un vecteur propre de A ssi il existe un scalaire λ tel que Ax = λx.
On dit que x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ.
* Un vecteur propre ne peut être associé à deux valeurs propres différentes
* Un vecteur propre n’est jamais nul (par définition !!)
* Une famille de k vecteurs propres associés à k valeurs propres différentes est une famille libre
Définition – Sous-espace propre
Soit λ une valeur propre de u, alors l’ensemble constitué des vecteurs propres associés à la valeur propre λ et du vecteur nul,
forme un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace propre de u associé à la valeur propre λ. C’est le sous-espace
vectoriel égal au noyau de u – λ Id.
* Par définition d'une valeur propre, un espace propre n'est jamais réduit au vecteur nul.
* Si 0 est une valeur propre de u le sous-espace propre associé à 0 est ker u et donc u n’est pas un endomorphisme injectif
* Les espaces propres Ei de valeurs propres λi forment une somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u.
Proposition
Rappel : le déterminant d’un endomorphisme est celui de sa matrice dans une base quelconque
Un scalaire λ est valeur propre de la matrice A ou de l’endomorphisme u ssi l’une des conditions suivantes est réalisée
- Le rang de la matrice A – λ Id ou de l’endomorphisme u – λ Id est inférieur à n
- Le déterminant de la matrice A – λ Id ou de u – λ Id est nul
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Algèbre – Réduction des endomorphismes | 1
Polynôme caractéristique
Définition – Polynôme caractéristique
On appelle polynôme caractéristique de la matrice A (noté P A(X)) ou polynôme caractéristique de l’endomorphisme u (noté
Pu(X)) le déterminant de A – λ Id ou de u – λ Id
a1,1 − X a1,2 …
…
a1,n
a
⋱
⋮
| 2,1
|
PA (X) = Pu (X) =
⋮
⋮
| ⋮
⋱
a n−1,n |
a n,1
⋯ … a n,n−1 a n,n − X
Théorème
PA(X) = Pu(X) est un polynôme de degré n
Son terme de plus haut degré est (-1)nXn
Son terme constant est det(u) = det(A)
Le coefficient de degré Xn-1 est la somme des termes diagonaux de la matrice A (trace de la matrice), c’est aussi la somme des
valeurs propres
Théorème
Les racines du polynôme caractéristique sont exactement les valeurs propres de A ou de l’endomorphisme associé à A
* Si 0 est valeur propre de u, u n’est pas inversible (noyau non réduit à 0)
Si 0 n’est pas valeur propre de u, u est inversible (det(u – 0.Id) ≠ 0)
Proposition
Soit A une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé. Soient λ 1, λ 2, …, λ k les k racines de PA(X) et m1, m2, …, mk
leurs multiplicités respectives (m1 + m2 + … + mk = n).
Pour toute valeur propre λ i la dimension du sous espace propre associé est inférieure ou égale à son ordre de multiplicité
Si l’ordre de multiplicité de λ i est 1 (= valeur propre simple) alors la dimension du sous espace propre associé est 1
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Algèbre – Réduction des endomorphismes | 2
Polynômes d’endomorphismes
Notations – Polynômes d’endomorphismes
Soit P(X) = a 0 + a1 X + ⋯ + a d X d ∈ 𝕂[X] un polynôme
Si f est un endomorphisme de E on note P(f) l’endomorphisme a 0 + a1 u + ⋯ + a d ud = ∑di=0 a i ui
où u0 = I et pour tout i ≥ 1 ui = ui−1 of
Si A est une matrice carrée de dimension n, on note P(A) la matrice a 0 + a1 A + ⋯ + a d Ad = ∑di=0 a i Ai
où A0 = I et pour tout i ≥ 1 Ai = Ai−1 A
* Deux polynômes du même endomorphisme commutent ∀(P, Q) ∈ 𝕂[X] P(u) o Q(u) = Q(u) o P(u)
* Soit P ∈ 𝕂[X] un polynôme. On dit que P est un polynôme annulateur de u si l’endomorphisme P(u) est identiquement nul
Théorème de Cayley-Hamilton
Soit u un endomorphisme et Pu son polynôme caractéristique. Alors Pu(u) est identiquement nul. (Pu(u) = 0)
Propositions
L’ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de l’anneau 𝕂[X] qui est engendré par le polynôme minimal πu.
Si P est un polynôme tel que P(u) = 0 alors P est divisible par πu. En particulier Pu est un multiple de πu
Lemme des noyaux
Soient P1, …, Pk des polynômes premiers entre eux deux à deux et soit P = P 1…. Pk leur produit.
On a alors ker P(u) = ker P1(u) ⊕ … ⊕ ker Pk(u)
Définition – Matrice compagnon
0
1
0
Soit u un endomorphisme tel que sa matrice dans une certaine base soit A =
⋮
⋮
(0
Son polynôme caractéristique est Pu = (−1)n (X n − a n−1 X n−1 − ⋯ − a1 X − a 0 )
Son polynôme minimal est πu = (−1)n Pu = (X n − a n−1 X n−1 − ⋯ − a1 X − a 0 )
Cette matrice est appelée matrice de Frobenius ou matrice compagnon.
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0
⋱
⋱
⋱
⋯
⋯
⋱
⋱
⋯
⋯
⋱
⋱
⋱
0
0
⋮
⋮
0
0
1
a0
a1
a n−2
a n−1 )
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Matrices et endomorphismes diagonalisables
Définition – Matrices diagonalisables
Une matrice A est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire s’il existe une matrice
diagonale D et une matrice de passage P (inversible) telle que D = P-1AP
Proposition
Soient u un endomorphisme du 𝕂-espace vectoriel E et λ ∈ 𝕂. Les conditions suivantes sont équivalentes :
① λ est valeur propre de u
② u – λ Id n’est pas un isomorphisme
③ det(u – λ Id) = 0
④ Pu(λ) = 0
⑤ πu(λ) = 0
Théorème
Soient λ 1, λ 2, …, λ k toutes les valeurs propres distinctes de u. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
① u est diagonalisable
② il existe une base de E formée de vecteurs propres de u
③ E = Vλ1 ⊕ … ⊕ Vλk
④ dim Vλ1 + … + dim Vλk = n
⑤ Pu = (−1)k ∏ki=1(X − λi )mi et dim Vλi = mi
⑥ 𝜋𝑢 = ∏ki=1(X − λi )
⑦ il existe un polynôme P ∈ 𝕂[X] dont toutes les racines sont simples et tel que P(u) = 0
Proposition
Si u possède n valeurs propres distinctes, alors u est diagonalisable
En pratique
1 – Factoriser le polynôme caractéristique. Si le polynôme n’est pas scindé la matrice n’est pas diagonalisable.
2 – Trouver une base de chaque sous-espace propre. Si pour une des valeurs propres la dimension du sous-espace propres
est inférieure à l’ordre de multiplicité de la valeur propre, alors la matrice n’est pas diagonalisable.
3 – La matrice D est la matrice des vecteurs propres dans leur propre base (c'est-à-dire la matrice des valeurs propres)
P est la matrice de passage de la base d’origine à la base des vecteurs propres ;
L’ordre des valeurs propres dans D et des vecteurs dans P doit être le même
4 – Eventuellement calculer P-1 (et vérifier en calculant PDP-1)
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Matrices et endomorphismes triangulables
Définition – Matrices triangulables
Une matrice A est dite triangulable si elle est semblable à une matrice triangulaire, c'est-à-dire s’il existe une matrice
diagonale T et une matrice de passage P (inversible) telle que T = P-1AP
Théorème
L’endomorphisme u est triangulable
ssi Pu a toutes ses racines dans 𝕂
ssi son polynôme minimal est scindé
Corollaire
Tous les endomorphismes linéaires d’un ℂ-espace vectoriel (et toutes les matrices carrées à coefficients dans ℂ) sont
triangulables
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Cas particuliers
Proposition
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives k et n-k tels que E = F ⊕ G. La projection p et la
symétrie s parallèlement à G sont diagonalisables. Leurs polynômes minimaux et caractéristiques sont :
Pp (X) = (−1)n X n−k (X − 1)k et πp = X(X − 1)
Ps (X) = (−1)n (X + 1)n−k (X − 1)k et πs = (X + 1)(X − 1)
Proposition
Soit f un endomorphisme nilpotent d’indice k. Son polynôme caractéristique est (−1)n X n , son polynôme minimal est X k .
Si k > 1 f n’est pas diagonalisable.
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