Fonctions à variation bornée

Fonctions à variation bornée
Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 1, page 276
Exercice : Soit une application f : [a, b] → R. À toute subdivision σ = (a = x0 <
x1 < . . . <n = b) de [a, b], on associe la variation totale de f sur σ :
n−1
X
V (f, σ) =
|f (xk+1 − f (xk )|
k=0
On pose
Vab (f ) = sup V (f, σ)
σ
∈ [0, +∞]
que l'on appelle la variation de f sur [a, b]. Si Vab (f ) est ni, on dit que f est à
variation bornée sur [a, b].
1. Montrer que si f est C 1 sur [a, b], f est à variation bornée sur [a, b], et calculer
sa variation. Examiner le cas où f est lipschitzienne ou monotone.
2. Comparer Vab (f + g) à Vab (f ) + Vab (g).
3. Pour c ∈]a, b[, comparer la variation de f sur [a, b] à la somme de ses variations
sur [a, c] et [c, b].
4. Montrer que f est à variation bornée sur [a, b] si et seulement si f est somme
de deux fonctions monotones sur [a, b].
1. Pour toute subdivision σ = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) de [a, b] et k ∈ {0, . . . n − 1}, on a
¯Z xk+1
¯ Z xk+1
¯
¯
0
¯
|f (xk+1 ) − f (xk )| = ¯
f (t)dt¯¯ ≤
|f 0 (t)|dt
xk
Z
et donc V (f, σ) ≤
Z b
|f 0 (t)|dt.
a
b
xk
|f 0 (t)|dt. La fonction f est donc à variation bornée sur [a, b] et Vab (f ) ≤
a
Z
Montrons qu'en fait Vab (f ) est égal à
b
a
|f 0 (t)|dt. Si σ est une subdivision de [a, b] alors, pour
tout k ∈ {0, . . . , n − 1}, il existe, d'après la formule des accroissements nis, ξk ∈ [xk , xk+1 ] tel
n−1
X
que f (xk+1 ) − f (xk ) = (xk+1 − xk )f (ξk ). On obtient V (f, σ) =
(xk+1 − xk ) |f 0 (ξk )|. On
k=0
recconaît une somme de Riemann. Lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, V (f, σ) tend
Z b
|f 0 (t)|dt, puisque |f 0 | est continue. Pour tout ε > 0, il existe une subdivision σ telle que
vers
a
Z b
Z b
V (f, σ) ≥
|f 0 (t)|dt − ε. On peut conclure que Vab (f ) =
|f 0 (t)|dt.
a
a
Si f est α-lipschitzienne, on a, avec les notations précédentes, pour toute subdivision σ de [a, b],
n−1
X
α(xk+1 − xk ) = α(b − a). Ainsi f est à variation bornée sur [a, b] et Vab (f ) ≤ α(b − a).
V (f, σ) ≤
k=0
Ainsi f est à variation bornée sur [a, b] et Vab (f ) ≤ α(b − a).
Si f est croissante sur [a, b], on obtient, pour toute subdivision σ de [a, b], V (f, σ) =
n−1
X
k=0
(f (xk+1 ) − f (xk )) =
f (b) − f (a). Ainsi f est à variation bornée sur [a, b] et Vab (f ) = f (b) − f (a). On démontre, de même
qu'une fonction décroissante est à variation bornée et que Vab (f ) = f (a) − f (b).
1
2. Montrons que si f et g sont deux fonctions dénies sur [a, b], on a Vab (f + g) ≤ Vab (f ) + Vab (g).
L'inégalité est évidente si Vab (f ) ou Vab (g) est inni. Supposons donc f et g à variation bornée.
Alors, pour toute subdivision σ de [a, b],
V (f + g, σ) =
≤
n−1
X
k=0
n−1
X
|(f + g)(xk+1 ) − (f + g)(xk )|
|f (xk+1 ) − f (xk )| +
k=0
n−1
X
|g(xk+1 ) − g(xk )|
k=0
≤ V (f, σ) + V (g, σ) ≤ Vab (f ) + Vab (g)
On en déduit que f + g est à variation bornée et que Vab (f + g) ≤ Vab (f ) + Vab (g).
3. Soit σ une subdivision de [a, b], σ 0 = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b) la subdivision de [a, b] obtenue
en rajoutant à σ le point c s'il n'y est pas. Notons p l'enier tel que xp = c; σ1 = (a = x0 < x1 <
. . . < xn = b) est une subdivision de [a, c] et σ2 = (xp < . . . < xn = b) une subdivision de [c, b].
On a V (f, σ) ≤ V (f, σ 0 ) : on rajoute au plus un point dans la subdivision et l'inégalité résulte de
l'inégalité triangulaire. D'autre part, V (f, σ 0 ) = V (f, σ1 ) + V (f, σ2 ). On en déduit
V (f, σ) ≤ V (f, σ1 ) + V (f, σ2 ) ≤ Vac (f ) + Vcb (f )
On a donc Vab (f ) ≤ Vac (f ) + Vcb (f ). Montrons qu'il y a égalité. Supposons que f est à variation
bornée sur [a, c] et sur [b, c]. Soit ε > 0. On peut trouver des subdivisions σ1 et σ2 de [a, c] et [c, b]
ε
ε
respectivement telle que : V (f, σ1 ) ≥ Vac (f )− et V (f, σ2 ) ≥ Vcb (f )− . Considérons la subdivision
2
2
σ de [a, b] obtenue en faisant la réunion de σ1 et σ2 . On a alors V (f, σ) = V (f, σ1 ) + V (f, σ2 ) ≥
Vac (f ) + Vcb (f ) − ε. On obtient nalement Vab (f ) = Vac (f ) + Vcb (f ).
Si Vac (f ) ou Vcb (f ) est inni, alors Vab (f ) est inni, car si σ1 est une subdivision quelconque de [a, c],
σ2 une subdivision quelconque de [b, c] et σ la réunion des deux, alors V (f, σ) = V (f, σ1 ) + V (f, σ2 ),
quantité qui n'est pas bornée.
4. D'après ce qui précède, une fonction monotone est à variation bornée et la somme de deux fonctions
à variation bornée est une fonction à variation bornée : la somme de deux fonctions monotones est
donc une fonction à variation bornée.
Réciproquement, supposons que f est à variation bornée sur [a, b]. Alors pour tout x ∈ [a, b],
f est à variation bornée sur [a, x]. Soit g la fonction dénie sur [a, b] par g(x) = Vax (f ). Si
0
a ≤ x ≤ x0 ≤ b, alors g(x0 ) = g(x) + Vxx (f ) ≥ g(x) ; g est donc croissante. D'autre part, avec
0
les mêmes notations, Vxx (f ) ≥ |f (x0 ) − f (x)| (on prend la subdivision σ = (x < x0 )). On en
déduit g(x0 ) ≥ g(x) + f (x0 ) − f (x), c'est-à-dire f (x0 ) − g(x0 ) ≤ f (x) − g(x). La fonction h = f − g
est décroissante. La fonction f = g + h est somme d'une fonctionc croissante et d'une fonction
décroissante.
2