1. L`isométrie. 2. Image d`un point par une isométrie.

CLASSE DE SECONDE ACTIVITES GEOMETRIQUES.
Classe de seconde
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A
B
M
M'
AB
C
D
O
TRIANGLES ISOMÉTRIQUES ET SEMBLABLES.
1. L’isométrie.
1.1 Définition de l’isométrie.
Une isométrie du plan est une transformation du plan qui conserve les longueurs.
A tout point M fixé, la transformation associe M’ appelé « point image de M »
1.2 Propriété :
Les translations, les symétries centrales, les réflexions, les rotations sont des isométries.
1.3 Propriétés des isométries ;
Les isométries conservent les distances, les mesures d’angles géométriques et les aires.
Les isométries conservent les intersections, l’alignement, le parallélisme et l’orthogonalité.
2. Image d’un point par une isométrie.
2.1 La translation.
2.1.1 Définition.
Soit la translation de vecteur
A
B
J
JJG notée AB
tJJJG.
:'
AB
tMM
JJJG6tel que '
M
MAB=
J
JJJJGJJJG
Conséquence : ABM’M est un parallélogramme.
2.1.2 Association de la translation à une configuration.
On donne ABCD parallélogramme de centre O
On a :
(AB) // (DC)
AB = DC
Les couples (A,B) et (D ,C) sont dans le même sens
Les points A , B, C et D sont donc reliés par la translation de vecteur
A
B
J
JJG
Les points A et C d’une part, C et D d’autre part sont liés par la symétrie de centre O.
Au mot parallélogramme, on peut donc associer :
Une translation
Une symétrie centrale.

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M
M'
A
B
C
I
2.2 La réflexion (ou symétrie axiale)
2.2.1 Définition.
Par une symétrie axiale d’axe (D) :
Si M
()
∈Δ, alors M = M’
Si M
()
∉Δ alors
()
Δ est la médiatrice du segment [AM’].
2.3 Association de la réflexion à une configuration.
Il s’agit d’interpréter l’affirmation : ABC est un triangle isocèle en A.
Soit I le milieu de [BC].
Que peut-on dire des points A et I ?
Que peut-on dire de la droite
()
Δpassant par les
points A et I ?
Que peut-on dire des points B et C par rapport à
()
Δ ?
Quelles sont les images des points A et I ?
Conclusion :
Au mot triangle isocèle, on associe une symétrie axiale.
3. La rotation.
3.1 Définition.
Par une rotation de centre O, d’angle
α
et de sens positif, ou de sens
négatif :
Si M = 0, alors M’ = O (le centre de la rotation est
invariant)
Si
M
O≠, alors OM = OM1 et
n
'MOM α=
si on tourne dans le sens positif.
ou OM = OM2 et
n
'MOM α=, si on tourne dans
le sens négatif

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3.2 Association de la rotation à une configuration.
On considère un triangle équilatéral. ABC.
Considérons le sommet A comme point fixe.
Puisque AB = AC et que
n
60BAC =°, on peut dire que C est l’image de B par
quelle transformation ?
Conclusion :
Au mot triangle équilatéral, on associe le mot rotation.
Remarque, comme point fixe on aurait pu choisir B ou C !
ABCD est un carré, et les triangles BCI et DCJ sont équilatéraux.
Soit K le point tel que ACK soit équilatéral.
En utilisant une rotation d’angle bien choisie, de centre C et de sens à définir, démontrer que les points A, I et J
sont alignés.
EXERCICE 1
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Compléter les affirmations suivantes par une figure et une conclusion.
On sait que M’ est l’image de M par une transformation.
1. Si M’ est l’image de M par la translation de vecteur
A
B
u
uur, alors…….
2. Si M’ est l’image de M par un quart de tour de centre O, alors MOM’ est un ………
3. Si M’ est l’image de M par une rotation de centre O et d’angle 60°, alors OMM’ est un
………
4. On sait que les point M est l’intersection de deux lignes. Où sera son image M’ ?
5. Où sera l’image d’une droite (AB) de façon générale ?
EXERCICE 2
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6. Où sera l’image de la droite (AB) si la transformation est une translation ou une symétrie
centrale ? (s’aider d’un point M de la droite (AB))
7. Deux triangles rectangles isocèles sont disposés comme l’indique la figure ci-contre et on note
R le quart de tour direct de centre A.
a. Quelles sont les images de D et B par R ?
b. En déduire que les droites (DB) et (CE) sont
perpendiculaires.