groupes classiques

GROUPES CLASSIQUES
ÉTÉ 2004
Date: 15.Septembre 2004 .
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Table des matières
1. Notations 3
2. Actions de groupe et le théorème de Iwasawa 4
3. Le groupe des transformations affines 9
4. Transformations projectives 18
5. Groupes linéaires 20
6. Formes sesquilinéaires 27
7. Le théorème de Witt 37
8. Groupes sympléctiques 45
9. Groupes unitaires 55
10. Groupes orthogonaux 76
Références 87

GROUPES CLASSIQUES 3
1. Notations
h−i sous–structure engendrée par −
≤sous–groupe, sous–espace, etc...
Esous–groupe normal
aff(A)Groupe des transformations affines 16
CLes nombres complexes
CnLe groupe cyclique avec néléments
FqLe corps fini avec qéléments
G∆Stabilisateur point par point de ∆4
ΓL(V)transformations semilinéaires inversibles 14
L|Kextension de corps
N{1,2,3, ...}
N0{0,1,2,3, ...}
P(V)Espace projectif sur V18
perm(Ω) Permutations de l’ensemble Ω4
QLes nombres rationnels
RLes nombres réels
stab(∆) Stabilisateur global de ∆4
SnLe groupe symétrique d’ordre n!
ZLes nombres entiers

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2. Actions de groupe et le théorème de Iwasawa
Notation 2.1. Soit Ωun ensemble. On note perm(Ω) := {σ: Ω →Ω|σest bijectif}
l’ensemble des permutations sur Ω.
Définition 2.2. Soit Ωun ensemble et Gun groupe. On appelle "action de groupe"
tout homomorhpisme ϕ:G→perm(Ω). Etant fixé ϕ, on note gx := ϕ(g)(x)pour
g∈Get x∈Ω. Pour ∆⊆Ωet H⊆Gon ecrit H∆ := {hδ |h∈Het δ∈∆}.
Définition 2.3. Soit kun nombre cardinal, Ωun ensemble et Gun groupe agissant
sur Ω. Les actions définies ci-dessous de Gsur Pk(Ω) (parties de Ωavec kéléments),
P(Ω) et Gksont appelés "actions associées de G" :
gP := {gx |x∈P}pour tout P∈ Pk(Ω) resp. P(Ω)
g(x1,··· , xk) := (gx1,··· , gxk)pour tout (x1,··· , xk)∈Ωk
Définition 2.4. Soit Ωun ensemble et Gun groupe agissant sur Ω. Soit ∆⊆Ω.
On appelle G∆:= {g∈G|gδ =δpour tout δ∈∆}le "stabilisateur point par
point de ∆". Si ∆est un singleton ∆ = {α}, on ecrit Gαau lieu de G{α}.
Définition 2.5. Soit Ωun ensemble et Gun groupe agissant sur Ω. On dit que
"Gagit fidèlement sur Ω" si GΩ={1G}.
Définition 2.6. Soit Ωun ensemble et Gun groupe agissant sur Ω. Soit ∆⊆Ω.
On appelle stab(∆) := {g∈G|g∆ = ∆}le "stabilisateur global de ∆".
Définition 2.7. Soit Ωun ensemble et Gun groupe agissant sur Ω. Soit ∆⊆Ω.
On dit que "∆est G–invariant" si stab(∆) = G
Définition 2.8. Soit Ωun ensemble et Gun groupe agissant sur Ω. Une partie
non vide O⊆Ωs’appelle "orbite de l’action de Gsur Ω" si Oest G–invariant, et
si Oet ∅sont les seuls sous–ensembles G–invariants de O.

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Définition 2.9. Soit kun nombre cardinal. Soit Ωun ensemble et Gun groupe
agissant sur Ω. On dit que "Gagit transitivement sur Ω" si Ωest une orbite. On dit
que "Gagit k–transitivement sur Ω" si pour toute partie A⊆Ωavec kéléments et
toute injection ϕ:A→Ωil existe g∈Gtel que gx =ϕ(x)pour tout x∈A.
Remarque 2.10.Tout élément Ωest contenu dans une orbite. L’orbite contenant
x∈Ωest Gx ={gx |g∈G}. On a une bijection canonique entre Gx et G/Gx,
donnée par
gx ←→ gGx
Remarquons que Gxn’est pas nécessairement normal dans G.
Dire que l’action de Gsur Ωest k–transitive (k∈N) revient à dire que pour tout
k–tuplets x= (x1,··· , xk),y= (y1,··· , yk)tels que i6=j=⇒xi6=xjet yi6=yj
il existe g∈Gtel que gx=y.
Définition 2.11. Soit Ωun ensemble et Gun groupe agissant sur Ω. On dit que
"Gagit régulièrement sur Ω" si G agit transitivement sur Ωet Gx={1G}pour
tout x∈Ω.
Remarque 2.12.Dans le cas d’une action régulière de Gsur Ωon a des bijections
(non–canoniques) entre Get Ω. En effet, soit x∈Ω. Alors
g←→ gx
est une bijection. Cette action est isomorphe à l’action de Gsur lui même par
multiplication à gauche.
Définition 2.13. Soit Ωun ensemble et Gun groupe agissant transitivement sur
Ω. Une partie B(Ωs’appelle "bloc d’imprimitivité" si #B≥2et si pour tout
g∈Gon a ou bien gB =Bou bien gB ∩B=∅.
S’il n’y a pas de bloc d’imprimitivité, alors on dit que "l’action de Gsur Ωest
primitive".
Remarque 2.14.Si Gagit transitivement sur Ω, et si Best un bloc d’imprimitivité
et g∈G, alors gB est aussi un bloc d’imprimitivité. On a par transitivité de l’action
G=Sg∈GgB. Or pour tout g, h ∈Gon a ou bien gB =hB ou bien gB ∩hB =∅
on peut touver une partie R⊆Gtelle que
G=
•
[
g∈R
gB
On dit souvent que {gB}g∈Rest un système d’imprimitivité de Gsur Ω. L’en-
semble Rn’est rien d’autre qu’un système complét de representants du quotient
G/ stab(B).