Deuxième principe (Ex)

PCSI 2 Deuxième principe
2016 – 2017 1/6
DEUXIEME PRINCIPE
Formulaire :
Entropie du gaz parfait : S = n Cvm Ln T + n R Ln V + cte = n Cpm Ln T - n R Ln P + cte = n Cpm Ln V + n Cvm Ln P + cte
Entropie d’une phase condensée :
I On comprime une mole de gaz parfait monoatomique (γ = 5/3) de la pression po = 1 atm à p1 = 10 atm de façon réversible à la
température de 450 K puis on détend le gaz adiabatiquement de façon réversible jusqu'à la pression po. On recommence N fois cette
opération.
Calculer :
1) la variation d'entropie ΔS1 au cours de cette opération et la variation d'entropie ΔSN après N opérations successives.
2) la température finale TN atteinte et la variation d'énergie interne ΔUN après N opérations.
A.N. : N = 5.
Réponse : ΔSN = -NR Ln
€
P
1
P
o
; TN = To (
€
P
1
P
o
)N(1-γ)/γ; ΔUN =
€
R
γ −1
TN−To
( )
.
II Dans le domaine de température et de pression considéré, une mole d'un gaz monoatomique de sphères dures est décrit par la
fonction caractéristique : S (U, V) = So +
€
3R
2
Ln U
Uo
+RLn V−b
Vo−b
où So, Uo et Vo désignent respectivement l'entropie, l'énergie interne et le volume dans un état de référence, et où b = 2.10-5 m3 et
R = 8,314 J.K-1.mol-1.
Son équation d’état est P (V – b) = RT et son énergie interne
€
U(T)=3
2
RT
.
1) Une mole de ce gaz est initialement en équilibre dans un cylindre parfaitement calorifugé de volume VI = 10 b, à la température
TI = 300 K. On réalise une détente réversible faisant passer le volume du cylindre de VI à V
F = 20 b. Déterminer la pression
initiale, la température finale, la pression finale et le travail W reçu par le gaz.
2) On réalise une détente de Joule-Gay Lussac (détente adiabatique irréversible se faisant à énergie interne constante) d'une mole
de ce gaz : initialement le gaz occupe un volume VI = 10 b et sa température vaut TI = 300 K; dans un état d'équilibre final le gaz
occupe un volume VF = 20 b. Déterminer la température finale, la pression finale et l'entropie crée; commenter.
Réponse : PI = 138,5 bar; TF = 182 K; PF = 40 bar; W = -1,47 kJ; TF = 300 K; PF = 66 bar; ΔSi = 6,21 J.K-1.
III On donnera la valeur numérique de toutes les grandeurs demandées
Une masse constante de gaz parfait, dont le rapport des capacités thermiques à pression et volume constants est γ = 1,4, parcourt le
cycle représenté sur le schéma de la figure ci-contre.
Le gaz initialement dans l'état d'équilibre thermodynamique A (PA = 105 Pa,
TA = 144,4 K, VA = 4,14.10-4 m3) subit une évolution isentropique qui l'amène à la
température TB = 278,8K.
1) a) Calculer la pression PB du gaz dans ce nouvel état d'équilibre B.
b) Calculer VB.
2) Le gaz est mis en contact avec une source à la température TB et subit une
détente isotherme réversible qui ramène son volume à sa valeur initiale VA.
a) Calculer la valeur PC de la pression dans ce nouvel état d'équilibre C.
b) Calculer la variation d'entropie ΔSBC du gaz au cours de son évolution
isotherme BC.
3) Le gaz dans l'état d'équilibre C est alors mis en contact avec une source à la
température TA tandis que son volume est maintenu constant à la valeur VA.
a) Calculer la variation d'entropie ΔSCA du gaz au cours de cette évolution isochore.
b) Calculer le transfert thermique QCA échangée avec la source.
€
S≈CLnT +cte

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2016 – 2017 2/6
c) En déduire la valeur ScCA de l'entropie crée au cours de l'évolution isochore.
d) Que peut-on en déduire ? (choisir en justifiant parmi les 4 propositions): l'évolution est monotherme réversible, monotherme
irréversible, isotherme réversible, impossible.
Réponse : PB = 106 Pa; VB = 0,8.10-4 m3; PC = 1,93.105 Pa; ΔSBC = -
€
P
AVA
TA
Ln P
C
P
B
; ΔSCA =
€
P
AVA
γ −1
( )
TA
Ln P
A
P
C
;
QCA =
€
P
AVA
γ −1
( )
1−TB
TA
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
; SCCA = ΔSCA -
€
QCA
TA
.
IV On considère un dispositif expérimental constitué d’un cylindre vertical de section S fermé aux deux extrémités, dont les parois
sont adiabatiques et indéformables. L’ensemble du dispositif est positionné dans une ambiance à température constante Tatm.
Un piston adiabatique, de masse µ, mobile à l’intérieur du cylindre avec des frottements négligeables, sépare (du fait de la force de
pesanteur) le cylindre en deux compartiments A et B. Le compartiment du bas, noté B, contient une masse m de gaz parfait dans l’état
(1) défini par la pression P1, le volume V1 et la température T1 = Tatm. On note R la constante des gaz parfaits, γ le rapport des capacités
thermiques du gaz et Mg sa masse molaire. Le compartiment du haut, noté A, est parfaitement vide. On note g l’intensité du champ de
pesanteur.
A l’aide d’un système que l’on peut commander à distance, on rajoute progressivement, sur le dessus du piston, de petites masses, de
sorte que la transformation subie par le gaz peut être considérée comme réversible. La transformation se termine lorsque la somme des
masses rajoutées vaut M ; le gaz est alors dans un nouvel état d’équilibre que l’on note (2), défini par la pression P2, le volume V2 et la
température T2.
1) Déterminer le travail W12 échangé par le gaz au cours de cette transformation en fonction de m, R, Mg, γ, T1 et T2.
2) En pratique, les parois ne sont pas parfaitement adiabatiques, et on note une évolution très lente de la température du gaz après
que ce dernier ait atteint l’état d’équilibre (2) (Remarque : cela ne contredit pas le fait que l’on ait pu dans la question précédente
supposer les parois adiabatiques sur des durées de temps courtes devant le temps caractéristique du transfert thermique). Le gaz
atteint un nouvel état d’équilibre, que l’on note (3), défini par la pression P3, le volume V3 et la température T3.
Donner les expressions de P2, P3, T3, V3 et de la variation d’entropie ΔS23 entre l’état (2) et l’état (3) en fonction de Tatm, T2, V2, M,
µ, g, S, m, R, γ et Mg.
3) On note W23 et Q23, respectivement, l’énergie reçue sous forme de travail et de transfert thermique au cours de la transformation
qui fait passer le gaz de l’état (2) à l’état (3). Donner les expressions de W23 et Q23 en fonction de m, R, γ, Mg, T2 et T3.
4) On imagine maintenant une autre transformation à partir de l’état d’équilibre (1). La masse M est, cette fois, déposée d’un seul
coup sur le piston. On considère de nouveau toutes les parois parfaitement adiabatiques. Cette manœuvre fait évoluer, de façon
irréversible, le gaz de l’état (1) à l’état (4) défini par la pression P4, le volume V4 et la température T4.
Déterminer l’expression de T4 en fonction de T1, γ, M et µ.
5) Donner l’expression de la variation d’entropie ΔS14 entre l’état (1) et l’état (4) en fonction de m, R, Mg, γ, T1, T4, M et µ.
Réponse : W12 =
€
mR
Mg γ −1
( )
T2−T1
( )
; P2 = P3 =
€
M+ µ
Sg
; T3 = Tatm ;V3 =
€
V3
Tatm
T2
;
€
ΔS23 =mR
γ
Mg γ −1
( )
Ln Tatm
T2
;
W23 =
€
mR
Mg
T2−T3
( )
; Q23 =
€
mR γ
Mg γ −1
( )
T3−T2
( )
; T4 =
€
T1
γγ
−1
( )
M+ µ
µ
+1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
; ΔS14 =
€
mR
Mg
γ
γ −1Ln T4 T1
−Ln M+
µ
µ
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.
V Dans un récipient parfaitement calorifugé contenant une masse M = 1 kg d'eau liquide à la température θ1 = 20°C, on place un bloc
de glace de masse m et initialement à une température θo = 0°C.
a) Déterminer la composition et la température du mélange à l'équilibre pour m = 50 g puis pour m = 500 g.
b) Déterminer dans le cas où m = 500 g la variation d'entropie de la masse d'eau initialement à l'état liquide et de celle initialement
à l'état solide. La transformation est-elle réversible ?
On donne la chaleur massique de l'eau : c = 4,2 kJ.kg-1.K-1et la chaleur latente de fusion de la glace : L = 336 kJ.kg-1.
Réponse : 15,24°C; 250 g de glace; ΔSeau = -296,7 J/K; ΔSglace = 307,5 J/K.
VI Dans une machine à vapeur, la phase motrice est une détente de la vapeur d'eau dans un cylindre fermé par un piston mobile. Cette
détente est suffisamment rapide pour qu'elle soit adiabatique. D'autre part, pour simplifier, nous la supposerons aussi réversible, ce qui
suppose que les frottements sont négligeables.
L'état initial I correspond à une vapeur saturante sèche à la température T1 = 485 K et à la pression P1 = 20 bar. L'état final correspond
à une vapeur saturante à la température T2 = 373 K et à la pression P2 = 1 bar.
1) Représenter cette transformation dans un diagramme entropique (T, s) où l'on fera figurer la courbe de saturation.
2) Déterminer le titre en vapeur dans l'état final dans les deux cas suivants :

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a) On donne :
b) On donne :
enthalpie de vaporisation à T1 = 485 K : L1 = 1892 kJ.kg-1
enthalpie de vaporisation à T2 = 373 K : L2 = 2258 kJ.kg-1
capacité thermique massique de l'eau liquide C = 4,18 kJ.K-1.kg-1
Réponse : 0,833 puis 0,826.
VII
1) Un cylindre à parois diathermanes (parfaitement perméables à la chaleur) contient une masse m = 0,50 kg d'eau à l'état de vapeur
saturante sèche : T = T1 = 373 K et P = Po = 1 atm. Il est fermé par un piston sans masse pouvant coulisser sans frottements; la
pression extérieure au niveau du piston étant maintenue égale à Po. Le système est placé dans un thermostat de température To =
290 K.
a) Représenter la transformation dans un diagramme de Clapeyron; on fera figurer la courbe de saturation et les deux isothermes
concernées To et T1.
b) Calculer littéralement puis numériquement le transfert thermique reçu par le fluide, le travail reçu par le fluide et sa variation
d'énergie interne.
On donne :
* enthalpie massique de vaporisation Lv (T1) = 2260 kJ.kg-1;
* capacité thermique massique de l'eau liquide CL = 4,18 kJ.K-1.kg-1;
* volume massique de la vapeur v1 (373 K, 1 atm) = 1,670 m3.kg-1;
* volume massique du liquide vo (290 K, 1 atm) = 1.10-3 m3.kg-1.
c) Faire un bilan entropique en donnant les expressions de la variation d'entropie ΔS du fluide, de l'entropie d'échange Se et de
la création d'entropie σ. Calculer numériquement σ.
2) Le cylindre contient maintenant, dans l'état initial, une masse m = 0,50 kg d'eau liquide dans les conditions T = T1 = 260 K et
P = Po = 1 atm. Ses parois et le piston sont désormais adiabatiques et la pression extérieure reste maintenue à Po = 1 atm.
a) Dans quel état particulier se trouve l'eau dans l'état initial ?
Donner le pourcentage en masse d'eau se trouvant à l'état solide dans l'état final.
On donne : enthalpie massique de fusion Lf (To = 273 K) = 335 kJ.kg-1.
b) En dessous de quelle température initiale T1 ne trouverait-on plus que de la glace dans l'état final ?
c) Faire un bilan entropique en donnant les expressions de la variation d'entropie ΔS du fluide, de l'entropie d'échange Se et de
la création d'entropie σ. Calculer numériquement σ.
Réponse : Q = - 1304 kJ; W = 83 kJ; ΔU = - 1220 kJ; σ = 0,94 kJ.K-1; 16%; 193 K; σ = 2,45 J.K-1.
VIII Moteur Diesel
Pour modéliser le fonctionnement d’un moteur Diesel, on considère qu’une masse d’air, évoluant en système fermé, subit les
transformations suivantes, constituant le cycle ABCDA :
A → B : compression adiabatique réversible
B → C : combustion isobare
C → D : détente adiabatique réversible
D → A : refroidissement isochore
L’air est assimilé à un gaz parfait diatomique de rapport de capacités thermiques γ = 1,40, de constante massique où
r = R/M, R étant la constante des gaz parfait et M la masse molaire de l’air. (R = 8,314 J.K-1mol-1 ; M = 29,0.10-3 kg.mol-1).
On note , et la pression, le volume et la température, respectivement, de l’état i, avec i = A, B, C, ou D.
liquide juste saturé x = 0
vapeur saturante sèche x = 1
T
P
vL
hL
sL
vV
hV
sV
K
bar
m3.kg-1
kJ.kg-1
kJ.K-1.kg-1
m3.kg-1
kJ.kg-1
kJ.K-1.kg-1
485
20
1,18.10-3
909
2,45
0,0998
2801
6,35
373
1
1,04.10-3
418
1,30
1,70
2676
7,36

PCSI 2 Deuxième principe
2016 – 2017 4/6
On donne : PA = 1,00.105 Pa, TA = 300 K, TB = 1015 K, VA = 2,50 L et VC = 0,530 L.
Formulaire sur l’entropie d’un gaz parfait :
Soit une masse m d’un gaz parfait, dans un état de pression, volume et température (P, V, T), de capacité thermique massique à volume
constant cv et de capacité thermique massique à pression constante cp.
En variables (T, V) :
€
S=m.s(T,V)=mcvLn T
T0
+mrLn V
V0
+m.sm0
où smo est la valeur d’entropie massique d’un état de référence (To, Vo).
La variation entre deux états (Vi, Ti) et (Vf, Tf) s’écrira par différence :
€
ΔS=m.Δs(T,V)=mcvLn Tf
Ti
+mrLn Vf
Vi
!
Des expressions de même type peuvent être construites en variables (T, P) ou (P, V).
En variables (T, P) :
€
S=m.s(T,P)=mc pLn T
T0
−mrLn P
P
0
+m.sm0
1)!Déterminer!la!valeur!numérique!de!la!masse!d’air! !subissant!le!cycle.!
2)!Déterminer!les!expressions!littérales!en!fonction!des!données,!puis!les!valeurs!numériques!de! !et! .!
3) Déterminer les expressions littérales en fonction des données, puis les valeurs numériques de , , , et .
4) Représenter le cycle ABCDA dans un diagramme de Clapeyron .
5) Justifier l’allure des courbes isobare et des courbes isochores dans un diagramme (T, S) où l’on représente la température du
fluide en fonction de son entropie. Représenter le cycle ABCDA dans un diagramme entropique .
Au cours du cycle, on note , et , respectivement, les transferts thermiques échangés par l’air avec la « source chaude »
représentant la combustion, avec la source froide, et le travail reçu par le fluide sur un cycle.
On donne les températures atteintes en les points du cycle : TA = 300 K ; TB = 1015 K ; TC = 4520 K ; TD = 2436 K.
6) Donner l’expression littérale de en fonction des températures et déterminer sa valeur numérique.
7) Donner de même l’expression littérale et la valeur numérique de . Donner la valeur numérique de .
8) Définir le rendement du moteur et justifier cette définition.
Calculer la valeur numérique de ce rendement .
9) On suppose que, sur (DA), l’air échange au contact de l’atmosphère (considéré alors comme une source à température constante
égale à ) au cours d’une transformation isochore. Déterminer les expressions littérales de l’entropie produite et de la
variation d’entropie au cours de cette transformation. Calculer numériquement l’entropie créée sur (DA).
10) Que vaut la variation d’entropie au cours du cycle ? Le cycle est-il réversible ?
Réponse :
€
m=2, 90g
;
€
VB=0,12L
;
€
P
B=P C=71, 24.105Pa
;
€
P
D=8,12.105Pa
;
€
VD=2,50L
;
€
TD=2436K
;
€
Qc≈10kJ
;
€
Qf≈ −4,45kJ
;
€
W≈ −5,8kJ
;
€
η ≈57%
;
€
ΔSDA =mr
γ −1
Ln TA
TD
;
€
Sp=mr
γ −1
TD
TA
−1−Ln TD
TA
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
;
€
ΔScycle =0
.
IX Corps pur : transformations d’une masse de dioxyde de soufre
Un piston peut se déplacer selon un axe vertical dans un cylindre, avec un frottement négligeable. L’aire de la section du cylindre est
notée A. Le poids du piston ne joue aucun rôle dans le problème.
L’ensemble, aux parois diathermes (ou diathermanes), c’est à dire perméable aux transferts thermiques, est au contact thermique d’un
thermostat de température constante To.
Dans ce récipient, de volume variable, est placée une masse m de dioxyde de soufre SO2 (corps pur). A la température de l’expérience,
la pression de vapeur saturante de ce corps pur est P*(To).
Dans l’état initial, noté (A), un opérateur maintient le piston à une distance H du fond du cylindre pour laquelle le corps pur SO2 se
présente à l’état de vapeur tout juste saturante : la vapeur SO2(vap) est en équilibre avec une petite goutte de liquide SO2(liq) (goutte de
rosée).
Hypothèses de travail et données :

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2016 – 2017 5/6
• la température de l’expérience est To = 263 K ;
• le dioxyde de soufre vapeur (en équilibre avec le liquide) peut être considéré comme un gaz parfait ;
• le volume de la phase liquide est négligé devant le volume de la phase vapeur ;
• M est la masse molaire du dioxyde de soufre : M = 64,0.10-3 kg.mol-1 ;
• P*(T) est la pression de vapeur saturante du corps pur SO2 à la température T : P*(SO2, 263 K) = Po = 1,00.105 Pa ;
• Δvaph(SO2, T) est l’enthalpie massique de vaporisation de SO2 à la température T :
Δvaph(SO2, 263 K) = 4,00.105 J.kg-1 ;
• R est la constante du gaz parfait : R = 8,31 J.K-1.mol-1.
Etape (1) : (A) →(B)
L’expérimentateur fait descendre lentement le piston, de manière quasi-statique (ou mécaniquement réversible) jusqu’au fond du
cylindre, afin que le corps se loge dans un petit conteneur, noté (C), de dimensions négligeables et relié au cylindre par un très petit
tube muni d’une vanne, notée (V). Cette dernière est alors fermée. Dans (C) le corps pur se présente sous forme liquide juste saturant :
SO2(liq) est en équilibre avec une petite bulle de vapeur de SO2(vap) (état (B)) (figure 4).
Etape (2) : (B) → (C)
Le robinet (V) reste fermé. Le piston est remonté, puis fixé dans sa position initiale : le vide règne dans le cylindre (état (C)).
Etape (3) : (C) → (A)
La vanne (V) est ouverte et le liquide se vaporise pratiquement instantanément. La vaporisation, rapide, va amener une première phase,
adiabatique, pour laquelle on aura refroidissement de l’enceinte. Puis le thermostat va jouer son rôle, amenant finalement le fluide dans
l’état (A).
Le corps pur finit donc par se retrouver dans son état initial (A) (figure 5).