Processus Aléatoires

Processus Aléatoires
JEAN FRANÇOIS DELMAS BENJAMIN JOURDAIN
BERNARD LAPEYRE

Table des matières
1 Rappels de Probabilités 7
1.1 Notion de tribu et de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Espérance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Théorèmes de convergences pour les espérances . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Loi d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Loi d’un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Convergence presque sûre et théorèmes liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Convergence en loi d’une famille de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Autres type de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Exercices ..................................... 22
2 Vecteurs gaussiens - Mouvement Brownien 25
2.1 Vecteursgaussiens ................................ 25
2.2 MouvementBrownien .............................. 29
2.3 Vers une construction du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Régularité des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Caractère gaussien du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Exercices ..................................... 36
2.7 Travail dirigé : Test d’adéquation à une loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Espérance conditionnelle 41
3.1 Tribus construites à partir de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Notion d’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Casd’uncouplegaussien............................. 46
3.4 Travail dirigé : Estimation bayesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Exercices ..................................... 50
4 Martingales à temps discrets 53
4.1 Introduction à la notion de martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Exemples ..................................... 54
4.3 Un exemple générique de martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Notiondetempsd’arrêt.............................. 56
4.5 Théorème de convergence des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6 Convergence de Martingales et algorithmes stochastiques . . . . . . . . . . . . 61
4.7 Travail dirigé : Temps de sortie d’une marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . 67
4.8 Exercices ..................................... 69
3

4TABLE DES MATIÈRES
5 Chaînes de Markov à temps discret 71
5.1 ChaînedeMarkov................................. 71
5.2 Calculdelois ................................... 74
5.3 Exemple d’utilisation des chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4 Chaînes de Markov et espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.1 Solution d’un problème d’arrêt optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Exercices ..................................... 84
5.6 Travail dirigé : Modélisation de l’évolution d’une population . . . . . . . . . . 87
5.7 Travail dirigé : Algorithme de Hastings-Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.8 Travail dirigé : Récurrence de la marche aléatoire simple . . . . . . . . . . . . 90
6 Propriété de Markov forte 93
6.1 Propriété de Markov génèrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 Introduction à la propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3 Tribu des événements antérieurs à un temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 Propriété de Markov forte : première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5 Exercices ..................................... 99
6.6 Contrôle : Loi du supremum d’une marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 101
7 Options européennes dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein 103
7.1 Lemodèle..................................... 104
7.1.1 description ................................ 104
7.1.2 liens entre les paramètres r, a et b.................... 105
7.1.3 le cas d’une seule période de temps : N=1............... 106
7.2 Portefeuilles, arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2.1 portefeuille................................ 107
7.2.2 Absence d’Opportunités d’Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Pricing des options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8 Mouvement brownien et martingales 113
8.1 Généralités sur les processus à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Extensions de la définition du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3 Exemples de martingales browniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.4 Exemples d’utilisation de la propriété de martingale . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.5 Propriété de Markov forte du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.6 Exercices ..................................... 119
8.7 Travail dirigé : Principe de réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Table des figures
1.1 Densité e−1
2x2/√2π de N(0, 1)......................... 13
1.2 Fonctionderépartition .............................. 13
3.1 Projection orthogonale sur HB.......................... 43
4.1 Trajectoire de la marche aléatoire symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Temps de sortie de [a, b]par une marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1 Histogramme de la loi du nombre maximum de F consécutifs après 100 tirages 77
5.2 Probabilité d’avoir au moins nF consécutifs après 100 tirages . . . . . . . . . 77
8.1 Principederéflexion ............................... 121
5