Etude des symétries en physique des particules

UFR de Mathématique et d’Informatique
Magistère de Mathématique de Strasbourg
Etude des symétries en physique des
particules
Rapport de stage de deuxième année de Magistère
Rédigé par Thomas Richez
Sous la direction de M. Rausch De Traubenberg
Année : 2011/2012
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La théorie, c’est quand on sait tout et que rien ne fonctionne.
La pratique, c’est quand tout fonctionne et personne ne sait pourquoi.
Si la pratique et la théorie sont réunies, rien ne fonctionne et on ne sait pas pourquoi.
Albert einstein.
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Table des matières
Introduction 5
Notations 6
1 Groupes, algèbres et super-algèbres de Lie 7
1.1 Rappels de géométrie différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 GroupesdeLie ............................... 8
1.2.1 Définitions et premiers résultats sur les groupes de Lie . . . . . 8
1.2.2 Exemples de groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Sous-groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Groupe de Lie à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 AlgèbresdeLie............................... 13
1.3.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie matriciel . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Exemples d’algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 Complexification d’algèbres de Lie réelles . . . . . . . . . . . . 19
1.4 SuperalgèbresdeLie ............................ 19
2 Théorie des représentations : applications aux groupes et algèbres
de Lie 21
2.1 Définitions et premières propriétés des représentations . . . . . . . . . 21
2.2 Représentations réductibles, irréductibles et unitaires . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Représentations réductibles et irréductibles . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Représentations unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 LemmedeSchur .......................... 24
2.3 Représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Opérations sur les représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Représentation duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Représentation conjuguée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 Somme directe de représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.4 Produit tensoriel de représentations . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Représentations irréductibles de SU(2) et SO(3) ............ 30
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2.5.1 Bijectivité entre les représentations de get gC.......... 30
2.5.2 Représentations irréductibles de sl(2,C)et su(2) ........ 30
2.5.3 Représentations irréductibles de SU(2) .............. 33
2.5.4 Représentations irréductibles de SO(3) .............. 35
3 Symétries en physique des particules 36
3.1 Introduction des symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Formalisme de la mécanique quantique et symétries . . . . . . . 36
3.1.2 Théorème de Wigner et sa démonstration . . . . . . . . . . . . 37
3.1.3 Représentation projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.4 Vers les algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Vers la relativité restreinte : le groupe de Lorentz et de Poincaré . . . 43
3.2.1 Quelques conventions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Espace-temps de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Définition et structure du groupe de Lorentz . . . . . . . . . . . 45
3.2.4 Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Algèbre de Lie du groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 Description explicite de l’algèbre de Lie de Poincaré . . . . . . 49
3.3.2 Générateurs de l’algèbre de Lie de Poincaré . . . . . . . . . . . 50
3.3.3 Relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.4 Opérateurs de Casimir : masse et spin . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.5 Interprétation des opérateurs P2et W2............. 53
3.4 Représentations irréductibles du groupe de Poincaré . . . . . . . . . . 54
Remerciements 59
Bibliographie 60
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Introduction
Certains disent que les mathématiques sont au service de la physique, d’autres
diront que la physique n’est qu’une application approximative des théories mathé-
matiques. Toujours est-il que mathématiques et physique ont toujours été trés liés :
des découvertes mathématiques ont dans l’histoire permis de faire avancer les sciences
physiques, et à d’autres moment, l’incompréhension d’un phénomène physique a pu
être une motivation pour développer un domaine des mathématiques. C’est ce genre
de relations entre mathématiques et physique que j’ai souhaité découvrir au cours de
mon stage, dont je vais vous en faire le rapport.
La première partie est consacrée à l’étude des groupes et algèbres de Lie avec au
préalable quelques rappels de géométrie différentielle. On y étudiera ces différentes
notions, des exemples et nous étudierons les liens qu’il existe entre groupes et algèbres
de Lie.
Dans une seconde partie, toujours orientée mathématique, nous étudierons les
représentations de groupes et d’algèbres de Lie. On y découvrira notamment les re-
présentations irréductibles ainsi qu’une construction détaillée des représentations ir-
réductibles de dimension finie de l’algèbre de Lie sl(2,C). Cette partie étant achevée,
on entrera alors dans le vif du sujet puisqu’il sera question d’appliquer ces différentes
notions en physique des particules : c’est l’objet du troisième chapitre de ce rapport.
C’est en effet dans cette troisième partie qu’on abordera la théorie de la relati-
vité restreinte où on introduira l’espace-temps de Minkowski ainsi que les groupes de
symétries de Lorentz et de Poincaré. On étudiera leurs structures et générateurs afin
de pouvoir construire les opérateurs de Casimir de la masse et du spin. Nous verrons
alors toute l’efficacité de la théorie des groupes et ses applications dans l’étude des
particules élémentaires.
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