Exercice 1. Exercice 2 Problème 1. Matrice semblable à son inverse.

MPSI B
2010-2011 DS 9
Exercice 1.
21 janvier 2017
Problème 1. Matrice semblable à son inverse.
Soit (a1 , a2 , a3 , a4 ) une base d'un R espace vectoriel E . Les fonctions coordonnées dans
Dans tout ce problème, E est un R-espace vectoriel de dimension 3.
cette base sont notées (α1 , α2 , α3 , α4 ). On dénit une famille (u1 , u2 , u3 ) de vecteurs de E Soit p un entier naturel non nul. Dans tout le problème sauf dans la qestion 1. l'entier p
par :
est égal à 3.
Deux matrices quelconques A et B de Mp (R) sont dites semblables si et seulement si il
u1 = a1 + a2 + a3 + 2a4
existe une matrice inversible P ∈ GLp (R) telle que B = P −1 AP . On notera alors A ∼ B .
L'objet de ce problème est de donner des exemples de matrices semblables à leurs inverses.
u2 = 3a1 + 5a3 + a4
1. (question de cours) On rappelle que la trace d'une matrice est la somme des termes de
u3 = −a1 + 2a2 − 3a3 + 3a4
sa diagonale. Montrer que deux matrices semblables ont la même trace.
1. Soit x = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 un vecteur de E . Déterminer des condidtions sur
2. Soit


(x1 , x2 , x3 , x4 ) assurant que x ∈ Vect(u1 , u2 , u3 ).
1 1 1
A = 1 2 1
2. Déterminer une famille libre (α, β) de formes linéaires (exprimées en fonction des αi )
1 2 3
telles que
Vect(u1 , u2 , u3 ) = ker α ∩ ker β
Montrer que A est inversible, préciser son inverse. La matrice A est-elle semblable à
son inverse ?
3. Soit f ∈ L(E) telle que f 3 = f ◦ f ◦ f = 0L(E) . On pose g = −f + f 2 = −f + f ◦ f .
Exercice 2
a. On suppose f 6= 0L(E) et f 2 = 0L(E) .
Montrer que rg(f ) = 1 et qu'il existe une base A = (a1 , a2 , a3 ) de E telle que
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 muni d'une base B = (e1 , e2 , e3 , e4 ).


Soit f un endomorphisme de E dont la matrice dans B est

1
0
A=
1
1
0
Mat f = 0
A
0

−1 2 −2
0 1 −1

−1 1 0 
−1 1 0
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
b. On suppose f 2 6= 0L(E) .
Montrer qu'il existe une base A = (a1 , a2 , a3 ) de E telle que
1. Calculer A2 , (A − I4 )2 , A2 (A − I4 )2 .
2. On pose N1 = ker f 2 et N2 = ker(f − idE )2 .
a. Calculer les dimensions de N1 et N2 et montrer qu'ils sont supplémentaires.
b. Montrer que N1 et N2 sont stables par f , c'est à dire f (N1 ) ⊂ N1 et f (N2 ) ⊂ N2 .
3. a. Montrer que N2 = Im f 2 et N1 = Im (f − idE )2 .
b. Trouver une base U = (u1 , u2 , u3 , u4 ) de E telle que

0
0
Mat f = 
0
U
0
0
0
0

0
Mat f = 0
A
0
1
0
0

0
1
0
c. Calculer (idE +f ) ◦ (idE +g). Que peut-on en déduire pour idE +f ?
d. Montrer que g 3 = 0L(E) et que g 2 = 0L(E) si et seulement si f 2 = 0L(E) .
4. On va montrer ici que toute matrice de la forme I3 + N avec

0
N = 0
0

0
0

1
1
α
0
0

γ
β  et (α, β, γ) ∈ R3
0
est semblable à son inverse.
1
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a. Montrer que I3 + N est inversible. Calculer N 2 et N 3 .
b. Soit A une base de E . On dénit un endomorphisme f ∈ L(E) par :
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a. Montrer que la famille (Tr,s )(r,s)∈{2,··· ,n}2 constitue une base de F .
b. En déduire les dimensions de F et E .
Mat f = N
A
Problème 3. Lemme de Hochschild.
En utilisant f , montrer que I3 + N est semblable à son inverse.
5. Donner un exemple de matrice dans M3 (R) qui est inversible et semblable à son inverse
On rappelle que le symbole de Kronecker δij vaut 1 si i = j et 0 sinon.
mais qui n'est pas semblable à une matrice de la forme de la question 4.
L'objet de ce problème est de démontrer le Lemme de Hochschild (question 1) et d'en
déduire une application.
Soit X un ensemble quelconque et V un sous espace vectoriel de dimension p de l'espace
Problème 2. Matrices pseudo-magiques.
de toutes les fonctions de X dans R.
Dans toute la suite, n désigne un entier naturel xé supérieur ou égal à 2.
1. a. Montrer qu'il existe un élément x1 de X et une base (a1 , a2 , · · · , ap ) de V telle
On note J la matrice carrée à n lignes et n colonnes dont tous les éléments sont égaux à 1.
que
Une matrice A = (aij )(i,j)∈{1,··· ,n}2 ∈ Mn (R) est dite pseudo-magique si et seulement si
∀i ∈ {1, · · · , p} : a (x ) = δ
i
∀(i, j) ∈ {1, · · · , n}2 :
n
X
aqj =
q=1
n
X
i1
b. Soit k < p, on suppose qu'il existe une famille (x1 , x2 , · · · , xk ) d'éléments de X
et une base (u1 , · · · , up ) de V telle que
aiq
q=1
On note alors d(A) la valeur commune de ces 2n nombres et E l'ensemble des matrices
pseudo-magiques.
1. Montrer que E est un sous espace vectoriel de M et que d est une forme linéaire sur E .
2. Montrer qu'une matrice A de M appartient à E si et seulement si il existe un réel λ
tel que
∀i ∈ {1, · · · , p}, ∀j ∈ {1, · · · , k} : ui (xj ) = δij
Montrer qu'il existe un élément xk+1 de X et une base (v1 , · · · , vp ) de V telle que
∀i ∈ {1, · · · , p}, ∀j ∈ {1, · · · , k + 1} : vi (xj ) = δij
AJ = JA = λJ
c. Montrer qu'il existe une base (w1 , · · · , wp ) de V et une famille (x1 , · · · , xp ) d'éléments de X vériant
3.
a. Montrer que E est une sous-algèbre de M et que d est un morphisme d'algèbre.
b. Montrer que si A est une matrice inversible appartenant à E alors d(A) 6= 0 et
A−1 ∈ E . Comparer d(A−1 ) et d(A)−1 .
c. Soit A ∈ E telle que d(A) 6= 0. La matrice A est-elle inversible ?
4. Soit A ∈ E , on note B = d(A)
n J et C = A − B . Calculer BC et CB . Pour tout entier
naturel p, en déduire une expression de Ap en fonction de B et C .
5. Soit F = {A ∈ E tq d(A) = 0} et G =Vect(J). Montrer que F et G sont des sous espaces
vectoriels supplémentaires de E .
6. Soit r et s des éléments de {2, · · · , n}, on désigne par Tr,s la matrice dont tous les
éléments sont nuls sauf quatre
∀(i, j) ∈ {1, . . . , p}2 : wi (xj ) = δij
2. Application. Soit f une fonction dérivable de R dans R telle que l'espace engendré
par ses translatées soit de dimension nie. On va montrer qu'elle vérie une équation
diérentielle linéaire à coecients constants.
Pour tout réel a, on note fa l'application dénie par fa (t) = f (a + t) pour tout t réel.
On pose
V = Vect(fa , a ∈ R)
et on suppose que V (sous-espace de l'espace de toutes les applications dérivables de
R dans R) est de dimension nie p.
t11 = trs = 1 et t1s = tr1 = −1
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a. Montrer qu'il existe une base (v1 , · · · , vp ) de V et des réels (x1 , · · · , xp ) tels que
∀(a, b) ∈ R2 , f (a + b) =
X
f (a + xi )vi (b).
i∈{1,...,p}
b. Montrer que f est indéniment dérivable, que f 0 est dans V et qu'il existe des
réels a0 , a1 , · · · ap tels que
ap f (p) + ap−1 f (p−1) + · · · + a1 f 0 + a0 f = 0.
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