Exercice 1. Exercice 2 Problème 1. Matrice semblable à son inverse.

(a1, a2, a3, a4)RE
(α1, α2, α3, α4) (u1, u2, u3)E
u1=a1+a2+a3+ 2a4
u2= 3a1+ 5a3+a4
u3=−a1+ 2a2−3a3+ 3a4
x=x1a1+x2a2+x3a3+x4a4E
(x1, x2, x3, x4)x∈Vect(u1, u2, u3)
(α, β)αi
Vect(u1, u2, u3) = ker α∩ker β
ERB= (e1, e2, e3, e4)
f E B
A=
1−1 2 −2
001−1
1−1 1 0
1−1 1 0
A2(A−I4)2A2(A−I4)2
N1= ker f2N2= ker(f−idE)2
N1N2
N1N2f f(N1)⊂N1f(N2)⊂N2
N2= Im f2N1= Im (f−idE)2
U= (u1, u2, u3, u4)E
Mat
Uf=
0100
0000
0011
0001
ER3
p p
3
A B Mp(R)
P∈GLp(R)B=P−1AP A ∼B
A=
111
121
123
A A
f∈ L(E)f3=f◦f◦f= 0L(E)g=−f+f2=−f+f◦f
f6= 0L(E)f2= 0L(E)
rg(f) = 1 A= (a1, a2, a3)E
Mat
Af=
001
000
000
f26= 0L(E)
A= (a1, a2, a3)E
Mat
Af=
010
001
000
(idE+f)◦(idE+g) idE+f
g3= 0L(E)g2= 0L(E)f2= 0L(E)
I3+N
N=
0α γ
0 0 β
0 0 0
(α, β, γ)∈R3

I3+N N2N3
AE f ∈ L(E)
Mat
Af=N
f I3+N
M3(R)
n
J n n
A= (aij )(i,j)∈{1,··· ,n}2∈ Mn(R)
∀(i, j)∈ {1,· · · , n}2:
n
X
q=1
aqj =
n
X
q=1
aiq
d(A) 2nE
E M dE
AM E λ
AJ =JA =λJ
E M d
AEd(A)6= 0
A−1∈ E d(A−1)d(A)−1
A∈ E d(A)6= 0 A
A∈ E B=d(A)
nJ C =A−B BC CB
p ApB C
F={A∈ E d(A) = 0} G = (J)F G
E
r s {2,· · · , n}Tr,s
t11 =trs = 1 t1s=tr1=−1
Tr,s)(r,s)∈{2,··· ,n}2F
F E
δij i=j
X V p
XR
x1X(a1, a2,· · · , ap)V
∀i∈ {1,· · · , p}:ai(x1) = δi1
k < p (x1, x2,· · · , xk)X
(u1,· · · , up)V
∀i∈ {1,· · · , p},∀j∈ {1,· · · , k}:ui(xj) = δij
xk+1 X(v1,· · · , vp)V
∀i∈ {1,· · · , p},∀j∈ {1,· · · , k + 1}:vi(xj) = δij
(w1,· · · , wp)V(x1,· · · , xp)
X
∀(i, j)∈ {1, . . . , p}2:wi(xj) = δij
fR R
a fafa(t) = f(a+t)t
V= Vect(fa, a ∈R)
V
R R p

(v1,· · · , vp)V(x1,· · · , xp)
∀(a, b)∈R2, f(a+b) = X
i∈{1,...,p}
f(a+xi)vi(b).
f f0V
a0, a1,· · · ap
apf(p)+ap−1f(p−1) +· · · +a1f0+a0f= 0.