champ magnétique

Master 1
Université d’EVRY
De l’isolant au supraconducteur
Alexandra Mougin
[email protected]
1
Cours Alexandra Mougin
Magnétisme dans les matériaux
• Rappels : magnétostatique dans le vide
• Rappels: Analogie électrostatique - magnétostatique
• Approche macroscopique de la matière aimantée
-
Expériences, perméabilité et susceptibilité
Aimantation, courants ampériens, masses magnétiques
Equations de Maxwell
Magnétisme de couches minces:
Propriétés spécifiques des ferromagnétiques: Hystérésis, champ
démagnétisant, structures en domaines, processus de renversement de
l’aimantation…
Techniques de caractérisation magnétique: SQUID, magnéto-optique,
SEMPA…
2
3
Cours Alexandra Mougin
I- Induction magnétique B dans le vide
Rappels de DEUG:
- Loi de Biot et Savart
- Th de Gauss magnétique, Poisson magnétique
- Th d’Ampère
- Equations de Maxwell et récapitulatif
4
Cours Alexandra Mougin
Force de Lorentz et champ créé par une charge mobile
Î Mise en évidence de B par la force exercée sur une charge en mouvement:
r
r r r
F = q (E + v × B)
r
r
r
r r
FB = q v × B et W = ∫ FB .d l = 0
FB ne fournit pas de travail
ÎInduction créée par une charge en mouvement
Cadre relativiste et transformation de Lorentz
r r
r
1 q
v × E(r )
avec
E
(
r
)
Bq =
=
4πε 0 r 2
c2
r r
r
μ0 q v × r
Bq =
4π r 3
μ0 =
1
ε 0c 2
et μ 0 = 4π10− 7 [Tm / A ou H / m ]
5
Cours Alexandra Mougin
Loi de Biot et Savart
Pour un élément de courant:
n (densité de charges), dans un élément de volume dτ, de section
S de longueur dl
r
r
r
r
r
r
r
r
r
μ q v×r
dB = n .Sdl . Bq avec J = n q v et I = J . S
Bq = 0
4π r 3
r
r
r
r
r μ 0 I d l × rr μ 0 J × rr
B = ∑ dB
dB =
=
dτ BIOT ET SAVART
4π r 3
4π r 3
B est toujours perpendiculaire aux lignes de courant
Application: B crée par une boucle de courant
r
r
r
B = ∑ dB u ⊥ = B x u x
dl = R dϕ → int égration sur ϕ pour décrire la boucle
r r
d
l ×r
μ 0I
μ 0I 1 2 π
r r
x
Bx =
=
R dϕ r u x .u ⊥
∫
∫
π/2−θ
4π
4π r 3 0
r3
r μ0 I R 2 r
B=
ux
3
2 r
r
ux
r
u⊥
π/2−θ
6
Cours Alexandra Mougin
Théorème de Gauss magnétique
r
r μ 0 I d l × rr
dB =
4π r 3
implique
r
div B = 0
i) B dérive d’un potentiel vecteur A
Invariance de jauge: A’ OK aussi
Gauss magnétique
r
r
B = rot A
r r
A' = A + grad f (r , t )
Le choix de A n’est pas unique
r
Jauge de Coulomb : div A = 0
ii) Le flux de B au travers d’une surface fermée est nul,
qu’elle soit ou non traversée par des courants
Gauss magnétique
forme intégrale
r
r r
div B = 0 ⇔ ∫∫ B ⋅ dS = 0
r r
r
Ostrogradski ∫∫ h ⋅ dS = ∫∫∫ div h ⋅ dτ
Conséquences:
Il n’existe pas de monopôles magnétiques
Le flux magnétique revient du pôle sud au pôle nord en traversant l’aimant
7
Cours Alexandra Mougin
Propriétés et expression du potentiel vecteur
i) Relation potentiel A et champ B
r r
r r
B
⋅
d
S
=
A
Stokes
∫∫
∫ . dl
r r
r r
∫ h ⋅ dl = ∫∫ roth⋅ dS
C. fermé
passage circulation/flux
ii) Expression du potentiel vecteur A
r
r
μ
J (1)
A 2 (r12 ) = 0 ∫∫∫
dτ1
4π Ω r12
r
r
d l1
μ I
A 2 (r12 ) = 0 ∫
4π C r12
A est toujours parallèle aux lignes de courant
r
On retrouve la jauge de Coulomb: div A = 0
Surf
8
Cours Alexandra Mougin
Théorème d’Ampère (statique)
Forme locale du théorème d’Ampère:
Formes intégrales
r
r
r
− ΔA = rot B = μ 0 J
r r
r r
∫∫ rot B ⋅ dS = μ 0 ∫∫ J ⋅ dS = μ 0I
Surface
Surface
r r
r r
Stokes
∫ h⋅ dl = ∫∫roth⋅ dS
C. fermé Surf
r
r
rot B = μ 0 J ⇔
r r
∫ B ⋅ d l = μ 0I
C
Ces lois restent vraies si I inclut des courants fictifs représentant la
contribution éventuelle de matériaux magnétiques
9
Cours Alexandra Mougin
Application du Th. d’Ampère (1):
fil infini
r
r
r
B
=
B
u
+
B
u
Orientation du champ:
r r
θ θ
Symétrie + Biot et Savart
⇒ Bfil
r =0
r
r
r
et d l = dl u θ = rdθ u θ
r r
B
∫ ⋅ d l = μ 0I
C
2π
∫ B θ r dθ = B θr × 2 π = μ 0 I
0
μ 0I
⇒ Bfil
θ =
2πr
10
Cours Alexandra Mougin
Application du Th. d’Ampère (2):
solénoïde très long
Observations expérimentales
Pas de champ à l’extérieur et champ quasi uniforme à l’intérieur, au centre
Orientation du champ:
r
r
B = B // u //
succession longue de spires Î champ sur l’axe au centre
Solénoïde
n spires par unité de longueur, I dans chaque spire
r r
∫ B ⋅ d l = μ0 I n L
ABCD
B
C
r
r
r
r
B
u
.
dl
u
+
B
u
.
dl
u
∫ // // AB // ∫ // // BC ⊥ +
A
B
D
A
r
r
r
ext r
∫ B // u // . dl CD u // + ∫ B // u // . dl DA u ⊥ =
C
D
B × L + 0 + 0 + 0 = μ0 I n L
r
r
B = µ 0 I n u //
11
Cours Alexandra Mougin
Application du Th. d’Ampère (3):
solénoïde court
Solénoïde: I dans chaque spire avec N spires sur une longueur L
Spire de rayon a: champ sur l’axe calculé via BS
r μ0
I a2
r
B=
uz
2 (a 2 + z 2 )3 / 2
r = (a 2 + z 2 )3 / 2
Courant pour une portion élémentaire dz:
I
N
dz
L
N
2
r μ 0 L dz a r
dB =
uz
2 (a 2 + z 2 )3 / 2
I
z
⎤ 2 r
r μ 0 NIa 2 z 2
μ 0 NIa 2 ⎡ 1
dz
z
r
B=
uz =
⎢ 2 2
⎥ uz
∫
2
2
3
/
2
2
1
/
2
2 L z (a + z )
2 L ⎢⎣ a (a + z ) ⎦⎥
1
z1
z
2
2 1/ 2
(a + z )
= cos θ
r μ NI
(cos θ2 − cos θ1 ) ur z
B= 0
2 L
Si infini: θ1 → π et θ 2 → 0
r
r
B = µ 0 I n u //
Cours Alexandra Mougin
II-Equations de Maxwell dans le vide
Analogie électrostatique/magnétostatique
Æ Potentiels et Dipôles
Equations de Maxwell et récapitulatif
12
13
Cours Alexandra Mougin
Potentiel V / moment dipolaire
Distribution de charges
V=
1
qi
∑
4πε 0 i ri
⎡ ∑ qi
⎡ ∑ qi
r ⎤
r ⎤
r
1 ⎢i
r
1 ⎢i
r r
≅
+ ∑ qi R i ⋅ ⎥ =
+ p⋅ ⎥
3 ⎥ 4πε 0 ⎢ r
3⎥
4πε 0 ⎢ r
r
r
i
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
r r
1 1
− 1 R cos α
r 1
− ≅ (r1 − r ) ⋅ 2 = 1 2 1 = ( R1 ⋅ ) ⋅ 2
r r
r1 r
r
r
r12 − r 2 = R12 − 2r1R1 cos α1 = (r1 − r )(r1 + r )
R12 − 2r1R1 cos α1
(r1 − r ) =
≅ − R1 cos α1
(r1 + r )
q tot = ∑ q i
i
r
r
p = ∑ qi R i
i
r r
1 ⎡ q tot p ⋅ ur ⎤
+
V≅
⎢
⎥
2
4πε 0 ⎣ r
r ⎦
α1
Si qtot =0
ÎV créé uniquement par moment dipolaire
varie comme p/r2
14
Cours Alexandra Mougin
Calcul de A pour le dipôle magnétique
r
r μ 0I d l
A=
∫
4π C r
dl = dx ou dy
r
M
μ 0I 1
1
A x ( 2) =
.[ −
].l1
4π rB rA
−1
−1
y −1
1
1
−
= (rB − rA ) ⋅
≅ l 2 cos θ ⋅
= l2 ⋅
or
r r2
rB rA
r2
r2
2
rB
μ I
−y
A x ( 2) = 0 .l1l 2 .
4π
r3
μ I
x
A y ( 2) = 0 .l1l 2 .
4π
r3
A z ( 2) = 0
B
r
r
r
m = I ∫∫ dS = I l1l 2n
S
1
θ
l2
A
rA
y
r r
r μ0 m
×r
A=
4π r 3
15
Cours Alexandra Mougin
Dipôles électriques/dipôles magnétiques
r
r
q tot = ∑ q i et p = ∑ q i R i
i
i
r
r μ 0I d l
A=
∫
4π
r
r r
⋅r ⎤
p
⎡
1 q tot
V≅
+
⎢
⎥
3
4πε 0 ⎣ r
r ⎦
r r
⋅r
p
1
V≅
4πε 0 r 3
r
r
p = qa
r
r
m = I ∫∫ dS
r r
r μ0 m
×r
A=
4π r 3
r
M
r
p
− q
+ q
Milieu diélectrique uniforme:
moment dipolaire électrique
Milieu aimanté uniforme:
moment magnétique = boucle de courant
16
Cours Alexandra Mougin
Potentiel électrostatique / Potentiel vecteur magnétique
Distributions finies
ΔA x = −µ 0 J x
ρ
ΔV = −
ε0
V ( 2) =
ΔA y = −µ 0 J y
ΔA z = −µ 0 J z
r
r
μ
J (1)
A( 2) = 0 ∫∫∫
dτ
4π Ω r12
ρ(1)
1
dτ
∫∫∫
4πε 0 Ω r12
Circuit filiforme
λ (1)
1
dl
V ( 2) =
∫
4πε 0 C r12
r
r μ 0I d l
A=
∫
4π C r
17
Cours Alexandra Mougin
Champ à grande distance d’un dipôle
r
r
r
E = Er u r + E θ u θ
r
p
Electrique
r
E = − grad V
1 2p. cos θ
Er =
4πε 0 r 3
Eθ =
r
m
Magnétique
r
r
r
B = B r u r + B θu θ
1 p. sin θ
4πε 0 r 3
r
r
B = rot A
μ 2m cos θ
Br = 0
4π r 3
μ m sin θ
Bθ = 0
4π r 3
18
Cours Alexandra Mougin
Récapitulatif: équations de Maxwell dans le vide
sous forme intégrale
sous forme différentielle
r
r
∂B ( 1 )
rot E = −
∂t
r
r
r
∂E
rot B = μ 0 ( j + ε 0 )
∂t
r ρ ( 3)
div E =
ε0
( 4)
r
div B = 0
r
r
B = µ0 H
et
(1)
Loi de Faraday
( 2)
(2) Th d’Ampère étendu
(3) Th de Gauss
(4) Gauss magnétique
r
r
D = ε 0E
r r
r
rot H = J libres et div D = ρlibres
r r
d r r
E
d
l
⋅
=
−
∫
∫∫ B ⋅ dS
dt
C
S
r r
r r
d r r
B
⋅
d
l
=
μ
J
⋅
d
S
+
μ
ε
∫
0 ∫∫
0 0 ∫∫ E ⋅ dS
dt S
C
S
r r 1
∫∫ E ⋅ dS =
∫∫∫ ρdτ
ε0 Ω
S
r r
B
∫∫ ⋅ dS = 0
S
B induction magnétique / H excitation magnétique
D déplacement électrique / E champ électrique
Phénomènes dépendant du temps non discutés!!!!!
19
Cours Alexandra Mougin
Résumé: champs, charges et courants
•
Des charges électriques immobiles créent un champ électrique
Æ ce champ E est conservatif et dérive d’un potentiel V
•
Des courants constants (charges en mouvement) créent un champ
magnétique
Æ Ce champ B dérive d’un potentiel vecteur A
•
Un champ magnétique variable crée un champ électrique (Loi de
Faraday)
Æ Ce champ Eind ne dérive pas d’un potentiel
•
Superposition et conservation des forces et des champs dus
– à des charges électriques
– à des courants électriques
•
Force des champs électriques sur des charges électriques
– sur des charges au repos et en mouvement
•
Forces des champs magnétiques
– sur des charges en mouvement
– sur des courants électriques
20
Cours Alexandra Mougin
III- Approche macroscopique
de la matière aimantée
21
Cours Alexandra Mougin
Approche macroscopique de la matière aimantée
Observations Î La matière contribue (de manière diverse) au champ total
Æ Augmentation ou diminution du champ magnétique
Diamagnétisme
Paramagnétisme
Ferromagnétisme
ÆDéflection d’un faisceau d’électrons modifiée lorsque l’on introduit un
matériau dans le solénoïde
Diminution faible si diamagnétisme
Augmentation importante si ferromagnétique
Augmentation faible si paramagnétique
Cours Alexandra Mougin
22
Effet du champ magnétique B0 selon les matériaux
Matériaux décrits par « moments dipolaires »
1 électron ~ 1 boucle de courant ~ 1 dipôle
Atome: somme des contributions électroniques individuelles:
Î moment individuel atomique permanent m
Î Analogie avec la polarisation dans les diélectriques dans lesquels on analyse
l’existence ou non d’un moment dipolaire permanent p
• Molécules non polaires p=0 Î diamagnétisme m = 0
• Molécules polaires
p#0 Î paramagnétisme ou ferromagnétisme m # 0
Î Classes de matériaux magnétiques en fonction aussi de leur réponse à B0
•m=0
: Diamagnétisme = distorsion des orbites, m induit
antiparallèle à B.
• m différent de 0 : Paramagnétisme = tendance à l ’alignement des m parallèles
à B.
• m différent de 0 : Ferromagnétisme = très forte tendance à un alignement des
m parallèles à B.
23
Cours Alexandra Mougin
Susceptibilité et perméabilité magnétiques
Î grandeurs caractéristiques de la réponse en champ
r
r
B = µ 0µ r H ( 2)
B 0 = μ 0 H (1)
Dans le vide
Courant fictif induit
Définition
B = μr B0
( 3)
r
r r
Champ total B = μ 0 ( H + M ) (4)
r
r
r
B = µ 0µ r H = µH (5)
⇒ μr =
µ
µ0
Avec le matériau
d’aimantation M
au centre du solénoïde
Perméabilité relative
r
r
M
=> B = µ 0 H(1 + )
H
r
r
Relations susceptibilité χ et perméabilité µ M
= µ r − 1 = χm => B = µ 0 (1 + χm )H
H
aimantation /champ
24
Cours Alexandra Mougin
Dia, para, ferro versus comportement des dipôles magnétiques
Diamagnétisme
m=0 M=0
Paramagnétisme
m #0 M=0
Ferromagnétisme
m #0 M local #0
Opposition à la
variation de flux
Δm diminue B0
Susceptibilité négative
Perméabilité <1
Alignement des dipôles
sur B0
Δm augmente B0
Susceptibilité positive
Perméabilité >1
Alignement des spins
sur B0
Δm augmente B0
Susceptibilité positive
Perméabilité >>1
Milieux linéaires
Diamagnétiques et paramagnétiques sont linéaires (χm~ -10-5 et 10-3 respectivement)
25
Cours Alexandra Mougin
Magnétisme dans la matière: aimantation
• Tout élément de volume dτ d’un matériau aimanté possède
[dm: Am2]
un moment dipolaire magnétique dm (permanent ou induit)
Si chaque atome possède le moment individuel mi, dm=somme des mi
• Vecteur aimantation M: densité de moment dipolaire magnétique [M: Am-1]
r
r
dm = M d τ
r
r
M = n m si uniforme avec n ≡ densité vol .
• Potentiel vecteur et champ crée à l’extérieur (rappel sur le dipôle magnétique)
r
r
×
d
m
(
1
)
r
r
μ
12
dA ( 2 ) = 0
4π
r 3
12
r
r
×
M
(
1
)
r
r
μ
12
A( 2) = 0 ∫∫∫
dτ
3
4π Ω r
12
r
r
r
B est calculé à partir de B = rot A
26
Cours Alexandra Mougin
Aimantation et courants ampériens
Î Décomposition du potentiel vecteur crée à l’extérieur
r
μ
A( 2 ) = 0 ∫∫∫
4π Ω
r
r
M (1) × r12
r12
3
r r
dm = M dτ
dτ
r
r
r
r
rotM (1)
μ 0 M (1 ) × u n
μ0
A( 2) =
dτ +
dS
∫∫∫
∫∫
4π Ω
r12
4π S
r12
Î Description macroscopique de l’aimantation en terme de courants ampériens
r
J amp (1)
r surf
J amp (1)
r
μ
μ
A( 2 ) = 0 ∫∫∫
dτ + 0 ∫∫
dS
4π Ω r12
4π S r12
r
r
r surf
r
r
avec J amp (1) = rot M (1) et J amp (1) = M (1) × un
Î Calcul du champ Bamp crée par la distribution d’Ampère équivalente
27
Cours Alexandra Mougin
Courants ampériens: interprétation
r
r
r surf
r
r
J amp (1)= rot M(1) et J amp (1) = M(1) × un
ÎAimantation uniforme= courant ampérien surfacique
Barreau aimanté unif.=solénoïde infini
Î Aimantation non uniforme= courants ampériens surfacique et volumique
28
Cours Alexandra Mougin
Champ crée par les courants ampériens, champ total
Iamp
Î Principe de superposition
r r
r
B = Blibres + Bamp
Courants ampériens = courants fictifs (nuls en dehors du matériau)
le champ qu’ils généreraient si ils existaient est exactement le champ Bamp
produit par un matériau aimanté M
Î Extension du théorème d’Ampère….
r
r
r
r
r
rot B = μ 0 ( J libres + J amp ) avec J amp = rot M
A l’extérieur, M= 0
r
r
rot Bamp = μ 0 rot M = 0
r
r
rot B = µ 0 J libres
r
r
rot Bamp = μ0 J amp
A l’intérieur, M # 0
r
r
rot Bamp = μ 0 rot M ≠ 0
r
r
r
rot B = μ 0 ( J libres + rot M )
29
Cours Alexandra Mougin
Aimantation et masses/charges magnétiques
Potentiel vecteur et champ crées loin d’un dipôle magnétique:
r
r
r
r r
r ⎞
r
⎛
r
μ 0 m(1) × r12
3
(
m
.
r
).
r
m
μ
(
1
)
(1 )
0⎜
12
12
⎟
A( 2) =
B
=
−
(
2
)
3
5
3
4π r12
4π ⎜⎝
r12
r12 ⎟⎠
r
r
r
div B = 0 et rot B = µ 0 J dip = 0
Existence d’un potentiel scalaire magnétique Φm
r
r
rot B = 0 ⇒ B( 2 ) = − grad φm ( 2 )
r r
µ 0 m(1).r12
φm ( 2 ) =
4π r12 3
Analogie avec le dipôle électrostatique
r
r
⎛ 3(pr (1) ⋅ rr12 ).rr12 pr (1) ⎞
r
1 p(1) ⋅ r12
1
⎜
V ( 2) ≅
− 3⎟
E( 2 ) =
3
3
⎜
4πε 0 r12
4πε 0 ⎝
r12
r12 ⎟⎠
r
r
r
div E = 0 et rot E = 0 ⇒ E( 2 ) = − grad V ( 2 )
30
Cours Alexandra Mougin
Aimantation et masses magnétiques (2)
Pour l’élément de volume dτ, r
r
de moment dipolaire dm(1) = M(1) dτ
dφm ( 2 ) =
r
r
µ 0 M (1) . r12
4π
r12
3
dτ
r
r
r
r
r
r12
1
M (1)
1
M (1). 3 = M (1).grad ( ) = div 1 (
)−
div 1 M (1)
1 r
r12
r12
r12
12
r
r
⎛
µ0
M (1 ) r ⎞
− div M (1)
⎜
dτ + ∫∫
dS ⎟⎟
φm ( 2 ) =
∫∫∫
⎜
4π ⎝ Ω
r12
⎠
S r12
Décomposition du potentiel scalaire
en 2 termes
ÎDescription macroscopique de l’aimantation en terme de masses magnétiques
σ m (1 ) r ⎞
µ 0 ⎛ ρ m (1 )
⎜⎜ ∫∫∫
φm ( 2 ) =
dτ + ∫∫
dS ⎟⎟
4π ⎝ Ω r12
⎠
S r12
r
r
r
avec ρm (1) = − div M (1) et σ m (1) = M (1) . un
Î Calcul du champ Bm crée par la distribution
r
Bm ( 2 ) = − grad φm ( 2 )
31
Cours Alexandra Mougin
Champ crée par les masses magnétiques, champ total
i)
Le champ créé par la distribution de masses magnétiques est noté Bm
Î A l’extérieur
r
r
div Bm = 0 et rot Bm = 0
r
r
⇒ Bext = Bm
r
Î A l’intérieur: il faut vérifier div B = 0 théorème de Gauss magnétique
r
r
r
r
or div Bm = µ 0ρm = − µ 0div M soit div (Bm + µ 0 M ) = 0
r
r
r
⇒ B int = Bm + µ 0 M
Comme à l’extérieur, M=0, on peut généraliser le résultat pour l’intérieur
r
r r
B = Bm + µ 0 M
ii) Principe de superposition: si il y a un champ dû à des courants libres
r r
r
r
B = B libres + Bm + µ 0 M
32
Cours Alexandra Mougin
Charges magnétiques/charges de polarisation
magnétiques / diélectriques
Aimantation uniforme:
Polarisation uniforme:
r r
r
σ m = M . un et div M = 0
r r
r
σ pol = P . un et div P = 0
Aimantation non uniforme:
Polarisation non uniforme:
r
div M = − ρm
r
B m (r ) = − grad φm (r )
µ ⎛ ρ ( r' )
σ (r' ' ) ⎞⎟
dτ + ∫∫ m
φm (r ) = 0 ⎜ ∫∫∫ m
dS
⎟
4π ⎜⎝ Ω r − r'
r
−
r
'
'
⎠
S
r
div P = −ρpol
r
Epol (r ) = − grad φpol (r )
σ pol (r' ' ) ⎞
1 ⎛⎜ ρpol (r' )
φpol (r ) =
dτ + ∫∫
dS ⎟
∫∫∫
⎟
4πε 0 ⎜⎝ Ω r − r'
⎠
S r − r' '
33
Cours Alexandra Mougin
Courants ampériens / masses magnétiques
r
r
J amp = rot M
r
r r
J surf
M
=
× un
amp
r
div M = −ρm
σm
Potentiel: vecteur
r surf
⎛ Jr
⎞
(
r
'
)
J
r
μ0 ⎜
amp
amp (r' ' ) ⎟
A(r ) =
dτ + ∫∫
dS ⎟
∫∫∫
4π ⎜⎜ Ω r − r'
r
r
'
'
−
⎟
S
⎝
⎠
Champ
r
r
r
r
Bamp = rot A → rot Bamp = µ 0 J amp
A l’extérieur
r r
r
B = Bamp = Bm
Potentiel: scalaire
r r
= M .un
µ 0 ⎛⎜ ρm (r' )
σ m (r'' ) ⎞⎟
φm (r ) =
dτ + ∫∫
dS
∫∫∫
⎟
−
4π ⎜⎝ Ω r − r'
r
r
'
'
⎠
S
Champ
r
Bm (r ) = − grad φm (r )
A l’intérieur
r r
r
r
B = Bamp = Bm + µ 0 M
34
Cours Alexandra Mougin
Excitation magnétique H, équations de Maxwell
Rappel définition
r
r B r
H=
−M
μ0
Equations de Maxwell :
r
r
r
rot B = μ 0 ( J libres + J amp )
r
r
r
rot B = μ 0 ( J libres + rot M )
r
r
r
B
rot ( − M ) = J libres
μ0
r r
rot H = J libres
(1)
A l’extérieur du matériau,
M=0, B =µ0 H
r r
r
r
B = B libres + Bm + µ 0 M
r
r r
r
r
µ 0 H + µ 0 M = B libres + Bm + µ 0 M
r r
r
µ 0 H = B libres + Bm
r
r
r
µ 0 div H = div B libres + div Bm
r
µ 0 div H = µ 0 ρm
r
r
div H = ρm = −div M ( 2)
Notion de champ démagnétisant Hm: c’est la contribution de M à H
r r
r
H = H libres + H m
r r
r
cf E = E0 + Epol
Cours Alexandra Mougin
IV-Magnétisme des couches minces ferromagnétiques
35
Cours Alexandra Mougin
36
Matériaux ferromagnétiques: généralités
Peu de matériaux ferromagnétiques (Fe, Co… Gd, Dy..)
Métaux de transitions # Terres rares
Î Comportement thermique : loi de Curie Weiss
• A basse T: aimantation spontanée sans champ appliqué
Moments magnétiques voisins spontanément parallèles car couplés par
échange
• A haute T: paramagnétisme et disparition de l’aimantation spontanée
Observations:
i) Comportement sous champ non linéaire
(χ varie avec le champ appliqué) et souvent hystérétique
ii) Nombre de matériaux ne présentent pas d’aimantation macroscopique sans
champ appliqué
Hypothèse de Weiss: domaines, aimantés de manière homogène (Mlocal#0) mais
dont la résultante macroscopique peut être nulle
37
Cours Alexandra Mougin
Dia, para, ferromagnétique, bis….
Diamagnétisme
m=0 M=0
Paramagnétisme
m #0 M=0
Ferromagnétisme
m #0 M local #0
Opposition à la
variation de flux
Δm diminue B0
Susceptibilité négative
Perméabilité <1
Alignement des dipôles
sur B0
Δm augmente B0
Susceptibilité positive
Perméabilité >1
Alignement des spins
sur B0
Δm augmente B0
Susceptibilité positive
Perméabilité >>1
Milieux linéaires
Diamagnétiques et paramagnétiques sont linéaires (χm~ -10-5 et 10-3 respectivement)
38
Cours Alexandra Mougin
Cycle d’hystérésis M(Happliqué)
Hystérésis:
mot grec signifiant
“arrivant en retard” ou “à la traine”
Paramètres d’un cycle:
• Aimantation à saturation (Msat) pour H grand (si T >> TC , Msat ~Mspont)
• Aimantation rémanente (Mr), après réduction de H jusqu’à 0
• Coercivité (HC): champ opposé au champ de saturation nécessaire pour
ramener l’aimantation à 0.
• Rapport Mr/Msat : “carré” du cycle d’hystérésis (lié au degré d’anisotropie
et/ou interactions entre grains)
39
Cours Alexandra Mougin
Cycle d’hystérésis et champ démagnétisant
• Equations de Maxwell
r
div B = 0
r
r r
B = μ0 (H + M)
r
r
div H m = ρm = −div M
• Pour un ellipsoïde de révolution uniformément aimanté selon l’axe “a”
Î N = coefficient démagnétisant, dépendant uniquement de la forme de
r
r
l’objet
N +N +N = 1
Hm = − N. M
x
y
z
Si objets complexes ou aimantation non uniforme, simplifications
nécessaires
Cas extrêmes:
N=0 : fil aimanté selon son axe
N=1: film mince aimanté perpendiculaire
Rapport a/b Æ valeurs intermédiaires
40
Cours Alexandra Mougin
Cycle d’hystérésis M(Hinterne)
Champ interne Hinterne: appliqué (libres)+ démagnétisant
r
r
r
r
r
H int erne = H a + H m = H a − NM
N facteur démagnétisant
(forme et aimantation dans l’échantillon)
Effet de la correction de champ démagnétisant:
ÎCycle tourné dans le sens des aiguilles d’une montre/ origine
ÎRenforcement du caractère carré du cycle (augmente Mr)
ÎHc non modifiés car définis en M=0 (Hm=0)
41
Cours Alexandra Mougin
Hystérésis de l’induction B
L’induction magnétique ou densité de flux B
r
r r
est calculée à partir de B = µ 0 ( H + M )
µ0H
Induction rémanente Br vaut µ0Mr
Champ coercitif ( BHC )
-champ pour lequel B =0
ou champ qui s’oppose exactement à M
- toujours inférieur à la coercivité de M
Î Applications aimants permanents: Produit BH: densité d’énergie magnétique
42
Cours Alexandra Mougin
Théorie du champ moléculaire (Weiss) - 1
Théorie phénoménologique
Î Définition d’un champ moyen équivalent, agissant sur un dipole et résultant
de tous les dipoles environnants.
H Weiss = λM
λ : constante supposée indépendante de la température
Î Champ effectif agissant sur les dîpoles paramagnétiques : somme du champ
appliqué et de ce champ moléculaire
H eff moyen
= H + λM
Cas d’une assemblée de spins 1/2:
Statistique de Boltzman
M
= tanh( x )
M sat
µ B Beff Aimantation à saturation M sat = Nµ B
x=
k BT
Température de Curie-Weiss
µ 0µ B M sat
TC =
.λ = C.λ
kB
µ 0H
M
T
=
x−
M sat TC
λM sat
43
Cours Alexandra Mougin
Loi de Curie Weiss -2
Weiss (H=0)
Weiss (H # 0)
Equations autocohérentes
résolues graphiquement
H eff = H + λM
Succès:
H=0
ÎJustification d’une aimantation spontanée pour T < TC
ÎM/Msat ne dépend que de T/TC
H#0
Î Msat dépend du champ appliqué (effet faible car H <<HWeiss )
Î Susceptibilité pour T>TC (λ=0)χ =
C
T − TC
Problèmes: Î Comparaison aux expériences:
M(T), TC , susceptibilité au voisinage de TC
Î Pas de justification physique à λ
44
Cours Alexandra Mougin
Existence de domaines, généralités
Champ moléculaire (Weiss 1907): on doit observer une aimantation non nulle
en l’absence de champ extérieur MAIS, expérimentalement, l’aimantation
d’un corps ferromagnétique peut prendre toutes les valeurs entre Mspont et 0
Î domaines
r
r
r
r
M loc = M spont
M = ∑ M spont
ÎMinimisation de l’énergie liée au champ démagnétisant
Î Mécanismes
de renversement
de l’aimantation
Etat désaimanté:
M=0
Effet d’un champ magnétique appliqué = produire une résultante non nulle
de l’aimantation par changement de la structure en domaines
45
Cours Alexandra Mougin
Energie libre d’un ferromagnétique
Analyse de l’énergie libre (Landau et Lifshitz, 1935) pour rendre compte à la
fois
– du comportement magnétique (en particulier le cycle d’hystérésis)
– de la structure en domaines
Î Champs effectifs agissant sur l’aimantation:
– Champ d’échange entre premiers voisins Hech ~ 100T
Eéch = -2Jij Si .Sj courte portée
Hm{ … } > Hm{ … }
– Champ rayonné (dipolaire=démagnétisant) Hd ~1-2T
Edip = Dij Si .Sj et Dij~ 1/r3 longue portée
– Champ d’anisotropie magnétocristalline (direction privilégiée pour M) Hk
~0.1-1T
Ek = K sin2θ
– Champ extérieur
– Champ de magnétostriction (non discuté)
46
Cours Alexandra Mougin
Energie d’échange
Origine purement quantique, due au spin:
2 e- de même spin vont s’éviter (Pauli), ce qui diminue leur énergie de répulsion
électrostatique mais est contrebalancé par une augmentation de leur énergie
cinétique
Eij = −2J ij S i S j
ÎEnergie d’échange dans modèle d’Heisenberg:
E ech
ÎEnergie d’échange (générale):
r
= ∫∫∫ A(∇ M )2 dτ
MS
Eech est d’autant plus petite que tous les spins sont parallèles
2
2
J
S
v at
0
A constante d’échange [J/m]:
A=
a
donnée par
évaluée à partir de la température
k Bde
TCCurie (liée à l’énergie thermique
A( 0) =
nécessaire pour désaligner les spins)
a
a=paramètre de maille vat =nbre atomes/maille
47
Cours Alexandra Mougin
Energie de champ démagnétisant
ÎEnergie du champ rayonné (origine strictement magnétostatique)
r r
1
Ed = − ∫∫∫ H d .M dτ
2
r
r
H d = − NM
1
Ed = ∑ + N i M i 2
i 2
Ed: - d’autant plus petite que le corps est divisé en petits volumes homogènes
allongés
- d’autant plus grande que le champ rayonné s’étend dans l’espace
Kittel (Rev. Mod. Phys., 21, 541, 1949)
48
Cours Alexandra Mougin
Champ d’anisotropie de
forme
ÎAnisotropie de forme: comparaison 2 configurations d’aimantation
Ellipsoïde aimanté uniformément selon son grand axe (a) et
perpendiculairement (b)
1
++++
ΔEd = ( Nb − Na )M 2
2
r
r
Hd = − Nb M
Rouge=demagnétisant
Nb < Na
r
M
-
+
+
+
+
+
r
r
Hd = − NaM
----
r ΔErd , il faut introduire un1 champ fictif d’anisotropie Han tel que
ÎPour restituer
ΔEd = − H an .M
⇒ H an = − ( Nb − Na )M
2
ÎApplications aux films
minces: M dans le plan plus favorable (charges à
+++++++++++
r
l’infini)
M
-
-----------------
+
+
+
Cours Alexandra Mougin
Anisotropie
magnétocristalline
origine magnéto-électrique:
interaction champ cristallin+ couplage spin orbite
ÎAnisotropie magnétocristalline:
direction privilégiée pour l’aimantation
ÎExpression phénoménologique
Système à symétrie cubique (Fe)
2 + α 2α 2 + α 2 α 2 ) + K α 2α 2 α 2
αi cosinus directeurs de M
α
Ek = K 1 ( α 2
x y
x z
y z
2 x y z
Système uniaxe (matériaux hexagonal ou tétragonal comme Co)
Ek = énergie à fournir pour induire un
2 θ + K sin 4 θ
E
=
K
sin
angle θ entre M et la direction privilégiée
k
1
2
ÎPour aligner l’aimantation dans une direction perpendiculaire à la direction
r
r
facile , il faut introduire un champ fictif d’anisotropie Hk tel que
ΔEk = − H K .M
2K 1
⇒ Hk =
MS
49
50
Cours Alexandra Mougin
Mécanismes d’aimantation
ÎCristal de Fer au dessus de TC
ÎRefroidissement en dessous de TC (pas de champ extérieur)
ÎAnisotropie: M selon les directions faciles [100]
ÎChamp démagnétisant: formation de domaines et de domaines de
fermeture
51
Cours Alexandra Mougin
Zoom sur la paroi de domaines
Comme dans la majorité des systèmes physiques, il y a une énergie associée à
la séparation entre deux phases.
Dans le cas de deux domaines magnétiques, l’interface entre deux zones
d’aimantation différentes est appelée paroi de domaine.
A cette interface est associée une énergie de paroi
Coût en énergie Î limitation du nombre de parois qui existent dans un
matériau ferromagnétique
Caractéristiques de la paroi: compétition échange/anisotropie
Paroi à 180° (paroi de Bloch)
dans un matériau uniaxe.
52
Cours Alexandra Mougin
Energie/largeur de paroi
• Augmentation de l’énergie d’échange associée à une rotation Δθ (petit) entre 2 spins,
ΔEech = J S 2 ( Δθ)2
Soit par unité d’aire de paroi:
a= paramètre de maille
π 2 1 Aπ 2
2
ΔEech = J S ( ) N
=
N
a 2 2Na
A=2JS2/a N pas réguliers pour rotation de 180°
• Augmentation de l’énergie d’anisotropie de la paroi:
KNa
π
2
N
ΔEk = ∫0 aK sin ( x ) dx =
N
2
Î Energie de la paroi
Minimale pour
Aπ 2 KNa
Eγ = ΔEech + ΔEk =
+
2Na
2
π2A
N=
Largeur de paroi
2
a K
π 2A
δ = Na =
K
Energie de la paroi par unité d’aire γ = π 2 AK
53
Cours Alexandra Mougin
Parois dans les couches minces: (1) Bloch
• Structure le long de la paroi de Bloch:
M tourne autour de l’axe n et rotation dans des plans parallèles au plan de la
r r r r
paroi
M ↑ .n = M ↓ .n = 0
r
div M = 0
continuité de la composante normale:
“à l’intérieur de la paroi”, composante selon n constante
• Champ dipolaire associé à la paroi de Bloch lié aux surfaces:
δ
Bloch
Bloch
Hd
= −N
M=−
M
δ+t
Couche d’épaisseur t, paroi de largeur δ
+++
t
t
t
δ
δ
--δ
54
Cours Alexandra Mougin
Parois dans les couches minces: (2) Néel
• Structure le long de la paroi de Néel:
M tourne autour de l’axe n et la rotation s’effectue dans le plan de la paroi
r r r r
M ↑ .n = M ↓ .n = 0
continuité de la composante normale:
r
“à l’intérieur de la paroi”, composante selon n varie div M ≠ 0
• Champ dipolaire associé aux charges dans la paroi de Néel:
Couche d’épaisseur t, paroi de largeur δ
Néel = − N Néel M = −
Hd
t
M
δ+t
---
+++
+++
---
t
t
δ
t
δ
δ
55
Cours Alexandra Mougin
Couches minces: Bloch/Néel selon l’épaisseur
Energies en fonction de l’épaisseur de la
couche:
1
δ
Bloch =
EBloch = − M H d
M2
2
2(δ + t )
1 Néel
t
Néel
E
= − Hd M = −
M2
2
2( δ + t )
ÎEpaisseur critique de changement de structure de
paroi
Existence de structures
de paroi complexes ou hybrides
56
Cours Alexandra Mougin
Récapitulatif pour un ferromagnétique
¾Energie Zeeman
¾Energie d’échange
¾ Energie d’anisotropie
E = E z + Eech + EK + E D + Eγ
¾ Energie de champ démagnétisant
¾ Energie de paroi
Î A l’équilibre, la structure en domaines est telle que cette énergie libre soit min
Î Sans champ appliqué, le terme magnétostatique est dominant et justifie
l’existence de domaines alors que les autres termes contribuent à diminuer
leur nombre/taille, imposer une orientation pour l’aimantation
Î Tout n’est pas imposé par un état d’énergie minimum: états métastables possi
(cf hysteresis)
57
Cours Alexandra Mougin
Bonus:
Techniques d’observation
de domaines magnétiques
58
Cours Alexandra Mougin
Techniques magnéto-optiques
Loi de Malus (OPTIQUE)
ÎL’intensité transmise dépend de l’angle entre le polariseur et l’analyseur
ÎExtinction pour 90° (polariseur et analyseur croisés)
Lumière incidente polarisée linéairement
+ interaction avec un échantillon magnétique
Î faisceau réfléchi polarisé elliptiquement
Effet Kerr (MAGNETO)
59
Cours Alexandra Mougin
Microscopie Kerr
ÎEchantillon non magnétique: loi de Malus
Æ polariseur et analyseur perpendiculaires, I=0.
Æ I0 intensité incidente, I intensité mesurée à la sortie du dispositif
Angle de décroisement = α
I = I0.cos²(90- α) = I0 sin²(α)
Contraste d’intensité ΔI entre domaines
Î Echantillon magnétique:
Polaire
rotation du vecteur polarisation de la lumière lors de
ΘK
sa réflexion sur un échantillon magnétique à
aimantation normale
ΔI = I0.[cos²(90- α + ΔθM- ) - cos²(90- α + ΔθM+ )]
EP
= I0 [ sin²(α + ΔθM+) – sin²(α - ΔθM+)]
où ΔθM- = - ΔθM car il n’y a que deux états dans notre système
ΔθM de l’ordre de plusieurs degrés pour les grenats
M
60
Cours Alexandra Mougin
Microscopie Kerr: exemples
Résolution ultime:
Cas de Pt/Co (1 nm)/Pt
Pt (3,4 nm)
Co (1 nm)
160 nm
Pt (6,5 nm)
H = 4 Oe
0s
H = 0.5 Oe
0h
Sensibilité:
Substrat
:
détection de lignes de 50 nm
Etude dynamique possible:
Mécanismes de renversement
de l’aimantation
Nucléation propagation…
12.5 s
22 h
H= 1Oe
Images: 50 x 65 µm2
50 h
20.2 s
Images: 0.85 x 0.95 mm2
61
Cours Alexandra Mougin
Microscopie de Lorentz
Basée sur la force de Lorentz, agissant sur une charge en mouvement
ÎLes électrons qui passent au travers de la couche ultramince sont déviés de
manière différente selon l’orientation de l’aimantation (ie du champ) qu’ils subissent
Mode Fresnel: parois = alternance de bandes sombres ou claires qd l’image est
légèrement défocalisée / plan échantillon
Mode Foucault: un diaphragme dans le plan de diffraction sélectionne une partie des e-;
Le contraste est lié aux domaines et l’échantillon reste au point.
62
Cours Alexandra Mougin
Microscopie de Lorentz
Magnetization
⊗
⊗
⊗
⊗
1 μm
⊗
Direction of sensitivity
Direction of applied field
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
Magnetization
Carré: 20µm de coté
63
Cours Alexandra Mougin
SEMPA
Microscope électronique à balayage avec analyse de polarisation
des électrons secondaires
ÎAvantages:
très bonne résolution,
sensible à toutes les directions d’aimantation
ÎInconvénients: ultravide nécessaire et prix élevé
Au 10 layers
Fe 10 or 15 layers
GaAs (001)
50 µm
A. Vaterlaus (ETH Zürich)
50 µm
64
Cours Alexandra Mougin
Microscopie à Force Magnétique
Mesure de la force entre une
pointe magnétique et un
échantillon magnétique
Î Balayage de la pointe attaché à un levier flexible. Le hauteur de la pointe est
contrôlé par une boucle de contre réaction via un piézo électrique
Î Le levier est défléchi dans le champ H (agissant sur la pointe).
Î Mesure de la déflection qui rend compte de l’aimantation
65
Cours Alexandra Mougin
Microscopie à Force Magnétique: exemples
Plot de 2µm de coté
Mise en évidence de l’anisotropie de forme
Mise en évidence de structures
à fermeture de flux
66
Cours Alexandra Mougin
Travaux dirigés
Le contenu des séances de TD sera adapté à
l’avancement et à la réaction des étudiants face aux
difficultés majeures du cours
67
Cours Alexandra Mougin
TD n°1
EXERCICE 1 :
Calculer les potentiels scalaires et vecteurs associés respectivement à un dipôle électrique et magnétique
Calculer les champs E et B associés
Discuter
Suite du cours….
68
Cours Alexandra Mougin
Potentiel V / moment dipolaire
Distribution de charges
V=
1
qi
∑
4πε 0 i ri
⎡ ∑ qi
⎡ ∑ qi
r ⎤
r ⎤
r
1 ⎢i
r
1 ⎢i
r r
≅
+ ∑ qi R i ⋅ ⎥ =
+ p⋅ ⎥
3 ⎥ 4πε 0 ⎢ r
3⎥
4πε 0 ⎢ r
r
r
i
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
r r
r 1
1 1
− 1 R cos α
− ≅ (r1 − r ) ⋅ 2 = 1 2 1 = ( R1 ⋅ ) ⋅ 2
r1 r
r r
r
r
r12 − r 2 = R12 − 2r1R1 cos α1 = (r1 − r )(r1 + r )
R12 − 2r1R1 cos α1
≅ R1 cos α1
(r1 − r ) =
(r1 + r )
q tot = ∑ q i
i
r
r
p = ∑ qi R i
i
r r
1 ⎡ q tot p ⋅ ur ⎤
V≅
+
⎢
⎥
2
4πε 0 ⎣ r
r ⎦
α1
Si qtot =0
ÎV créé uniquement par moment dipolaire
varie comme p/r2
69
Cours Alexandra Mougin
Calcul de A pour le dipôle magnétique
r
r μ 0I d l
A=
∫
4π C r
dl = dx ou dy
r
M
μ 0I 1
1
.[ −
].l1
A x ( 2) =
4π rB rA
1
1
−1
−1
y −1
or
−
= (rB − rA ) ⋅
≅ l 2 cos θ ⋅
= l2 ⋅
rB rA
r r2
r2
r2
2
rB
μ I
−y
A x ( 2) = 0 .l1l 2 .
4π
r3
μ I
x
A y ( 2) = 0 .l1l 2 .
4π
r3
A z ( 2) = 0
B
r
r
r
m = I ∫∫ dS = I l1l 2n
S
1
θ
l2
A
rA
y
r r
r μ0 m
×r
A=
4π r 3
70
Cours Alexandra Mougin
TD n°2
z
ur
EXERCICE 1 : SPHERE UNIFORMEMENT AIMANTEE
uϕ
θ
R
uθ
M
y
µ
M
B0
EXERCICE 2 : PLAQUE UNIFORMEMENT AIMANTEE
θ
α
d
EXERCICE 3 :
Discussion de la conservation des champs magnétiques à l’interface entre deux milieux
x