Modélisation probabiliste en biologie cellulaire et moléculaire De nombreux travaux récents ont en effet démontré l’importance de la stochasticité dans l’expression des gènes à différentes échelles (cellule individuelle et population). On passera tout d’abord en revue les principaux résultats expérimentaux pour motiver l’étude de modèles mathématiques prenant en compte des effets aléatoires. On étudiera ensuite 3 modèles particuliers où les effets aléatoires induisent des comportements intéressants, en lien avec des résultats expérimentaux : une dynamique intermittente dans un modèle d’auto-régulation de l’expression d’un gène ; des choix de lignée aléatoires dans une population de progéniteurs soumis à des signaux de différentiation ; l’émergence d’hétérogénéité à partir d’une population homogène de protéines par modification post-traductionnelle. Dans le Chapitre I, nous avons étudié le modèle standard d’expression des gènes : ADN, ARN messager et protéine. L’ADN peut être dans 2 états, respectivement “ON“ et “OFF“. La transcription (production d’ARN messager) peut avoir lieu uniquement dans l’état “ON“. La traduction (production de protéine) est proportionnelle à la quantité d’ARN messager. Enfin la quantité de protéine peut réguler de manière non-linéaire les taux de production précédent. Nous avons utilisé des théorèmes de convergence de processus stochastique pour mettre en évidence différent régimes de ce modèle. Nous avons ainsi prouvé rigoureusement le phénomène de production intermittente d’ARN messager et/ou de protéine. Les modèles limites obtenues sont alors des modèles hybrides, deterministe par morceaux avec sauts Markoviens. Nous avons étudié le comportement en temps long de ces modèles et prouvé la convergence vers des solutions stationnaires. Enfin, nous avons étudié en détail un modèle réduit, calculé explicitement la solution stationnaire, et étudié le diagramme de bifurcation des densités stationnaires. Ceci a permis de mettre en évidence l’influence de la stochasticité en comparant aux modèles déterministes. Dans le Chapitre II, nous avons étudié un modèle de population structurée en leur nombre de protéines. Ce modèle représente le phénomène de différentiation cellulaire, lorsque l’expression d’un ou plusieurs gènes induisent un choix de lignée de la cellule. Nous avons spécifiquement étudié un modèle de branchement et montrer l’importance de la stochasticité et du caractère discret de l’expression des gènes dans les choix cellulaires. Nous avons prouvé les liens avec les modèles existants en grande population. Dans le Chapitre III, nous avons étudié une version probabiliste du modèle d’aggrégationfragmentation. Cette version permet une définition de la nucléation en accord avec les modèles biologistes pour les maladies à Prion. Nous avons alors caractérisé la distribution des temps de nucléation dans les modèles d’aggrégation de protéines. Nous avons mis en évidence l’apparition de plusieurs structures de polymères, en compétition indirect, qui reproduit fidèlement les observations expérimentales in vitro.