1 février

Mat 1748
Hiver 2017
DGD du 1er février
(1) Utilisez la méthode de la table de vérité pour décider si l’ensemble
E = { (X ⇒ Y ), (Y ⇒ Z), X, ¬ Z }
est satisfaisable ou non. S’il est satisfaisable, donnez une valuation qui le satisfait.
(2) Utilisez un arbre de vérité pour décider si l’ensemble
E = { X ⇒ (Y ∨ Z), ¬((Y ∨ Z) ⇒ S), X ∨ S, S ∨ ¬ Z }
est satisfaisable. S’il est satisfaisable, donnez toutes les valuations qui le satisfont.
(3) Dans chaque cas, utilisez la méthode de l’arbre de vérité pour décider si l’argument est valide
ou non :
D ⇒ (¬ A ∨ B)
D ⇒ (¬ A ∨ B)
A∨B
A∨B
¬B ∨ C
¬B ∨ C
D⇒C
D ⇒ ¬C
(4) Considérez l’argument suivant :
Si Émilie ouvre la porte alors Rachel entre ou Alain entre. Rachel entre seulement
si Alain n’entre pas. Alain entre seulement si Rachel entre. Donc, Émilie n’ouvre
pas la porte.
Utilisez les atomes :
E : Émilie ouvre la porte
A : Alain entre
R : Rachel entre
pour traduire l’argument du français à la logique. Ensuite, utilisez la méthode de la table de
vérité pour décider si l’argument est valide ou non. S’il est invalide, donnez un contrexemple.
(5) Considérez l’argument suivant :
Pour que je sois admis, il est nécessaire que je réussisse l’examen. Pour que je
réussisse l’examen, il suffit que j’aie étudié. Je serai admis seulement si j’ai étudié.
À moins que je sois un génie, pour réussir l’examen il faut que j’aie étudié. S’il
est nécessaire que j’étudie pour être admis, alors je ne suis pas un génie. Donc, je
réussis l’examen si et seulement si j’ai étudié.
Utilisez les atomes suivants :
A: Je suis admis.
R: Je réussis l’examen.
E: J’ai étudié.
G: Je suis un génie.
pour traduire l’argument du français à la logique. Ensuite, utilisez la méthode du “raccourci”
pour déterminer si l’argument est valide ou non. S’il est invalide, donnez un contrexemple.
1
2
(6) Montrer que si a < b sont des nombres rationnels, alors (a + b)/2 est un nombre rationnel et
satisfait a < a+b
< b. (Suggestion: preuve directe.)
2
(7) Soit a ∈ R. Montrez que si a5 est irrationnel, alors a est irrationnel. (Suggestion : preuve
indirecte).
(8) Soient a, b ∈ Z. Montrez que si ab est pair, alors au moins un des entiers a, b est pair.
(Suggestion : preuve indirecte).
(9) Si x, y ∈ R, on définit
(
x si x ≤ y,
min(x, y) =
y si x > y;
(
y si x ≤ y,
max(x, y) =
x si x > y.
Faites une preuve par séparation des cas pour montrer que min(x, y) + max(x, y) = x + y.
(10) Vous rencontrez deux habitants (A et B) de l’ı̂le des chevaliers et des coquins.
• A dit: Au moins un de nous deux est un chevalier.
• B dit: Il ment !
Prouvez que A est chevalier, au moyen d’une preuve par contradiction.