1 février

Mat 1748 Hiver 2017
DGD du 1er f´evrier
(1) Utilisez la m´ethode de la table de v´erit´e pour d´ecider si l’ensemble
E={(X⇒Y),(Y⇒Z), X, ¬Z}
est satisfaisable ou non. S’il est satisfaisable, donnez une valuation qui le satisfait.
(2) Utilisez un arbre de v´erit´e pour d´ecider si l’ensemble
E={X⇒(Y∨Z),¬((Y∨Z)⇒S), X ∨S, S ∨ ¬ Z}
est satisfaisable. S’il est satisfaisable, donnez toutes les valuations qui le satisfont.
(3) Dans chaque cas, utilisez la m´ethode de l’arbre de v´erit´e pour d´ecider si l’argument est valide
ou non : D⇒(¬A∨B)
A∨B
¬B∨C
D⇒C
D⇒(¬A∨B)
A∨B
¬B∨C
D⇒ ¬ C
(4) Consid´erez l’argument suivant :
Si ´ Emilie ouvre la porte alors Rachel entre ou Alain entre. Rachel entre seulement
si Alain n’entre pas. Alain entre seulement si Rachel entre. Donc, ´ Emilie n’ouvre
pas la porte.
Utilisez les atomes :
E:´ Emilie ouvre la porte
A:Alain entre
R:Rachel entre
pour traduire l’argument du fran¸cais `a la logique. Ensuite, utilisez la m´ethode de la table de
v´erit´e pour d´ecider si l’argument est valide ou non. S’il est invalide, donnez un contrexemple.
(5) Consid´erez l’argument suivant :
Pour que je sois admis, il est n´ecessaire que je r´eussisse l’examen. Pour que je
r´eussisse l’examen, il suffit que j’aie ´etudi´e. Je serai admis seulement si j’ai ´etudi´e.
`
A moins que je sois un g´enie, pour r´eussir l’examen il faut que j’aie ´etudi´e. S’il
est n´ecessaire que j’´etudie pour ˆetre admis, alors je ne suis pas un g´enie. Donc, je
r´eussis l’examen si et seulement si j’ai ´etudi´e.
Utilisez les atomes suivants :
A:Je suis admis.
R:Je r´eussis l’examen.
E:J’ai ´etudi´e.
G:Je suis un g´enie.
pour traduire l’argument du fran¸cais `a la logique. Ensuite, utilisez la m´ethode du “raccourci”
pour d´eterminer si l’argument est valide ou non. S’il est invalide, donnez un contrexemple.
1

2
(6) Montrer que si a<bsont des nombres rationnels, alors (a+b)/2 est un nombre rationnel et
satisfait a < a+b
2< b. (Suggestion: preuve directe.)
(7) Soit a∈R. Montrez que si a5est irrationnel, alors aest irrationnel. (Suggestion : preuve
indirecte).
(8) Soient a, b ∈Z. Montrez que si ab est pair, alors au moins un des entiers a, b est pair.
(Suggestion : preuve indirecte).
(9) Si x, y ∈R, on d´efinit
min(x, y) = (xsi x≤y,
ysi x>y;max(x, y) = (ysi x≤y, xsi x > y.
Faites une preuve par s´eparation des cas pour montrer que min(x, y) + max(x, y) = x+y.
(10) Vous rencontrez deux habitants (A et B) de l’ˆıle des chevaliers et des coquins.
•A dit: Au moins un de nous deux est un chevalier.
•B dit: Il ment !
Prouvez que A est chevalier, au moyen d’une preuve par contradiction.