Montage n° 24 - Nathalie Rion

Montage n° 13
Étude expérimentale en statique et en dynamique d'un solide mobile autour
d'un axe fixe.
Introduction
Archimède fut le premier à analyser le phénomène de levier (3 ème siècle av JC). On luis doit
d’ailleurs la fameuse citation : « Donnez-moi un appui et un levier et je soulèverai la terre. » Je
vais mettre ce phénomène en évidence en m’aidant de la porte (ou d’un disque).
On réalise ici une série d’expériences qualitatives illustrant la notion de moment d’une force.
La force 𝐹⃗ étant créée avec la main, on procède de la façon suivante (figure 4). Il n’y a aucune rotation si :
1 • la force 𝐹⃗ est nulle ;
2 • la direction de la force passe par l’axe D (
𝐹⃗ appartient au plan du disque);
3 • le point d’application de 𝐹⃗ est sur l’axe D (OM = 0) ;
4•
𝐹⃗ est parallèle à l’axe D
𝐹⃗ est dans le plan du disque (ou de la porte) et la direction de
𝐹⃗ est quelconque. Le sens de la rotation dépend de sens de 𝐹⃗ .
Elle est d’autant plus « facile » que le point d’application est plus éloigné de l’axe D et que la direction de 𝐹⃗
Il y a une rotation si : le point d’application de
est perpendiculaire à l’axe D.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
Toutes ces constatations peuvent se résumer dans ces formules : ℳ
𝐹⃗/𝑂 = 𝑂𝑀 ∧ 𝐹
Au 18ème siècle, Huygens et Koenig ont mis en évidence la notion de moment cinétique.
⃗⃗
𝑑𝐿
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Théorème du moment cinétique : = ∑ ℳ⃗⃗⃗⃗
⃗. Dans le cas du solide, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐿 = 𝐼𝜔
⃗⃗
𝐹 avec 𝐿 = 𝑂𝑀 ∧ 𝑚𝑣
𝑑𝑡
𝑖
Expériences :
Montage prépa Capes : plan OK
1. statique : portique soumis à 3 forces  notion d’équilibre, vérification du théorème
des moments [1] [3]
2. dynamique :  mouvement uniformément accéléré ; influences de différents
paramètres sur la vitesse de rotation [1]. Mesures au chronomètre pour pouvoir
montrer que l’accélération est constante.
3. mvt périodique : pendule de torsion  on fait varier le bras de levier pour remonter à
I.
I.
Etude statique : vérification du théorème des moments
Dans un référentiel galiléen, la condition nécessaire pour qu’un solide mobile autour d’un axe
fixe soit en équilibre est que la somme des moments par rapport à un axe  des forces qui lui
𝑒𝑥𝑡 )=0 (application du théorème du moment cinétique)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
sont appliquées soit nulle. ∀ ,∑𝑖 ℳ (𝐹
𝑖
On travaille avec 2 ou 3 masses. On vérifie que le solide est équilibré.
Fil inextensible. Donc la norme des forces exercées = poids de la masselotte.
Forces exercées sur le solide : Fi, poids du solide (P) et réaction exercée par l’axe du solide (R).
Mais le moment de R et de P par rapport à l’axe de rotation du solide est nul car leur point
d’application passe par l’axe de rotation du solide.
ℳ𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
+ ℳ𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
+ ℳ𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 0 avec ℳ𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑚1 . 𝑔. 𝑑1
1/0
2/0
3/0
1/0
Calcul d’erreur : ℳ/ℳ=g/g+d/d+m/m avec d=2mm (épaisseur du fil) et m/m et =g/g
négligeables.
II.
Etude dynamique
II.1 solide en rotation soumis à une force de moment constant [1]
On utilise une poulie à plusieurs gorges, mobile autour d’un axe vertical D sur lequel est fixé
une tige comportant deux masselottes diamétralement opposées, de positions réglables.
On appelle :
 M la masse des masselottes
cylindriques de rayon r et de
hauteur h
 R le rayon de la poulie autour de
laquelle la ficelle est enroulée
 m la masse du corps qui
provoque le
 mouvement
 J0 le moment d'inertie par rapport
à  de l'ensemble sans
masselotte
 JM le moment d'inertie d'une
masselotte par rapport à 
 JG le moment d'inertie d'une
masselotte par rapport à G // 
passant par le centre G d'une masselotte
 T la tension du fil appliquée à la poulie de rayon R
 d la distance entre  et le centre d'une masselotte
 n le nombre de tours effectués par la tige.
Théorie :
PDF appliqué à m : mg – T = ma
𝑧̈ =R𝜃̈
T=m(g- R𝜃̈)
T=m(g-a)
avec a= 𝑧̈
T’
T
P
z=z0+R si on dérive 2 fois :
Appliquons le théorème du moment cinétique
gorges,masselottes,barre}
⃗⃗
𝑑𝐿
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=ℳ
= 𝐽𝜔
⃗⃗
d’où J𝜃̈=RT’=RT=Rmg – mR2𝜃̈
𝑇 ′ /𝑂
𝑑𝑡
à
l’ensemble
{poulie
3
𝜃̈(mR2 + J)= Rmg
L’accélération angulaire est constante pour m donnée et I donné. Donc 𝜃̈=constante.
1
On intègre 2 fois en considérant que 𝜃0̇ = 0 et 𝜃0 = 0
= 2 𝜃̈ 𝑡 2
4𝜋𝑛
On a =2πn d’où 𝜃̈ = 2
𝑡
II.1.1. Influence de la masse
On mesure au chronomètre, le temps que met l’équipage mobile pour faire n tours.
m (g)
n
t(s)
𝜃̈ (rad.s-2)
50
1
6,31
0,32
2
9,12
0,30
100
1
4,62
0,59
2
6,37
0,62
20
1
10
0,13
2
15,09
0,11
𝜃̈(mR2 + J)= Rmg
si J >> mR2 (R le plus petit possible et d le plus grand
possible) , alors 𝜃̈ J= Rmg
On trace 𝜃̈=f(m). la pente sera égale à Rg/J
Connaissant R et g, on en détermine J
On peut comparer à la théorie : J = J0 + 2JM = J0 + 2 Md2
II.1.2. Influence du moment d’inertie
𝑅𝑚𝑔
𝑅𝑚𝑔
𝜃̈ = 𝐽+𝑚𝑅2 = 𝐽 + 2𝑀𝑑2 +𝑚𝑅2
0
On rapproche les masselottes de l’axe. On trace 1/𝜃̈ =f(d2).
4𝜋𝑛
Pour m=20g et R constant. On peut faire la mesure pour n=2. On utilise toujours 𝜃̈ = 𝑡 2
d (mm)
t(s)
2
2
𝜃̈ (rad.s-2)
2
𝐽 + 2𝑀𝑑 +𝑚𝑅
2𝑀
𝐽 +𝑚𝑅
1/𝜃̈ = 0 𝑅𝑚𝑔
=𝑅𝑚𝑔 𝑑 2 + 0𝑅𝑚𝑔 =Ad2+B
Conclusion : si on diminue J, l’accélération angulaire augmente. Cf la patineuse qui
rapproche ses bras pour avoir une vitesse de rotation plus importante.
L’ordonnée à l’origine, B, nous permet de remonter à J0. A comparer avec la théorie ( ?)
II.2 mouvement d’oscillation (si on a le temps)
Pendule réalisé avec mobile + tige rigide sur la table à digitaliser
On montre que la période des oscillations dépend
 de m (on peut ajouter une bague sur le mobile)
 de g (en modifiant l’inclinaison de la table, c’est comme si on diminuait g)
 de la longueur de la barre ???
Conclusion
Les exemples d’application des solides en rotation autour d’un axe fixe sont nombreux : on
peut citer roue de voiture, machine outil.
BIBLIO
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
[1] Bellier Dunod Ch 13 p235 (théorie Tbien expliquée) TB pour exp
[2] Duffait p228 Bof…
BUP n°
[3] Quaranta moment d’une force p.228
rotation autour d’un axe p. 375
pendule de torsion p. 315
QUESTIONS
1. Attention : le moment d’inertie J n’est pas un scalaire : 𝐿⃗⃗ = 𝐽𝜔
⃗⃗ uniquement quand 𝜔
⃗⃗
coïncide avec un axe principal de 𝐿⃗⃗, donc la matrice [J] se diagonalise 𝐿⃗⃗ = [𝐽]𝜔
⃗⃗.
2. Quel est le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe.
r
J = ∫ r 2 dm = ρ ∫ r 2 dτ
J homogène à [M][L]2
3. Pourquoi ajoute t’on des volants d’inertie sur les machines outils ? pour augmenter
le moment d’inertie. En effet il y a une hétérogénéité des pièces àusiner. Donc parfois, il y a variation
brusque de la vitesse de rotation de la fraise. On augmente donc I.
4. Equilibrage statique : si un système est mal équilibré, il y a des efforts sur les roulements qui peuvent
entraîner leur destruction. Dans l’équilibrage statique, on cherche à confondre le centre de masse avec
l’axe de rotation (symétrie de révolution autour de l’axe de rotation. Si ce n’est pas le cas, on ajoute des
masselottes)
5. Equilibrage dynamique : réalisé après l’équilibrage statique. On cherche à confondre l’axe de rotation de
al roue avec l’axe principale du tenseur d’inertie (sinon, un couple s’exerce sur l’axe, qui va avoir tendance
à plier l’axe.
Historique
Avant de devenir une science à part entière, la mécanique a longtemps été une section des mathématiques.
De nombreux mathématiciens y ont apporté une contribution souvent décisive, parmi eux des grands noms tels
que Euler, Cauchy, Lagrange, ... Jusqu'à la fin du XVIIIe siècle, la mécanique a été le domaine applicatif naturel
des mathématiques, le domaine dans lequel on pouvait tenter de faire entrer les faits expérimentaux dans le cadre
rigoureux des mathématiques. Inversement, certains problèmes de mécanique ont donné naissance ou orienté
l'intérêt des mathématiciens vers des théories telles que la géométrie ou les équations différentielles.
Historiquement, la mécanique statique a été le premier domaine étudié par les savants. De l'antiquité jusqu'au
Moyen Âge des notions fondamentales telles que l'équilibre, le célèbre bras de levier d'Archimède (287 av JC –
212 av JC) (« Donnez-moi un appui et un levier et je soulèverai la terre. »)ou encore la notion beaucoup plus
abstraite de force ont été étudiées. Plus tard, l'intérêt s'est porté vers la dynamique, c'est-à-dire les phénomènes
qui régissent le mouvement des solides, domaine dans lequel Galilée, pour la chute des corps, et Newton dans ses
célèbres Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ont apporté des contributions décisives.
Toutefois, jusqu'à la fin du XVIIIe siècle, la mécanique se séparait en deux branches : la mécanique du point d'un
côté et la mécanique des fluides de l'autre. Dans le cas de la mécanique du point, les objets étudiés sont supposés
implicitement indéformables et le mouvement du solide complet peut alors être décrit par le mouvement d'un de
ces points remarquables : le centre de gravité. Il a fallu attendre le courant du XIXe siècle pour voir apparaître les
premières théories des solides déformables qui allaient permettre de réunir la mécanique des solides et la
mécanique des fluides dans un même cadre, celui de la mécanique des milieux continus.
Parallèlement, un autre formalisme prenait naissance pour expliciter le mouvement des solides : Lagrange, dans
un premier temps, puis Hamilton ont développé une approche dite analytique qui prenait comme axiome non plus
l'équilibre des forces et de l'accélération mais l'existence d'un potentiel d'énergie minimal auquel obéit tout
mouvement de solide. On peut démontrer que cette approche est rigoureusement équivalente à l'approche
newtonienne ; elle permet toutefois de développer un formalisme radicalement différent. Les principaux domaines
de la physique ayant recours à la mécanique analytique sont la physique du solide et le mouvement de
mécanismes complexes tels que les bras de robot.
Au début du XXe siècle, Einstein a développé sa célèbre théorie de la relativité et a mis en évidence les
insuffisances de la mécanique telle qu'elle a été décrite par Newton. Toutefois, il s'avère que cette dernière
constitue un cas particulier de la théorie de la relativité dès lors que l'on considère des vitesses relativement
faibles. On a alors défini la mécanique newtonienne, ou mécanique classique, comme le domaine de la physique
qui décrit les mouvement des corps à des vitesses faibles devant celle de la lumière (soit très inférieures à
300 000 km/s environ). Dans ce domaine, tout en étant plus simple, elle fournit des résultats très voisins de ceux
de la relativité restreinte, adaptée quant à elle à tous les domaines de vitesse.
Conceptuellement, la mécanique a connu trois révolutions :
1. la prise de conscience que c'est l'accélération qui est proportionnelle à la force (on pensait initialement que
c'était la vitesse) ;
2. la prise de conscience que le mouvement des planètes est régi par le même phénomène que la chute des
corps, la fameuse attraction universelle de Newton ;
3. la modélisation de la gravitation non plus par une force, mais par une déformation de l'espace avec la
théorie de la relativité générale d'Einstein.