Rotation

MOUVEMENTS DE ROTATION D'UN SOLIDE
Bibliographie : [1] Dictionnaire de physique expérimentale tome 1
p. 225 Moments, p 301 Pendule pesant, p 375 Rotation autour d'un axe
[2] Ouvrages de l’enseignement secondaire en 1ère S
couples de forces et rotation d’un solide
[3] Capes de physique et chimie, Montage de Physique, Bellier et al, Dunod
p 177 rappels théoriques, plan, protocole expérimental
[4] Mécanique générale, C. Gruber et W. Benoit
p 287 Dynamique des systèmes matériels, p 428 Solide en rotation autour d'un axe fixe
Le but de ce TP est de mettre en évidence les différents paramètres intervenant dans l'équilibre puis dans le
mouvement d'un solide lorsque celui-ci est contraint par des forces de liaison à se mouvoir autour d'un axe. On se
limitera aux cas de solides supposés indéformables. Autre simplification dans ce TP : on négligera l'effet de
frottements sur le solide en mouvement, des poulies, etc. Ces expériences pourront servir de support pour illustrer le
montage 13 intitulé « Étude expérimentale en statique et en dynamique d'un solide mobile autour d'un axe fixe » .
Certaines expériences pourront également être utilisées pour le montage 14 : « Expériences portant sur la conservation
de l'énergie mécanique dans quelques cas simples » et le montage 9 : « Étude expérimentale de mouvements rapides
par diverses méthodes ... ». Dans ce cadre, il s'agit donc de tester et d'illustrer les lois de Newton pour un solide en
rotation autour d'un axe : nous montrerons expérimentalement que la somme des moments (par rapport à l'axe) des
forces qui sont appliquées au solide contrôle son accélération angulaire autour de l'axe. Les concepts/grandeurs
importants de ce TP sont donc: moments d'une force, moment cinétique, vecteur rotation, moment d'inertie, le
théorème du moment cinétique et l'énergie cinétique de rotation.
Liste des expériences proposées :
Étude en statique
- Moment d’une force par rapport à un axe : expérience qualitative
- Équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe : théorème des moments
Étude en dynamique
- Mouvement circulaire uniforme
- Solide en rotation autour d'un axe fixe ∆ et soumis à une force de moment constant
montage vertical, matériel Leybold / montage horizontal, matériel Pierron
- Étude du pendule pesant
- Roulement sans glissement d'un cylindre sur un plan incliné
1. Rappels
Moment d’une force
Soit un point M. Le moment
MO
d’une force
F
appliquée en
M par rapport à un point O est (figure 1) :
MO= OM∧ F
C’est un vecteur perpendiculaire au plan (OM, F) de module :
MO=OM×Fsin
Le moment
M
par rapport à un axe ∆ passant par O est alors
M= MO. k=MOcos
où
k∈
est un vecteur unitaire.
F
O
M
M∆
Mo
k
axe ∆
α
θ
Figure 1
Cinématique
Le champ des vitesses dans le solide s’identifie avec la vitesse
d’entraînement du référentiel (R) par rapport à (R1). Si M est un
point quelconque du solide et O un point quelconque de ∆, on a :
vM= ∧  OM
ω
O
M
vM
Figure 2

Dynamique
En général, pour un solide en rotation autour d’un axe fixe (
= k
), le moment
cinétique
O
n’est pas colinéaire à ∆ (figure 3).
La relation entre
O
et est
O=[J]
où
[J]
est la matrice d’inertie.
• Le moment cinétique par rapport à l’axe ∆ s’exprime par :
= O. k=J
avec
J=∭volume r2 dm
moment d'inertie du solide par
rapport à l’axe ∆ .
O
∆
ω
σo
Figure 3
•
J
(aussi notée
I
) est une grandeur extensive : le moment d'inertie d'un système formé de plusieurs parties
est la somme des moments d'inertie de chacune des parties.
• Soit G le centre de masse du solide, Pour tout axe ∆,
I=IGM d2
où ∆G est l'axe parallèle à ∆ passant par G
et d la distance entre ∆G et ∆ (théorème de Huygens).
• Le rayon de giration par rapport à l'axe est la longueur R∆ tel que
I=M R
2
c'est la distance à l'axe à laquelle il faudrait concentrer toute la masse M pour que le point matériel ainsi obtenu ait le
même moment d'inertie par rapport à ∆.
• Si la liaison est parfaite, le théorème du moment cinétique exprime l’équation du mouvement du solide en rotation
autour d’un axe ∆ fixe :
d
dt =I˙
=I¨ =∑
i
M Fi
ext
Si la somme des moments est nulle, on en déduit que
=Cte
et
= t
.
Si
=Cte≠0
, on a un mouvement circulaire uniforme, si
=0
on a équilibre.
Le mouvement circulaire uniforme
Soit M un point du solide à la distance r fixe de l’axe :
r=rur
La vitesse est
vM= ∧r=ru
et l’accélération
aM=−2 rur
Équilibre
• Un solide (ou un système de solides) est en équilibre dans un référentiel galiléen (R) si le torseur des forces
extérieures du système est équivalent à zéro :
∑
i
Fi
ext=
0
et
∀O ,∑
i
MO Fi
ext=
0
et
∀i
les vitesses initiales
vi0= 0
2. Étude statique
2.1 Moment d’une force par rapport à un axe : expérience qualitative
On réalise ici une série d’expériences qualitatives illustrant la notion de moment d’une force.
La force
F
étant créée avec la main, on procède de la façon suivante (figure 4). Il n’y a aucune rotation si :
1 • la force
F
est nulle ;
2 • la direction de la force passe par l’axe ∆ (
F
appartient au plan du disque);
3 • le point d’application de
F
est sur l’axe ∆ (OM = 0) ;
4 •
F
est parallèle à l’axe ∆
Il y a une rotation si : le point d’application de
F
est dans le plan du disque (ou de la porte)
et la direction de
F
est quelconque. Le sens de la rotation dépend de sens de
F
.
Elle est d’autant plus « facile » que le point d’application est plus éloigné de l’axe ∆ et que la direction de
F
est
perpendiculaire à l’axe ∆.

F
série de
trous
axe ∆disque
F
axe ∆
porte
Figure 4
2. 2 Théorème des moments
Dans un repère galiléen, la condition nécessaire pour qu’un solide mobile autour d’un axe fixe soit en équilibre est que
la somme des moments par rapport à un axe ∆ des forces qui lui sont appliquées soit nulle :
∀  ,∑
iM
Fi
ext=0
Le matériel proposé (figure 5) permet une vérification immédiate du théorème des moments ; en effet, en tournant la
règle graduée, on mesure directement les distances. On peut de même déplacer facilement les poulies (grâce aux
aimants) ainsi que les fiches (grâce aux nombreux trous percés sur le solide).
• On vérifie que le solide est équilibré avant l’accrochage des masses.
• On choisit un sens positif, puis, sachant que
F1,2=m1,2 g
on en déduit :
M F1=−∥  F1 ∧ OA1 ∥=−m1 gOA1 sin1 =−m1 g d1
M F2=∥  F2 ∧ OA2 ∥=m2 gOA2 sin2 =m2 gd2
Par suite :
∑
iM
Fi
ext=0 ⇒m1 d1 =m2 d2
On vérifie cette relation dans différents cas. On tracera
M F1
en fonction de
M F2
: c’est une droite de
pente 1. NB : on se limite ici au cas où les forces sont dans le plan du disque. Naturellement, on peut utiliser trois
masses marquées.
d
2
panneau métallique
m
1
g
m
2
g
poulie
règle mobile
mesure directe
solide mobile autour d’un axe
fiche
axe
∆
A
1
O
A
2
θ
1
θ
2
F
1
F
2
sens +
0
M(F1)
M(F2)
Figure 5 Figure 6
On veillera à présenter les résultats avec une incertitude de mesure ∆ (M).
3. Étude dynamique
3.1 Mouvement circulaire uniforme
• On propose une étude sommaire. La vitesse
angulaire est constante ω, la vitesse linéaire
est tangentielle de valeur ωR, l’accélération
est centripète de valeur ω2R si R est le rayon. Figure 7
O
M
v
a
R
M
v
a
ω

• On filme le mouvement d’un solide en rotation (disque, ventilateur,…) relativement lente.
• On procède à un enregistrement à l’aide d’un camescope (et d’un magnétoscope), puis on fait défiler l’enregistrement
image par image. Entre chaque image, l’intervalle de temps est fixé à ∆t = 1/25 = 40 ms.
Pour ce montage :
– Brancher le camescope en auto ou manuel (lire la fiche technique pour une utilisation optimale) ;
– éclairer le projecteur ;
– Ouvrir le logiciel « Synchronie », suivre les instructions ;
– Démarrer le mouvement de rotation et lancer l’enregistrement quelques instants.
– L’exploitation consiste à pointer un même point de la périphérie du solide à des intervalles de temps égaux
– Observer les vecteurs vitesse et accélération.
Connaissant la vitesse angulaire ω (mesure annexe) on vérifie que la longueur d’un vecteur vitesse est bien égale à Rω
(si R est la distance du point pointé à l’axe de rotation). On vérifie également que la longueur du vecteur accélération
est bien égale à Rω2.
3.2 Solide en rotation autour d'un axe fixe ∆ et soumis à une force de moment constant.
(Matériel distribué par Leybold : voir le protocole proposé dans ref [1])
Pour l'équipage de la figure 8, le moment d'inertie est I∆ = Io + 2IM avec Io = moment d'inertie de l’équipage mobile
(poulie à 2 gorges + tige) sans les masselottes et IM = moment d'inertie d’une masselotte = Md2 + ½ MR2 (R=rayon
d’une masselotte) et d’autre part le moment appliqué :
M T=T r
avec T la tension du fil que l'on obtient par
m¨ x=mg−T
En appliquant le théorème du moment cinétique on trouve
I¨ =mgr−mr2 ¨
car l’accélération angulaire
¨
est liée à l’accélération linéaire par
¨
x=r¨
. Ainsi
¨
= mgr
Imr2
ceci est l’expression de l’accélération angulaire, donc l’équation horaire est de la forme :
t=1
2
mgr
Imr2t2
si
0=0 et 0=0
• La manipulation consiste à déterminer l’accélération angulaire
¨
en fonction de divers paramètres.
L'étude du mouvement pourra se faire à l'aide d'enregistrement vidéo et de traitement informatique.
a) Mesure de l’accélération angulaire
Si le solide tourne de θ, la masse m se déplace de x = rθ.
Si la masse m met un temps t pour parcourir une distance x, on peut écrire
x=1
2 r¨
t2
d’où
¨
= 2 x
r t2
• On effectue les mesures suivantes :
x (m) t (s)
¨
(rd.s–2)
x
masselotte
M
M
m
d
d
équipage mobile
t
poulie de
rayon r
Figure 8
Pour une configuration donnée de l’équipage mobile, cette accélération est constante ; on vérifiera ce fait.

b) Influence des paramètres (d, r, M, m)
On propose de se limiter au seul paramètre d, distance des masselottes à l’axe de rotation
• On fixe une valeur de x (par exemple 0,5 à 1 m) et on effectue les mesures suivantes :
d (m) d2 (m2)t (s)
rt2
2 x= ¨
−1
(rd–1.s2)
... ... ... ...
On trace ensuite
rt2
2 x=fd2= IOMR2 mr2 mgr 2M mgr d2
qui est donc une droite de pente
2M
mgr
.
3.3 Solide en rotation autour d'un axe fixe ∆ et soumis à une force de moment constant.
(Matériel distribué par Pierron : voir le protocole proposé dans ref [3] p 179)
On utilise une poulie à plusieurs gorges, mobile autour d’un axe vertical ∆ sur lequel est fixé une tige comportant
deux masselottes diamétralement opposées, de positions réglables.
On appelle :
M
la masse des masselottes cylindriques de
rayon r et de hauteur h
R
le rayon de la poulie autour de laquelle la
ficelle est enroulée
m
la masse du corps qui provoque le
mouvement
J0
le moment d'inertie par rapport à ∆
de l'ensemble sans masselotte
JM
le moment d'inertie d'une masselotte
par rapport à ∆
JG
le moment d'inertie d'une masselotte par rapport à ∆G // ∆ passant par le centre G d'une masselotte
T
la tension du fil appliquée à la poulie de rayon R
d
la distance entre ∆ et le centre d'une masselotte;
n
le nombre de tours effectués par la tige.
En négligeant la masse de la poulie de renvoie devant m, on peut montrer que l'accélération angulaire
¨
de
l'équipage s'écrit:
¨
= mgR
JO2JMmR2
avec
JM=JGMd2
et
JG=M
r2
4h2 12
pour les masselottes considérées.
Le solide étant soumis à la force
T
de moment constant
M T=JO2JM¨
On mesure le temps mis pour faire n tours à l'aide d'un chronomètre ou d'un capteur optique.
On relie
¨
à
n
en écrivant que (vitesse initiale nulle) :
= 1
2¨
t2=2n
d'où
¨
= 4n
t2
a) Vérification de la nature du mouvement