Le procédé générateur - Institut de Mathématiques de Toulouse

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Quadrature no 93 (2014) 1-4
© Quadrature, 2014
Le procédé générateur
par Julie A RNAL -B REZUN
Résumé.
On introduit ici la notion de procédé générateur, à travers deux applications : matrices
semblables dans un sur-corps et étude des matrices cycliques dans les sous-corps de C.
Si K est un corps commutatif et L un sur-corps commutatif de K, on regarde L comme un K
espace vectoriel. Si cet espace vectoriel est de dimension finie, alors on en a une base. Si cet
espace vectoriel est de dimension infinie, on applique le procédé générateur : à un nombre
fini de vecteurs de L, on associe une base du K espace vectoriel qu’ils engendrent. Parmi les
corps usuels, C est un R espace vectoriel de dimension deux, puisque C = vectR {1, i}. Par
contre R n’est pas un Q espace de dimension finie. On applique alors le procédé générateur
à chaque famille de réels pour en obtenir une Q base ; on aura par exemple :
√
3√ √
π
2, 2 − 5, } = vectQ {1, 2, π }.
vectQ {1, 4 −
2
3
I Matrices semblables
Le procédé générateur se comprend aisément à partir d’une démonstration classique d’un résultat connu,
dans le cas particulier où K = R et L = C :
Théorème 1. Si (A, B) ∈ Mn (R)2 sont semblables
dans Mn (C), alors A et B sont semblables dans
Mn (R).
En effet, si A et B sont semblables dans Mn (R),
alors il existe P ∈ G L n (C) vérifiant : A = PBP−1 ;
soit, AP = PB. On décompose alors P dans la R base
(1, i) de C : P = Q + i.R, avec (Q, R) ∈ Mn (R)2 . Par
exemple, nous écrirons :
1
i
0
1√
1 +√i
1
5
5
=
+i.
PC,R =
−1 0
0 3+ 2
−i 3 + 2
La démonstration sera achevée par la suite. Mais remarquons que c’est ici que l’on ne peut pas directement généraliser cette démonstration à des corps K et
L quelconques : avec K = Q et L = R, par exemple, il
n’existe pas de Q base de R qui permettrait la décomposition de toutes matrices à coefficients réels comme
combinaisons linéaires de nombres réels et matrices à
coefficients rationnels. On affine donc cette démonstration pour montrer un théorème plus général.
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Dans toute la suite, K est un corps commutatif infini
et L un sur-corps commutatif de K.
Théorème 2. Si (A, B) ∈ Mn (K)2 sont semblables
dans Mn (L), alors A et B sont semblables dans
Mn (K).
La démonstration commence comme la précédente ;
on a AP = PB avec (A, B) ∈ Mn (K)2 et P ∈ G L n (L).
On applique alors le procédé générateur à P : puisque
P ne possède qu’un nombre fini de coefficients, notés
{pi, j | 1 ≤ i, j ≤ n}, il existe une base (e1 , ..., em ) (m ∈
N∗ ) de VectK {pi, j | 1 ≤ i, j ≤ n}. Par construction,
on a : ∀i ∈ {1, ..., m}, ei ∈ L ; de plus, ∃ (P1 , ...Pm ) ∈
Mn (K)m : P = ∑ Pi .ei . Ainsi, nous écrirons :
√ 1
4 − 32 2
√
PR,Q =
π
2−5
3
√
0 0
1 4
0 − 32
+ π.
=
+ 2.
−5 0
1 0
0 13
Soit l’application polynomiale Φ : (x1 , ..., xm ) ∈
→ det(∑ Pi .xi ). P étant inversible, Φ(e1 , ..., em ) =
det(P) = 0 ; Φ est donc non nulle. Ainsi, le polynôme
qui lui est associé est non nul ; par conséquent, puisque
K est infini, l’application polynomiale qui s’en déduit
par restriction à K est non identiquement nulle. D’où
Lm
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l’existence de ( f1 , ..., fm ) ∈ K m tels que Φ( f1 , ... fm ) =
0, c’est à dire : Q = ∑ Pi . fi ∈ G L n (K).
Ainsi, dans notre exemple, nous aurons :
4x1 − 32 x2
x1
φR,Q (x1 , x2 , x3 ) = det
x3
x2 − 5x1
3
3 2 x1 x3 23
2
= −20x1 − x2 +
− x1 x2 .
2
3
2
Nous remarquons que φR,Q (1, 0, 0) = −20 = 0, ce qui
fait que nous pouvons prendre comme matrice Q :
1 4
.
QR,Q =
−5 0
De l’égalité AP = PB, soit ∑(APi ).ei = ∑(Pi B).ei ,
on déduit, par K-liberté de la famille (e1 , ...em )
d’éléments de L : ∀i ∈ {1, ..., m}, APi = Pi B. Ainsi,
∑(APi ). fi = ∑(Pi B). fi , soit AQ = QB. Q étant inversible, on obtient finalement : A = QBQ−1 ; or Q est à
coefficients dans K, donc A et B sont semblables dans
Mn (K).
Le procédé générateur nous a donc permis de généraliser le premier théorème à des corps commutatifs
infinis quelconques, grâce à une démonstration simple
s’appuyant sur le modèle du cas particulier des corps
R et C.
Il est connu que, pour K = C, ces deux définitions sont équivalentes. Mais qu’en est-il pour un souscorps K quelconque ?
Avant même de s’interroger sur l’équivalence de ces
définitions dans le cas général, que dire de la dépendance de χM et πM vis à vis du corps de base ? En
effet, χM étant calculé à partir des coefficients de M, il
reste identique que l’on regarde M comme une matrice
à coefficients dans K ou comme une matrice à coefficients dans C. En revanche, πM , calculé dans K, est
défini par : πM .K[Y ] = {R ∈ K[Y ] | R(M) = 0} avec
πM unitaire ; et μM , calculé dans C, est défini par :
μM .C[Y ] = {R ∈ C[Y ] | R(M) = 0} avec μM unitaire.
Le procédé générateur va nous permettre de montrer
le lemme suivant :
Lemme 1. ∀M ∈ Mn (K), πM = μM .
Mais comment définit-on les matrices cycliques ?
Commençons donc par étudier les deux caractérisations suivantes :
Soit μM = ∑ ai .Y i de degré d, avec (ai ) ∈ C(N) .
Les coefficients de μM étant en nombre fini, il existe
une base (e1 , ..., em ) (m ∈ N∗ ) du K espace vectoriel VectK {ai | i ∈ N}. En écrivant les complexes (ai )
dans cette base, on en déduit l’existence de polynômes
(R1 , ..., Rm ) ∈ Kd [Y ]m tels que : μM = ∑ R j .e j . Or μM =
0, donc il existe un indice j0 tel que R j0 soit non
nul. De plus, on a μM (M) = 0, soit : ∑ R j (M).e j = 0 ;
comme la famille (e j ) j∈{1,...,m} est K-libre et que, pour
tout j, R j (M) est à coefficients dans K, on en déduit
que pour tout j, R j (M) = 0. Notamment, R j0 (M) = 0 :
on a ainsi un polynôme non nul annulateur de M, à coefficients dans K, de degré au plus d = deg(μM ). Donc
deg(πM ) ≤ deg(μM ).
D’autre part, πM ∈ K[Y ] ⊂ C[Y ] et πM (M) = 0 ;
donc μM |πM . Par un argument de degré, et puisque μM
et πM sont unitaires par définition, on a finalement :
μM = πM . D’où le lemme.
Ce lemme étant établi, on donne un sens au fait de
généraliser la caractérisation des matrices cycliques
dans tous sous-corps K de C. Dans le cas particulier
de C qui est algébriquement clos, nous pourrons montrer l’équivalence des définitions 1 et 2. Puis, grâce au
procédé générateur, nous étendrons cette équivalence.
Définition 1. CK = {M ∈ Mn (K) | ∃ X ∈ Mn,1 (K) :
(X , MX , ..., M n−1 X ) libre}
Théorème 3. {M ∈ Mn (C) | ∃ X ∈ Mn,1 (C) :
(X , MX , ..., M n−1 X ) libre} = {M ∈ Mn (C) | χM = πM }
Définition 2. CK = {M ∈ Mn (K) | χM = πM }, où χM
L’inclusion directe est immédiate : en effet, soit
M ∈ Mn (C) telle qu’il existe X ∈ Mn,1 (C) vérifiant :
(X , MX , ..., M n−1 X ) est libre. Soit R un polynôme annulateur non nul de M ; alors R(M) = 0, a fortiori
R(M)X = 0. Ainsi, si R = ∑ ai .Y i est de degré p, alors
(X , MX , ..., M p X ) est liée ; R est donc de degré au
moins n. Par conséquent, πM est de degré au moins
n. De plus, d’après le théorème de Cayley-Hamiltion,
χM , polynôme de degré n, annule M ; or πM divise χM ,
donc πM est de degré au plus n. Finalement, πM est de
II Matrices cycliques
Le procédé générateur s’avère aussi très utile afin
d’étendre les propriétés de l’ensemble des matrices cycliques aux sous-corps de C.
On notera par la suite :
K : un sous-corps quelconque de C
CK : l’ensemble des matrices de taille n (n ∈ N∗
fixé), à coefficients dans K, dites cycliques.
est le polynôme caractéristique
nôme minimal.
⎛
0 1 0
⎜ .. . . . .
⎜.
.
.
⎜
⎜ ..
.
..
N = ⎜.
⎜
⎜ ..
⎝.
0 ... ...
2
i
de M, et πM son poly...
..
.
..
.
..
.
...
⎞
0
.. ⎟
.⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟
⎟
1⎠
0
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degré n, tout comme χM qu’il divise ; πM et χM étant
unitaires, ils sont donc égaux. D’où l’inclusion directe.
Pour l’inclusion réciproque, on utilise que C est algébriquement clos. Soit M ∈ Mn (C) tel que πM = χM .
On note donc (λ1 , ..., λq ) (q ∈ N∗ ) les racines deux à
deux distinctes de πM , et (n1 , ..., nq ) leurs multiplicités ; puisque πM = χM = Π(Y − λi )ni , on a : ∑ ni = n.
D’après le lemme des noyaux : Cn = Ker(πM (M)) =
⊕ Ker(M − λi .In )ni ((1)). Pour chaque i ∈ {1, ..., q},
Ker(M − λi .In )ni = Ker(M − λi .In )ni −1 (sinon, on aurait un polynôme annulateur de M de degré strictement
inférieur au degré de πM , ce qui est absurde) ; ainsi,
∀i ∈ {1, ..., q}, ∃ Xi ∈ Ker(M − λi .In )ni Ker(M −
λi .In )ni −1 . Soit alors X = ∑ Xi et montrons que la
famille (X , MX , ..., M n−1X ) est libre. Soit un polynôme R tel que R(M)X = 0. Par linéarité de R(M),
on a donc : ∑ R(M)Xi = 0 ((2)). Or, ∀i ∈ {1, ..., q},
R(M)Xi ∈ Ker(M − λi )ni . Ainsi, d’après les relations
(1) et (2), on obtient : ∀i ∈ {1, ..., q}, R(M)Xi = 0.
Par construction, pour tout i, (Y − λi )ni est le polynôme minimal ponctuel de Xi : (Y − λi )ni .C[Y ] = {P ∈
C[Y ] | P(M)Xi = 0}. Or, pour tout i, R(M) annule Xi ;
d’où, pour tout i, (Y − λi )ni divise R. Les λi étant
deux à deux distincts, les polynômes (Y − λi )ni sont
deux à deux premiers entre eux, donc : Π(Y − λi )ni | R.
Ainsi, R est de degré au moins ∑ ni = n. Par conséquent, on a trouvé X ∈ Mn,1 (C) tel que la famille
(X , MX , ..., M n−1 X ) soit libre. D’où l’inclusion réciproque, et le théorème.
Nous pouvons désormais nous intéresser au cas général grâce au procédé générateur.
Théorème 4. {M ∈ Mn (K) | ∃ X ∈ Mn,1 (K) :
(X , MX , ..., M n−1 X ) libre} = {M ∈ Mn (K) | χM =
πM }, K étant un sous-corps quelconque de C.
Pour la première inclusion, on utilise l’inclusion directe du cas complexe :
{M ∈ Mn (K) | ∃ X ∈ Mn,1 (K) :
(X , MX , ..., M n−1 X ) libre}
⊆ {M ∈ Mn (C) | ∃ X ∈ Mn,1 (C) :
(X , MX , ..., M n−1 X ) libre} ∩ Mn (K)
⊆ {M ∈ Mn (C) | χM = πM } ∩ Mn (K)
⊆ {M ∈ Mn (K) | χM = πM }.
Pour l’inclusion réciproque, on se donne
M ∈ Mn (K) tel que πM = χM . Ainsi, M ∈
{N ∈ Mn (C) | χN = πN } ; d’après le cas complexe, il existe donc X ∈ Mn,1 (C) tel que la
famille (X , MX , ..., M n−1X ) soit libre, c’est à dire :
det(X , MX , ..., M n−1X ) = 0. D’après le procédé générateur appliqué à X , il existe m ∈ N∗ , (e1 , ..., em ) ∈ Cm
base de VectK {xi | i ∈ {1, ..., n}} (où x1 , ..., xn sont
les coordonnées de X ), et (X1 , ..., Xm ) ∈ (K n )m tels
que : X = ∑ Xi .ei . Posons alors Φ : ( f1 , ..., fm ) ∈
Cm → det((∑ Xi . fi ), M(∑ Xi . fi ), ..., M n−1 (∑ Xi . fi )). Φ
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est polynomiale et non nulle en (e1 , ..., em ). K étant
infini (tout sous-corps de C contient Q, puisqu’il
contient 1C et que c’est un corps), Φ restreinte à K est
non identiquement nulle. Ainsi : ∃ ( f1 , ..., fm ) ∈ K m :
det((∑ Xi . fi ), M(∑ Xi . fi ), ..., M n−1 (∑ Xi . fi )) = 0.
Finalement, avec Z = ∑ Xi . fi ∈ K m , on a :
(Z, MZ, ..., M n−1 Z) libre. On a donc la seconde
inclusion, et le théorème général.
L’équivalence des définitions 1 et 2 étant démontrée
dans tout sous-corps de C, que dire de deux propriétés
bien connues de l’ensemble des matrices dans le cas
complexe, étendues à un corps quelconque ? On s’intéresse donc, pour clôturer cette étude des matrices cycliques dans les sous-corps du corps des complexes,
aux deux propriétés suivantes :
Propriété 1. CK est ouvert dans Mn (K).
Propriété 2. CK est dense dans Mn (K).
La première se démontre indifféremment dans C
et ses sous-corps à partir de la première défintion
des matrices cycliques. Soit M ∈ CK . Il existe X ∈
Mn,1 (K) tel que (X , MX , ..., M n−1 X ) soit libre, donc :
det(X , MX , ..., M n−1X ) = 0. Soit Φ : A ∈ Mn (K) →
det(X , AX , ..., An−1 X ). Φ est polynomiale, donc continue ; et M ∈ Φ−1 (K ∗ ). Si K ∗ est ouvert, alors on peut
conclure qu’il existe un voisinage ouvert de M dans
CK . De manière générale, il suffit de remarquer que
CK = CC ∩ Mn (K) ; or, CC est ouvert car C∗ est ouvert, d’où CK est un ouvert relativement à Mn (K).
Pour la deuxième propriété, on la montre aisément
dans le cas particulier du corps des complexes.
Soit A ∈ Mn (C) ; on montre classiquement que A
est limite d’une suite de matrices à valeurs propres
deux à deux distinctes (matrices cycliques, puisque
le degré du polynôme minimal de M ∈ Mn (C) est
au moins le nombre de valeurs propres distinctes
de M). C étant algébriquement clos, A est trigonalisable : ∃ P ∈ G L n (C), T ∈ Mn (C) : A = PT P−1 ,
avec T triangulaire supérieure. Notons λ1 , ..., λn les coefficients diagonaux de T . Pour i ∈ {1, ...n}, p ∈ N∗ ,
posons μi (p) = λi + pi ; ∀i, j, μi (p) = μ j (p) ⇒ λi =
j n
λ j et p = λii−
≤
−λ j
min{|λk −λl | | λk =λl } . Ainsi, pour
p > min{|λk −λnl | | λk =λl } , en notant Tp la matrice triangulaire supérieure égale à T , avec les coefficients
(μi (p)) sur la diagonale, Tp est à valeurs propres deux
à deux distinctes. Finalement, A est la limite de la
suite (A p ), où, pour tout p, A p = PTp P−1 est cyclique.
Ceci étant prouvé pour tout A, CC est donc dense dans
Mn (C).
Dans le cas général, raisonnons par l’absurde en
supposant qu’il existe A ∈ Mn (K) et r > 0 tels que
/ où B(A, r) = {M ∈ Mn (C) | M −
B(A, r) ∩ CK = 0,
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A < r}, . étant la norme infinie sur Mn (C).
D’après le cas complexe, pour A ∈ Mn (K) ⊆ Mn (C),
il existe M ∈ CC ∩ B(A, r). Notons X ∈ Mn,1 (C) tel
que (X , MX , ..., M n−1 X ) soit libre. Soit Φ : (ai, j ) ∈
2
Cn → det(X , (ai, j )X , ..., (ai, j )n−1 X ) ; Φ est polynomiale et non nulle en les coefficients de M. Mais l’hypothèse : B(A, r) ∩ CK = 0/ impose que Φ soit nulle :
en effet, en notant A = (αi, j ), Φ est alors nulle sur
le produit cartésien (B(α1,1 , r)C ∩ Kx ... xB(αi, j , r)C ∩
2
Kx ... xB(αn,n , r)C ∩ K) ∈ Cn ; chaque facteur du produit cartésien étant de cardinal infini 1 , on montre 2 par
récurrence sur le nombre de variables de Φ que Φ est
nulle. D’où la contradiction souhaitée. Ainsi, pour tout
sous-corps K de C, CK est dense dans Mn (K).
III Conclusion
Nous avons ainsi pu mettre en évidence, à travers de
nouvelles démonstrations de résultats connus, le caractère rigoureux et synthétique qu’apporte l’utilisation
du procédé générateur.
IV Annexe
Considérons la propriété de récurrence définie pour
tout p ∈ N∗ par : H (n) = « Si Φ est une application
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polynomiale de p variables, nulle sur E = E1 x...xE p ,
où E1 , ..., E p sont p ensembles de cardinal infini, alors
Φ est identiquement nulle. » Pour p = 1, si Φ est
une application polynomiale non nulle d’une seule
variable, alors, en notant d ∈ N∗ son degré, elle a
au plus d zéros ; en contraposant, on a donc montré
H (1). Soit p ∈ N∗ tel que H (p) soit vraie. Soit
Φ une application polynomiale de p + 1 variables,
nulle sur E = E1 x...xE p+1 , où E1 , ..., E p+1 sont p + 1
ensembles de cardinal infini. Pour tout y p+1 ∈ E p+1 ,
on définit Ψy p+1 , fonction polynomiale de p variables,
par : Ψy p+1 (Y1 , ...,Yp ) = Φ(Y1 , ...,Yp , y p+1 ) ; pour tout
y p+1 , Ψy p+1 vérifie H (p) sur E = E1 x...xE p , donc
Ψy p+1 est identiquement nulle. De plus, il existe des
polynômes d’une seule variable (Pn1 ...n p )(n1 ...n p )∈(N p )
tels que, pour tout y p+1 , on ait Ψ p+1 sous la forme :
Ψ p+1 = ∑ Pn1 ...n p (y p+1 ).Y n1 ...Y n p ; chaque fonction
Ψy p+1 étant nulle, on en déduit que toutes les fonctions polynomiales associées aux polyômes Pn1 ...n p
s’annulent sur E p+1 : elles vérifient donc H (1).
Ainsi, ∀n1 , ..., n p , Pn1 ...n p = 0, d’où Φ(Y1 , ...,Yp+1 ) =
∑ Pn1 ...n p (Yp+1 ).Y n1 ...Y n p = 0 : Φ est nulle. On a donc
montré H (p + 1) ; et H sur N∗ .
Références
[1] Exercices de Mathématiques, Oraux X-Ens Algèbre 2, Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge
Nicolas, 2.71. Similitude et extension de corps,
Cassini.
1. A ∈ Mn (K), donc ∀i, j, αi, j ∈ K. Or Q ⊂ K, d’où : E =
{αi, j + q | q ∈ Q ∩ [−r; r]} ⊂ B(A, r)C et E est de cardinal infini.
2. La démonstration est donnée en annexe.
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