Le procédé générateur - Institut de Mathématiques de Toulouse

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Quadrature no93 (2014) 1-4
© Quadrature, 2014
Le procédé générateur
par Julie ARNAL-BREZUN
Résumé.
On introduit ici la notion de procédé générateur, à travers deux applications : matrices
semblables dans un sur-corps et étude des matrices cycliques dans les sous-corps de C.
Si K est un corps commutatif et L un sur-corps commutatif de K, on regarde L comme un K
espace vectoriel. Si cet espace vectoriel est de dimension finie, alors on en a une base. Si cet
espace vectoriel est de dimension infinie, on applique le procédé générateur : à un nombre
fini de vecteurs de L, on associe une base du K espace vectoriel qu’ils engendrent. Parmi les
corps usuels, Cest un Respace vectoriel de dimension deux, puisque C=vectR{1,i}.Par
contre Rn’est pas un Qespace de dimension finie. On applique alors le procédé générateur
à chaque famille de réels pour en obtenir une Qbase ; on aura par exemple :
vectQ{1,4−3
2√2,√2−5,
π
3}=vectQ{1,√2,
π }.
I Matrices semblables
Le procédé générateur se comprend aisément à par-
tir d’une démonstration classique d’un résultat connu,
dans le cas particulier où K=Ret L=C:
Théorème 1. Si (A,B)∈Mn(R)2sont semblables
dans Mn(C), alors A et B sont semblables dans
Mn(R).
En effet, si Aet Bsont semblables dans Mn(R),
alors il existe P∈GLn(C)vérifiant : A=PBP−1;
soit, AP =PB. On décompose alors Pdans la Rbase
(1,i)de C:P=Q+i.R,avec(Q,R)∈Mn(R)2.Par
exemple, nous écrirons :
P
C,R=i
51+i
−i3+√2=01
03+√2+i.1
51
−10
La démonstration sera achevée par la suite. Mais re-
marquons que c’est ici que l’on ne peut pas directe-
ment généraliser cette démonstration à des corps K et
L quelconques : avec K=Qet L=R, par exemple, il
n’existe pas de Qbase de Rqui permettrait la décom-
position de toutes matrices à coefficients réels comme
combinaisons linéaires de nombres réels et matrices à
coefficients rationnels. On affine donc cette démons-
tration pour montrer un théorème plus général.
Dans toute la suite, K est un corps commutatif infini
et L un sur-corps commutatif de K.
Théorème 2. Si (A,B)∈Mn(K)2sont semblables
dans Mn(L), alors A et B sont semblables dans
Mn(K).
La démonstration commence comme la précédente ;
on a AP =PB avec (A,B)∈Mn(K)2et P∈GLn(L).
On applique alors le procédé générateur à P: puisque
Pne possède qu’un nombre fini de coefficients, notés
{pi,j|1≤i,j≤n}, il existe une base (e1, ..., em)(m∈
N∗)de VectK{pi,j|1≤i,j≤n}. Par construction,
on a : ∀i∈{1, ..., m},ei∈L;deplus,∃(P
1, ...P m)∈
Mn(K)m:P=∑P
i.ei. Ainsi, nous écrirons :
P
R,Q=14−3
2√2
√2−5
π
3
=14
−50
+√2.0−3
2
10
+
π .00
01
3
Soit l’application polynomiale Φ:(x1, ..., xm)∈
Lm→ det(∑P
i.xi).Pétant inversible, Φ(e1, ..., em)=
det(P)=0;Φest donc non nulle. Ainsi, le polynôme
qui lui est associé est non nul ; par conséquent, puisque
K est infini, l’application polynomiale qui s’en déduit
par restriction à K est non identiquement nulle. D’où
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l’existence de (f1, ..., fm)∈Kmtels que Φ(f1, ... fm)=
0, c’est à dire : Q=∑P
i.fi∈GLn(K).
Ainsi, dans notre exemple, nous aurons :
φ
R,Q(x1,x2,x3)=det x14x1−3
2x2
x2−5x1x3
3
=−20x2
1−3
2x2
2+x1x3
3−23 2x1x2.
Nous remarquons que
φ
R,Q(1,0,0)=−20 =0, ce qui
fait que nous pouvons prendre comme matrice Q:
QR,Q=14
−50
.
De l’égalité AP =PB,soit∑(AP
i).ei=∑(P iB).ei,
on déduit, par K-liberté de la famille (e1, ...em)
d’éléments de L : ∀i∈{1, ..., m},AP
i=P iB.Ainsi,
∑(AP
i).fi=∑(P iB).fi,soitAQ =QB. Q étant inver-
sible, on obtient finalement : A=QBQ−1;orQest à
coefficients dans K, donc Aet Bsont semblables dans
Mn(K).
Le procédé générateur nous a donc permis de géné-
raliser le premier théorème à des corps commutatifs
infinis quelconques, grâce à une démonstration simple
s’appuyant sur le modèle du cas particulier des corps
Ret C.
II Matrices cycliques
Le procédé générateur s’avère aussi très utile afin
d’étendre les propriétés de l’ensemble des matrices cy-
cliques aux sous-corps de C.
On notera par la suite :
K : un sous-corps quelconque de C
CK: l’ensemble des matrices de taille n(n∈N∗
fixé), à coefficients dans K, dites cycliques.
Mais comment définit-on les matrices cycliques ?
Commençons donc par étudier les deux caractérisa-
tions suivantes :
Définition 1. CK={M∈Mn(K)|∃X∈Mn,1(K):
(X,MX, ..., Mn−1X)libre}
Définition 2. CK={M∈Mn(K)| χ
M=
π
M},où
χ
M
est le polynôme caractéristique de M, et π
Mson poly-
nôme minimal.
N=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
01 0... 0
.
.
...........
.
.
.
.
.......0
.
.
....1
0... ... ... 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Il est connu que, pour K=C, ces deux défini-
tions sont équivalentes. Mais qu’en est-il pour un sous-
corps K quelconque ?
Avant même de s’interroger sur l’équivalence de ces
définitions dans le cas général, que dire de la dépen-
dance de
χ
Met
π
Mvisàvisducorpsdebase?En
effet,
χ
Métant calculé à partir des coefficients de M,il
reste identique que l’on regarde Mcomme une matrice
à coefficients dans K ou comme une matrice à coeffi-
cients dans C. En revanche,
π
M, calculé dans K, est
défini par :
π
M.K[Y]={R∈K[Y]|R(M)=0}avec
π
Munitaire ; et
μ
M, calculé dans C, est défini par :
μ
M.C[Y]={R∈C[Y]|R(M)=0}avec
μ
Munitaire.
Le procédé générateur va nous permettre de montrer
le lemme suivant :
Lemme 1. ∀M∈Mn(K), π
M=
μ
M.
Soit
μ
M=∑ai.Yide degré d,avec(ai)∈C(N).
Les coefficients de
μ
Métant en nombre fini, il existe
une base (e1, ..., em)(m∈N∗)du K espace vecto-
riel VectK{ai|i∈N}. En écrivant les complexes (ai)
dans cette base, on en déduit l’existence de polynômes
(R1, ..., Rm)∈Kd[Y]mtels que :
μ
M=∑Rj.ej.Or
μ
M=
0, donc il existe un indice j0tel que Rj0soit non
nul. De plus, on a
μ
M(M)=0, soit : ∑Rj(M).ej=0;
comme la famille (ej)j∈{1,...,m}est K-libre et que, pour
tout j,Rj(M)est à coefficients dans K, on en déduit
que pour tout j,Rj(M)=0. Notamment, Rj0(M)=0:
on a ainsi un polynôme non nul annulateur de M,àco-
efficients dans K, de degré au plus d=deg(
μ
M). Donc
deg(
π
M)≤deg(
μ
M).
D’autre part,
π
M∈K[Y]⊂C[Y]et
π
M(M)=0;
donc
μ
M|
π
M. Par un argument de degré, et puisque
μ
M
et π
Msont unitaires par définition, on a finalement :
μ
M=
π
M. D’où le lemme.
Ce lemme étant établi, on donne un sens au fait de
généraliser la caractérisation des matrices cycliques
dans tous sous-corps K de C. Dans le cas particulier
de Cqui est algébriquement clos, nous pourrons mon-
trer l’équivalence des définitions 1 et 2. Puis, grâce au
procédé générateur, nous étendrons cette équivalence.
Théorème 3. {M∈Mn(C)|∃X∈Mn,1(C):
(X,MX, ..., Mn−1X)libre}={M∈Mn(C)|
χ
M=
π
M}
L’inclusion directe est immédiate : en effet, soit
M∈Mn(C)telle qu’il existe X∈Mn,1(C)vérifiant :
(X,MX, ..., Mn−1X)est libre. Soit Run polynôme an-
nulateur non nul de M; alors R(M)=0, a fortiori
R(M)X=0. Ainsi, si R=∑ai.Yiest de degré p, alors
(X,MX, ..., MpX)est liée ; Rest donc de degré au
moins n. Par conséquent,
π
Mest de degré au moins
n. De plus, d’après le théorème de Cayley-Hamiltion,
χ
M, polynôme de degré n, annule M;or
π
Mdivise
χ
M,
donc
π
Mest de degré au plus n. Finalement,
π
Mest de
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degré n, tout comme χ
Mqu’il divise ;
π
Met
χ
Métant
unitaires, ils sont donc égaux. D’où l’inclusion directe.
Pour l’inclusion réciproque, on utilise que Cest al-
gébriquement clos. Soit M∈Mn(C)tel que
π
M=
χ
M.
On note donc (
λ
1, ...,
λ
q)(q∈N∗) les racines deux à
deux distinctes de
π
M,et(n1, ..., nq)leurs multiplici-
tés ; puisque
π
M=
χ
M=Π(Y−
λ
i)ni,ona:∑ni=n.
D’après le lemme des noyaux : Cn=Ker(
π
M(M)) =
⊕Ker(M−
λ
i.In)ni((1)). Pour chaque i∈{1, ..., q},
Ker(M−
λ
i.In)ni=Ker(M−
λ
i.In)ni−1(sinon, on au-
rait un polynôme annulateur de Mde degré strictement
inférieur au degré de
π
M, ce qui est absurde) ; ainsi,
∀i∈{1, ..., q},∃Xi∈Ker(M−
λ
i.In)niKer(M−
λ
i.In)ni−1. Soit alors X=∑Xiet montrons que la
famille (X,MX, ..., Mn−1X)est libre. Soit un poly-
nôme Rtel que R(M)X=0. Par linéarité de R(M),
on a donc : ∑R(M)Xi=0((2)).Or,∀i∈{1, ..., q},
R(M)Xi∈Ker(M−
λ
i)ni. Ainsi, d’après les relations
(1)et (2), on obtient : ∀i∈{1, ..., q},R(M)Xi=0.
Par construction, pour tout i,(Y−
λ
i)niest le poly-
nôme minimal ponctuel de Xi:(Y−
λ
i)ni.C[Y]={P∈
C[Y]|P(M)Xi=0}. Or, pour tout i,R(M)annule Xi;
d’où, pour tout i, (Y−
λ
i)nidivise R.Les
λ
iétant
deux à deux distincts, les polynômes (Y−
λ
i)nisont
deux à deux premiers entre eux, donc : Π(Y−
λ
i)ni|R.
Ainsi, Rest de degré au moins ∑ni=n. Par consé-
quent, on a trouvé X∈Mn,1(C)tel que la famille
(X,MX, ..., Mn−1X)soit libre. D’où l’inclusion réci-
proque, et le théorème.
Nous pouvons désormais nous intéresser au cas gé-
néral grâce au procédé générateur.
Théorème 4. {M∈Mn(K)|∃X∈Mn,1(K):
(X,MX, ..., Mn−1X)libre}={M∈Mn(K)|
χ
M=
π
M}, K étant un sous-corps quelconque de C.
Pour la première inclusion, on utilise l’inclusion di-
recte du cas complexe :
{M∈Mn(K)|∃X∈Mn,1(K):
(X,MX, ..., Mn−1X)libre}
⊆{M∈Mn(C)|∃X∈Mn,1(C):
(X,MX, ..., Mn−1X)libre}∩Mn(K)
⊆{M∈Mn(C)|
χ
M=
π
M}∩Mn(K)
⊆{M∈Mn(K)|
χ
M=
π
M}.
Pour l’inclusion réciproque, on se donne
M∈Mn(K)tel que
π
M=
χ
M.Ainsi,M∈
{N∈Mn(C)|
χ
N=
π
N}; d’après le cas com-
plexe, il existe donc X∈Mn,1(C)tel que la
famille (X,MX, ..., Mn−1X)soit libre, c’est à dire :
det(X,MX, ..., Mn−1X)=0. D’après le procédé géné-
rateur appliqué à X,ilexistem∈N∗,(e1, ..., em)∈Cm
base de VectK{xi|i∈{1, ..., n}} (où x1, ..., xnsont
les coordonnées de X), et (X1, ..., Xm)∈(Kn)mtels
que : X=∑Xi.ei. Posons alors Φ:(f1, ..., fm)∈
Cm→ det((∑Xi.fi),M(∑Xi.fi), ..., Mn−1(∑Xi.fi)).Φ
est polynomiale et non nulle en (e1, ..., em). K étant
infini (tout sous-corps de Ccontient Q, puisqu’il
contient 1Cet que c’est un corps), Φrestreinte à K est
non identiquement nulle. Ainsi : ∃(f1, ..., fm)∈Km:
det((∑Xi.fi),M(∑Xi.fi), ..., Mn−1(∑Xi.fi)) =0.
Finalement, avec Z=∑Xi.fi∈Km,ona:
(Z,MZ, ..., Mn−1Z)libre. On a donc la seconde
inclusion, et le théorème général.
L’équivalence des définitions 1 et 2 étant démontrée
dans tout sous-corps de C, que dire de deux propriétés
bien connues de l’ensemble des matrices dans le cas
complexe, étendues à un corps quelconque ? On s’in-
téresse donc, pour clôturer cette étude des matrices cy-
cliques dans les sous-corps du corps des complexes,
aux deux propriétés suivantes :
Propriété 1. CKest ouvert dans Mn(K).
Propriété 2. CKest dense dans Mn(K).
La première se démontre indifféremment dans C
et ses sous-corps à partir de la première défintion
des matrices cycliques. Soit M∈CK.IlexisteX∈
Mn,1(K)tel que (X,MX, ..., Mn−1X)soit libre, donc :
det(X,MX, ..., Mn−1X)=0. Soit Φ:A∈Mn(K)→
det(X,AX, ..., An−1X).Φest polynomiale, donc conti-
nue ; et M∈Φ−1(K∗).SiK∗est ouvert, alors on peut
conclure qu’il existe un voisinage ouvert de M dans
CK. De manière générale, il suffit de remarquer que
CK=CC∩Mn(K);or,CCest ouvert car C∗est ou-
vert, d’où CKest un ouvert relativement à Mn(K).
Pour la deuxième propriété, on la montre aisément
dans le cas particulier du corps des complexes.
Soit A∈Mn(C); on montre classiquement que A
est limite d’une suite de matrices à valeurs propres
deux à deux distinctes (matrices cycliques, puisque
le degré du polynôme minimal de M∈Mn(C)est
au moins le nombre de valeurs propres distinctes
de M). Cétant algébriquement clos, Aest trigona-
lisable : ∃P∈GLn(C),T∈Mn(C):A=PT P−1,
avec Ttriangulaire supérieure. Notons
λ
1, ...,
λ
nles co-
efficients diagonaux de T. Pour i∈{1, ...n},p∈N∗,
posons
μ
i(p)=
λ
i+i
p;∀i,j,
μ
i(p)=
μ
j(p)⇒
λ
i=
λ
jet p=
i−j
λ
i−
λ j
≤
n
min{| λ
k−
λ
l||
λ
k=
λ
l}
. Ainsi, pour
p>
n
min{| λ
k−
λ
l||
λ
k=
λ
l}
, en notant Tpla matrice tri-
angulaire supérieure égale à T, avec les coefficients
(
μ
i(p)) sur la diagonale, Tpest à valeurs propres deux
à deux distinctes. Finalement, Aest la limite de la
suite (Ap), où, pour tout p,Ap=PTpP−1est cyclique.
Ceci étant prouvé pour tout A,CCest donc dense dans
Mn(C).
Dans le cas général, raisonnons par l’absurde en
supposant qu’il existe A∈Mn(K)et r>0 tels que
B(A,r)∩CK=/0, où B(A,r)={M∈Mn(C)|M−
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A<r},.étant la norme infinie sur Mn(C).
D’après le cas complexe, pour A∈Mn(K)⊆Mn(C),
il existe M∈CC∩B(A,r). Notons X∈Mn,1(C)tel
que (X,MX, ..., Mn−1X)soit libre. Soit Φ:(ai,j)∈
Cn2→ det(X,(ai,j)X, ..., (ai,j)n−1X);Φest polyno-
miale et non nulle en les coefficients de M. Mais l’hy-
pothèse : B(A,r)∩CK=/0 impose que Φsoit nulle :
en effet, en notant A=(
α
i,j),Φest alors nulle sur
le produit cartésien (B(
α
1,1,r)C∩Kx... xB(
α
i,j,r)C∩
Kx... xB(
α
n,n,r)C∩K)∈Cn2; chaque facteur du pro-
duit cartésien étant de cardinal infini 1, on montre 2par
récurrence sur le nombre de variables de Φque Φest
nulle. D’où la contradiction souhaitée. Ainsi, pour tout
sous-corps K de C,CKest dense dans Mn(K).
III Conclusion
Nous avons ainsi pu mettre en évidence, à travers de
nouvelles démonstrations de résultats connus, le carac-
tère rigoureux et synthétique qu’apporte l’utilisation
du procédé générateur.
IV Annexe
Considérons la propriété de récurrence définie pour
tout p∈N∗par : H(n)=«SiΦest une application
1. A∈Mn(K), donc ∀i,j, α
i,j∈K.OrQ⊂K,d’où:E=
{
α
i,j+q|q∈Q∩[−r;r]}⊂B(A,r)Cet Eest de cardinal infini.
2. La démonstration est donnée en annexe.
polynomiale de pvariables, nulle sur E=E1x...xEp,
où E1, ..., Epsont pensembles de cardinal infini, alors
Φest identiquement nulle. » Pour p=1,siΦest
une application polynomiale non nulle d’une seule
variable, alors, en notant d∈N∗son degré, elle a
au plus dzéros ; en contraposant, on a donc montré
H(1).Soitp∈N∗tel que H(p)soit vraie. Soit
Φune application polynomiale de p+1 variables,
nulle sur E=E1x...xEp+1,oùE1, ..., Ep+1sont p+1
ensembles de cardinal infini. Pour tout yp+1∈Ep+1,
on définit Ψyp+1, fonction polynomiale de p variables,
par : Ψyp+1(Y1, ...,Yp)=Φ(Y1, ...,Yp,yp+1); pour tout
yp+1,Ψyp+1vérifie H(p)sur E=E1x...xEp, donc
Ψyp+1est identiquement nulle. De plus, il existe des
polynômes d’une seule variable (P
n1...np)(n1...np)∈(Np)
tels que, pour tout yp+1,onaitΨp+1sous la forme :
Ψp+1=∑P
n1...np(yp+1).Yn1...Ynp; chaque fonction
Ψyp+1étant nulle, on en déduit que toutes les fonc-
tions polynomiales associées aux polyômes P
n1...np
s’annulent sur Ep+1: elles vérifient donc H(1).
Ainsi, ∀n1, ..., np,P
n1...np=0, d’où Φ(Y1, ...,Yp+1)=
∑P
n1...np(Yp+1).Yn1...Ynp=0:Φest nulle. On a donc
montré H(p+1);etHsur N∗.
Références
[1] Exercices de Mathématiques, Oraux X-Ens Al-
gèbre 2, Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge
Nicolas, 2.71. Similitude et extension de corps,
Cassini.
4Quadrature no93