Figure 1. James Clerk Maxwell (1831–1879

Figure 1. James Clerk Maxwell (1831–1879)
ELECTROMAGNETISME
EQUATIONS DE MAXWELL
D’APR` ES LES TOMES I & II DE LANDAU ET LIFCHITZ
ANDR´ E M. GLAIZE
11/2005 (ANN´ EE DE LA PHYSIQUE)
EM 10 REV D 12/10
Equation de Maxwell – Synth` ese de l’´ electromagn´ etisme et de la th´ eorie
de la lumi` ere. Pr´ esentation d’un point de vue historique & chronologique
Cette pr´esentation se compose de deux parties : la premi`ere qui introduit les ´equations
de Maxwell selon la chronologie classique est inspir´ee principalement par les “Lectures on
Physics”de Richard P.Feynman (1964) et des excellents livres de M. Bertin, J.P. Faroux
et J. Renault (Dunot) ainsi que celui de A. Moussa et P. Ponsonnet (A. Desvigne). La
deuxi`eme partie est la reprise int´egrale en unit´es SI des cours de physiques th´eoriques de Lev
Davidovitch Landau et Evgu´eni Lifchitz Edition de Moscou (1989) : les trois chiffres entre
parenth`eses (I, a, b) font r´ef´erence aux formules du Tome I “M´ecanique” et les deux chiffres
(a, b) font r´ef´erence aux formules du Tome II “Th´eorie des champs”.
La premi`ere partie reprend la chronologie historique des d´ecouvertes de l’EM depuis la loi de
Coulomb, la loi de Biot et Savart, le th´eor`eme dAmp`ere et la loi de l’induction de Faraday,
aboutissant `a la premi`ere synth`ese de l’EM par Maxwell en formalisant la notion de champ,
puis par l’ajout du courant de d´eplacement pour aboutir aux ´equations compl`etes de l’EM.
Cela conduit `a la d´ecouverte des radiations EM et `a l’identification de la lumi`ere comme
un ph´enom`ene EM. Dans la deuxi`eme partie les ´equations de l’EM seront d´eduites depuis
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les principes g´en´eraux variationnels selon le formalisme 4-D relativiste. Cette approche fait
apparaˆıtre la profonde unit´e du champ EM et permet d’obtenir les ´equations tensorielles du
champ ind´ependantes d’un quelconque syst`eme de coordonn´ee (principe de covariance) ana-
logues aux ´equations d’Einstein pour la Relativit´e G´en´erale en gravitation. En particulier le
tenseur d’´energie-impulsion d´evelopp´e en d´etail dans la th´eorie EM permet de faire un pas
important en vue d’un d´eveloppement vers la th´eorie de la Relativit´e G´en´erale. . .
En r´esum´e le fil conducteur est le suivant, pour la premi`ere partie :
Exp´eriences →Lois de l’EM →Equations de Maxwell →Principe d’invariance de Lorentz.
Pour la deuxi`eme partie :
Principe d’invariance de Lorentz et principe de moindre action →Equations de Maxwell →
Lois de l’EM.
Forces Electriques
Imaginons une force comme la gravitation, qui varie selon une loi inverse du carr´e des
distances mais qui est environ 1036 plus puissante (un milliard de milliards de milliards de
milliards) et avec une autre diff´erence, il y a deux sortes de “mati`eres”, une positive et une
n´egative. Deux “mati`eres” identiques se repoussent et deux “mati`eres” oppos´ees s’attirent,
alors que la force de gravitation est toujours attractive. Qu’arriverait-il lorsque l’on les
m´elange ?
Une accumulation de charges positives et de charges n´egatives se repousserait avec une
´enorme force dans toutes les directions. Cependant un m´elange de charges n´egatives et
positives se comporterait de fa¸con compl`etement diff´erent. Le r´esultat serait que les ´enormes
forces se neutraliseraient et formeraient un ensemble rigide et entre deux objets similaires il
ne resterait aucune attraction ou r´epulsion r´esiduelle. Cette force existe, il s’agit de la force
´electrique. Avec ces ´enormes forces mises en jeux il est facile de voir comment la mati`ere
peut ˆetre aussi r´esistante.
Un point important `a noter est que sans cette ´enorme diff´erence entre la force de gravitation
et la force ´electrique, nous ne serions pas l`a pour en parler, car l’univers serait un univers
en miniature et la dur´ee de vie dune ´etoiles moyenne comme le soleil serait trop courte pour
permettre l’´evolution d’ˆetres aussi complexes que les humains (4.7 milliards d’ann´ees). Avec
un rapport de 1030 au lieu de 1036, au lieu de vivre pour 10 milliards d’ann´ees une ´etoile
moyenne vivrait environ 10000 ans ! Dans notre univers il faut en fait consid´erer une plan`ete
de la taille de Jupiter (318 fois la masse de la terre) pour que la gravitation –faible mais
toujours additive– commence `a supplanter les forces ´electriques et comprimer la mati`ere et
donc `a rapprocher de fa¸con plutˆot inconfortable les ´electrons et les protons mais pas assez
pour amorcer une r´eaction de fusion. Ceci explique la taille des ´etoiles : le rayon du soleil
est d’environ 2 secondes lumi`ere, (presque le double du rayon du syst`eme terre-lune pour
donner l’´echelle !), sa masse est 3,3 105fois la masse de la terre, soit 2 1030 kg.
Forces magn´ etiques
Le fait que la force ´electrique, comme la gravitation d´ecroisse selon l’inverse du carr´e
des distances entre les charges est ce qu’on appelle loi de Coulomb. Mais ce n’ai plus vrai
quand les charges sont en mouvement. Les forces ´electriques entre charges en mouvement
d´ependent du mouvement de ces charges. Une partie de ces forces est appel´ee la force
magn´etique. C’est en fait un aspect des effets ´electriques, c’est pourquoi le sujet est appel´e
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“´electro-magn´etisme”. En fait la force ~ Fsur une charge ese d´epla¸cant avec une vitesse ~v
est donn´ee par la formule dite de Lorentz 1, publi´ee en 1895 :
~
F=e(~ E+~v ×~ B)
~
E´etant le champ ´electrique et ~ Ble champ magn´etique local `a la charge e. Un exemple clas-
sique est la force magn´etique d’attraction ou de r´epulsion entre deux conducteurs parall`eles
parcourus par un courant I(voir Figure 2). Le champ magn´etique ~ Bdu conducteur 1 sur
Force magnétique entre conducteurs parallèles
Conducteur 1
I Conducteur 2
I
D
Champ Magnétique B produit par 1
F
Figure 2. Conducteurs parall`eles parcourus par un courant I
le conducteur 2 est dirig´e vers le bas (fl`eche vue par l’empennage) selon la r`egle du “tire-
bouchon de Maxwell”. La direction de la force ~ Fest donn´ee par le “bonhomme d’Amp`ere”
plac´e sur le conducteur 2 : le courant Ip´en`etre par ses pieds et sort par sa tˆete, il regarde
l’induction ~ B, et la force ~ Fest sur sa gauche. Donc si les courants sont de mˆeme sens, les
deux conducteurs s’attirent selon une force ~ Ftel que :
F=e~v ·~ B F =e·dl
dt ·B=I·l·B l ´etant l’´el´ement de longueur
~v ´etant la vitesse des charges e`a l’int´erieur du conducteur 2.
Parce que l’apparition du ph´enom`ene magn´etique est li´e au mouvement de charges, pour
un observateur chevauchant la charge en mouvement, le champ magn´etique simplement
disparaˆıt. Cela pour dire que le magn´etisme est r´eellement un effet relativiste (Einstein –
relativit´e restreinte 1905). Dans le cas de deux charges en mouvement parall`ele entre eux, on
peut penser que la correction relativiste `a effectuer due `a leur mouvement serait de l’ordre
1Le symbole ×est utilis´e pour le produit vectoriel, le symbole ∧´etant r´eserv´e `a l’alg`ebre ext´erieure,
n´eanmoins en 3-D ces produits sont identiques, donc dans ce cas ils sont tout `a fait interchangeables.
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de v2/c2. Cette correction doit correspondre `a la force magn´etique. Mais que penser de
l’exp´erience de l’attraction (ou r´epulsion) entre deux fils parall`eles et parcouru chacun par le
mˆeme courant I ? La force magn´etique est la seule force en jeux, et elle n’apparaˆıt pas du tout
ˆetre une simple correction relativiste. De plus si l’on calcule la vitesse moyenne des ´electrons
dans le fil, elle est d’environ de 10-4 m/s soit un rapport v2/c2d’environ 10-25. (pour m´emoire
c= 3 108m/s) sˆurement une correction n´egligeable ! mais non, quoique la force magn´etique
est dans ce cas 10−25 plus faible que la force ´electrique entre les ´electrons en mouvement,
parce que l’effet ´electrique a compl`etement disparu due `a l’´equilibre pratiquement parfait
des charges positives et n´egatives – le fils a le mˆeme nombre de protons que d’´electrons.
L’´equilibre entre forces ´electriques et donc sup´erieur `a une pr´ecision d’une part pour 1025,
et l’effet relativiste, correspondant `a la force magn´etique est le seul qui subsiste. Il devient
l’effet pr´epond´erant.
C’est donc la quasi–parfaite annulation de l’effet ´electrique qui permet `a l’effet relativiste (`a
savoir le magn´etisme) d’ˆetre ´etudi´e et les ´equations – de l’ordre de v2/c2d’ˆetre d´ecouvertes,
bien que les savants `a cette ´epoque ignoraient la nature du ph´enom`ene. Et c’est pourquoi
les loi de l’EM n’ont pas chang´ees quand la relativit´e est apparue. Ces lois, contrairement `a
celles de la m´ecanique (de Newton), ´etaient d´ej`a correctes `a une pr´ecision de v2/c2.
Comment tout a commenc´ e ?
Parmi les ph´enom`enes ´etudi´es par les Grecs, il y en avait deux ´etranges : de l’ambre
(elektron) frott´e ´etait capable de soulever de petit bouts de papyrus et une myst´erieuse
roche provenant de la province de Magn´esie en Th´essalie attirait le fer (et ceci 800 avant
JC). Les mat´eriaux magn´etiques ´etaient d’une grande importance pour construire des bous-
soles depuis des temps tr`es ancients. Ceci est en effet refl´et´e dans l’appellation anglaise
pour le minerai “lodestone” qui signifie “leading stone”. La premi`ere ´etude syst´ematique
du magn´etisme et de l’´electricit´e a ´et´e publi´ee en 1600 par William Gilbert (1544–1603)
dans son ouvrage “De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellule”
le sujet principal de son trait´e ´etant le magn´etisme terrestre. Il assimile la terre `a un barreau
aimant´e et d´efinit la notion de pˆoles. Entre 1770 et 1785 Charles–Augustin Coulomb r´ealise
une d´elicate exp´erience d’interaction ´electrostatique pour ´etablir la loi qui porte son nom.
A la suite des exp´eriences du biologiste Luigi Galvani (il observa la contraction de pattes de
grenouilles touch´ees simultan´ement par deux m´etaux diff´erents), en 1800, Alessandro Volta
construit la premi`ere pile ´electrique, ce qui conduit `a disposer pour la premi`ere fois d’une
source de courant ´electrique constant. En 1812, Sim´eon-Denis Poisson publie son fameux
“M´emoire sur la distribution de l’´electricit´e `a la surface des corps conducteurs”.
Jusqu’`a 1820, l’´electricit´e et magn´etisme apparaissent comme deux ph´enom`enes compl`etement
ind´ependants. Une avance exp´erimentale cruciale est faite en 1820 quand Hans–Christian
Oersted (1777–1851) d´emontre qu’il y a toujours un champ magn´etique associ´e `a un courant
´electrique, ceci marque la naissance de l’EM.
D`es que cette d´ecouverte est annonc´ee, Jean–Baptiste Biˆot (1774–1862) et F´elix Savart
(1791–1841) pr´ecisent la valeur du champ magn´etique `a une distance rd’un ´el´ement dl par-
couru par un courant I. Peu apr`es Andr´e–Marie Amp`ere (1775-1836) compl`ete la loi de Biˆot
et Savart et fonde l’´electrodynamique. Tout va ensuite tr`es vite, les exp´eriences de Faraday
(1791–1867) le conduisent au crucial concept de lines de force et de champ. Convaincu que les
lois de la nature poss`edent une sym´etrie, puisqu’un courant produit un champ magn´etique,
il doit ˆetre possible de produire un courant `a partir d’un champ magn´etique. Il d´ecouvre
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l’induction en 1831, date consid´er´ee comme l’origine de l’´electrotechnique moderne.
Ensuite vient James Clerk Maxwell qui r´ealise la synth`ese de l’EM en ´etablissant d`es 1864
le groupe d’´equations qui portent son nom et en publiant son c´el`ebre “Treatise on Elec-
tricity and Magnetism” en 1873. Il fut le premier `a identifier la lumi`ere aux vibrations
´electromagn´etiques. Ses id´ees, difficiles `a saisir dans ses ´ecrits originaux, furent reprises
et explicit´es en Angleterre par Oliver Heaviside et Francis Fitzgerald et en Allemagne par
Heinrich Hertz. Ce dernier, encourag´e par Helmholtz, prouve l’existence des ondes EM en
1887 apr`es environ une dizaine d’ann´ees de recherche. Cependant malgr´e la confirmation des
ondes EM par Hertz il faudra encore de nombreuses ann´ees pour que la th´eorie de Maxwell
soit pleinement accept´ee et enseign´ee dans les universit´es. (Reproche que fait Einstein `a son
professeur Heinrich Weber en 1900 alors professeur au Polytechnicum de Zurich).
Electrostatique. Loi de Coulomb - introduction ` a la notion de “champ”
Entre deux charges eet e0`a une distance d, il existe une force ~ Ftelle que :
~
F=1
4π0
ee0
d2~u Formule de Coulomb d’action `a distance
Introduisant la notion de champ selon Faraday suite `a ses fameuses exp´eriences (en particulier
avec de la limaille de fer pour mettre en ´evidence les lignes de force des aimants), nous ´ecrirons
cette mˆeme la loi sous la forme :
~
F=e0~ Eavec ~ E=1
4π0
e
d2~u
Ou ~ Eest par d´efinition le champ ´electrostatique cr´ee par la charge eau point ou se trouve
la charge e0.
De prime abord cette “dichotomie” de la formule de Coulomb peut paraˆıtre artificielle. Il
n’en est rien : l’introduction du champ ~ Esubstitue `a la notion d’action `a distance entre les
charges eet e0(ce que Faraday ne pouvait admettre – cette notion ´etant pour lui absurde)
la notion d’action locale.
La justification de ce concept de champ est li´ee au fait exp´erimental que sa connaissance
locale, en un point M, suffit `a d´ecrire les ph´enom`enes ´electrostatiques qui s’y produisent,
sans que l’on soit oblig´e de faire appel `a la description d´etaill´ee des sources des champs :
des sources diff´erentes, donnant au point M de l’espace le mˆeme champ, produisent en ce
point les mˆemes effets ´electrostatiques. Mais il y a plus, la justification est donn´ee par la
th´eorie unifi´ee de l’EM de Maxwell o`u un champ ´electrique et un champ magn´etique peuvent
se propager `a travers l’espace en l’absence compl`ete de charges, ainsi le champ poss´ede une
existence physique tout `a fait ind´ependante.
Il en est de mˆeme pour le champ de gravitation terrestre o`u le champ ~g, tel qu’il produit
une force ~ P=m~g, est par d´efinition selon la loi inverse des carr´es de Newton :
~g =GMt
d2~u puisque ~
P=mGMt
d2~u
Le premier travail de Maxwell, “On Faraday’s Lines of Force” a ´et´e de formaliser la notion
de champ vague de Faraday en un solide math´ematique concept sous forme de vecteurs,
flux, circulation, potentiels, etc. (et ceci par analogie avec la circulation d’un fluide ou la
distribution de chaleur dans un solide, etc.)
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