Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur

Chapitre 3 : Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme
Terminale S
Chapitre 3 : Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme.
c.f. TP N° 11 de Physique
Objectifs :
¾ Quelles sont les équations horaires du mouvement ?
¾ Quelle est la trajectoire du centre d’inertie du projectile?
I. Quelles sont les équations horaires du mouvement ?
I.1. Bilan des forces extérieures au système
¾ On étudie le lancer d’un projectile avec une vitesse initiale v 0 dans un champ de pesanteur uniforme
(lancer au voisinage de la Terre)
¾ Le système d’étude est un projectile de masse m et de
centre d’inertie G (ex : balle de golf, boule de pétanque…)
¾ Le référentiel d’étude est supposé galiléen pour la durée de
l’expérience.
¾ Bilan des forces extérieures :
z
k
α
j
-
poids P du projectile
-
poussée d’Archimède Π A
-
les forces de frottements de l’air (frottement fluide) :
f proportionnelle à la vitesse du projectile
g
v0
O
i
x
On supposera qu’on peut négliger Π A (la masse volumique de l’air est très faible devant celle du projectile)
et f (la vitesse initiale du projectile et la distance parcourue suffisamment faibles) devant P .
On pourra donc considérer que le mouvement du projectile est un mouvement de chute libre dans un champ
de pesanteur uniforme.
¾ L’axe vertical Oz est ascendant !
¾ A l’instant initial t = 0 s on a x(0) = y (0) = z (0) = 0
Le vecteur vitesse à l’instant initial est v 0 et l’angle de tir est noté α (par rapport à l’axe horizontal Ox)
I.2. Coordonnées du vecteur accélération
D’après la deuxième loi de Newton on sait que P = m ⋅ a G (t) ( a G (t) est l’accélération du centre d’inertie)
soit m ⋅ g = m ⋅ a G (t) d’où g = a G (t) ainsi le vecteur accélération aura la même direction, le même sens et la
même valeur que le vecteur champ de pesanteur !
En projetant cette relation selon les trois axes du repère on obtient les coordonnées du vecteur accélération :
ax = 0
a G (t) a y = 0
a z = −g
I.3. Coordonnées du vecteur vitesse
¾ Il s’en suit les coordonnées du vecteur vitesse v du centre d’inertie du projectile en intégrant les
coordonnées du vecteur accélération on obtient alors :
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Partie : Evolution temporelle des systèmes mécaniques
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v x = C1
v(t) v y = C 2
v x = v 0x = v 0 ⋅ cos (α )
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d’après le conditions initiales on en déduit v(t) v y = 0
v z = −g ⋅ t + v 0z = −g ⋅ t + v 0 ⋅ sin (α )
v z = −g ⋅ t + C 3
On remarque que :
-
la composante horizontale du vecteur vitesse est constante et vaut v x = v 0x = v 0 ⋅ cos (α )
-
la composante verticale du vecteur vitesse est une fonction affine décroissante du temps.
I.4. Equations horaires du mouvement
¾ Il s’en suit les coordonnées du vecteur position OG du centre d’inertie du projectile en intégrant les
coordonnées du vecteur vitesse on obtient alors les équations horaires du mouvement :
x(t) = v 0x × t + C 4 = (v 0 ⋅ cos (α ) × t ) + C 4
OG y(t) = C 5
1
1
z(t) = − ⋅ g × t 2 + v 0z × t + C 6 = − ⋅ g × t 2 + (v 0 ⋅ sin (α )) × t + C 6
2
2
D’après les conditions initiales on en déduit les équations horaires :
x(t) = v 0x × t = (v 0 ⋅ cos (α ))× t
OG y(t) = 0
1
1
z(t) = − ⋅ g × t 2 + v 0z × t = − ⋅ g × t 2 + (v 0 ⋅ sin (α ))× t
2
2
¾ Les coordonnées du vecteur position (équations horaires du mouvement) nous montrent que le mouvement
du projectile est plan, la trajectoire est contenue dans le plan xOz.
¾ La fonction x(t) est une fonction linéaire de coefficient directeur v 0 ⋅ cos (α )
La fonction z(t) est une parabole.
II. Quelle est la trajectoire du centre d’inertie du projectile ?
II.1. Equation de la trajectoire
¾ A l’aide des équations horaires on peut déterminer l’équation de la trajectoire z = f (x).
¾ D’après l’équation horaire x(t) = v 0x × t on peut en déduire que t =
x
x
=
v 0x v 0 ⋅ cos (α )
En remplaçant l’expression précédente de t dans l’équation horaire z(t) on obtient l’équation de la trajectoire
du projectile :
1
x
1
x2
2
z(t) = − ⋅ g × t + v 0z × t donc z(x) = − ⋅ g ×
+ v 0 ⋅ sin (α ) ×
en simplifiant on a:
2
2
v 0 ⋅ cos(α )
2
[v 0 ⋅ cos(α )]
x2
1
+ x × tan (α )
z(x) = − ⋅ g ×
2
[v 0 ⋅ cos(α )] 2
¾ L’équation de la trajectoire est celle d’une parabole (dont la concavité est vers le bas).
¾ On remarque que l’équation de la trajectoire dépend des conditions initiales v 0 et α !
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II.2. Notions de flèche et de portée
¾ La flèche correspond à la hauteur maximale que peut atteindre le projectile, on la note F (c’est le sommet de
la parabole z(x) ).Voir Fig 3 p 214
Lorsque le projectile atteint la flèche alors la composante verticale de la vitesse en ce point est nulle soit :
v z = −g ⋅ t F + v 0 ⋅ sin (α ) = 0 soit l’instant t F où le projectile est à sa hauteur maximale est : t F =
v 0 ⋅ sin(α )
g
et donc la hauteur maximale z F (flèche) aura pour expression :
v ⋅ sin 2 (α ) v 0 ⋅ sin 2 (α )
1
1
2
z(t F ) = − ⋅ g × t F + (v 0 ⋅ sin (α )) × t F = − ⋅ g × 0
+
ce qui donne après
2
2
g
g2
2
2
1 v0 2 ⋅ sin 2 (α )
simplification : z(t F ) = ⋅
2
g
¾ La portée correspond à la distance maximale que peut atteindre le projectile, on la note P (c’est le point
d’intersection du projectile avec l’axe horizontal Ox qui correspond souvent au sol) Voir Fig 3 p 214
Lorsque le projectile atteint le point P alors z(x P ) = 0 ainsi cela revient à résoudre une équation du second
degré :
2
⎤
⎡ 1
xP
xP
1
(
)
(
)
z(x P ) = − ⋅ g ×
+
x
×
tan
α
=
0
soit
z(x
)
=
x
×
−
⋅
g
×
+
tan
α
⎢
⎥=0
P
P
P
2
2
[v 0 ⋅ cos(α )] 2
v 0 ⋅ cos 2 (α )
⎢⎣ 2
⎥⎦
Les deux solutions analytiques sont :
- x P = 0 mais cela n’a aucun intérêt physique !!!
2 ⋅ v 0 ⋅ cos 2 (α ) × tan(α )
v ⋅ sin(2α )
ce qui donne par simplification x P = 0
g
g
2
- xP =
(car tan (α ) =
2
sin (α )
et 2 ⋅ sin (α ) ⋅ cos(α ) = sin (2α ) )
cos(α )
II.3. Influence des conditions initiales sur la trajectoire
¾ Pour une même valeur de vitesse initiale v0, l’angle de tir α a une importance sur la flèche et la portée.
2
v
La portée sera maximale lorsque l’angle de tir est α = 45° (car sin (2α) = 1 et donc x P = 0 )
g
z
α1 > α2 > α3
et
v0 est constant
z
α1
x
α2
α3 x
¾ Pour une même direction (même angle de tir), plus v0 est grand, plus la flèche et la portée seront
importantes. Figure 4 B p 215 (attention dans ce cas on ne pourra plus négliger les frottements de l’air).
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