La productivité marginale

Chapitre 4: Les choix du producteur
Les types de technologie de production
Introduction
Fonction de production linéaire
Fonction de production Leontief
Fonction de production Cobb-Douglas
Différents concepts liés à la technologie de production
Le taux marginal de substitution technique (TMST)
La productivité marginale
Les rendements d’échelle
Le court et le long terme pour un producteur
Les profits et les coûts de production
Le profit
Les coûts
Le problème de la firme
La fonction de coût
La fonction de coût à court terme
La fonction de coût à long terme
1
Les types de technologie de production
Introduction
De façon schématisée, voici comme fonctionne la production
VOIR FIGURE 4.1
Le choix optimal du producteur se rapportera à la quantité optimale d’inputs à utiliser. Dans le
cas d’une concurrence pure et parfaite (CPP), ce choix dépendra des prix des inputs et des
outputs ainsi que du type de technologie de production.
Supposons que le producteur utilise I inputs pour produire J outputs
inputs ⇒ i = 1,..., I
outputs ⇒ j = 1,..., J
Supposons que la production de chaque produit (output) est caractérisée par un type de
technologie notée f ( f pour fonction de production)
q1 = f1 ( x1 ,..., xI )
...
q j = f j ( x1 ,..., xI )
...
qJ = f J ( x1 ,..., xI )
où q j est la quantité de biens j produite, xi est la quantité de facteurs de production j
nécessaire à la production de q j et f j est la technologie de production utilisé pour produire le
bien j .
Notons qu’il est possible que le producteur utilise la même technologie pour produire
différents produits.
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Sans perte de généralité, concentrons-nous sur une économie caractérisée par 2 inputs ( I = 2 )
et 1 ouput ( J = 1 ). Par exemple
q = f ( L, K )
Fonction de production linéaire
Cette technologie de production est caractérisée par le fait que les inputs sont parfaitement
substituables entre eux de sorte que la fonction de production est donnée par
q = f ( x1 , x2 ) = a ⋅ x1 + b ⋅ x2
Supposons que a = b . Graphiquement, cela donne
VOIR FIGURE 4.2
Fonction de production Leontief
Cette technologie de production est caractérisée par le fait que les inputs sont parfaitement
complémentaires entre eux de sorte que la fonction de production est donnée par
q = f ( x1 , x2 ) = min(a ⋅ x1 , b ⋅ x2 )
Pour faciliter la compréhension de ce type de technologie de production, supposons que q est
la quantité de tasses de café, x1 la quantité de café et x2 la quantité d'eau. Graphiquement,
cela donne
VOIR FIGURE 4.3
où q1 , q2 et q3 représentent différents niveaux de production ( q3 > q2 > q1 ).
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Fonction de production Cobb-Douglas
Cette technologie de production est caractérisée par le fait que les inputs ne sont ni
parfaitement substituables, ni parfaitement complémentaires. On dit simplement que les input
sont (imparfaitement) substituables de sorte que la fonction de production est donnée par
q = f ( x1 , x2 ) = A ⋅ x1α ⋅ x2β
où A est la taille de la production (facteur de productivité totale), α et β sont des
paramètres qui régissent la réactivité de l’output q à des changements de quantité d’inputs x1
et x2 , respectivement. Plus précisément
α=
∂ ln f ( x1 , x2 )
est l’élasticité output-input x1
∂ ln x1
β=
∂ ln f ( x1 , x2 )
est l’élasticité output-input x2
∂ ln x2
Graphiquement, on a
VOIR FIGURE 4.4
Sur ce graphique est représentée une isoquant qui nous donne l’ensemble des combinaisons
( x1 , x2 ) tel que la quantité produite est donnée par q = f ( x1 , x2 ) .
→ les propriétés de l’isoquant sont les suivantes
•
les isoquants ne se coupent jamais
•
elles ont une pente négative
•
plus on s’éloigne de l’origine des axes, plus le niveau de production augmente
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Différents
concepts
liés
à
la
technologie
de
production
Le taux marginal de substitution technique (TMST)
Le taux marginal de substitution technique (TMST) nous donne la quantité d’inputs 2 à la
quelle le producteur doit renoncer lorsqu’il augmente la quantité d’inputs 1 de façon
infinitésimale tel que le niveau de production reste constant. Formellement il est donné par
TMST = −
dx2
dx1
x1 = x1
En d’autres termes, il nous donne la pente de l’isoquant lorsque la quantité d’inputs 1 utilisée
est x1 = x1 .
La productivité moyenne de l’input i est la quantité produite par unité d’input i .
Formellement il est donné par
PM i =
f ( x1 , x2 )
xi
(i = 1, 2)
La productivité marginale de l’input i est la variation de la quantité produite lorsque la
quantité d’inputs i varie de façon infinitésimale (variation marginale de xi ). Formellement il
est donné par
Pmg i =
∂f ( x1 , x2 )
∂xi
(i = 1, 2)
Ayant en tête la définition du TMST faite ci-dessus, nous pouvons réécrire le TMST de la
façon suivante
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q = f ( x1 , x2 )
⇒ dq = df ( x1 , x2 ) = 0
⇒ df ( x1 , x2 ) =
∂f ( x1 , x2 )
∂f ( x1 , x2 )
dx1 +
dx2 = 0
∂x1
∂x2
∂f ( x1 , x2 )
∂x1
dx
Pmg1
⇒ TMST = − 2 =
=
dx1 ∂f ( x1 , x2 ) Pmg 2
∂x2
Par conséquent, le TMST est égal au rapport des productivités marginales
Pmg1
.
Pmg 2
La productivité marginale
Supposons que le producteur soit contraint de garder le niveau de travail constant (hypothèse
de court terme) mais qu’il puisse faire varier à sa guise le niveau de capital utilisé, que se
passe-t-il au niveau
•
de la quantité produite
•
de la productivité marginale
lorsqu’il augmente la quantité de capital?
Cela dépendra de la technologie utilisée donnée par la fonction de production suivante
q = f (L , K )
Il est clair que si K augmente, q augmente aussi. Formellement, ce phénomène se traduit par
∂fi ( L , K )
>0
∂K
La productivité marginale est positive. Mais est-ce que la productivité marginale augmente
ou diminue lorsque K augmente?
→ nous pouvons distinguer 2 cas
1) la productivité marginale est décroissante, ce qui signifie lorsque K augmente, la
productivité marginale diminue. Formellement
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∂ 2 f1 ( L , K )
<0
∂K 2
En fait, la quantité produite augmente (productivité marginale positive) mais à un
taux décroissant (productivité marginale décroissante).
VOIR FIGURE 4.5
2) la productivité marginale est croissante, ce qui signifie lorsque K augmente, la
productivité marginale augmente. Formellement
∂2 f2 (L , K )
>0
∂K 2
En fait, la quantité produite augmente (productivité marginale positive) mais à un
taux croissant (productivité marginale croissante).
VOIR FIGURE 4.6
Les rendements d’échelle
Si nous augmentons TOUS les facteurs de productions dans la proportion lamba, de combien
la quantité produite va-t-elle changer?
Pour répondre à cette question, nous avons besoin de développer le concept de rendement
d’échelle.
Il est claire que si x1 et x1 augmentent de lamba unités, la quantité produite augmente
( f ( x1 , x2 )
augmente). Mais comment? La quantité produite augmentera plus que
proportionnellement (plus que lamba), moins que proportionnellement (moins que lamba) ou
de façon proportionnelle (égal à lamba)?
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Si les rendements d’échelle sont
•
croissants, alors nous avons la relation suivante
f (λx1, λx2 ) > λf ( x1, x2 ) = λq
•
constants, alors nous avons la relation suivante
f (λx1, λx 2 ) = λf ( x1 , x 2 ) = λq
•
décroissants, alors nous avons la relation suivante
f (λx1, λx 2 ) < λf ( x1 , x 2 ) = λq
Prenons le cas de la fonction de production Cobb-Douglas. Nous avons donc
q = f ( x1 , x2 ) = A ⋅ x1α ⋅ x2β
⇒ f (λ ⋅ x1 , λ ⋅ x2 ) = A ⋅ ( λ ⋅ x1 ) ⋅ ( λ ⋅ x2 ) = λ α + β ( A ⋅ x1α ⋅ x2β ) = λ α + β ⋅ q
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α
β
= f ( x1 , x2 )
→ si le producteur utilise cette technologie de production, les rendements d’échelle sont
•
croissant si α + β > 1
•
constants si α + β = 1
•
décroissants si α + β < 1
→ lorsque le producteur décide d’augmenter λ de 1%, c’est-à-dire lorsqu’il décide
d’augment la quantité de TOUS les inputs de λ %, la quantité produite augmentera de
(α + β ) % car
∂ ln f (λ ⋅ x1 , λ ⋅ x2 )
=α +β
∂ ln λ
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Le court et le long terme pour un producteur
Lorsque l’on désire distinguer le court du long terme pour une firme, il est important de
mettre évidence les aspects temporel et d’environnement légal concernant le choix du
producteur quant à la quantité d’inputs utilisée.
→ par exemple, le marché du travail américain est plus flexible que le marché du travail
européen (de manière général). Cette flexibilité est déterminée par la législation en vigueur
concernant le marché du travail (licenciement, contrat de travail,…). Par conséquent, les
firmes américaines pourront ajuster leur input travail plus rapidement ce qui montre bien que
le court terme est différent suivant que la firme se trouve sur le territoire américain ou
européen.
Suppose que nous avons q = f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) mais que les inputs x1 et x4 ne peuvent pas être
modifiés à court terme. Donc la fonction de production à court terme est donnée par
q = f ( x1 , x2 , x3 , x4 )
Les profits et les coûts de production
Le profit
Supposons que le producteur utilise I inputs pour produire J outputs
inputs ⇒ i = 1,..., I
outputs ⇒ j = 1,..., J
Le profit du producteur est défini comme étant les revenus totaux moins les coûts totaux,
c’est-à-dire comme
π = [ P1q q1 + P2q q2 + .... + Pjq q j + ... + PJq qJ ] − [ P1x x1 + P2x x2 + .... + Pi x xi + ... + PIx xI ]
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Dans le cas où le producteur utilise uniquement du travail et du capital comme facteur de
production, son profit annuel sera donné par
π = P1
f ( L, K ) − wL − rK
424
3
=q
où L est le nombre d’employés par année, w le salaire annuel d’un employé et r le prix de
location annuel du capital.
Les prix sont des valeurs de marché!
→ Suppose qu’un producteur achète une machine (capital) aujourd’hui ( t = 0 ) et qu’il
l’utilise aussi l’année prochaine ( t = 1 ). En d’autres termes, il va la revendre après 2 périodes.
Quel prix dois-je utiliser lorsque je désire calculer son profit annuel? Le prix annuel est égal à
∆ = P1,0 − P2,1
où P1,0 est le prix de la nouvelle machine à la période t = 1 et P2,1 est le prix de la machine
vieille d’une année à la période t = 2 . Donc ∆ est le prix de location de la nouvelle machine.
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Le problème de la firme
Le problème de la firme est un problème dual
•
maximiser la quantité produite pour un niveau de coût total donné
Max f (x1, x2 )
s.t.
c = p x1 ⋅ x1 + p x2 ⋅ x2
•
minimiser le coût total pour un niveau d’output donné
Min c (x1 , x 2 )
s.t.
q = f (x1 , x 2 )
→ les 2 programmes d’optimisation sous contrainte conduisent aux mêmes choix
optimaux d’inputs pour le producteur.
Supposons que la technologie utilisée par le producteur soit
q = f ( L, K )
Formellement, la condition d’optimalité pour le producteur se résume à
TMST = −
⇒
dK Pmg L w
=
=
dL Pmg K r
Pmg L Pmg K
=
w
r
Donc le ratio «productivité marginale / coût marginal» doit être égal pour chacun des facteurs
de production.
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w
On remarque qu’à l’optimum du producteur, la pente de la droite d’isocoût   est égale à la
r
pente de l’isoquant (TMST) (pentes en valeur absolue).
Les coûts
Que peut-on dire au sujet des changements de coût qui modifie la quantité produite?
Supposons que
q = f ( x1 , x2 , x3 , x4 )
Quantité
Prix
x1
Bâtiments
B
PB
x2
Capital
K
r
x3
Travail qualifié
S
ws
x4
Travail non-qualifié
L
w
Le coût total est donné par
C = BPB + Kr + Sws + Lw
Supposons que le producteur fixe son niveau de coût total à C = C . Par conséquent, il est
permis au producteur de modifier la combinaisons d’inputs de telle façon à ce que C = C .
Cependant, il est nécessaire de préciser que la quantité de certain de ces facteurs de
production ne peut pas être modifiée à court terme. Ce constat est particulièrement vrai pour
les inputs B et S . Donc à court terme, le coût fixe est
F = BPB + Sws
alors que le coût variable est
Kr + Lw
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ce qui donne une fonction de coût à court terme de la forme suivante
C = F + Kr + Lw
Nous pouvons la transformer de façon à obtenir la droite d’isocoût
C = F + Kr + Lw
⇒K=
où
C −F  w
− L
r
r
C−F
 w
est l’ordonnée à l’origine et −   la pente de la droite. Notons que la droite
r
r
d’isocôut nous donne l’ensemble des combinaisons ( K , L) qui engendre un coût total constant
fixé à C = C .
Lorsque F = 0 , rappelons que la droite d’isocoût est donnée par
K=
Ci  w 
− L
r r
où i = 1, 2,3 ( C1 = 50, C2 = 100, C3 = 150 ). On trouve donc
K
L=0
=
Ci
r
et
L K =0 =
Ci
w
Graphiquement, on trouve que la droite d’isocoût pour i = 1, 2,3 est tangente à l’isoquant
VOIR FIGURE 4.7
La fonction de coût
A l’aide la Figure 4.7, on peut représenter graphiquement la fonction de coût comme
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VOIR FIGURE 4.8
La structure des coûts (fonction de coût) dépend de l’horizon temporel considéré (court ou
long terme). Dans le court terme, la structure des coûts est plus complexe.
→ de manière générale, la fonction de coût est la fonction qui est la résultat de la
minimisation des coûts totaux d’une firme tel que la firme atteint un objectif fixé d’output.
Par conséquent, la fonction de coût dépendre des prix des facteurs, des paramètres associés à
la fonction de production ainsi que du niveau de production fixé.
La fonction de coût à court terme
Supposons que la fonction de production de la firme est
q = f ( x1 , x2 )
mais que la firme ne peut pas choisir le niveau d’output x2 à court terme (donc x2 est fixé au
niveau x2 ). La fonction de production de la firme à court terme devient
q = f ( x1 , x2 )
Les prix correspondant au inputs x1 et x2 sont P1 et P2 respectivement. Supposons que x1 est
choisi à son niveau optimal (c’est-à-dire tel qu’il maximise la quantité produite pour un
niveau de coût total donné ou de façon équivalente tel qu’il minimise le coût total pour un
niveau d’output donné)
→ Nous pouvons alors calculer les types de coûts suivants
•
Coût fixe: CF = P2 x2
•
Coût variable: CV = P1 x1
•
Coût total: CT = CF + CV = P2 x2 + P1 x1
•
Coût marginal: Cmg =
∂CT
∂q
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CT
q
•
Coût moyen: CM =
•
Coût variable moyen: CVM =
•
Coût fixe moyen: CFM =
CV
q
CF
q
Notons qu’à long terme, on retrouve cette même typologie sans les coûts fixes car on suppose
qu’à long terme la firme peut choisir le niveau optimal pour tous les inputs qu’elle utilise.
Le coût marginal de court terme est donné par
Cmg =
∂CT ∂CT ∂x1
P
=
= 1
Pmg1
∂q
∂x1 {
∂q
{
= P1
=
1
Pmg1
La structure de la fonction de production affect le coût marginal. En effet, si la productivité
marginale de l’input 1 Pmg1 augmente, alors le coût marginal va diminuer. Si la productivité
marginale Pmg1 est décroissante, alors pour un niveau faible d’input 1, Pmg1 sera élevée et
donc le coût marginal sera faible. Mais si la productivité marginale Pmg1 est décroissante, le
coût marginal sera croissant.
Le coût moyen de court terme est donné par
CM = CFM + CVM =
P2 x2
1
Px
P
+ P1
= 2 2+ 1
q
q
q
PM 1
x1
{
= PM1
Nous remarquons que le CFM est fonction décroissante en q (quantité produite). Par ailleurs,
souvenons-nous que si la productivité marginale est décroissante en q , alors la productivité
moyenne PM 1 sera elle aussi décroissante en q . Par conséquent, le CVM est une fonction
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croissante en q . En effet, la PM 1 sera élevée pour un faible niveau d’input 1 et donc le
CVM sera faible. Par contre la PM 1 sera faible pour un niveau d’input 1 élevé et donc le
CVM sera élevé.
→ la fonction de coût moyen de court terme a une forme en U. Donc, il existe une quantité
produite q telle que le coût moyen est minimisé. Cette quantité produite notée q ∗ est appelée
l’échelle efficace minimum («minimum efficient scale»).
Quelle est la relation entre le coût moyen et le coût marginal de court terme?
Si CM > Cmg , alors le CM diminue avec la quantité produite q . Par contre si CM < Cmg ,
alors le CM augmente avec la quantité produite q . Graphiquement, cela donne la relation
suivante
VOIR FIGURE 4.9
On voit que la courbe de Cmg croise la courbe de CM lorsque la quantité produite
correspond l’échelle efficace minimum q ∗ .
La fonction de coût à long terme
La stratégie de la firme est la même que dans le court terme, c’est-à-dire qu’elle cherche à
•
maximiser la quantité produite pour un niveau de coût total donné
•
minimiser le coût total pour un niveau d’output donné
La différence avec le court terme est que dans le long terme, tous les facteurs de production
peuvent être modifiés par la firme et choisis au niveau optimal. La firme ne fait donc plus face
à des coûts fixes. Il n’y a que des coûts variables (sauf pour les coûts quasi-fixes; voir la
définition des coûts quasi-fixes).
La forme de la fonction de coût moyen de long terme dépend des rendements d’échelle. Si
les rendements d’échelle sont
•
croissants, alors le coût moyen de long terme est une fonction décroissante de la
quantité produite q . On parle alors d’un marché à monopole naturel.
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•
constants, alors le coût moyen de long terme est constant quelle que soit la quantité
produite q .
•
décroissants, alors le coût moyen de long terme est une fonction croissante de la
quantité produite q .
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