Formulaire Electromagnetisme

TABLE DES MATIÈRES
1
Table des matières
1 Rappels et fondamentaux
2
1.1
Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Structure du champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Théorème d'Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Structure du champ magnétique
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Electrostatique
3
2.1
Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Distribution de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3
Circulation du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.4
Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.5
Dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.6
Les Conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.7
Les Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.7.1
Association de condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Energie électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.8.1
Energie potentielle d'intéraction pour des charges ponctuelles . . . . . . . . . . . .
5
2.8.2
Energie potentielle d'intéraction pour des distributions continues de charges . . . .
6
Equations locales de l'électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.10 Electrocinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.10.1 Vecteur densité de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.10.2 Intensité du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.10.3 Conservation de la charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.10.4 Régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.10.5 Résistance (Conducteur Ohmiques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.8
2.9
3 Magnétostatique
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
8
Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1.1
cas d'une distribution volumique de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Propriété du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2.1
Le champ magnétique est à ux conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2.2
Théorème D'ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Le Potentiel Vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3.1
Equation du potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3.2
Expression du potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Travail des forces de laplace, énergie magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.4.1
Théorème de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.4.2
Action subie par un dipole magnétique plongé dans un champ magnétique . . . . .
10
Coecients d'induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.5.1
Coecient d'induction mutuelle de deux circuits liformes . . . . . . . . . . . . . .
10
3.5.2
Cas de n circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.5.3
Coecient d'auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2
TABLE DES MATIÈRES
4 Magnétique
11
4.1
Loi De Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.2
Force électromotrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.2.1
Champ Electromoteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.2.2
Force électromotrice induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.3.1
Théorème de Maxwell-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Coecients d'Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.4.1
Flux Du Champ Magnétique B1 créé par C1 à travers C2 . . . . . . . . . . . . . .
11
4.4.2
Flux Du Champ Magnétique B2 créé par C2 à travers C1 . . . . . . . . . . . . . .
12
4.4.3
Coecient D'Auto-Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.4.4
Généralisation à n circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Énergie Magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.5.1
Loi D'Ohm Généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.5.2
Énergie Magnétique D'Un Circuit Isolé
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.5.3
Énergie Magnétique De Deux Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.5.4
Autres expressions pour un seul circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.6
Opérateurs Diérentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.7
Équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.8
Ondes Électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.8.1
Équations aux champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.8.2
Structure de l'onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.8.3
Théorème de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.3
4.4
4.5
1
RAPPELS ET FONDAMENTAUX
3
1 Rappels et fondamentaux
1.1 Théorème de Gauss
a) Forme intégrée
"
→
− −
→ Q
E .dS =
ε0
Σg
(1.1)
b) Forme locale
−
→
− →
ρ
∇· E =
ε0
(1.2)
1.2 Structure du champ électrostatique
c) Forme intégrée
˛
→
− →
−
E . dl = 0
(1.3)
→
−
→
−
E = − ∇ (V )
(1.4)
Γ
d) Forme locale
1.3 Théorème d'Ampère
e) Forme intégrée
˛
→
− →
−
B . dl = µ0 .I
C
(1.5)
f) Forme locale
−
→
−
→
− →
∇ ∧ B = µ0 . j
(1.6)
1.4 Structure du champ magnétique
g) Forme intégrée
¨
→
− −
→
B .dS = 0
(1.7)
4
h) Forme locale
→
−
∇ · (B) = 0
(1.8)
2 Electrostatique
2.1 Loi de Coulomb
−−→
F1/2 =
1 q1 q2
û12
4πε0 r2
(2.1)
1
= 9.109 SI
4πε0
2.2 Distribution de charges
Distribution volumique
dq = ρ dV
˚
Q=
ρ dV
(2.2a)
(2.2b)
V
Distribution surfacique
dq = σ dS
¨
Q=
σ dS
(2.3a)
(2.3b)
S
Distribution Linéique
dq = λ dl
ˆ
Q=
λ dl
(2.4a)
(2.4b)
L
2.3 Circulation du champ électrique
→
−
−−→
dC = E (M ).dM
(2.5)
→
−
La circulation de E ne dépend que des points A et B, et ne dépend donc pas du chemin suivi. On
pose dC = − dV
→
−
→
−
E = − ∇ (V )
1 q
+ constante
V =
4πε0 r
−
→
→
−
Fe = q 0 . E
→
−
= − ∇ (q 0 V )
→
−
= −U
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
2
ELECTROSTATIQUE
5
la force électrostatique dérive d'une énergie potentielle.
U = q 0 .V
1 qq 0
=
4πε0 r
ˆ
B
WAB =
→
− −−→
− ∇ U.dM
(2.11)
(2.12)
(2.13)
A
(2.14)
= UA − UB
Flux électrostatique :
→
− −
→
dφ = E .dS
q
dφ =
dΩ
4πε0
(2.15)
(2.16)
où dΩ est l'angle solide sous lequel on voit la surface dS
2.4 Théorème de Gauss
"
→
− −
→
E .dS =
˝
ρ dV
ε0
V
Σg
(2.17)
2.5 Dipôle
Moment dipolaire (unité C.m) :
→
−
−−→
P = qN P
(2.18)
Potentiel du dipole :
V (M ) =
p cos(θ)
4πε0 r2
(2.19)
Moment des forces :
−
→ →
− →
−
Γ0 = P ∧ E
(2.20)
→
−
→
− →
→
−
−
R = ( p . ∇ ()) E
(2.21)
Résultante des forces :
P
Cas où le système n'est pas neutre : i qi 6= 0
P En première approximation, le système est équivalent à une charge ponctuelle placée en 0 et de valeur
q
i i
P
Cas où le système est neutre : i qi = 0
Le système est équivalent à un dipole, de moment dipolaire :
X →
→
−
−
P =
qi . ai
i
(2.22)
6
2.6
Les Conducteurs
2.6 Les Conducteurs
→
−
→
−
E intérieur = 0
(2.23)
Vint = cte
(2.24)
te
ρint = c
(2.25)
→
−
σ
E =
ε0
(2.26)
σ2
2ε0
(2.27)
D'où :
i) Théorème de Coulomb
j) Pression électrostatique
P =
2.7 Les Condensateurs
Les faces en regard ont des charges opposées (inuence totale). La charge Q1 (charge de l'armature
interne) est appelée charge du condensateur.
Q1 = C(V1 − V2 )
(2.28)
1
1
1
=
+
C
C1
C2
(2.29)
C = C1 + C2
(2.30)
2.7.1 Association de condensateurs
a) En série
b) En parallèle
2.8 Energie électrostatique
2.8.1 Energie potentielle d'intéraction pour des charges ponctuelles
a) Pour une charge ponctuelle dans un potentiel V
Up = qV
(2.31)
2
ELECTROSTATIQUE
7
b) Cas de deux charges ponctuelles
Up =
1
(q1 V2 + q2 V1 )
2
(2.32)
n
1 X
(
qi Vi )
2 i=1
(2.33)
c) Plusieurs charges ponctuelles
Up =
Avec Vi potentiel créé par les utres charges au point où se trouve qi :
Vi =
1 X qj
4πε0 j6=i rij
(2.34)
2.8.2 Energie potentielle d'intéraction pour des distributions continues de charges
a) Répartition volumique de charges
Up =
1
2
˚
ρ(M )V (M ) dV
(2.35)
σ(M )V (M ) dS
(2.36)
σ
R
ε0
(2.37)
Q2 1
4πε0 2R
(2.38)
objet
b) Répartition surfacique de charges
Up =
1
2
¨
surface
c) exemple d'application : la sphère chargée
On a :
V =
d'où
Up =
d) Energie potentielle d'intéraction d'un dipôle dans un champ
→
− →
−
Up = − p . E
(2.39)
8
2.9
Equations locales de l'électromagnétisme
2.9 Equations locales de l'électromagnétisme
− →
−
→
− →
∇∧ E = 0
(2.40)
−
→
− →
∇· E =0
(2.41)
ρ
=0
ε0
(2.42)
e) Equation de Maxwell-Gauss
f) Equation de Poisson
∆V +
2.10 Electrocinétique
2.10.1 Vecteur densité de courant
→
−
→
−
j = nq v
→
−
= ρm v
(2.43)
(2.44)
où ρm est la densité volumique de charges mobiles
donc
− −
→
dq →
= j .dS
dt
(2.45)
2.10.2 Intensité du courant
¨
I=
→
− −
→
j .dS
(2.46)
Σ
2.10.3 Conservation de la charge électrique
− ∂ρ
→
− →
∇· j +
=0
∂t
(2.47)
→
−
→
−
v = µE
(2.48)
2.10.4 Régime permanent
avec µ : mobilité des porteurs de charges.
On dénit la conductivité de la manière suivante :
σ=
n
X
i=0
ni qi µi
(2.49)
3
MAGNÉTOSTATIQUE
9
2.10.5 Résistance (Conducteur Ohmiques)
VA − VB = RI
ρl
R=
S
(2.50)
(2.51)
3 Magnétostatique
Force de Lorentz
→
→
−
− →
− →
−
F =q E + v ∧B
−−−→
Ftotale =
ˆ
(3.1)
→
− →
−
I dl ∧ B
(3.2)
→
− →
−
µ0 I dl ∧ u
4π P M 2
(3.3)
→
− →
−
µ0 j ∧ u
dV
4π P M 2
(3.4)
conducteur
3.1 Loi de Biot et Savart
→
−
B (M ) =
ˆ
circuit
3.1.1 cas d'une distribution volumique de courant
→
−
B (M ) =
ˆ
conducteur
−
→
→
−
On appele M = I. S le moment dipolaire magnétique (S orienté suivant la règle du tire bouchon)
3.2 Propriété du champ magnétique
3.2.1 Le champ magnétique est à ux conservatif
−
→
− →
∇· B =0
(3.5)
Soit Σ une surface fermée :
¨
→
− −
→
B .dS =
˚
Σ
−
→
− →
∇ · B dV
(3.6)
V
(3.7)
=0
→
−
→
−
Le ux de B à travers une surface fermée est nul. On dit que B est à ux conservatif.
3.2.2 Théorème D'ampère
ˆ
C
→
− →
−
B . dl = µ0
ˆ
C
→
− −
→
j .dS
(3.8)
10
3.3
Le Potentiel Vecteur
a) Expression locale du théorème d'ampère
−
→
−
→
− →
∇ ∧ B = µ0 j
(3.9)
3.3 Le Potentiel Vecteur
−
→
−
→
− →
Comme ∇ · B = 0, alors B est un champ de rotationnel. On écrit
→
−
−
→
− →
B =∇∧ A
(3.10)
→
−
A est par dénition le potentiel vecteur
→
−
→
−
→
− →
−
A est déni a un gradient près ( A = A + ∇ (f ). On choisit généralement pour avoir :
−
→
− →
∇· A =0
(3.11)
→
−
Remarque : C'est ce que l'on appelle la jauge de Coulomb. C'est à dire qu'on choisi la fonction f ( A
→
−
est déni à un gradient près) pour que la divergence de A soit nulle.
3.3.1 Equation du potentiel vecteur
→
−
→
−
∆ A + µ0 j = 0
(3.12)
3.3.2 Expression du potentiel vecteur
µ0
Ax =
4π
→
−
µ0
A =
4π
˚
objet
˚
objet
jx (P )
dV
PM
→
−
j (P )
dV
PM
(3.13)
(3.14)
3.4 Travail des forces de laplace, énergie magnétique
3.4.1 Théorème de Maxwell
∆WL = I.∆Φ
(3.15)
Cela permet de dénir une énergie potentielle d'intéraction magnétique :
UI = −I.Φ
(3.16)
3
MAGNÉTOSTATIQUE
11
3.4.2 Action subie par un dipole magnétique plongé dans un champ magnétique
−
→→
−
UI = −M . B
(3.17)
→
−
−
→ →
−
Γ =M∧B
(3.18)
Le moment des forces :
3.5 Coecients d'induction
3.5.1 Coecient d'induction mutuelle de deux circuits liformes
On note
¨
Φ2→1 =
−
→ −−→
B2 .dS1
µ0
=
I2
4π
ˆ
(3.19)
ˆ
C1
C2
−
→−
→
dl1 .dl2
u12
Le coecient de proportionnalité entre φ2→1 et I2 est appelé
circuits (1) et (2).
(3.20)
coecient d'induction mutuelle
des
Ainsi :
M21 = M12
→−
→
ˆ ˆ −
dl1 .dl2
µ0
=
4π C1 C2 u12
(3.21)
L'énergie potentielle d'intéraction entre ces deux circuits :
1
UI = − (M12 I1 I2 + M21 I2 I1 )
2
(3.22)
3.5.2 Cas de n circuits
n
n
1 XX
UI = −
Mij Ii Ij
2 i=1 j=1
(3.23)
j6=i
3.5.3 Coecient d'auto-induction
Φ = L.I
avec par dénition, L le coecient d'auto-induction
(3.24)
12
4 Magnétique
4.1 Loi De Lenz
Le courant induit a un sens tel que la force de Laplace qui lui est associée s'oppose au mouvement
qui a donné naissance au courant induit.
4.2 Force électromotrice
4.2.1 Champ Electromoteur
−→
→
− →
−
→
−
Em = ( u + v ) ∧ B
(4.1)
4.2.2 Force électromotrice induite
˛
E =
→
− →
− →
−
v ∧ B . dl
C
=−
dΦB
dt
¨
→
− −
→
B .dS
ΦB =
(4.2)
(4.3)
(4.4)
S
4.3 Loi de Faraday
e=−
dΦc
dt
(4.5)
4.3.1 Théorème de Maxwell-Faraday
→
−
−
→
− →
∂B
∇∧ E =−
∂t
(4.6)
−
→
−
→
− →
B =∇∧ A
(4.7)
→
−
→
−
→
−
∂A
E = − ∇ (V ) −
∂t
(4.8)
D'où :
4.4 Coecients d'Induction
4.4.1 Flux Du Champ Magnétique B1 créé par (C1 ) à travers (C2 )
Φ21 = M21 .I1
M21 = M12 : Coecient d'Induction Mutuelle
(4.9)
4
MAGNÉTIQUE
13
4.4.2 Flux Du Champ Magnétique B2 créé par (C2 ) à travers (C1 )
Φ12 = M12 .I2
(4.10)
Φ = L.I
(4.11)
4.4.3 Coecient D'Auto-Induction
L : Coecient D'Auto-Induction
4.4.4 Généralisation à n circuits
Le ux total Φk à travers le circuit k vaut :
Φk = Lk .Ik +
n
X
Mkj .Ij
(4.12)
j=1
j6=k
4.5 Énergie Magnétique
4.5.1 Loi D'Ohm Généralisée
e = L.
dI
+ R.I
dt
(4.13)
4.5.2 Énergie Magnétique D'Un Circuit Isolé
Énergie Potentielle Magnétique :
1
.L.I 2
2
1
= .Φ.I
2
(4.14)
1
1
.L1 .I1 2 + .L2 .I2 2 + M.I1 .I2
2
2
1
= (Φ1 .I1 + Φ2 .I2 )
2
(4.16)
WM =
(4.15)
4.5.3 Énergie Magnétique De Deux Circuits
Énergie Potentielle Magnétique :
WM =
(4.17)
4.5.4 Autres expressions pour un seul circuit
WM
˚
→
− →
−
j . A . dT
˚
1
=
B 2 dT
2µ0
1
=
2
(4.18)
(4.19)
14
4.6 Opérateurs Diérentiels
4.6 Opérateurs Diérentiels
→
−
rot( ∇ (f )) = 0
(4.20)
− →
− →
− →
∇· ∇∧ A
=0
(4.21)
→
− →
− −−→
−
→
− →
− →
− →
− →
∇∧ ∇∧ A
=∇ ∇· A
− ∆A
(4.22)
4.7 Équations de Maxwell
a) Relation De Continuité
− ∂ρ
→
− →
=0
∇· j +
∂t
(4.23)
b) Structure du Champ Électromagnétique
−
→
− →
∇· B =0
(4.24)
→
−
−
→
− →
∂B
∇∧ E =−
∂t
(4.25)
Théorème de Maxwell-Faraday
c) Relation entre les Sources et les Champs
Théorème de Maxwell-Gauss
−
→
− →
ρ
∇· E =
ε0
(4.26)
→
−
−
→
−
→
− →
∂E
∇ ∧ B = µ0 . j + µ0 .ε0 .
∂t
(4.27)
Théorème de Maxwell-Ampère
4.8 Ondes Électromagnétiques dans le vide
4.8.1 Équations aux champs
→
−
→
−
→
−
−
∂2 E
∂j
1→
∆ E − µ0 ε0
= µ0
+ ∇ (ρ)
∂t2
∂t
ε0
(4.28)
→
−
→
−
−
→
− →
∂2 B
∆ B − µ0 ε0
=
−µ
∇
∧
j
0
∂t2
(4.29)
4
MAGNÉTIQUE
15
4.8.2 Structure de l'onde plane
− →
−
→
−
1→
B = n ∧E
c
(4.30)
a) Relation de dispersion
Pour une onde plane dans le vide
k=
ω
c
(4.31)
vϕ =
ω
k
(4.32)
b) Vitesse de Phase
c) Vitesse de groupe
Vitesse de propagation de l'énergie transportée par l'onde :
vg =
dω
dk
(4.33)
d) Relation des vitesses
vg × vϕ = c2
(4.34)
− ∂u
→
− →
−
→
− →
∇· P +
= − j .E
∂t
(4.35)
→
− →
−
→
−
E∧B
P =
µ0
(4.36)
4.8.3 Théorème de Poynting
vecteur de Poynting
densité d'énergie électromagnétique
u=
ε0 E 2
B2
+
2
2µ0
(4.37)