CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER

TEMPS, MOUVEMENT ET EVOLUTION 3 – CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER
MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR
Partie B: Le saut de la grenouille
1. Exploitation du document
V9
G9
∆V
V11
G11
a10
G8G10
2 ,9 × 2
=
=1,4.102 cm.s–1 = 1,4 m.s–1 représenté par une flèche de 2,8 cm partant de G9 et parallèle à G8G10
2τ
2 × 20.10−3
G G
3,2 × 2
v11 = 10 12 =
= 1,6 m.s–1
représenté par une flèche de 3,2cm partant de G11 et parallèle à G10G12.
2τ
2 × 20.10−3
b) ∆V représenté par une flèche 0,75 cm soit ∆V = 0,38 m.s–1
∆V 0,375
c) a10 =
=
= 9,4 m.s–2
(les erreurs de mesure et de tracés conduisent à une erreur relative de 4 % sur a10 )
2τ
0,040
a) v9 =
2. Étude dynamique
Système: grenouille
référentiel: le sol, référentiel terrestre et supposé galiléen
Inventaire des forces: poids de la grenouille
D'après la deuxième loi de Newton: P = m.a
m. g = m.a
donc g = a
le vecteur accélération possède une direction verticale, est dirigé vers le bas et a pour valeur g = 10 m.s–2
Dans le repère proposé:
a
a=
dv
dt
ax = 0
ay = – g
donc vx(t) est la primitive de ax(t) , la constante d'intégration étant égale à V0x
et vy(t) est la primitive de ay(t), la constante d'intégration étant égale à V0y
V(t)
vx(t) = V0x = V0.cosα0
vy(t) = –g.t + V0y = –g.t + V0.sinα0
dOG(t)
dt
par intégration et sachant qu'à l'instant initial G0 est confondu avec O.
x(t) = V0.cosα0.t
OG
1
y(t) = – .g.t 2 + V0.sinα0.t
2
v(t) =
b) On a t =
x
que l'on remplace dans l'expression de y(t)
V0. cos α0
x
1
x2
y(x) = – .g. 2
+ V0.sinα0 ×
V0. cos α0
2 V0 . cos ²α0
1
x2
y(x) = – .g. 2
+ x.tanα0
2 V0 . cos ²α0
En remplaçant α0 par 45° ; V0 par 2 (sa valeur) et g par sa valeur, on obtient y(x) = –2,5.x² + x
Cette équation correspond à une trajectoire parabolique et est donc conforme à l'enregistrement horizontal.
De plus pour x = 0,20 m, on calcule que y = 0,10 m. Or on retrouve ce point sur l'enregistrement expérimental.
c) Au sommet de la trajectoire, v0y = 0.
–g.t0 + V0.sinα0 = 0
V . sin α 0
t0 = 0
g
La hauteur maximale est atteinte par la grenouille à la date t0.
1
ymax = – .g.t02 + V0.sinα0.t0
2
1 (V0. sin α 0)²
V . sin α 0
ymax = – .g.
+ V0.sinα0 . 0
2
g²
g
V 2. sin 2 α0
2² × sin ²45
=
= 0,10 m ceci est conforme à l'enregistrement.
ymax = 0
2g
2 × 10
d) Il faut y = 0 pour x = 60 cm
1
x2
On a établi précédemment que y(x) = – .g. 2
+ x.tanα0
2 V0 . cos ²α0
1
x2
y(x) = − .g. 2
+x
2 V0 × 0,50
y(x) = –10
x2
+x
V02
x2
+x=0
V02
–10 x² + x.V02 = 0
x.V02 = 10.x²
V02 = 10x
V0 = 10x
V0 = 10 × 0,60
V0 = 2,45 m.s–1
–10
soit environ 2,4 m.s–1
Ce résultat semble cohérent par rapport au premier saut où pour V0 = 2 m.s–1 la grenouille atteignait un
nénuphar situé à 40 cm d'elle.
COMPRENDRE – CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER
EXERCICES
La grêle se forme dans les cumulo-nimbus situés entre 1000 m et 10000 m d’altitude où la température est très
basse, jusqu’à – 40 °C. Le grêlon tombe lorsqu’il n’est plus maintenu au sein du nuage. Au sol sa vitesse peut
atteindre 160 km/h.
On étudie un grêlon de masse 13 g qui tombe d’un point M d’altitude h = 1500 m sans vitesse initiale. Il
peut être assimilé à une sphère de diamètre 3,0 cm.
Le point de chute O du grêlon sur le sol sera pris comme origine d’un axe Oy orienté positivement vers le haut.
L’intensité de la pesanteur sera considérée comme constante et de valeur go = 9,80 m.s-2.
4
Données : volume d’une sphère V = π × r 3 ; masse volumique de la bille ρ = 1,3 kg.m-3
3
masse volumique de l’air ρa = 1,3 kg.m-3
On admettra que le grêlon tombe en chute libre
1. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les équations horaires donnant la vitesse et la
position du centre d’inertie G du grêlon en fonction de la durée t de la chute.
2. Calculer la valeur de la vitesse lorsqu’il atteint le sol, ce résultat est-il vraisemblable ? Justifier.
EXERCICE : LA GRELE
CORRECTION
A – CHUTE LIBRE
A.1. Considérons comme système le grêlon dans un référentiel terrestre
(supposé galiléen) en chute libre. Il n’est soumis qu’à son poids.
Appliquons la deuxième loi de Newton :
r
r
r
r
g
=
a
m× g = m× a
soit
r
r
P = m×a
ou
Par projection sur l’axe Oy vertical, il vient a = - g
Or
a=
dv
dt
en faisant une primitive on obtient v = - g × t + A avec
A = constante.
Pour déterminer la valeur de la constante A, on se place à t = 0 :
Le grêlon tombe sans vitesse initiale, soit v0 = 0 m.s–1 donc :
v ( 0 ) = - g× 0 + A = A
A est donc nulle, on obtient v = - g × t
D’autre part
v=
dy
dt en faisant une primitive on obtient : y = - ½ g×t² + B
Pour déterminer la valeur de la constante B, on se place à t = 0 :
le grêlon est en M , donc y = 1500 m d’où : y ( 0 ) = 1500 = - ½ g × 0² + B
B est donc égal à 1500, on a donc y = - ½ g×t² + 1500
A.2. Quand le grêlon atteint le sol, alors y = 0 m, exprimons la date t d'arrivée au sol : 1500 = ½ go×t² Soit
t=
2 × 1500
go
remplaçons t par son expression pour trouver la vitesse de chute : v = g × t = g
2 × 1500
g
v h = 2 × 1500 × g = 2 × 9,80 × 1500 = 171 m.s-1 = 617 km.h-1
Dans le texte, on nous dit que la vitesse d’un grêlon au sol peut atteindre 160 km/h, la valeur obtenue avec ce modèle de
chute libre, n’est pas vraisemblable.
L’air exerce des forces de frottements
COMPRENDRE – CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER
TP1 - CHUTE PARABOLIQUE D’UNE BALLE
1) EXPLOITATION D'UN DOCUMENT VIDEO
On s'intéresse à la chute parabolique d'un ballon dans l'air.
L'enregistrement s'appelle " chutpar.avi ", il est situé dans le
dossier "PHYSIQUE" situé sur le bureau puis dans le dossier
"vidéo".
En vous aidant de la notice qui vous a été jointe à ce TP, réaliser
le pointage de la balle au cours de son mouvement.
On prendra :
- comme origine O du repère, la position du centre de la balle quand elle quitte la main du lanceur
- la régle verticale a une hauteur de 1m
2) ETUDE DES COURBES EXPERIMENTALES
a) Afficher le graphe représentant les variations de y en fonction de x.
b) Faites une modélisation de la trajectoire obtenue en utilisant l’outil « régression ».
Ecrire l’équation numérique du modèle mathématique retenu pour modéliser la trajectoire.
3)
MODELISATION DE LA CHUTE
Pour vérifier que la chute de la balle peut être modélisée par une chute libre, on veut comparer les coordonnées
de l’accélération ax(t) et ay(t) avec les coordonnées de l’accélération de la pesanteur.
a) Utiliser les fonctionnalités du logiciel pour créer les grandeurs vx et vy .
b) Afficher les graphes représentant les variations de vx et vy en fonction du temps.
c) Modéliser mathématiquement les graphes vx (t) et vy (t) puis écrire les équations numériques des modèles
mathématiques retenus.
d) En déduire les coordonnées de l’accélération du centre d’inertie de la balle au cours du mouvement.
e) Comparer la valeur absolue de la coordonnée ay avec celle de l’accélération de la pesanteur g=9,8 m.s-2
4) ETUDE THEORIQUE
DE LA CHUTE PARABOLIQUE
Les actions mécaniques dues à l’air étant négligées, utiliser la deuxième loi de newton pour :
a) déterminer les caractéristiques du vecteur accélération du centre d’inertie G de la balle.
b) montrer que les équations horaires x(t) et y(t) du point G sont x(t) = v0.cosα0.t
et y(t) = -
1
g.t² + v0.sinα0.t
2
c) En déduire l’équation de la trajectoire du centre d’inertie de la balle, c'est-à-dire exprimer y en fonction de x.
Quelle est l’allure de cette trajectoire ?
TEMPS, MOUVEMENT ET EVOLUTION 3 – CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER
MOUVEMENT DANS UN CHAMP ELECTROSTATIQUE
Rappel 1S
En 1897, ni la masse m, ni la charge –e de l’électron n’étaient connues ; son existence même n’était pas
prouvée.
En utilisant un dispositif analogue à celui de la figure ci-dessous, joseph John Thomson détermina la valeur du
rapport e/m
canon à électrons
dispositif de déviation
Le tube à électrons (dans lequel un vide poussé a été réalisé) comprend
- un canon à électrons qui accélérer et focalise les électrons émis par un filament, afin d’obtenir un faisceau
rectiligne d’électrons de même vitesse (tension U entre les plaques A et B)
- un dispositif de déviation : deux plaques horizontales A’ et B’ ‘séparés par une distance d =5,2 cm) entre
r
lesquelles la même tension U permet de créer un champ électrique uniforme E' . Le faisceau d’électrons qui
r
pénètre au point O est dévié par ce champ E' .
- un écran gradué recouvert d’une substance fluorescente permet de matérialiser la trajectoire des électrons.
Le canon à électrons :
r
r
En s’appuyant sur la force électrique f qui s’exerce sur un électron dans un champ E , créé entre les plaques
A et B, Reproduire la trajectoire des électrons puis tracer,avec des couleurs différentes, les vecteurs
r
r
r
accélération a , force électrique f , et champ électrostatique E en un point quelconque de la trajectoire, sans
souci d’échelle.
Le dispositif de déviation du faisceau d’électrons
r
r
En s’appuyant sur la force électrique f' qui s’exerce sur un électron dans un champ E' , créé entre les plaques
A’ et B’, Reproduire la trajectoire des électrons puis tracer, avec des couleurs différentes, les vecteurs
r
r
r
accélération a ' , force électrique f' , et champ électrostatique E' en un point quelconque de la trajectoire, sans
souci d’échelle.
En utilisant la deuxième loi de newton montrer que la trajectoire d’un électron est une parabole.
TEMPS, MOUVEMENT ET EVOLUTION 3 – CHAPITRE 6 - APPLICATION LOIS DE NEWTON ET KEPLER
LOIS DE KEPLER
Positions successives de Mercure au cours d’une révolution de 88 jours.
Demi-grand axe a et période de révolution T autour du Soleil de différentes planètes du système solaire