II - Transformations d`un fil de caoutchouc et potentiels

Année Universitaire 2008-2009
Licence de Physique
Parcours PGA et PC
LP323 - Thermodynamique et propriétés de la matière
Interrogation en amphi du 06 octobre 2008.
Durée 1h30
Calculatrices et documents interdits.
Une grande attention sera accordée à la précision de la rédaction.
I. Exercice – Question de cours
Le nombre de microétats accessibles à N molécules d’un gaz parfait monoatomique d’énergie
interne U contenues dans un volume V, peut se mettre sous la forme :
3N 2
N
Ω(N, V, U ) = exp⎛⎜ 5 N ⎞⎟ × ⎛⎜ U ⎞⎟
× ⎛⎜ V ⎞⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ N⎠
⎝ N⎠
1) Déterminer l’entropie S du gaz. On notera k la constante de Boltzmann.
2) En déduire la température T et la pression P du gaz à l’équilibre en fonction de U, V, N.
3) Expérience de détente dans le vide.
On considère un récipient rigide de volume V séparé en deux compartiments (1) et (2) par une paroi
rigide. Le récipient est isolé thermiquement. On introduit initialement dans le compartiment (1) N
molécules de gaz parfait, le compartiment (2) étant vide. On note U l’énergie interne de ces N
molécules. Le volume V1 du compartiment (1) est : V1 = V/3.
(1)
(2)
a) Déterminer l’entropie Si et la température Ti des N particules dans l’état initial.
On enlève la paroi, les N molécules peuvent donc se répartir dans le volume total V. Une fois
l’équilibre atteint :
b) Que peut-on dire de l’énergie interne dans l’état final ? En déduire la variation de
température dans ce processus.
c) Déterminer l’entropie Sf dans l’état final.
d) En déduire la variation d’entropie dans ce processus. Conclure.
II Problème : étude thermodynamique d’un fil élastique.
A - Obtention des coefficients thermoélastiques et des fonctions d’état.
On considère un fil élastique dont le comportement mécanique est analogue à celui d’un ressort. Ce
fil est décrit par les variables température T, allongement L et force de tension f.
Ces variables sont reliées par l’équation d’état : f = −aLT2 où a est une constante positive.
Lors d’une transformation infinitésimale réversible, le travail élémentaire et la quantité de chaleur
élémentaire reçus sont : d/ W = −f dL et d/ Q = CL(L, T )dT + λ(L, T )dL
Remarque importante : f est la force de tension du fil, variable qui n’est définie qu’à l’équilibre. Le
travail élémentaire pour une transformation infinitésimale quelconque est défini à l’aide de la force
de traction extérieure, fext, par : d/ W = fext dL .
1) En utilisant les formes différentielles des premier et deuxième principes, déterminer λ et
⎛ ∂CL ⎞ en fonction de variables d’état et de leurs dérivées partielles.
⎟
⎜
⎝ ∂L ⎠T
2) En déduire λ en fonction de T, L et a.
3) Déterminer CL(L, T) sachant qu’à allongement nul la capacité calorifique est donnée
par : CL(0, T) = b T2 où b est une constante positive.
4) Déterminer les fonctions énergie interne U(L, T) et entropie S(L, T).
Montrer que ces fonctions s’expriment selon :
U(L,T) = bT3/3 - aL2T2/2 + U0 et
S(L, T) = bT2/2 - aL2T + S0, U0 et S0 étant des constantes.
B – Cycle de transformations décrit par le fil
Partant de l’état d’équilibre A(LA=0, fA=0, T0), le fil décrit précédemment subit un cycle de
transformations faisant intervenir deux sources de chaleur Σ0 et Σ1 de températures respectives T0 et
T1 constantes (T1 > T0).
Le cycle de transformations est le suivant :
- AB : Elongation monotherme pendant laquelle le fil est en contact avec Σ0 (de température
constante T0) et soumis à une force extérieure de traction f0 constante.
- BC : Echauffement sous traction constante. La force extérieure est encore maintenue constante à
la valeur f0 et le fil est mis en contact avec Σ1.
- CA : Refroidissement sous traction constante nulle. On supprime brutalement la force de
traction et on remet le fil en contact avec Σ0.
On exprimera tous les résultats à l’aide de f0, T0, T1, a et b.
1) Déterminer les allongement, force de tension interne et température dans les états d’équilibre
B(LB, fB, TB) et C(LC, fC, TC).
2) Calculer les travaux WAB, WBC et WCA reçus par le gaz pour chacune des transformations du
cycle. En déduire, à chaque fois, la quantité de chaleur reçue.
3) Calculer les variations d’entropie du fil ΔSAB, ΔSBC, ΔSCA pour chacune des transformations.
4) Calculer les variations d’entropie ΔS0 et ΔS1 des sources de chaleur Σ0 et Σ1 respectivement.
5) Enoncer le 2ème principe de la thermodynamique sous sa forme Principe d’Evolution.
Appliquer ce principe au cycle décrit et en conclure quant à la réversibilité ou non du cycle.