1ère S

Tale S
Chapitre n° 11
ÉTUD E DE M OU VEM EN TS R ECTILIG NES
:
LA CHU TE VERTIC ALE
I- Rappels
1°)Le champ de pesanteur
D’après la loi de Newton, deux corps A et B de masse respective mA et mB,
séparés par une distance d (distance entre les deux centres de gravité), s’attirent
mutuellement avec une force d’interaction gravitationnelle définie par :
avec
où G est appelée et vaut G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2
Rq. 1 : Cette force d’interaction à distance existe grâce au champ gravitationnel créé par chacun des deux corps.
Rq. 2 : Cette relation vectorielle ne s’applique que pour des corps ponctuels ou dont la répartition des masses est
à symétrie sphérique.
Exemple : La force gravitationnelle, due au champ gravitationnel terrestre, subie par
un objet de masse mOb situé à une altitude zOb du sol s’exprime vectoriellement par :
soit
où est le vecteur champ de gravitation de la Terre
2°)Le poids d’un objet
a) É noncé
Pour un objet de masse mOb à la surface de la Terre, la force de pesanteur (ou poids)
P
est assimilable à la
force de gravitation exercée par la Terre sur l’objet :
A.N. : FTOb = Donc :
b) Uniformité du champ de pesanteur •La valeur du vecteur champ de pesanteur dépend de l’altitude et de la latitude, bref du lieu sur la Terre.
Ex. : gParis = N.kg-1 ; gEverest = N.kg-1
gpôles = N.kg-1 ; gEquateur = N.kg-1
•Expérimentalement, on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme (même direction, même
sens, même valeur) dans une région de l’espace de dimensions petites par rapport à celles de la Terre
(typiquement dans un volume de 1 km de côtés).
II- Forces subies par un objet plongé dans un fluide
1°)La poussée d’Archimède
Cette force est subie par un système immergé dans un fluide (liquide ou gazeux) au repos ou en mouvement.
a) Le principe d’Archimède
Rq. 1 : Ce principe s’applique pour un corps partiellement immergé comme totalement immergé dans le fluide.
Rq. 2 : Cette force correspond à la résultante des différentes forces pressantes qu’exerce le fluide sur les
parois du système immergé.
b) La poussée d’Archimède
Π
La poussée d’Archimède
Π
est une force qui possède les caractéristiques suivantes :
•Point d’application :
•Direction :
- 1 -
B
A
B
zOb
G
RT
Objet
Terre

•Sens :
•Expression vectorielle :
Où ρfluide représente (en )
Et Vdéplacé (en )
Rq. : Si le corps est totalement immergé dans le fluide, la poussée d’Archimède est vectoriellement définie
par : ou
2°)Les forces de frottement fluide
a) Présentation
Lorsqu’un solide et un fluide sont en mouvement relatif, celui-ci exerce sur le solide des actions de contact
modélisées par une force unique
f
appelée force de frottement fluide. Elle possède les caractéristiques suivantes :
•Point d’application :
•Direction :
•Sens :
•Norme : Elle dépend de la forme, des dimensions, de la surface de l’objet, de la viscosité η et de la
masse volumique ρ du fluide ainsi que de leur vitesse relative. D’une manière générale :
La force de frottement fluide
f
s’exprime vectoriellement par la relation : où
u
est un
vecteur unitaire orienté dans le sens du mouvement et k une constante dépendant du type de frottement.
b) Les deux cas de figure importants •Cas d’un écoulement laminaire : n = 1
Lorsque l’objet est de petite taille et se déplace à faible vitesse par rapport au fluide, celui-ci est dévié
en formant des couches autour de l’objet : on parle
Dans ce cas, la force de frottement fluide s’exprime par : ou
où h est le (en ) (Ex. : pour une sphère : h = )
•Cas d’un écoulement turbulent : n = 2
Lorsque l’objet est de grande taille et se déplace à plus grande vitesse par rapport au fluide, celui-ci est
dévié en formant des remous autour et derrière l’objet : on parle
Dans ce cas, la force de frottement fluide s’exprime par : ou
où λ est le (en ) (Ex. : pour une sphère lisse : λ = )
III- É tude de la chute verticale dans un fluide
1°)Expérience
a) É volution de l’ordonnée, de la vitesse et de l’accélération au cours du temps
(cf. courbes z = f(t) , v = f(t) et a = f(t) en Annexe p.6)
b) Description du mouvement •À l’instant du lâcher, la bille tombe dans le fluide avec une vitesse croissante : c’est
•Au cours de la chute, la vitesse continue d’augmenter, mais moins rapidement : c’est
•Si la chute dure suffisamment longtemps, la bille atteint une vitesse limite : c’est
2°)L’équation différentielle du mouvement •Expérience
Abandonnons en O une bille d’acier, de masse mb = 5 g et de rayon rb = 0,5 cm, sans
vitesse initiale dans un mélange d’eau et de glycérol à 64 % de masse volumique ρf = 1260 kg.m-3.
Étudions la bille en chute verticale sur l’axe x’Ox dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.
•Bilan des forces extérieures
- 2 -
x’
O
x
•

Au cours de sa chute, la bille est soumise aux forces extérieures suivantes :
-
-
-
•É quation différentielle du mouvement
−La deuxième loi de Newton (principe du centre d’inertie) nous permet d’écrire :
−La projection de cette relation vectorielle sur l’axe x’Ox nous conduit à :
Soit soit
Soit
−La modélisation de la force de frottement fluide dépend de la vitesse de la bille : au début de la
trajectoire, la vitesse est faible et le modèle conviendrait ; tandis que plus tard,
la vitesse étant élevée, le modèle serait plus adapté.
Dans le premier cas, nous aurions : soit
Dans le deuxième cas, nous aurions : soit
Avec A =
3°)Les caractéristiques du mouvement
a) Notion de vitesse limite
1 - Expression mathématique
•Une fois le régime permanent atteint, l’accélération est nulle, soit
•L’équation du mouvement s’écrit alors :
oPour un frottement fluide laminaire : soit
oPour un frottement fluide turbulent : soit
2 - Déduction du coefficient de frottement fluide
Le coefficient de frottement fluide peut être déterminé expérimentalement à partir de la mesure de la
vitesse limite vlim :
oPour un frottement fluide laminaire : soit
oPour un frottement fluide turbulent : soit
b) Notion de temps caractéristique
1 - Expression mathématique
L’équation différentielle du mouvement dans le cas d’un frottement fluide laminaire s’écrit :
soit
- 3 -

soit avec
τ est appelé et correspond à l’ordre de grandeur de la durée du régime
transitoire. La vitesse limite est en fait atteinte au bout d’une durée de
2 - Détermination expérimentale
Le temps caractéristique τ peut être déterminé en traçant la tangente à la courbe à t = 0 s : l’abscisse du
point d’intersection de cette tangente et de l’asymptote à la courbe a pour valeur τ : cf. courbe v = f(t) en Annexe p. 6)
4°)Résolution de l’équation différentielle par une méthode numérique itérative : la méthode d’Euler
a) Introduction
Les équations différentielles du premier ordre en v déterminées précédemment peuvent être résolues :
oanalytiquement en utilisant une fonction exponentielle ;
onumériquement par une méthode itérative (dite méthode d’Euler) c’est-à-dire une méthode
consistant à obtenir les valeurs approchées de cette fonction et d’en déduire la représentation
graphique.
b) La méthode d’Euler •Raisonnons avec l’équation différentielle obtenue avec un frottement fluide de type laminaire :
soit avec et
Rq. : Les termes a et b dépendent des caractéristiques de la bille et du fluide et sont calculables avant
l’expérience.
•Cette équation différentielle peut s’écrire : soit
où δv correspond à la variation de la valeur de la vitesse pendant la durée δt.
•À la date t0 = 0 s, la valeur de la vitesse est connue : v0 = 0
•À la date t1 = t0 + δt, la vitesse vaut : soit
•À la date t2 = t1 + δt, la vitesse vaut : soit
•La répétition de ce raisonnement permet donc de tracer le graphique v = f(t)
c) Influence du pas d’itération δ t sur la précision des calculs
(Cf. les courbes v = f(t) en Annexe p. 7)
, mais plus le nombre de calculs à
effectuer est important pour une même expérience. L’outil informatique permet d’effectuer une simulation avec un grand
nombre de calculs.
d) Conclusion : comparaison des résultats expérimentaux et modélisés
(Cf. les courbes v = f(t) en Annexe p. 7)
•La solution numérique utilisant une convient mieux que celle utilisant une force de frottement de type
turbulent : la courbe de cette solution (force de frottement laminaire) est en effet plus près de la courbe
expérimentale que l’autre courbe.
•En revanche, , la solution numérique utilisant une
convient mieux que celle utilisant une force de frottement de type laminaire.
•Conclusion : La comparaison des courbes expérimentale et modélisée permet de déterminer le domaine de
validité du modèle.
- 4 -

IV-É tude de la chute libre verticale
1°)Définition
2°)É volution des coordonnées et de la vitesse au cours du temps
(Cf. les courbes x = f(t) , y = f(t) et v = f(t) en Annexe p. 8)
3°)L’équation différentielle du mouvement
a) É tablissement de l’équation différentielle •Système étudié :
•Référentiel utilisé :
•Forces extérieures appliquées au système :
•D’après la deuxième loi de Newton :
soit soit
en orientant l’axe z’Oz vers le bas, nous obtenons :
Rq. 1 :
Rq. 2 :
•L’accélération étant définie par : , l’équation s’écrit :
Cette équation constitue
b) Résolution analytique de l’équation différentielle
La norme du vecteur champ de pesanteur g est constante au cours du temps, l’expression de la vitesse du
système au cours du mouvement s’écrit alors :
Rq. : Si à t = 0 s, la bille est lâchée sans vitesse initiale, la vitesse s’écrit :
4°)L’équation horaire du mouvement
La vitesse étant définie par : , la cote z s’écrit :
Rq. : Si à t = 0 s, la bille est lâchée sans vitesse initiale et à la cote z = 0, l’équation horaire s’écrit :
- 5 -
z'
z
O
z
G