1ère S

Tale S
Chapitre n° 11
ÉTUDE DE MOUVEMENTS RECTILIGNES :
LA CHUTE VERTICALE
I- Rappels
1°)Le champ de pesanteur
D’après la loi de Newton, deux corps A et B de masse respective mA et mB,
séparés par une distance d (distance entre les deux centres de gravité), s’attirent
mutuellement avec une force d’interaction gravitationnelle définie par :
B
A
avec
où G est appelée
et vaut G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2
Rq. 1 : Cette force d’interaction à distance existe grâce au champ gravitationnel créé par chacun des deux corps.
Rq. 2 : Cette relation vectorielle ne s’applique que pour des corps ponctuels ou dont la répartition des masses est
à symétrie sphérique.
Objet B
Exemple : La force gravitationnelle, due au champ gravitationnel terrestre, subie par
un objet de masse mOb situé à une altitude zOb du sol s’exprime vectoriellement par :
zOb
soit
où
est le vecteur champ de gravitation de la Terre
RT
G
2°)Le poids d’un objet
Terre
a) Énoncé

Pour un objet de masse mOb à la surface de la Terre, la force de pesanteur (ou poids) P est assimilable à la
force de gravitation exercée par la Terre sur l’objet :
A.N. : FTOb =
Donc :
b) Uniformité du champ de pesanteur
• La valeur du vecteur champ de pesanteur dépend de l’altitude et de la latitude, bref du lieu sur la Terre.
Ex. : gParis =
N.kg-1 ; gEverest =
N.kg-1
-1
gpôles =
N.kg ; gEquateur =
N.kg-1
• Expérimentalement, on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme (même direction, même
sens, même valeur) dans une région de l’espace de dimensions petites par rapport à celles de la Terre
(typiquement dans un volume de 1 km de côtés).
II- Forces subies par un objet plongé dans un fluide
1°)La poussée d’Archimède
Cette force est subie par un système immergé dans un fluide (liquide ou gazeux) au repos ou en mouvement.
a) Le principe d’Archimède
Rq. 1 : Ce principe s’applique pour un corps partiellement immergé comme totalement immergé dans le fluide.
Rq. 2 : Cette force correspond à la résultante des différentes forces pressantes qu’exerce le fluide sur les
parois du système immergé.
b) La poussée d’Archimède Π
La poussée d’Archimède Π est une force qui possède les caractéristiques suivantes :
• Point d’application :
• Direction :
-1-
•
Sens :
•
Expression vectorielle :
Où
Et
ρfluide représente
Vdéplacé
(en
(en
)
)
Rq. : Si le corps est totalement immergé dans le fluide, la poussée d’Archimède est vectoriellement définie
par :
ou
2°)Les forces de frottement fluide
a) Présentation
Lorsqu’un solide et un fluide sont en mouvement relatif, celui-ci exerce sur le solide des actions de contact

modélisées par une force unique f appelée force de frottement fluide. Elle possède les caractéristiques suivantes :
• Point d’application :
•
Direction :
•
Sens :
•
Norme : Elle dépend de la forme, des dimensions, de la surface de l’objet, de la viscosité η et de la
masse volumique ρ du fluide ainsi que de leur vitesse relative. D’une manière générale :


La force de frottement fluide f s’exprime vectoriellement par la relation :
où u est un
vecteur unitaire orienté dans le sens du mouvement et k une constante dépendant du type de frottement.
b) Les deux cas de figure importants
• Cas d’un écoulement laminaire : n = 1
Lorsque l’objet est de petite taille et se déplace à faible vitesse par rapport au fluide, celui-ci est dévié
en formant des couches autour de l’objet : on parle
Dans ce cas, la force de frottement fluide s’exprime par :
ou
où h est le
(en
)
(Ex. : pour une sphère : h =
)
•
Cas d’un écoulement turbulent : n = 2
Lorsque l’objet est de grande taille et se déplace à plus grande vitesse par rapport au fluide, celui-ci est
dévié en formant des remous autour et derrière l’objet : on parle
Dans ce cas, la force de frottement fluide s’exprime par :
ou
où λ est le
(en
) (Ex. : pour une sphère lisse : λ =
)
III- Étude de la chute verticale dans un fluide
1°)Expérience
a) Évolution de l’ordonnée, de la vitesse et de l’accélération au cours du temps
(cf. courbes z = f(t) , v = f(t) et a = f(t) en Annexe p.6)
b) Description du mouvement
• À l’instant du lâcher, la bille tombe dans le fluide avec une vitesse croissante : c’est
• Au cours de la chute, la vitesse continue d’augmenter, mais moins rapidement : c’est
• Si la chute dure suffisamment longtemps, la bille atteint une vitesse limite : c’est
2°)L’équation différentielle du mouvement
• Expérience
Abandonnons en O une bille d’acier, de masse mb = 5 g et de rayon r b = 0,5 cm, sans
vitesse initiale dans un mélange d’eau et de glycérol à 64 % de masse volumique ρf = 1260 kg.m-3.
Étudions la bille en chute verticale sur l’axe x’Ox dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.
•
x’
• O
x
Bilan des forces extérieures
-2-
Au cours de sa chute, la bille est soumise aux forces extérieures suivantes :
•
Équation différentielle du mouvement
− La deuxième loi de Newton (principe du centre d’inertie) nous permet d’écrire :
− La projection de cette relation vectorielle sur l’axe x’Ox nous conduit à :
Soit
soit
Soit
− La modélisation de la force de frottement fluide dépend de la vitesse de la bille : au début de la
trajectoire, la vitesse est faible et le modèle
conviendrait ; tandis que plus tard,
la vitesse étant élevée, le modèle
serait plus adapté.
Dans le premier cas, nous aurions :
soit
Dans le deuxième cas, nous aurions :
soit
Avec A =
3°)Les caractéristiques du mouvement
a) Notion de vitesse limite
1- Expression mathématique
•
Une fois le régime permanent atteint, l’accélération est nulle, soit
•
L’équation du mouvement s’écrit alors :
o
Pour un frottement fluide laminaire :
soit
o
Pour un frottement fluide turbulent :
soit
2-
Déduction du coefficient de frottement fluide
Le coefficient de frottement fluide peut être déterminé expérimentalement à partir de la mesure de la
vitesse limite vlim :
o
Pour un frottement fluide laminaire :
soit
o
Pour un frottement fluide turbulent :
soit
b) Notion de temps caractéristique
1- Expression mathématique
L’équation différentielle du mouvement dans le cas d’un frottement fluide laminaire s’écrit :
soit
-3-
soit
avec
τ est appelé
et correspond à l’ordre de grandeur de la durée du régime
transitoire. La vitesse limite est en fait atteinte au bout d’une durée de
2-
Détermination expérimentale
Le temps caractéristique τ peut être déterminé en traçant la tangente à la courbe à t = 0 s : l’abscisse du
point d’intersection de cette tangente et de l’asymptote à la courbe a pour valeur τ : cf. courbe v = f(t) en Annexe p. 6)
4°)Résolution de l’équation différentielle par une méthode numérique itérative : la méthode d’Euler
a) Introduction
Les équations différentielles du premier ordre en v déterminées précédemment peuvent être résolues :
o analytiquement en utilisant une fonction exponentielle ;
o numériquement par une méthode itérative (dite méthode d’Euler) c’est-à-dire une méthode
consistant à obtenir les valeurs approchées de cette fonction et d’en déduire la représentation
graphique.
b) La méthode d’Euler
• Raisonnons avec l’équation différentielle obtenue avec un frottement fluide de type laminaire :
soit
avec
et
Rq. : Les termes a et b dépendent des caractéristiques de la bille et du fluide et sont calculables avant
l’expérience.
•
Cette équation différentielle peut s’écrire :
soit
où δv correspond à la variation de la valeur de la vitesse pendant la durée δt.
•
À la date t0 = 0 s, la valeur de la vitesse est connue : v0 = 0
•
À la date t1 = t0 + δt, la vitesse vaut :
soit
•
À la date t2 = t1 + δt, la vitesse vaut :
soit
•
La répétition de ce raisonnement permet donc de tracer le graphique v = f(t)
c) Influence du pas d’itération δt sur la précision des calculs
(Cf. les courbes v = f(t) en Annexe p. 7)
, mais plus le nombre de calculs à
effectuer est important pour une même expérience. L’outil informatique permet d’effectuer une simulation avec un grand
nombre de calculs.
d) Conclusion : comparaison des résultats expérimentaux et modélisés
(Cf. les courbes v = f(t) en Annexe p. 7)
• La solution numérique utilisant une convient mieux que celle utilisant une force de frottement de type
turbulent : la courbe de cette solution (force de frottement laminaire) est en effet plus près de la courbe
expérimentale que l’autre courbe.
• En revanche,
, la solution numérique utilisant une
convient mieux que celle utilisant une force de frottement de type laminaire.
• Conclusion : La comparaison des courbes expérimentale et modélisée permet de déterminer le domaine de
validité du modèle.
-4-
IV-Étude de la chute libre verticale
1°)Définition
2°)Évolution des coordonnées et de la vitesse au cours du temps
(Cf. les courbes x = f(t) , y = f(t) et v = f(t) en Annexe p. 8)
3°)L’équation différentielle du mouvement
a) Établissement de l’équation différentielle
• Système étudié :
• Référentiel utilisé :
• Forces extérieures appliquées au système :
• D’après la deuxième loi de Newton :
z'
O
z
soit
soit
en orientant l’axe z’Oz vers le bas, nous obtenons :
Rq. 1 :
z
Rq. 2 :
• L’accélération étant définie par :
Cette équation constitue
G
, l’équation s’écrit :
b) Résolution analytique de l’équation différentielle
La norme du vecteur champ de pesanteur g est constante au cours du temps, l’expression de la vitesse du
système au cours du mouvement s’écrit alors :
Rq. : Si à t = 0 s, la bille est lâchée sans vitesse initiale, la vitesse s’écrit :
4°)L’équation horaire du mouvement
La vitesse étant définie par :
, la cote z s’écrit :
Rq. : Si à t = 0 s, la bille est lâchée sans vitesse initiale et à la cote z = 0, l’équation horaire s’écrit :
-5-
.
ANNEXE
.
ÉTUDE DE LA CHUTE VERTICALE DANS UN FLUIDE
Les courbes y = f(t) , v = f(t) et a = f(t)
y = f(t)
v = f(t)
a = f(t)
-6-
ÉTUDE DE LA CHUTE VERTICALE DANS UN FLUIDE
Modélisation de la chute verticale dans un fluide par la méthode d’Euler
Influence du pas d’itération
Influence du modèle de la force de frottement fluide
-7-
ÉTUDE DE LA CHUTE LIBRE VERTICALE
Les courbes x = f(t) , y = f(t) et v = f(t)
Les courbes Ec = f(t) , Epp = f(t) et Em = f(t)
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